コクセター記法

幾何学において、コクセター表記法（コクセター記号ともいう）は、対称群を分類するシステムであり、コクセター群の基本反射間の角度を括弧表記で記述してコクセター-ディンキン図の構造を表現し、特定の部分群を示す修飾子を使用する。この表記法はHSMコクセターにちなんで名付けられ、ノーマン・ジョンソンによってより包括的に定義されている。

純粋な反射によって定義されるコクセター群の場合、括弧表記とコクセター・ディンキン図は直接対応しています。括弧表記内の数字は、コクセター図の枝における鏡映反射の順序を表します。直交する鏡映間の 2 を省略した同じ簡略化が使用されます。

コクセター記法は、線型図の1行の枝の数を表す指数で簡略化されている。したがって、A _{nグループは [3} ^{n −1} ]で表され、 n 個のノードがn−1個の3 次枝で接続されていることを意味する。例A ₂ = [3,3] = [3 ² ] または [3 ^1,1 ] は、図を表す。または。

コクセターは当初、数字を垂直に配置することで分岐図を表現していたが、後に[...,3 ^p,q ]や[3 ^p,q,r ]のような指数表記で省略し、[3 ^1,1,1 ]や[3,3 ^1,1 ] =で始まるようになった。または D _{4のように。コクセターは、} A _n族に適合させるために、A ₃ = [3,3,3,3] = [3 ^4,0,0 ] = [3 ^4,0 ] = [3 ^3,1 ] = [3 ^2,2 ]のように、特別なケースとしてゼロを許容した。==。

巡回図式で形成されるコクセター群は、[(p,q,r)] =のように括弧内の括弧で表されます。三角形群（pqr）の場合。分岐順序が等しい場合は、括弧内のサイクルの長さを指数としてグループ化することができ、[（3,3,3,3）] = [3 ^[4] ]のように、コクセター図を表す。または。[3,(3,3,3)]または[3,3 ^[3] ]と表すことができます。

より複雑なループ図も注意深く表現できる。パラコンパクトコクセター群 はコクセター記法[(3,3,(3),3,3)]で表すことができ、入れ子になった/重なり合った括弧は2つの隣接する[(3,3,3)]ループを示し、よりコンパクトに[3 ^{[ ]×[ ]} ]と表すこともできる。これはコクセター図の菱形対称性を表す。パラコンパクト完全グラフ図または は、その正四面体コクセター図 の対称性として上付き文字 [3,3] を付けて[3 ^[3,3] ]と表されます。

アフィン群と双曲群の場合、これらの各群は有限群の図にノードを追加することによって取得されるため、下付き文字はそれぞれの場合のノードの数より 1 少なくなります。

コクセター図では通常、2次の枝は描かれないが、括弧表記では部分グラフを接続するために明示的に2が含まれている。そのため、コクセター図では= A ₂ × A ₂ = 2 A ₂は[3]×[3] = [3] ² = [3,2,3] で表すことができます。明示的な 2 分岐は、2 ラベルまたはギャップのある線で含まれる場合があります。または[3,2,3]と同一の表現である。

コクセター点群のランクはノードの数に等しく、それは次元にも等しい。1次元には単一のミラーが存在する。[ ]、一方、2次元では[1]、または [ ]×[ ] ⁺。1 はプレースホルダーであり、実際の分岐順序ではなく、直交する非アクティブミラーのマーカーです。表記法 [ n ,1] は、ランク 3 グループを表し、[ n ]×[ ] ⁺または同様に、[1,1]は[ ]×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺または2の位と[1,1] ^+を[] ⁺ ×[] ⁺ ×[] ⁺または、1を注文してください！

コクセターの表記法は、括弧の外側に^{+ 上}付き演算子を追加することで回転/並進対称性を表します。 [X] ⁺はグループ [X] の順序を半分に減らし、インデックス 2 のサブグループになります。この演算子は、反射を回転 (または並進) に置き換えて、偶数の演算子を適用する必要があることを意味します。コクセター グループに適用すると、残るのは反射対称性のない直接等長変換のみであるため、 直接サブグループと呼ばれます。

⁺演算子は、[X,Y ⁺ ] や [X,(Y,Z) ⁺ ]のように括弧内にも適用でき、反射生成子と非反射生成子の両方を含む「半直接」部分群を作成します。半直接部分群は、偶数次の枝が隣接する Coxeter 群の部分群にのみ適用できます。Coxeter 群内の括弧で囲まれた要素には⁺上付き演算子を与えることができ、隣接する順序付き枝を半順序に分割する効果があり、通常は偶数にのみ適用されます。たとえば、[4,3 ⁺ ] および [4,(3,3) ⁺ ] (）。

隣接する奇数枝に適用すると、インデックス 2 のサブグループは作成されませんが、代わりに [5,1 ^{+ ] = [5/2] のような重複する基本領域が作成されます。これにより、}五芒星、{5/2}のような二重にラップされた多角形を定義でき、[5,3 ^{+ ] は}シュワルツの三角形[5/2,3]、密度2に関連します。

^{隣接する+}要素のないグループは、環状ノードで見ることができます。均一多面体とハニカムのCoxeter-Dynkin図は、 ⁺要素の周りの穴ノード、交互ノードが削除された空の円に関連しています。したがって、スナブキューブ、対称性を持つ [4,3] ⁺ (）、およびスナブ四面体、対称性[4,3 ⁺ ]（）、および半立方体h{4,3} = {3,3}（または=) は対称性 [1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (または==）。

