テンソル

数学において、テンソルは、ベクトル空間に関連する代数オブジェクトのセット間の多重線型関係を記述する代数オブジェクトです。テンソルは、ベクトル、スカラー、さらには他のテンソルなどの異なるオブジェクト間でマッピングできます。スカラーとベクトル（最も単純なテンソル）、デュアルベクトル、ベクトル空間間の多重線型マッピング、さらにはドット積などの一部の演算など、多くの種類のテンソルがあります。テンソルは基底とは独立して定義されますが、特定の座標系に関連する基底の成分によって参照されることがよくあります。これらの成分は配列を形成し、高次元行列と考えることができます。

テンソルは、力学（応力、弾性、量子力学、流体力学、慣性モーメントなど）、電気力学（電磁テンソル、マクスウェルテンソル、誘電率、磁化率など）、一般相対性理論（応力エネルギーテンソル、曲率テンソルなど）などの分野における物理学の問題を定式化して解決するための簡潔な数学的枠組みを提供するため、物理学において重要になっています。応用面では、物体の各点で異なるテンソルが発生する可能性がある状況を研究することが一般的です。たとえば、物体内の応力は場所によって異なる場合があります。これがテンソル場の概念につながります。一部の分野では、テンソル場は非常に普及しているため、単に「テンソル」と呼ばれることがよくあります。

1900年に、トゥリオ・レヴィ＝チヴィタとグレゴリオ・リッチ＝クルバストロは、ベルンハルト・リーマン、エルヴィン・ブルーノ・クリストッフェルらによる初期の研究を引き継ぎ、絶対微分積分学の一部としてテンソルを普及させた。この概念により、多様体の固有の微分幾何学をリーマン曲率テンソルの形で別の形で定式化することが可能になった。^[1]

一見異なっているように見えますが、テンソルを定義するさまざまなアプローチは、異なる言語と異なる抽象化レベルを使用して同じ幾何学的概念を記述します。

テンソルは、配列（多次元の場合もある）として表すことができます。n次元空間のベクトルが、与えられた基底に関してn個の成分を持つ1 次元配列で表されるのと同様に、基底 に関するテンソルは多次元配列によって表されます。たとえば、線形演算子は、基底 では 2 次元の正方n × n配列として表されます。多次元配列内の数字は、テンソルの成分と呼ばれます。これらは、テンソルの記号名の後に、配列内の位置を示す添え字 と上付き文字 で示されます。たとえば、2 次テンソルTの成分は 、T _ij （ iとjは1からnまでの添え字）で表されます。または、T ^私
_はインデックスが上付き文字として表示されるか下付き文字として表示されるかは、以下で説明するテンソルの変換特性に依存します。したがって、T _ijとT ^私
_はどちらもn行n列の行列として表現でき、インデックス操作によって数値的に関連付けられていますが、変換法則の違いにより、これらを加算するのは不適切であることがわかります。

各成分を一意に識別するために必要なインデックスの総数（m ）は、配列の次元または方法の数に等しいため、テンソルはm次元配列またはm方向配列と呼ばれることもあります。インデックスの総数は、テンソルの順序、次数、またはランクとも呼ばれますが、 ^{[2] [3] [4]}「ランク」という用語は、一般に行列とテンソルの文脈では 別の意味を持ちます。

ベクトル空間の基底を変更するとベクトルの成分が変化するのと同様に、テンソルの成分もそのような変換によって変化します。各タイプのテンソルには、テンソルの成分が基底の変更にどのように反応するかを詳細に規定する変換法則が備わっています。ベクトルの成分は、基底の変更に対して 2 つの異なる方法で反応します(ベクトルの共変性と反変性を参照)。新しい基底ベクトルは、古い基底ベクトルを使って次のように表現されます。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf { e} _{j}R_{i}^{j}.}$

ここでR ^j _{i は}基底変換行列の要素であり、右端の式では和の符号が省略されている。これはアインシュタインの和の慣例であり、この記事全体で使用されている。^{[注 1]}列ベクトルvの 成分v ⁱは行列Rの逆行列で変換される。

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

ここで、ハットは新しい基底の成分を表す。ベクトル成分は基底の変化の逆数で変換されるため、これは反変変換則と呼ばれる。対照的に、共ベクトル（または行ベクトル）wの成分w _iは、行列R自体で変換される。

