テトラッド形式

テトラド形式は、一般相対性理論に対するアプローチであり、接線束の基底の選択を座標基底からより制限の少ない局所基底、すなわちテトラドまたはビエルバインと呼ばれる4 つの線形独立ベクトル場の局所的に定義されたセットへと一般化します。^{[1]これは、} （擬似）^リーマン幾何学で設定されるビエルバイン形式というより一般的な考え方の特殊なケースです。この記事では、現在書かれているように、一般相対性理論について頻繁に言及していますが、そこで述べられていることのほとんどすべては、一般的な（擬似）リーマン多様体、さらにはスピン多様体にも同様に当てはまります。ほとんどの記述は、 を任意に置き換えるだけで成立します。ドイツ語で、「vier 」は「4」、「 viel」は「多くの」、「bein」は「脚」 と翻訳されます。${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$

一般的な考え方は、計量テンソルを、左側と右側の2 つのビエルバイン (vielbein)の積として表すことです。ビエルバインの効果は、接線多様体で使用される座標系を、より単純で計算に適したものに変更することです。ビエルバイン座標系は正規直交であることがよくあり、これは通常、最も使いやすいためです。ほとんどのテンソルは、この座標系では単純または自明になります。したがって、ほとんどの式の複雑さは、固有の特性や物理的効果ではなく、座標の選択による結果であることが明らかになります^[要出典]。つまり、形式主義として、予測を変更するものではなく、計算手法です。

一般相対論に対する標準的な座標ベースのアプローチに対するテトラッド形式の利点は、時空の重要な物理的側面を反映するようにテトラッド基底を選択できることです。抽象的なインデックス表記は、テンソルを、固定されたローカルテトラッドに対する係数で表現されているかのように表します。完全に座標フリーの表​​記は概念的に明確であることが多いため、それと比較して、収縮を表す簡単で計算的に明確な方法が可能になります。

四項形式の重要性は、一般相対性理論のアインシュタイン-カルタン定式化に現れている。理論の四項形式は計量定式化よりも基本的である。なぜなら、ボソン作用ではそれが可能であるにもかかわらず、フェルミオン作用の四項形式と計量定式化の間で変換することはできないからである^{[要出典] 。これは、ワイルスピノルがリーマン多様体[2] [要出典]}上で非常に自然に定義でき、それらの自然な設定がスピン接続につながるためである。それらのスピノルは、多様体座標系ではなく、フィールバイン座標系で形をとる。

特権四項形式は、高次元カルツァ・クライン重力理論^[3]や有質量重力理論の解体にも現れ、そこでは余剰次元がN格子点の系列に置き換えられ、高次元計量が4D成分のみに依存する相互作用計量の集合に置き換えられる。^{[4]ヴィールベインは物理学や数学の他の一般的な設定でもよく現れる。ヴィールベインは}はんだ形式として理解できる。

テトラッド定式化は、より一般的な定式化の特殊なケースであり、vielbein またはn -bein 定式化として知られ、n =4 です。綴りに注意してください。ドイツ語で、「viel」は「多くの」という意味で、「4」を意味する「vier」と混同しないでください。

ヴィールバイン形式^[5]では、時空多様体の開被覆とそれらの開集合の各々に対する局所基底が選ばれる。すなわち、独立ベクトル場の集合${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

なぜなら、それらは一緒に集合内の各点で次元接束を張るからである。双対的に、ビエルバイン（または4次元のテトラッド）は、双対のコビエルバイン（コテトラッド）（独立した1形式の集合）を決定し、またそれによって決定される。 ${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

そのような

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a}, }$

ここで、はクロネッカーのデルタです。四元集合の指定には（局所）座標の選択は不要ですが、通常、ビエルバインはその係数によって座標基底に関して指定されます。各共ベクトルはソルダー形式です。 ${\displaystyle \delta_{b}^{a}}$${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$${\displaystyle x^{\mu}}$

ファイバーバンドルの微分幾何学の観点から、n 個のベクトル場はフレームバンドルのセクションを定義します。つまり、 の平行化は同型 と同等です。すべての多様体が平行化できるわけではないので、一般に、ヴィールバイン (vielbein) は局所的にしか選択できません (つまり、 のすべてではなく、座標チャート上でのみ選択できます)。 ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$

理論のすべてのテンソルは、(共)ビエルベインのメンバーの線形結合として表現することにより、ベクトル基底と共ベクトル基底で表現できます。たとえば、時空計量テンソルは、座標基底から四元 基底に変換できます。

一般相対論でよく使われる四分子基底には、正規直交四分子とヌル四分子がある。ヌル四分子は 4 つのヌルベクトルから構成されるため、放射を扱う問題で頻繁に使用され、ニューマン・ペンローズ形式とGHP 形式の基礎となっている。

微分幾何学（および一般相対性理論）の標準的な形式は、単に座標テトラドをテトラド形式で使用することです。座標テトラドは、座標チャートに関連付けられたベクトルの標準セットです。座標テトラドは一般に と表記され、双対コテトラドは と表記されます。これらの接線ベクトルは通常、方向微分演算子として定義されます。多様体のサブセットを座標空間と任意のスカラー場 にマップするチャートが与えられた場合、座標ベクトルは次のようになります。 ${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