注:ピリトヘドロン対称性 次のように書くことができるグラフはわかりやすくするためにギャップで区切られており、生成元はコクセター群の{0,1,2}である。、ピリトヘドラル生成子{0,12}、鏡映、3回回転を生成する。そしてカイラル四面体対称性は次のように書ける。 または , [1 ⁺ ,4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ , 生成元は{12,0120}です。

^{ジョンソンは、 +}演算子をプレースホルダー1 ⁺ノードで動作するように拡張し、ミラーを削除して基本ドメインのサイズを2倍にし、グループの順序を半分に減らしました。^[1]一般に、この操作は偶数次ブランチで区切られた個々のミラーにのみ適用されます。1はミラーを表すため、[2p]は[2p, 1 ]、[ 1 ,2p]、または[ 1 ,2p, 1 ]として見ることができます。または2 つのミラーは 2p の二面角で関連しています。ミラーを削除すると、接続ノードが複製され、Coxeter ダイアグラムで確認できます。=または括弧表記：[1 ⁺ ,2p, 1 ] = [ 1 ,p, 1 ] = [p]。

これらのミラーはそれぞれ削除できるため、h[2p] = [1 ⁺ ,2p,1] = [1,2p,1 ^{+ ] = [p]となり、反射サブグループインデックスは2になります。これは、ノードの上に+}記号を追加することで、Coxeter図で表示できます。==。

両方のミラーが削除されると、1/4 サブグループが生成され、分岐順序は順序の半分の回転点になります。

q[2p] = [1 ⁺ ,2p,1 ⁺ ] = [p] ⁺、指数4の回転部分群。==== 。

たとえば、(p=2 の場合) [4,1 ⁺ ] = [1 ⁺ ,4] = [2] = [ ]×[ ]、順序 4。[1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2] ⁺、順序 2。

半減の反対は倍増^[2]であり、これは鏡像を追加し、基本領域を二分し、群の順序を2倍にします。

[[p]] = [2p]

半減操作は、高位のグループに適用されます。たとえば、四面体対称性は八面体グループの半グループです。h[4,3] = [1 ⁺ ,4,3] = [3,3] で、4 分岐のミラーの半分が削除されます。ミラー削除の効果は、すべての接続ノードが複製されることであり、これは Coxeter ダイアグラムで確認できます。=, h[2p,3] = [1 ⁺ ,2p,3] = [(p,3,3)].

ノードがインデックス化されている場合、半分のサブグループに新しいミラーを複合としてラベル付けすることができます。、生成元{0,1}にはサブグループがある=、ジェネレーター{1,010}、ミラー0が削除され、ミラー0を横切って反射されたミラー1のコピーに置き換えられます。また、、生成元{0,1,2}、半群=、ジェネレーター{1,2,010}。

鏡像の追加による倍増は、半分にする操作を逆にする場合にも適用されます。[[3,3]] = [4,3]、またはより一般的には [[(q,q,p)]] = [2p,q] です。

ジョンソンは「ラジカル」サブグループ用のアスタリスクまたは星印*演算子も追加しました。 ^[3]これは⁺演算子と同様に機能しますが、回転対称性を削除します。ラジカル サブグループのインデックスは、削除された要素の順序です。たとえば、[4,3*] ≅ [2,2] です。削除された [3] サブグループの順序は 6 なので、[2,2] は [4,3] のインデックス 6 サブグループです。

ラジカル部分群は、拡張された対称操作の逆操作を表します。たとえば、[4,3*] ≅ [2,2] であり、逆に [2,2] は [3[2,2]] ≅ [4,3] と拡張できます。部分群はコクセター図として表すことができます。または≅削除されたノード (ミラー) により、隣接するミラーの仮想ミラーが実際のミラーになります。

[4,3] に生成元 {0,1,2} がある場合、[4,3 ⁺ ]、インデックス 2 には生成元 {0,12} があります。[1 ⁺ ,4,3] ≅ [3,3]、インデックス 2 には生成元 {010,1,2} があります。一方、根号サブグループ [4,3*] ≅ [2,2]、インデックス 6 には生成元 {01210, 2, (012) ³ } があります。最後に、[1 ⁺ ,4,3*]、インデックス 12 には生成元 {0(12) ² 0, (012) ² 01} があります。

三元部分群は指数3の部分群である。ジョンソンは、演算子⅄、指数3を持つ三元部分群を定義している。階数2のコクセター群[3]の場合、三元部分群[3 ^⅄ ]は[ ]、つまり単一の鏡像である。また、[3 p ]の場合、三元部分群は[3 p ] ^⅄ ≅ [ p ]である。は、生成元が{0,1}で、3つの三重サブグループを持ちます。これらは、削除するミラー生成元の横に⅄記号を置くか、両方の枝に置くことで区別できます: [3 p ,1 ^⅄ ] ==、 =、そして[3 p ^⅄ ] ==生成子は {0,10101}、{01010,1}、または {101,010} です。

四面体対称性の三元部分群: [3,3] ^≅ [2 ^{+ ,4]、}正四面体と正方二蝶形の対称性を関連付けます。

ランク3のコクセター群[ p ,3]には、三元部分群[ p ,3 ^⅄ ] ≅ [ p /2, p ]が存在する。=例えば、有限群[4,3 ^⅄ ] ≅ [2,4]、ユークリッド群[6,3 ^⅄ ] ≅ [3,6]、双曲群[8,3 ^⅄ ] ≅ [4,8]である。