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

これは共変変換法則と呼ばれます。共ベクトル成分が基底行列の変更と同じ行列によって変換されるためです。より一般的なテンソルの成分は、共変変換と反変変換の組み合わせによって変換され、各インデックスに 1 つの変換法則があります。インデックスの変換行列が基底変換の逆行列である場合、インデックスは反変と呼ばれ、通常、上付きインデックス (上付き文字) で示されます。インデックスの変換行列が基底変換自体である場合、インデックスは共変と呼ばれ、下付きインデックス (下付き文字) で示されます。

簡単な例として、基底に関する線形演算子の行列は、基底行列の変化によって によって変換される 長方形配列です。個々の行列要素について、この変換法則は という形式を持ちます。したがって、線形演算子の行列に対応するテンソルは、1 つの共変インデックスと 1 つの反変インデックスを持ちます。これは、(1,1) 型です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$

同じインデックスを持つ共変成分と反変成分の組み合わせにより、幾何学的不変量を表現できます。たとえば、ベクトルが異なる座標系で同じオブジェクトであるという事実は、上で定義した式を使用して、次の式で表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right )_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R ^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j} ^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\ mathbf {e} _{i}}$、

ここで、はクロネッカーのデルタで、単位行列 と同様に機能し、インデックスの名前を変更する効果があります (この例では、 jがkに変更されます)。これは、コンポーネント表記のいくつかの特徴を示しています。つまり、項を自由に並べ替える機能 (可換性)、同じ式で複数のオブジェクトを操作するときに異なるインデックスを使用する必要があること、インデックスの名前を変更する機能、反変テンソルと共変テンソルを組み合わせて変換行列とその逆のすべてのインスタンスが打ち消されるようにする方法です。そのため、 のような式は、すべての座標系で幾何学的に同一であることがすぐにわかります。 ${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$

同様に、線形演算子は、幾何学的オブジェクトとして見ると、実際には基底に依存しません。線形演算子は、ベクトルを引数として受け取り、別のベクトルを生成する単なる線形マップです。線形演算子の成分の行列が基底とともにどのように変化するかに関する変換法則は、反変ベクトルの変換法則と一致しているため、反変ベクトルに対する線形演算子の作用は、それぞれの座標表現の行列積として座標で表されます。つまり、成分はで与えられます 。これらの成分は、次の理由により反変的に変換されます。 ${\displaystyle (Tv)^{i}}$${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

したがって、 p個の反変インデックスとq個の共変インデックスを持つp + q次テンソルの変換法則は次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

ここで、プライム付きのインデックスは新しい座標の成分を示し、プライムなしのインデックスは古い座標の成分を示します。このようなテンソルは、順序または型 ( p , q )であると言われます。「順序」、「型」、「ランク」、「価数」、「次数」という用語は、すべて同じ概念に使用されることがあります。ここで、「順序」または「全順序」という用語は、配列の合計次元 (または他の定義でのその一般化)、前の例ではp + qに使用され、「型」という用語は、反変インデックスと共変インデックスの数を示すペアに使用されます。型( p , q )のテンソルは、略して( p , q )テンソルとも呼ばれます。

この議論から、次のような正式な定義が導かれる。^{[5] [6]}

定義。型 ( p , q ) のテンソルは多次元配列の割り当てである。

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

n次元ベクトル空間の各基底f = ( e ₁ , ..., e _n )に対して、基底変換を適用すると、

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

多次元配列は変換法則に従う

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

変換則を満たす多次元配列としてのテンソルの定義は、リッチの研究に遡ります。^[1]

テンソルの同等の定義は、一般線型群の表現を使用する。n次元ベクトル空間のすべての順序付き基底の集合に対する一般線型群の作用が存在する。が順序付き基底で、が可逆行列である場合、作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

F をすべての順序付き基底の集合とする。するとFはGL( n )の主同次空間となる。Wをベクトル空間とし、 をW上の GL( n )の表現（つまり群準同型）とする。すると 型のテンソルは同変写像となる。ここで同変とは、 ${\displaystyle \rho}$ ${\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)}$${\displaystyle \rho}$ ${\displaystyle T:F\to W}$