コテトラドの定義では、上のコベクトル (1 形式) を定義するために通常の表記法の乱用が使用されています。座標テトラドの関与は、標準形式では通常明示的に示されません。テトラド形式では、テンソル方程式を完全に記述する代わりに (上記のようにテトラド要素とテンソル積を含む)、テンソルの成分のみが記述されます。たとえば、メトリックは「 」と記述されます。テトラドが指定されていない場合、これは抽象インデックス表記と呼ばれるテンソルの型を指定する問題になります。これにより、アインシュタインの総和規則のようにインデックスを繰り返すことで、テンソル間の縮約を簡単に指定できます。 ${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle g_{ab}}$

四重項の変更は、あらゆる座標変換（つまり、ある座標四重項基底から別の座標四重項基底への変更）に関係するため、標準形式における日常的な操作です。複数の座標チャートの切り替えが必要なのは、些細な場合を除き、単一の座標チャートで多様体全体をカバーできないためです。一般四重項への変更や一般四重項間の変更は、ほぼ同様であり、同様に必要です（並列化可能な多様体を除く）。任意のテンソルは、この座標四重項または一般（共）四重項で局所的に記述できます。

たとえば、計量テンソルは 次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

（ここではアインシュタインの総和規則を使用する）。同様に、計量は任意の（コ）テトラッドに関して次のように表すことができる。

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

ここでは、適用可能な基準を区別するために、インデックス変数に アルファベット (ラテン語とギリシャ語)を選択します。

共ベクトルを展開することで、一般共テトラッドから座標共テトラッドに変換することができます。すると、 ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

そこから、 が導かれる。同様に一般の四面体について展開すると、 ${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

これは次のことを示しています。 ${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

テトラド係数の操作は、原理的には、抽象インデックス式は「ギリシャ語インデックスをラテン語インデックスに置き換える」ことによって、座標テトラドに関するテンソル式から得られることを示しています。ただし、微分化が含まれる場合、座標テトラド式が真のテンソルを定義することに注意する必要があります。座標ベクトル場はリー括弧が消える（つまり、可換：）ため、座標テトラドに関するテンソル係数を正しく計算する式の単純な置き換えは、リー括弧が消えないため、一般テトラドに関するテンソルを正しく定義しない可能性があります： 。したがって、テトラド座標は非ホロノミック基底を提供すると言われることがあります。 ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

例えば、リーマン曲率テンソルは一般のベクトル場に対して次のように 定義される。${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$。

座標四面体ではテンソル係数を与える。

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

後者の表現を「ギリシャ語からラテン語へ」単純に置き換えると

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

は正しくありません。なぜなら、cとd が固定されている場合、 は一般に、テンソル係数を定義するゼロ次演算子ではなく、1次微分演算子だからです。抽象式に一般的な四元基底を代入すると、抽象インデックス表記での曲率の適切な定義が見つかります。ただし、 ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

ここで、この式は実際にはゼロ次演算子であり、したがってテンソル（の（c d）成分）であることに注意してください。これは、座標四元数に特殊化されたときの曲率の座標式と一致するため、曲率の抽象定義を使用しなくても、座標基底式と同じテンソルを定義していることは明らかです。 ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

接線（または余接）多様体のベクトル（または共ベクトル）が与えられた場合、指数写像はその接線ベクトルの対応する測地線を記述する。 と書くと、微分 平行移動は次式に対応する。${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

上記は、を行列としてとらえるだけで簡単に確認できます。 ${\displaystyle X}$

リー代数の特別な場合では、 は代数の元とみなすことができ、指数関数はリー群 の指数写像であり、群の元は接ベクトルの測地線に対応する。リー代数の基底を選択し、いくつかの関数について交換子を明示的に書き出すことができる。次の式は簡単に計算できる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

リー代数の構造定数について。この級数はより簡潔に次のように書くこと ができる。${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

無限級数で

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

ここで、は行列であり、その行列要素は です。行列はヴィールバインです。つまり、微分を「平坦な座標」（正規直交座標）で表します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle dX^{j}}$${\displaystyle e_{i}}$

ある多様体からあるリー群への写像が与えられると、多様体上の計量テンソルはリー群上の計量テンソルの引き戻しになる。 ${\displaystyle N\to G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{mn}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

リー群上の計量テンソルはカルタン計量、別名キリング形式である。行列として、2番目のWは転置行列であることに注意する。（擬似）リーマン多様体の場合、計量は（擬似）リーマン計量である。上記は対称空間の場合に一般化される。^[6]これらのビエルバインを使用してシグマモデルで計算を実行し、超重力理論はその特殊なケースである。^[7]${\displaystyle B_{mn}}$${\displaystyle N}$

• De Felice, F.; Clarke, CJS (1990)、Relativity on Curved Manifolds (初版 1990 年)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-26639-4
• Benn, IM; Tucker, RW (1987)、スピノルと幾何学入門、物理学への応用(初版 1987 年)、アダム ヒルガー、ISBN 0-85274-169-3

• テトラッドを用いた一般相対性理論