奇数次の隣接枝pは、群の順序を下げずに、重なり合う基本ドメインを作成します。群の順序は同じままですが、密度が増加します。たとえば、正多面体イコサヘドロンのイコサヘドロン対称性[5,3] は、2 つの正星型多面体の対称性である [5/2,5] になります。これは、双曲タイリング {p,3} と星型双曲タイリング{p/2,p} にも関連しています。

ランク4の場合、[ q ,2 p ,3 ^⅄ ] = [2 p ,((p,q,q))]、=。

例えば、[3,4,3 ^⅄ ] = [4,3,3]、または=、生成元は[3,4,3]に{0,1,2,3}、三元部分群[4,3,3]の生成元は{0,1,2,32123}。双曲群の場合、[3,6,3 ^⅄ ] = [6,3 ^[3] ]、および[4,4,3 ^⅄ ] = [4,4,4]。

ジョンソンは[3,3]の2つの特定の三元サブグループ^[4]を特定した。まず、指数3のサブグループ[3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4]であり、[3,3]（==^{) 生成子 {0,1,2}。[(3,3,2 ⅄} )] (と書くこともできる。) は、その生成元 {02,1} を思い出させるものです。この対称性の縮小は、正四面体と正四角形二蝶形との関係であり、2 つの反対の辺に垂直な四面体の引き伸ばしを表します。

次に、彼は関連する指数6のサブグループ[3,3] ^Δまたは[(3,3,2 ^⅄ )] ⁺ (）、インデックス3は[3,3] ⁺ ≅ [2,2] ⁺から、生成元は{02,1021}、生成元は[3,3]とその生成元は{0,1,2}です。

これらの部分群は、隣接する枝がすべて偶数順序である [3,3] 部分群を持つより大きな Coxeter 群内にも適用されます。

たとえば、[(3,3) ⁺ ,4]、[(3,3) ^⅄ ,4]、[(3,3) ^Δ ,4]はそれぞれ[3,3,4]のサブグループで、インデックスは2、3、6です。[(3,3) ^⅄ ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 ⁺ ,8]、位数128の生成元は、[3,3,4]の生成元{0,1,2,3}から{02,1,3}です。また、[(3,3) ^Δ ,4] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]]、位数64の生成元は{02,1021,3}です。同様に、[3 ^⅄ ,4,3 ^⅄ ] ≅ [(3,3) ^⅄ ,4]です。

また、関連する [3 ^1,1,1 ] = [3,3,4,1 ⁺ ] には三元部分群があります: [3 ^1,1,1 ] ^⅄ = [(3,3) ^⅄ ,4,1 ⁺ ]、順序 64、および 1=[3 ^1,1,1 ] ^Δ = [(3,3) ^Δ ,4,1 ⁺ ] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]] ⁺、順序 32。

中心反転、順序 2 は、次元によって操作が異なります。グループ [ ] ⁿ = [2 ^{n −1} ]は、n 次元空間内のn個の直交ミラー、または高次元空間のn 平坦部分空間を表します。グループ [2 ^{n −1} ]のミラーには⁠ ⁠ という${\displaystyle 0\dots n-1}$番号が付けられます。反転の場合、ミラーの順序は重要ではありません。中心反転の行列は⁠ ⁠${\displaystyle -I}$で、対角に負の 1 がある単位行列です。

この基底から、中心反転はすべての直交ミラーの積として生成元を持ちます。コクセター表記では、この反転グループは各 2 ブランチに交代^{+ を}追加することで表現されます。交代対称性は、コクセター図のノードにオープン ノードとしてマークされます。

Coxeter -Dynkin 図は、ミラー、オープン ノード、共有ダブル オープン ノードの線形シーケンスを定義する明示的な 2 つのブランチでマークアップして、反射ジェネレータの連鎖を示すことができます。

例えば、[2 ⁺ ,2]と[2,2 ⁺ ]は[2,2]のインデックス2の部分群であり、と表され、（または） そして（または）であり、生成子はそれぞれ{01,2}と{0,12}である。それらの共通部分群指数4は[2 ⁺ ,2 ⁺ ]であり、次のように表される。（または）、ダブルオープン2つの交代で共有ノードをマークし、単一のローター反射ジェネレーター{012}をマークします。

回転と回転反射は、プリズム群のすべての反射の単一の単生成子積によって構成されます。[2 p ]×[2 q ]×...ここで、gcd ( p , q ,...)=1 であり、それらは、位数n =2 pqの抽象巡回群Z _nと同型です。

4次元の二重回転[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ]（gcd（p、q）=1）は中心群を含み、コンウェイによって±[C _p ×C _q ]、^[5]次数2 pqとして表現される。コクセター図より、生成器{0,1,2,3}は、[2 p ⁺、2 ⁺、2 q ⁺ ]の2つの生成器を必要とします。{0123,0132}のように。半群[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ] ⁺、または巡回グラフ[(2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ )]、Conwayによって表現されるのは[C _p ×C _q ]、順序はpq、生成元は1つ、{0123}などです。

共通因数fがある場合、二重回転は1 ⁄ f [2 pf ⁺ ,2 ⁺ ,2 qf ⁺ ] （gcd ( p , q )=1）、生成元 {0123,0132}、位数 2 pqfと表すことができます。たとえば、p = q =1、f =2 の場合、1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] は位数 4 です。また、1 ⁄ f [2 pf ⁺ ,2 ⁺ ,2 qf ⁺ ] ⁺、生成元 {0123} は位数pqfです。たとえば、1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺は位数 2 で、中心反転です。