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

が一般線型群のテンソル表現である場合、これは多次元配列としてのテンソルの通常の定義を与える。この定義は多様体上のテンソルを記述するためによく使用され、^[7]他の群にも容易に一般化できる。^[5]${\displaystyle \rho}$

多次元配列アプローチを用いたテンソルの定義の欠点は、定義されたオブジェクトが本質的に幾何学的なオブジェクトから期待されるように、基底に依存しないことが定義からは明らかではないことです。変換法則が基底からの独立性を確かに保証することを示すことは可能ですが、より本質的な定義が好まれる場合もあります。微分幾何学で一般的なアプローチの 1 つは、固定された (有限次元) ベクトル空間Vを基準としてテンソルを定義することです。これは通常、多様体の接空間のような幾何学的に重要な特定のベクトル空間と見なされます。 ^[8] このアプローチでは、タイプ( p , q )テンソルTは多重線型マップとして定義されます。

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbf {R} ,}$

ここで、V ^{∗ は}対応する共ベクトルの双対空間であり、各引数について線型です。上記では、V が実数、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$上のベクトル空間であると仮定しています。より一般的には、V は任意の体 F (例:複素数)上でとることができ、 Fは⁠ ⁠ を${\displaystyle \mathbb {R} }$多重線型マップの共領域として 置き換えます。

( p , q )型の多重線型写像TをVの基底{ e _j }とV ^∗の標準共基底{ ε ⁱ }に適用することにより、

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

( p + q )次元の成分配列が得られます。基底の選択を変えると、異なる成分が生成されます。しかし、T はすべての引数が線形であるため、成分は多重線形配列の定義で使用されるテンソル変換法則を満たします。したがって、 Tの成分の多次元配列は、その定義に従ってテンソルを形成します。さらに、このような配列は、何らかの多重線形マップTの成分として実現できます。これが、多重線形マップをテンソルの基礎となる固有のオブジェクトとして見る動機になります。

テンソルを多重線型写像として見る場合、ベクトル空間Vの二重双対 V ^∗∗、すなわち、双対ベクトル空間V ^∗上の線型関数の空間をベクトル空間Vと同一視するのが慣例である。 Vからその二重双対への自然な線型写像が常に存在し、これはV ^{∗の線型形式を}Vのベクトルに対して評価することによって与えられる。この線型写像は有限次元における同型であり、その場合、 V をその二重双対と 同一視することがしばしば便宜的である。

いくつかの数学的応用では、より抽象的なアプローチが役に立つ場合があります。これは、ベクトル空間のテンソル積の要素に基づいてテンソルを定義することで実現できます。テンソル積は、ここでおよびここで説明されているように、普遍的な性質を通じて定義されます。

この文脈では、( p , q )型テンソルはベクトル空間のテンソル積の要素として定義される。^{[9] [10]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

Vの基底v _iとWの基底w _{j は}、テンソル積V ⊗ Wの基底v _i ⊗ w _{j を}自然に誘導する。テンソルTの成分は、 Vの基底{ e _i }とその双対基底{ ε ^j }から得られる基底に関するテンソルの係数である。つまり、

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

テンソル積の特性を利用すると、これらの成分が( p , q )型テンソルの変換法則を満たすことが示されます。さらに、テンソル積の普遍的特性により、このように定義されたテンソルと多重線型写像として定義されたテンソルとの間に 1 対 1 の対応が与えられます。

この 1 対 1 の対応は、有限次元の場合、ベクトル空間とその二重双対の間に標準同型が存在するため、次のようにして実現できます。

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

最後の行は、テンソル積の普遍的性質、すなわち、とからの写像の間には1対1の対応関係があるという性質を利用している。^[11]${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$

テンソル積は、たとえば環上の任意のモジュールを含むなど、非常に一般的に定義できます。原則として、「テンソル」を単に任意のテンソル積の要素として定義できます。ただし、数学の文献では通常、テンソルという用語は、上記のように、単一のベクトル空間Vとその双対の任意の数のコピーのテンソル積の要素に対して使用されます。

これまでのテンソルの議論では、関係する空間の次元が有限であることを前提としており、それぞれの構成によって得られるテンソルの空間は自然に同型である。^{[注 2]} テンソル積と多重線型写像に基づくテンソルの空間の構成は、本質的に変更することなく、ベクトル束またはコヒーレント層に一般化できる。^[12] 無限次元ベクトル空間の場合、同値でない位相は同値でないテンソルの概念につながり、これらのさまざまな同型性は、テンソルが正確に何を意味するかによって成立する場合と成立しない場合がある（位相テンソル積を参照）。一部のアプリケーションでは、ヒルベルト空間のテンソル積が対象とされており、その特性は有限次元の場合に最も類似している。より現代的な見方では、それらのカテゴリの特定のモデルではなく、対称モノイドカテゴリとしてのテンソルの構造が、それらの最も重要な特性をエンコードしているという。 ^[13]

多くの応用、特に微分幾何学や物理学では、空間内の点の関数である成分を持つテンソルを考えるのが自然です。これがリッチの元の研究の設定でした。現代の数学用語では、そのようなオブジェクトはテンソル場と呼ばれ、単にテンソルと呼ばれることがよくあります。^[1]

この文脈では、接ベクトル空間に対して座標基底が選択されることが多い。変換則は、座標関数の 偏微分によって表現される。

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

座標変換の定義、^[1]

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

後のテンソル解析の概念は、カール・フリードリヒ・ガウスの微分幾何学の研究から生まれ、その定式化は19世紀半ばに開発された代数形式と不変量の理論に大きく影響を受けました。 ^[14] 「テンソル」という言葉自体は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入されました^[15 ]。これは、現在のテンソルの意味とは異なるものを説明するために使われました。^{[注 3]}ギブスは、ダイアディック代数とポリアディック代数を導入しましたが、これらも現代的な意味でのテンソルです。^[16]現代的な用法は、1898年にウォルデマール・フォークトによって導入されました。^[17]

テンソル計算は、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロによって1890年頃に絶対微分計算という名称で開発され、リッチ＝クルバストロによって1892年に初めて発表されました。^[18] リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタによる1900年の古典的テキスト「絶対微分計算の方法とその応用」の出版により、多くの数学者が利用できるようになりました。^[19]リッチの表記法では、共変成分と反変成分を持つ「システム」を指しており、これは現代の意味でのテンソル場として知られています。^[16]

20世紀には、この主題はテンソル解析として知られるようになり、1915年頃にアインシュタインの一般相対性理論が導入されたことで広く受け入れられるようになった。一般相対性理論は完全にテンソルの言語で定式化されている。アインシュタインは、幾何学者のマルセル・グロスマンから非常に苦労してテンソルについて学んだ。^[20] その後、レヴィ＝チヴィタはアインシュタインとの文通を開始し、アインシュタインがテンソル解析の使用で犯した間違いを訂正した。この文通は1915年から1917年まで続き、相互の尊敬によって特徴づけられた。

あなたの計算方法の優雅さに感心しています。私たちのような人間が苦労して歩いて進まなければならない間、真の数学の馬に乗ってこれらの分野を進むのはきっと楽しいことでしょう。

— アルバート・アインシュタイン^[21]

テンソルとテンソル場は、連続体力学などの他の分野でも有用であることがわかった。微分幾何学におけるテンソルのよく知られた例としては、計量テンソルなどの二次形式や、リーマン曲率テンソルなどがある。19世紀半ばのヘルマン・グラスマンの外積代数は、それ自体がテンソル理論であり、高度に幾何学的であるが、微分形式の理論とともに、テンソル計算と自然に統合されると考えられるようになるまでにはしばらく時間がかかった。エリー・カルタンの研究により、微分形式は数学で使用される基本的な種類のテンソルの1つとなり、ハスラー・ホイットニーはテンソル積を普及させた。^[16]

1920 年代頃から、テンソルが代数的位相幾何学で基本的な役割を果たすことが認識されました(たとえば、キュ​​ネスの定理)。^{[22]それに応じて、}抽象代数の多くの分野、特にホモロジー代数と表現論で機能するテンソルの種類があります。 多重線型代数は、体から来るスカラーよりも一般性が高く展開できます。たとえば、スカラーは環から来ることができます。しかし、その場合、理論は幾何学的ではなく、計算はより技術的でアルゴリズム的ではありません。^[23]テンソルは、1960 年代からモノイドカテゴリの概念によってカテゴリ理論 内で一般化されました。 ^[24]