一般に、 n回転群 [2 p ₁ ⁺ ,2,2 p ₂ ⁺ ,2,..., p _n ⁺ ] は、 gcd( p ₁ ,.., p _n )>1 の場合、すべてのミラーの積として最大n 個の生成子を必要とし、その後、連続するペアを交換します。半群 [2 p ₁ ⁺ ,2,2 p ₂ ⁺ ,2,..., p _n ⁺ ] ^{+ に}は、生成子の 2 乗があります。n回転反射も同様です。

奇数次枝元のみを持つ単純群は、位数 2 の回転/並進部分群を 1 つだけ持ち、これは交換子部分群でもあります(例: [3,3] ⁺、[3,5] ⁺、[3,3,3] ⁺、[3,3,5] ⁺ )。偶数次枝を持つ他の Coxeter 群の場合、交換子部分群のインデックスは 2 ^cです(c はすべての偶数次枝が削除されたときの切断された部分グラフの数)。^[6]

たとえば、[4,4] は、4を除くと Coxeter 図に 3 つの独立したノードを持つため、その交換子サブグループのインデックスは 2 ³になり、3 つの⁺演算子を使用したさまざまな表現を持つことができます。[4 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺、[1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ]、[1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ] ⁺、または [(4 ⁺ ,4 ⁺ ,2 ^{+ )]。一般的な表記法では、 +} c をグループ指数として使用して、[4,4] ⁺³のように使用できます。

偶数位数の二面体対称群には、いくつかの部分群がある。この例では、[4]の2つの生成鏡像を赤と緑で示し、すべての部分群を半減、階数削減、およびそれらの直接部分群で調べている。[4]の群は、2 つのミラー ジェネレータ 0 と 1 があります。それぞれが、他方を反射して 2 つの仮想ミラー 101 と 010 を生成します。

[4,4] グループには 15 個の小さなインデックス サブグループがあります。この表には、純粋な反射グループを表す黄色の基本ドメインと、回転ドメインを形成するためにペアになっている白と青のドメインが交互に表示されています。シアン、赤、緑のミラー ラインは、コクセター図の同じ色のノードに対応しています。サブグループ ジェネレータは、基本ドメインの元の 3 つのミラー {0,1,2} の積として表すことができます。これは、コクセター図の 3 つのノードに対応しています。交差する 2 本の反射線の積は、{012}、{12}、または {02} のような回転を作成します。ミラーを削除すると、削除されたミラーを挟んで、{010} や {212} のような隣接するミラーの 2 つのコピーが作成されます。連続した 2 つの回転は、{0101} または {(01) ² }、{1212} または {(02) ² } のように回転順序を半分に減らします。3 つのミラーすべての積は、{012} または {120} のような 透過反射を作成します。

双曲平面上の[6,4]のような偶数次元を持つすべての三角形群上に、同じ15個の小さな部分群の集合が存在する。

コクセター群の放物型部分群は、コクセター図で表される1つ以上の生成鏡を除去することによって識別できる。例えば、八面体群放物線部分群を持つ、、、、、括弧記法では、[4,3]は放物型部分群[4]、[2]、[3]と1つの鏡像群[]を持つ。部分群の位数は既知であり、常に整数因子群位数、またはインデックスである。放物型部分群はxノードで次のように表記することもできる。=[4,3] 2番目のミラーを削除してサブグループを作成します。または== [4,1 ^× ,3] = [2]。

既約コクセター群のペトリ部分群は、すべての生成子の積によって作成できます。これは、正多面体の歪んだ正ペトリ多角形で確認できます。新しい群の位数は、元のコクセター群のコクセター数と呼ばれます。コクセター群のコクセター数は 2 m / nです。ここで、nは階数、m は反射の数です。ペトリ部分群は、上付き文字πを使用して記述できます。たとえば、[3,3] ^{π は、}回転反射によって生成された、巡回群位数 4 の四面体群のペトリ部分群です。階数 4 のコクセター群には、二重回転生成子があり、[4,3,3] ^πは位数 8 です。

コクセターの表記法には、コクセター図内の保型対称性を表す二重角括弧表記法 [[X]] が含まれています。ジョンソンは、山括弧 <[X]> による代替の二重化を追加しました。ジョンソンは、接頭辞対称修飾子 [Y[X]] も追加しました。ここで、Y は [X] のコクセター図の対称性、または [X] の基本領域の対称性のいずれかを表します。

たとえば、3D では、次の長方形と菱形の幾何学的図は同等です。${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$そして、最初のものを角括弧で2倍にして[[3 ^[4] ]]、または2倍にして[2[3 ^[4] ]]となり、[2]、4次の高次の対称性を持つ。2番目を区別するために、2倍には山括弧が使用され、<[3 ^[4] ]>、2倍にして<2[3 ^[4] ]>となり、これも異なる[2]、4次の対称性を持つ。最後に、4つのノードすべてが同等である完全な対称性は[4[3 ^{[4] ]]で表すことができ、}正方形の8次の[4]対称性を持つ。しかし、正方二羽根基本領域を考慮すると、正方形グラフの[4]拡張対称性は、より明示的に[(2 ⁺ ,4)[3 ^[4] ]]または[2 ⁺ ,4[3 ^[4] ]]と表記できる。

巡回および分岐の、、および図にもさらに対称性があります。は正n角形 { n } の2 n次対称性を持ち、[ n [3 ^{[ n ]} ]] で表されます。および はそれぞれ [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] および [3[3 ^2,2,2 ]]で表されますが、は [(3,3)[3 ^{1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3] で表され、図には正}四面体の 24 次対称性{3,3} が含まれます。 パラコンパクト双曲群= [3 ^1,1,1,1,1 ]、${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$${\displaystyle D_{3}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$${\displaystyle D_{3}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$${\displaystyle {\bar {L}}_{5}}$は、 5セルの対称性{3,3,3}を含むため、[(3,3,3)[3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3]と表されます。