テンソルとして記述できるマッピングの基本的な例は、2 つのベクトルをスカラーにマッピングするドット積です。より複雑な例は、コーシー応力テンソル Tです。これは、方向の単位ベクトルv を入力として受け取り、それを応力ベクトルT ^{( v )にマッピングします。応力ベクトル T ( v ) は、} vに直交する平面の負の側にある材料が平面の正の側にある材料に対して及ぼす力 (単位面積あたり)であり、図 (右) に示すように、これら 2 つのベクトルの関係を表します。2つのベクトルが 3 つ目のベクトルにマッピングされる外積は、厳密に言えばテンソルではありません。座標系の方向を変更する変換によって符号が変わるためです。それでも、完全に反対称の記号 により、等方向の 3 次元座標系で外積を簡単に処理できます。 ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

この表は、ベクトル空間上のテンソルと多様体上のテンソル場の重要な例を示しています。テンソルはタイプ( n、m )によって分類されます。ここで、nは反変インデックスの数、mは共変インデックスの数、n + m はテンソルの全順序を示します。たとえば、双線形形式は(0, 2)テンソルと同じものです。内積は(0, 2)テンソルの例ですが、すべての(0, 2)テンソルが内積であるわけではありません。表の(0, M )エントリでは、M は基になるベクトル空間または多様体の次元を示します。これは、空間の各次元に対して、最大共変反対称テンソルを取得するためにその次元を選択するための個別のインデックスが必要になるためです。

( n , m )テンソルのインデックスを上げると、 ( n + 1, m − 1)テンソルが生成されます。これは、テーブル上で斜め下および左に移動することに相当します。対照的に、インデックスを下げると、テーブル上で斜め上および右に移動することに相当します。( n , m )テンソルの上限インデックスと下限インデックスを縮約すると、 ( n − 1, m − 1)テンソルが生成されます。これは、テーブル上で斜め上および左に移動することに相当します。

実ベクトル空間の基底、たとえば周囲空間の座標フレームを想定すると、テンソルはこの特定の基底に関する数値の組織化された多次元配列として表すことができます。基底を変更すると、配列内の値が特徴的な方法で変換され、テンソルをこの変換動作に従うオブジェクトとして定義できます。たとえば、基底の変更によって保持される必要があるテンソルの不変量があるため、特定の数値の多次元配列のみがテンソルになります。これを、方向を変更する変換による符号の変化について、テンソルではないことを表す配列と比較してください。 ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

ベクトルとその双対の成分は、双対基底の変化に応じて異なる変換を行うため、一方の基底に関するテンソルともう一方の基底に関するテンソルを表す配列を関連付ける共変および/または反変の変換法則があります。テンソルの入力と出力のベクトルの数: n (反変インデックス) と双対ベクトルの数: m (共変インデックス) は、テンソルのタイプ(または価数) 、つまり変換法則の正確な形式を決定する自然数のペア( n、m )を決定します。テンソルの位数はこれら 2 つの数値の合計です。

順序（度合いまたはしたがって、テンソルの階数 (rank ) は、その引数の階数の合計と結果のテンソルの階数を加えたものです。これは、特定の基底に関してテンソルを表すために必要な数値の配列の次元、または同等に、その配列の各コンポーネントにラベルを付けるために必要なインデックスの数でもあります。たとえば、固定基底では、ベクトルをベクトルにマップする標準的な線形マップは、行列 (2 次元配列) によって表されるため、2 次テンソルです。単純なベクトルは 1 次元配列として表すことができるため、1 次テンソルです。スカラーは単純な数値であるため、0 次テンソルです。このように、2 つのベクトルを取ってスカラーになるスカラー積を表すテンソルの階数は2 + 0 = 21 + 1 = 2を返す応力テンソルと同じです。2 つのベクトルを 1 つのベクトルにマッピングする - 記号の順序は2+1 = 3 になります。${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

ベクトル空間上のテンソルの集合とその双対はテンソル代数を形成し、任意のテンソルの積が可能になります。正方行列として表すことができる2次テンソルの単純な応用は、転置ベクトルの巧みな配置と行列乗算の規則の適用によって解決できますが、テンソル積をこれと混同しないでください。

テンソルを記述し、テンソルを含む計算を実行するために使用される表記法はいくつかあります。

リッチ計算は、テンソルのインデックスの現代的な形式と表記法です。内積と外積、共変性と反変性、テンソル成分の和、対称性と反対称性、偏微分と共変微分を示します。

アインシュタインの和の慣習では、和の記号を書かずに、和を暗黙的に残します。繰り返し使用されるインデックス記号はすべて合計されます。テンソル式の特定の項でインデックスiが 2 回使用されている場合、その項はすべてのiについて合計されることを意味します。この方法では、複数の異なるインデックスのペアを合計できます。

ペンローズ グラフィカル表記法は、テンソルの記号を図形に、そのインデックスを直線と曲線に置き換える図式表記法です。基底要素とは独立しており、インデックスの記号は必要ありません。

抽象インデックス表記法は、インデックスが数値ではなく不定値として考えられるようにテンソルを記述する方法です。この表記法は、インデックスの表現力と、インデックスフリー表記法の基底独立性を捉えています。

テンソルの成分フリー処理では、テンソルがいかなる基底にも依存しないことを強調する表記法が使用され、ベクトル空間のテンソル積によって定義されます。

テンソルに対して、テンソルを生成する演算がいくつかあります。テンソルの線形性質は、同じタイプの 2 つのテンソルを加算したり、テンソルにスカラーを乗算してベクトルのスケーリングと同様の結果を得たりできることを意味します。コンポーネントでは、これらの演算は単にコンポーネントごとに実行されます。これらの演算によってテンソルのタイプは変更されませんが、異なるタイプのテンソルが生成される演算もあります。

テンソル積は、 2 つのテンソルSとTを受け取り、新しいテンソルS ⊗ Tを生成します。このテンソルの次数は、元のテンソルの次数の合計です。多重線形マップとして記述すると、テンソル積は単に 2 つのテンソルを乗算します。つまり、 これもまた、すべての引数において線形であるマップを生成します。成分については、 2 つの入力テンソルの成分をペアで乗算することになります。つまり、 Sが( l , k )型で、Tが( n , m )型の 場合、テンソル積S ⊗ T の型は( l + n , k + m )になります。 $${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$$${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$

テンソル縮約は、 ( n , m )型テンソルを( n −1, m −1)型テンソルに縮約する操作であり、トレースはその特殊なケースです。これにより、テンソルの全次数が2つ減ります。この操作は、指定された反変インデックスの1つが指定された共変インデックスの1つと同じである成分を合計して、新しい成分を生成することによって実現されます。これら2つのインデックスが異なる成分は破棄されます。たとえば、(1,1)テンソルは、を介してスカラーに縮約することができ、ここでも合計が暗黙的に示されます。(1,1)テンソルが線形マップとして解釈される場合、この操作はトレースと呼ばれます。 ${\displaystyle T_{i}^{j}}$${\displaystyle T_{i}^{i}}$

収縮は、各テンソルからインデックスを収縮するために、テンソル積と組み合わせて使用​​されることがよくあります。

この縮約は、テンソルを空間Vと空間V ^∗のコピーのテンソル積の要素として定義することでも理解できます。テンソルをまず単純なテンソルの線形結合に分解し、次にV ^∗の因子をVの因子に適用します。たとえば、テンソルは線形結合として表すことができます 。${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

Tの最初と最後のスロットの縮約はベクトル

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

内積（計量とも呼ばれる）gを持つベクトル空間では、縮約という用語は、計量テンソルまたはその逆でトレースを形成することによって、2 つの反変インデックスまたは 2 つの共変インデックスを削除するために使用されます。たとえば、（2, 0）テンソルは、 （ここでも和の規則を前提としています）を介してスカラーに縮約できます。 ${\displaystyle T^{ij}}$${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$

ベクトル空間に非退化双線型形式（または、この文脈ではしばしば計量テンソルと呼ばれる）が備わっている場合、反変（上）インデックスを共変（下）インデックスに変換する操作を定義できます（逆も同様）。計量テンソルは（対称的な）（0, 2）テンソルです。したがって、テンソルの上インデックスを、積内の計量テンソルの下位インデックスの 1 つと縮約することができます。これにより、前のテンソルと同じインデックス構造を持つ新しいテンソルが生成されますが、下位インデックスは通常、縮約された上位インデックスと同じ位置に表示されます。この操作は、インデックスを下げるという非常にグラフィカルな方法で知られています。