上付きアスタリスク*は事実上逆の操作であり、奇数次のミラーの連結を取り除いたラジカル部分群を作成する。 ^[7]

例:

生成子を見ると、二重対称性は、Coxeter 図の対称位置をマップする新しい演算子を追加し、いくつかの元の生成子を冗長にするものとして見られます。3D空間群、および 4D 点群の場合、Coxeter は [[X]] のインデックス 2 サブグループ [[X] ⁺ ] を定義し、これを [X] の元の生成子と倍加生成子の積として定義します。これは、[[X]] のカイラル サブグループである [[X]] ⁺に似ています。そのため、たとえば 3D 空間群 [[4,3,4]] ⁺ (I432, 211) と [[4,3,4] ⁺ ] (Pm 3 n, 223) は [[4,3,4]] (Im 3 m, 229) の異なるサブグループです。

1次元では、双対群[ ]は単一のミラー対称性、抽象Dih ₁またはZ ₂、対称順序2を表します。これは、単一のノードを持つコクセター-ディンキン図として表されます。恒等群は直接部分群 [ ] ⁺、Z ₁、対称位数1である。上付き文字+は、交互の鏡映が無視され、この最も単純なケースでは恒等群のままであることを意味する。コクセターは、交互を表すために単一の開いたノードを使用した。。

2次元では、直角群[2]、抽象的なD ₂ ²またはD _4は、直積[ ]×[ ]として表すこともできます。これは、2つの双対群の積であり、コクセター図を持つ2つの直交鏡を表します。、位数は4である。[2]の2は、コクセター図の直交部分グラフの線形化から来ており、2. 明示的な分岐順序を持つ菱形群、[2] ⁺ (または）、長方形群の半分、点反射対称性、Z ₂、順序 2。

Coxeter表記では、下位のグループに1のプレースホルダーが許されるため、[1]は[ ]と同じであり、[1 ⁺ ]または[1] ^{+は[ ] +}と同じであり、Coxeter図。

完全p角群[p]、抽象二面体群D _{2 p}、（p>2のときは非可換）、位数2 pは、角度π / pの2つの鏡によって生成され、コクセター図で表される。回転角 π / pによって生成される、位数pのp角部分群[p] ⁺、巡回群 Z _p。

コクセター記法は、二重括弧を使用して、基本領域に二分ミラーを追加することで、対称性の自己同型 倍加を表します。たとえば、[[p]] は [p] に二分ミラーを追加し、[2p] と同型です。

極限では、1次元まで下がると、角度がゼロになると完全なアピロゴナル群が得られるので、[∞]、抽象的には無限二面体群D _{∞ は}2つの平行な鏡像を表し、コクセター図を持つ。。アペイロゴナル群[ ∞] ⁺、抽象的には、整数の加法群と同型な無限巡回群Z _{∞ は}、単一の非ゼロ変換によって生成されます。

双曲平面には、完全な擬角群[ iπ/λ ] と擬角部分群[ iπ/λ ] ⁺があり、これらのグループは、辺の長さが λ である正無限辺多角形に存在します。鏡はすべて 1 本の直線に直交します。

3次元の点群は、ランク3のコクセター群に関連する括弧表記で表現できます。

3次元では、完全な直方体群または直角直角群[2,2]、抽象的にはZ ₂ ³、位数8は、3つの直交鏡像（コクセター図では3つの別々の点として表される）を表す。）。これは直積[ ]×[ ]×[ ]として表すこともできますが、[2,2]式ではサブグループを定義できます。

まず、「半直接」部分群である斜方晶群、[2,2 ⁺ ] (または）、抽象的にはZ ₂ × Z ₂、次数4である。括弧内に+の上付き文字が与えられている場合は、隣接するミラーからのみ生成される反射を意味する（コクセター図で定義されるように、) は交互に並んでいます。一般に、 +ノードに隣接する枝の順序は偶数でなければなりません。この場合、[2,2 ⁺ ] と [2 ⁺ ,2] は、幾何学的に異なる 2 つの同型部分群を表します。他の部分群は、パラロンビック群[2,2] ⁺ (または）、また順序は4、そして最後に中心群[2 ⁺ ,2 ⁺ ]（または）の順序は2です。

次に、完全な直交p角群、[2,p] (）は、抽象的には Z ₂ ×D _{2 p}、位数 4p で、2 つの鏡が二面角π/ pで交わり、どちらも 3 番目の鏡に直交していることを表す。これは、コクセター図によって次のようにも表される。。

直接部分群は、パラp-角群[2,p] ⁺ (または）、抽象的には D _{2 p}、位数 2p であり、別の部分群は [2,p ⁺ ] （) 抽象的には Z ₂ × Z _p、これも位数 2p です。

完全なジャイロ-p-ゴナル群、[2 ⁺ ,2 p ] (または）、抽象的には D _{4 p}、位数 4 p。ジャイロpゴナル群、[2 ⁺ ,2p ⁺ ] (または）、抽象的には位数2 pのZ _{2 p}^{は、[2 +} ,2 p ]と[2,2 p ⁺ ]の両方の部分群です。