逆に、逆演算を定義することもでき、これは指数を上げると呼ばれます。これは、 (2, 0)テンソルとの積の同様の縮約に相当します。この逆計量テンソルには、計量テンソルの行列の逆となる成分があります。

重要な例として連続体力学が挙げられます。固体または流体^[28]内の応力は、テンソル場によって記述されます。応力テンソルとひずみテンソルはともに 2 次テンソル場であり、一般的な線形弾性材料では 4 次弾性テンソル場によって関連付けられます。詳細には、3 次元の固体オブジェクトの応力を定量化するテンソルには、3 × 3 配列として都合よく表現できる成分があります。固体の立方体形状の微小体積セグメントの 3 つの面は、それぞれ何らかの力を受けます。力のベクトル成分も 3 つです。したがって、この立方体形状の微小セグメントでの応力を記述するには、3 × 3、つまり 9 個の成分が必要です。この固体の境界内には、それぞれ記述に 9 個の量を必要とするさまざまな応力量の塊があります。したがって、2 次テンソルが必要になります。

材料内部の特定の表面要素が選ばれると、表面の片側の材料が反対側に力を加えます。一般に、この力は表面に対して直交せず、表面の向きに線形に依存します。これは、線形弾性では(2, 0)型のテンソルで記述されます。より正確には、応力は点ごとに異なる可能性があるため、 (2, 0)型のテンソル場によって記述されます。

一般的なアプリケーションは次のとおりです。

• 電磁気学における電磁テンソル（またはファラデーテンソル）
• 変形を記述するための有限変形テンソルと連続体力学におけるひずみを記述するためのひずみテンソル
• 誘電率と電気感受率は異方性媒体におけるテンソルである
• 一般相対論における4元テンソル（例えば、応力エネルギーテンソル）は、運動量 フラックスを表すために使用される。
• 球面テンソル演算子は、球面座標における量子角運動量演算子の固有関数である。
• 拡散テンソルは拡散テンソルイメージングの基礎であり、生物環境における拡散速度を表す。
• 量子力学と量子コンピューティングは、量子状態の組み合わせにテンソル積を利用する。

2 次テンソルの概念は、行列の概念と混同されることが多い。しかし、高次のテンソルは科学や工学において重要な概念をとらえており、そのことは、テンソルが発展するにつれて多くの分野で次々に実証されてきた。たとえば、コンピューター ビジョンの分野では、基本行列を一般化する三焦点テンソルが見られる。

非線形光学の分野では、極度の電界下における物質の分極密度の変化を研究します。生成される分極波は、非線形感受率テンソルを介して、発生する電界と関連しています。分極P が電界Eに線形比例しない場合、その媒体は非線形と呼ばれます。近似的に、P はEのテイラー級数で与えられ、その係数は非線形感受率です。

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

ここで線形感受率は、ポッケルス効果と 第 2 高調波発生を与え、カー効果を与えます。この展開は、主題において高次テンソルが自然に発生する様子を示しています。 ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

テンソルの特性、特にテンソル分解により、機械学習でテンソルを使用して、人工ニューラル ネットワークに高次元データを埋め込むことが可能になりました。このテンソルの概念は、テンソルが通常、固定された基底内の数値量と見なされ、テンソルの異なる軸に沿った空間の次元が同じである必要がないという意味で、数学や物理学の他の分野の概念とは大きく異なります。

テンソル積のベクトル空間は同じである必要はなく、そのようなより一般的なテンソル積の要素は「テンソル」と呼ばれることもあります。たとえば、テンソル積空間V ⊗ Wの要素は、このより一般的な意味での 2 次「テンソル」です。^{[29]また、} d次テンソルは、 d つの異なるベクトル空間のテンソル積の要素として同様に定義できます。^{[30]前述の意味での}( n , m ) 型テンソルも、このより一般的な意味でのn + m次テンソルです。テンソル積の概念は、リング上の任意のモジュールに拡張できます。