多面体群はプラトン立体の対称性に基づいています。正四面体、正八面体、立方体、正二十面体、正十二面体で、それぞれシュレーフリ記号{3,3}、{3,4}、{4,3}、{3,5}、{5,3}で表されます。これらのコクセター群は次のとおりです: [3,3] (）、 [3,4] （）、 [3,5] （）は、完全四面体対称性、八面体対称性、二十面体対称性と呼ばれ、順序はそれぞれ 24、48、120 です。

これらの対称性すべてにおいて、交互の反射は除去され、回転四面体[3,3] ⁺ (）、八面体 [3,4] ⁺ (）、正二十面体[3,5] ⁺ () のグループには、12、24、60 の位数があります。八面体群には、ピリトヘドラル対称性グループと呼ばれる一意の指数 2 のサブグループもあります。[3 ⁺ ,4] (または) は、回転対称性と反射対称性が混在する 12 次対称性を持つ。ピリトヘドロン対称性は、イコサヘドロン対称性の指数 5 の部分群でもある。-->、仮想ミラー1は0、{010}、3倍回転 は{12}です。

四面体群[3,3]（）には、2倍の[[3,3]]（色付きのノードで表すことができる）があります。）、最初のミラーと最後のミラーを互いにマッピングし、[3,4]（または) 群。サブグループ [3,4,1 ⁺ ] (または) は [3,3] と同じであり、[3 ⁺ ,4,1 ⁺ ] (または^{) は [3,3] +}と同じです。

ユークリッド平面には3つの鏡によって生成される3つの基本的な反射群があり、コクセター図で表されます。、、 そしてであり、コクセター表記では[4,4]、[6,3]、[(3,3,3)]となる。最後のグループの括弧は図の循環を意味し、[3 ^[3] ]という略記法も用いられる。

[[4,4]]は[4,4]群の2倍として、元のミラーセットからπ/4回転した同じ対称性を生み出しました。

回転対称性の直接部分群は、[4,4] ⁺、[6,3] ⁺、[(3,3,3)] ⁺です。[4 ⁺ ,4] と [6,3 ⁺ ] は半直接部分群です。

Coxeter 記法 (オービフォールド記法) で表すと、いくつかの低指数アフィン部分群は次のようになります。

ランク4グループは4次元点群を定義します。

ランク4グループは3次元線グループも定義しました。

ランク 4 グループは 4 次元の二重直角群を定義します。p と q が無限大に近づくと、2 次元と壁紙群に退化します。

ランク 4 グループは、4 次元デュオプリズム グループの極限ケースとして、 2 次元壁紙グループのいくつかも定義しました。

[∞,2,∞]、(*2222)の部分群は、その指数16の交換子部分群まで表現できます。

コクセター記法は複素空間C ⁿに拡張され、ノードは周期 2 以上のユニタリ反射です。ノードにはインデックスが付けられ、省略されている場合は通常の実反射の 2 とみなされます。複素反射群はコクセター群ではなくシェパード群と呼ばれ、複素多面体の構築に使用できます。

では、ランク1のシェパードグループ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$p次の は_p [ ]、[ ] _pまたは ] _p [と表されます。これは単一の生成元を 持ち、複素平面で2 π / pラジアン回転を表します。${\displaystyle e^{2\pi i/p}}$

コクセターは階数2の複素群を書き、_p [ q ] _rはコクセター図を表す。 pとrは両方とも2の場合にのみ抑制されるべきであり、これが実際のケースである[ q ]。階数2のグループ_p [ q ] _rの位数はである。^[9]${\displaystyle g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

_複雑な多角形を生成するランク2の解は、コクセター図で_p [4] ₂ ( pは2,3,4,...)、3 [ ₃ ] _{3、3 [} 6 ] _2、3 [ 4 ] 3、4 [3] 4、3 [8 _] 2、4 _[ 6 _] 2、4 _[ 4 _] 3、3 _{[ 5 ]} 3、5 _[ 3 _] 5、3 _{[ 10} ] _{2、5 [} 6 _] 2 _、および5 _[ 4] ₃である_。、、、、、、、、、、、、。

無限群は₃ [12] ₂、₄ [8] ₂、₆ [6] ₂、₃ [6] ₃、₆ [4] ₃、₄ [4] ₄、および₆ [3] ₆または、、、、、、。

実反射を除去すると、インデックス 2 の部分群が存在します: _p [2 q ] ₂ → _p [ q ] _p 。また、 4 つの枝に対してインデックスr の部分群が存在します: _p [4] _r → _p [ r ] _p。

無限族_p [4] ₂（任意のp = 2, 3, 4,...）には、 _p [4] ₂ → [ p ]（インデックスp）と_p [4] ₂ → _p [ ]× _p [ ]（インデックス2）の2つの部分群が存在します。

コクセター図で表されるコクセター群 では、分岐順序として Coxeter 記法 [p,q] が与えられます。Coxeter 図の各ノードはミラーを表し、慣例により ρ _i (および行列 R _i ) と呼ばれます。このグループ [p,q] の生成元は反射です: ρ ₀、 ρ ₁、および ρ ₂。回転部分対称性は反射の積として与えられます: 慣例により、 σ _0,1 (および行列 S _0,1 ) = ρ ₀ ρ _{1 は}角度 π/p の回転を表し、 σ _1,2 = ρ ₁ ρ _{2 は}角度 π/q の回転を表し、 σ _0,2 = ρ ₀ ρ _{2 は}角度 π/2 の回転を表します。

[p,q] ⁺ ,は、2つの回転生成子によって表されるインデックス2のサブグループです。各生成子は、2つの反射の積、σ _0,1、σ _1,2、およびで、それぞれ π/ p角度と π/ q角度の回転を表します。