テンソルの概念は、様々な方法で無限次元に一般化することができます。例えば、1つは、ヒルベルト空間のテンソル積を介することです。^[31]非線型解析 でよく見られるテンソルの考え方を一般化する別の方法は、多重線型マップの定義を介することです。この定義では、有限次元ベクトル空間とその代数的双対を使用する代わりに、無限次元バナッハ空間とその連続双対を使用します。^{[32]したがって、テンソルは}バナッハ多様体^[33]とフレシェ多様体 上に自然に存在することになります。

均質な媒体がR ^{3 を}満たしていると仮定すると、媒体の密度はkg⋅m ^{−3 単位}の単一のスカラー値ρで表されます。領域Ωの kg 単位の質量は、ρに領域Ωの体積を掛けるか、または定数ρ を領域全体で 積分することで得られます。

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

ここで、直交座標x、y、z はm単位で測定されます。長さの単位をcmに変更する場合は、座標関数の数値を 100 倍に再スケーリングする必要があります。

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

密度ρの数値も補正するために100 ⁻³ m ³ /cm ³で変換する必要があります。その結果、質量 kg の数値は依然として の積分で与えられます。したがって(単位はkg⋅cm ⁻³ )。 ${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$

より一般的には、直交座標x、y、z が線形変換を受ける場合、積分に対する変数変換の公式により、積分が不変のままとなるように、密度ρの数値は座標変換の行列式の絶対値の逆数だけ変化しなければなりません。座標遷移マップの行列式の絶対値の逆数でスケーリングされるこのような量は、スカラー密度と呼ばれます。非定数密度をモデル化するために、ρ は変数x、y、z (スカラー場) の関数であり、曲線座標変換の下では、座標変更のヤコビアンの逆数だけ変換されます。本質的な意味の詳細については、多様体上の密度を参照してください。

テンソル密度は座標変換の下でテンソルのように変換されるが、座標変換の行列式の絶対値の因子も追加される点が異なる。^[34]

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

ここでwは重みと呼ばれる。一般に、この関数のべき乗またはその絶対値を乗じたテンソルは、テンソル密度、または重み付きテンソルと呼ばれる。^{[35] [36]}テンソル密度の例としては、電磁気学の電流密度が挙げられる。

座標のアフィン変換では、テンソルは各インデックスで変換自体の線形部分（またはその逆）によって変換されます。これらは一般線型群の有理表現から来ています。しかし、これはそのようなオブジェクトが持つ最も一般的な線形変換法則ではありません。テンソル密度は非有理ですが、それでも半単純表現です。さらに別のクラスの変換は、一般線型群の対数表現から来ています。これは、約分可能ではあるが半単純ではない表現であり、^[37]変換法則を持つ ( x , y ) ∈ R ²で構成されます。

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

テンソルの変換則は、一般線形変換（または、局所微分同相写像など、あるクラス内の他の変換）の下で、許容座標系のカテゴリ上の関数として動作します。これにより、テンソルは、座標系の関数が座標変更の下で関数的に変換するという技術的な意味で、幾何学的オブジェクトの特別なケースになります。^{[38]より一般的な種類の変換則に従うオブジェクトの例としては、}ジェットや、さらに一般的には自然バンドル があります。^{[39] [40]}

回転によってある直交基底（フレームと呼ばれる）から別の直交基底に変化するとき、テンソルの成分は同じ回転によって変換される。この変換は、フレームの空間を通る経路には依存しない。しかし、フレームの空間は単純に接続されているわけではない（方向のエンタングルメントとプレートトリックを参照）。フレームの空間には、開始と終了の構成が同じで、一方が他方に変形できない連続した経路が存在する。この経路依存性を組み込んだ追加の離散不変量を各フレームに付加することが可能であり、その値は（局所的に）±1 になる。^[41] スピノルは、フレーム内での回転によってテンソルのように変換されるオブジェクトであるが、この離散不変量の値によって決定される可能性のある符号は別である。^{[42] [43]}

スピノルは回転群のスピン表現の要素であり、テンソルはテンソル表現の要素です。他の古典群にはテンソル表現があり、したがって群と互換性のあるテンソルもありますが、すべての非コンパクトな古典群には無限次元のユニタリ表現もあります。

• ウィクショナリーのテンソルの辞書定義
• テンソルの保存と操作のための配列データ型

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