1つの偶数枝[ p ⁺ ,2 q ]の場合、または_{は、回転生成子 σ 0,1}と反射子 ρ ₂によって表される、インデックス 2 の別のサブグループです。

偶数枝の場合、[2 p ⁺ ,2 q ⁺ ]、は、2 つの生成元を持つ指数 4 のサブグループであり、3 つの反射行列すべての積として構築されます。慣例により、 ψ _0,1,2および ψ _1,2,0となり、これらは回転反射であり、反射と回転または反射を表します。

次のようなアフィンコクセター群の場合、、 または、通常は最後のミラーが原点から平行移動される。平行移動生成器 τ _0,1（および行列 T _0,1）は、アフィン反射を含む2つ（または偶数）の反射の積として構築される。トランス反射（反射と平行移動）は、指数4の部分群のように、奇数回の反射 φ _0,1,2（および行列 V _0,1,2）の積になることがある。: [4 ⁺ ,4 ⁺ ] =。

慣例的に ζ (および行列 Z) と呼ばれる別の合成生成子は、点をその逆元に写す逆元を表す。[4,3] および [5,3] の場合、 ζ = (ρ ₀ ρ ₁ ρ ₂ ) ^h/2であり、hはそれぞれ 6 および 10 で、各族のCoxeter 数である。3D Coxeter 群 [p,q] ()、このサブグループは回転反射[2 ⁺ ,h ⁺ ]です。

コクセター群は、コクセター-ディンキン図のノードの数であるランクによって分類されます。群の構造は、抽象群の種類とともに示されます。この記事では、抽象二面体群はDih _nとして表され、巡回群はZ _{n （} Dih ₁ = Z _{2 ）}で表されます。

例えば、2次元では、コクセター群[ p ] (_{) は 2 つの反射行列 R 0}と R ₁で表され、周期対称性 [ p ] ⁺ (_{）は行列S 0,1}の回転生成器によって表される。

有限ランク3コクセター群は[1, p ]、[2, p ]、[3,3]、[3,4]、[3,5]である。

点を平面（原点を通る）に反射させるには、 を使用します。ここで、は 3×3 単位行列、 は平面のベクトル法線の3 次元単位ベクトルです。とのL2 ノルムが 1 の場合、変換行列は次のように表すことができます。 ${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]}$

可約3次元有限鏡映群は二面対称性、[ p ,2]、位数4 p、反射生成子は行列 R ₀、 R ₁、 R ₂である。 R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =恒等式。 [ p ,2] ⁺ () は、 3 つの回転のうち 2 つ、つまり S _0,1、 S _1,2、および S _{0,2によって生成されます。} p 次回転反射は、 3 つの反射すべての積であるV _0,1,2によって生成されます。

最も単純な既約3次元有限鏡映群は四面体対称性、[3,3]、位数24である。反射生成器は、D ₃ =A ₃構成から、行列 R ₀、R ₁、R ₂である。R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =恒等式。[3,3] ⁺ () は、 3 つの回転のうち 2 つ、つまり S _0,1、 S _1,2、および S _{0,2によって生成されます。[2} ⁺ ,4] と同型で、次数 8の三次部分群は、 S _0,2と R ₁によって生成されます。次数 4 の回転反射は、 3 つの反射すべての積である V _0,1,2によって生成されます。

もう一つの既約な3次元有限鏡映群は八面体対称性である[4,3]、位数48、反射生成行列は R ₀、 R ₁、 R ₂である。 R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁴ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =恒等式。 カイラル八面体対称性、[4,3] ⁺、(_{) は、 3 つの回転のうち 2 つ、 S 0,1}、 S _1,2、 S _0,2によって生成されます。ピリトヘドロン対称性[4,3 ⁺ ]、(_{) は反射 R 0}と回転 S _1,2によって生成されます。6 倍の回転反射は、3 つの反射すべての積である V _{0,1,2によって生成されます。}

最終的な既約3次元有限鏡映群は正20面体対称性、[5,3]、次数120、反射生成行列は R ₀、 R ₁、 R ₂である。 R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁵ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =恒等式。 [5,3] ⁺ () は、 3 つの回転のうち 2 つ、つまり S _0,1、 S _1,2、および S _0,2によって生成されます。 10 倍の回転反射は、 3 つの反射すべての積である V _0,1,2によって生成されます。

4次元には4つの既約コクセター群[3,3,3]、[4,3,3]、[3 ^1,1,1 ]、[3,4,4]、[5,3,3]があり、また無限の二重直角群族[ p ,2, q ]も存在します。

二重プリズマティック群[ p ,2, q ]の位数は4 pqです。

二重柱状群は、2 つの平面間で 2 回転して、 8 p ^{2まで順序を 2 倍にすることができます。}

超四面体対称性[3,3,3]、順序120は、[4,3,3,3]のサブグループとして、5次元の4つのミラーで表現するのが最も簡単です。

拡張群[[3,3,3]]、位数240は、2倍回転行列Tによって2倍化され、ここでは座標の順序と符号が反転されます。生成元は3つあります{T、R ₀、R ₁ }。Tは自己相反的であるため、R ₃ =TR ₀ T、R ₂ =TR ₁ T です。

既約な4次元有限鏡映群は超八面体群（または16セルの場合は16十六面体群）、B ₄ =[4,3,3]、位数384、反射生成行列は、R ₀、R ₁、R ₂、R ₃です。R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =R ₃ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁴ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₂ ×R ₃ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =(R ₁ ×R ₃ ) ² =(R ₀ ×R ₃ ) ² =恒等式です。

カイラル超八面体対称性、[4,3,3] ⁺、(_{) は、 6 つの回転のうち 3 つ、つまり S 0,1}、 S _1,2、 S _2,3、 S _0,2、 S _1,3、および S _0,3によって生成されます。超ピリトヘドラル対称性[4,(3,3) ⁺ ]、(_{) は反射 R 0}と回転 S _1,2および S _2,3によって生成されます。8 倍の二重回転は、 4 つの反射すべての積である W _0,1,2,3によって生成されます。

[4,3,3]の半群は[3,3 ^1,1 ]であり、、順序192。[4,3,3]グループと3つのジェネレータを共有しますが、隣接するジェネレータのコピーが2つあり、1つは削除されたミラーを介して反射されます。

既約な4次元有限鏡映群は、イコシテトラコリック群（24セルの場合）、F ₄ =[3,4,3]、位数1152、反射生成行列は、R ₀、R ₁、R ₂、R ₃です。R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =R ₃ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ = (R ₁ × R ₂ ) ⁴ =(R ₂ ×R ₃ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =(R ₁ ×R ₃ ) ² =(R ₀ ×R ₃ ) ² =恒等式です。

カイラルイコシテトラコリック対称性、[3,4,3] ⁺、(_{) は、 6 つの回転のうち 3 つ、 S 0,1}、 S _1,2、 S _2,3、 S _0,2、 S _1,3、および S _0,3によって生成されます。イオン性減少 [3,4,3 ⁺ ] グループ、 (_{) は反射 R 0}と回転 S _1,2および S _2,3によって生成されます。12 倍の二重回転は、 4 つの反射すべての積である W _{0,1,2,3によって生成されます。}

群[[3,4,3]]は[3,4,3]を2回回転T、倍加順序で2304まで拡張する。

超二十面体対称性、[5,3,3]、次数14400、反射生成行列は R ₀、 R ₁、 R ₂、 R ₃です。 R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =R ₃ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁵ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₂ ×R ₃ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =(R ₀ × R ₃ ) ² =(R ₁ ×R ₃ ) ² =恒等式です。 [5,3,3] ⁺ () は 3 回の回転によって生成されます: S _0,1 = R ₀ ×R ₁、 S _1,2 = R ₁ ×R ₂、 S _2,3 = R ₂ ×R ₃、など。

E8コクセターグループ[3 ^4,2,1 ]、、8つのミラーノードを持ち、順序は696729600（192x10！）。E7とE6、[3 ^3,2,1 ]、、および[3 ^2,2,1 ]、それぞれ最初のミラーまたは最初の 2 つのミラーを無視することによって構築できます。

アフィン行列は、追加の行と列を追加することによって表され、最後の行は最後のエントリ 1 を除いてゼロになります。最後の列は変換ベクトルを表します。

アフィン群[∞]、は、x=0 と x=1 の 2 つの反射行列で表されます。

アフィン群[4,4]、、（p4m）は、x軸（y = 0）を横切る反射、対角線（x = y）を横切る反射、および直線（x = 1）を横切るアフィン反射の3つの反射行列で表すことができます。[4,4] ⁺（_{) (p4) は S 0,1} S _1,2、および S _0,2によって生成されます。[4 ⁺ ,4 ⁺ ] () (pgg) は、２回回転 S _0,2とすべり反射（透過反射） V _0,1,2によって生成される。[4 ⁺ ,4] () (p4g) は S _0,1と R ₃によって生成される。グループ [(4,4,2 ⁺ )] () (cmm) は、2回回転 S _1,3と反射 R ₂によって生成されます。

アフィン群[3,6]、、(p6m)は、x軸(y=0)、線y=(√3/2)x、および垂直線x=1を横切る反射の3つの反射行列によって表すことができます。

アフィン群[3 ^[3] ]は、R _{2 はR' 2} = R ₂ ×R ₁ ×R ₂に置き換えられ、超平面 y+(√3/2)x=2 で表されます。基本領域は、辺の長さが 2の正三角形です。

アフィン群は[4,3,4]（) は、4 つの反射行列で表すことができます。ミラー R ₀は、z=0 平面上に配置できます。ミラー R _{1 は、} y=z 平面上に配置できます。ミラー R _{2 は}、x=y 平面上に配置できます。ミラー R _{3 は}、x=1 平面上に配置できます。[4,3,4] ⁺ () は S _0,1、 S _1,2、および S _2,3によって生成されます。

拡張群[[4,3,4]]は、点(1,1/2,0)と(1/2,1/2,1/2)を通る固定軸を持つ2倍回転行列Tを追加して、群の順序を2倍にします。生成元は{R ₀ ,R ₁ ,T}です。R ₂ = T×R ₁ ×TおよびR ₃ = T×R ₀ ×Tです。

群[4,3 ^{1,1 ]は[4,3,4]から[4,3,4,1 +} ]を計算することで構築できる。_{R' 3} =R ₃ ×R ₂ ×R ₃となり、新しい R' _{3 は}R _{3を横切る R 2}の像となります。

群[3 ^{[4] ]は[4,3,4]から最初のミラーと最後のミラー[1 +} ,4,3,4,1 ⁺ ]を除去することによって構成できる。R' ₁ =R ₀ ×R ₁ ×R ₀かつR' ₃ =R ₃ ×R ₂ ×R ₃である。

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• 物事の対称性2008、ジョン H. コンウェイ、ハイディ バーギエル、チャイム グッドマン シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5第 22 章35 個の素空間群、第 25 章184 個の複合空間群、第 26 章さらに高次の4D 点群