モノイド圏

数学において、モノイド圏（またはテンソル圏）とは、${\displaystyle \mathbf {C} }$双機能を備えた

${\displaystyle \otimes$ :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}}

これは自然な同型を除いて結合的で あり、対象Iは自然な同型を除いて ⊗ の左と右の両方の単位元である。関連する自然な同型は、関連するすべての図が可換であることを保証する特定の整合性条件に従う。

通常のテンソル積は、ベクトル空間、アーベル群、R加群、またはR代数をモノイド圏に変換します。モノイド圏は、これらの例やその他の例の一般化と見なすことができます。すべての（小さな）モノイド圏は、基礎となるモノイドの「圏化」と見なすこともできます。基礎となるモノイドとは、その要素が圏の対象の同型類であり、その二項演算が圏のテンソル積によって与えられるモノイドのことです。

モノイド圏を抽象化とみなせる、やや異なる応用例として、 2 つの型を受け取って集約型を構築する型コンストラクタで閉じられるデータ型のシステムがある。型はオブジェクトとして機能し、⊗ は集約コンストラクタである。同型性までの結合法則は、同じデータを集約するさまざまな方法（例えば、${\displaystyle ((a,b),c)}$そして${\displaystyle (a,(b,c))}$集計値が必ずしも同じである必要はないが、同じ情報を格納します。集計型は、加算（型 sum）または乗算（型 product）の操作に類似している場合があります。型 product の場合、単位オブジェクトは単位です。${\displaystyle ()}$、そのためその型の要素は 1 つしか存在せず、そのためその要素との積は常に他のオペランドと同型になります。 型の和の場合、恒等オブジェクトはvoid 型であり、これは情報を格納せず、要素にアドレスを渡すことは不可能です。 モノイド圏の概念は、このような集合型の値を分離できることを前提としていません。それどころか、古典情報理論と量子情報理論を統一する枠組みを提供します。^{[ 1 ]}

圏論において、モノイド圏は、モノイド対象の概念と、その圏の対象に対する関連する作用を定義するために用いられる。また、モノイド圏は、豊饒圏の定義にも用いられる。

モノイド圏は、圏論そのもの以外にも数多くの応用例がある。直観主義線形論理の乗法断片のモデルを定義するために用いられるほか、凝縮系物理学における位相秩序の数学的基礎を形成する。また、ブレイドモノイド圏は、量子情報、量子場理論、弦理論にも応用されている。

モノイド 圏とは、${\displaystyle \mathbf {C} }$モノイド構造を備えている。モノイド構造は以下から構成される。

• 双関数${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$モノイド積[ ^{2 ]}またはテンソル積^と呼ばれる、
• 物体${\displaystyle I}$モノイド単位、^{[ 2 ]}単位オブジェクト、または同一オブジェクトと呼ばれる。
• テンソル演算が 特定の整合性条件を満たす3つの自然な同型写像：
  • 結合的である: 自然な (3 つの引数のそれぞれに)${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$同型性${\displaystyle \alpha }$アソシエーターと呼ばれるコンポーネント${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$、
  • もっている${\displaystyle I}$左と右の同一性として：自然な同型写像が2つ存在する${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \rho }$それぞれ左ユニターと右ユニターと呼ばれ、成分は${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$そして${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$。

覚えておく良い方法は${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \rho }$行為は頭韻法による。ラムダ、${\displaystyle \lambda }$、左側の恒等式を打ち消す一方、Rho、${\displaystyle \rho }$右側のアイデンティティをキャンセルします。

これらの自然変換の整合性条件は次のとおりです。

• すべての人々のために${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$で${\displaystyle \mathbf {C} }$五角形の図

通勤する;

• すべての人々のために${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$で${\displaystyle \mathbf {C} }$三角形の図

通勤。

厳密モノイド圏とは、自然同型写像α、λ、ρが恒等写像となるような圏のことである。すべてのモノイド圏は、厳密モノイド圏とモノイド的に同値である。

• 有限積を持つ任意の圏は、積をモノイド積、終端対象を単位とするモノイド圏とみなすことができる。このような圏は、デカルトモノイド圏と呼ばれることもある。例えば、次のようになる。
  • 集合とは、デカルト積を持つ集合のカテゴリーであり、単位として機能する特定の1要素集合のことである。
  • Catは、製品カテゴリを含む小さなカテゴリのカテゴリであり、1つのオブジェクトとそのアイデンティティマップのみを持つカテゴリが単位となります。
• 双対的に、有限の余積を持つ任意の圏はモノイド圏であり、その余積はモノイド積であり、初期対象は単位である。このようなモノイド圏はコカルトモノイド圏と呼ばれる。
• 可換環R上の加群の圏であるR -Mod は、⊗ _Rのテンソル積をモノイド積とし、環R (自身上の加群と考える) を単位とするモノイド圏である。特殊な場合として、以下のものが挙げられる。
  • K -Vectは、体K上のベクトル空間の圏であり、1次元ベクトル空間Kを単位元とする。K - FdVect（有限次元ベクトル空間の圏）は、拡張によりこの圏に属する。
  • Abはアーベル群の圏であり、整数 群Zを単位とする。
• 任意の可換環Rに対して、 R代数の圏は、代数のテンソル積を積とし、Rを単位とするモノイド圏である。
• 点付き空間のカテゴリー（例えば、コンパクトに生成された空間に限定される）は、スマッシュ積を積とし、点付き0球面（2点離散空間）を単位とするモノイドである。
• 圏C上のすべての自己関手の圏は、関手の合成を積とし、恒等関手を単位とする厳密なモノイド圏である。
• 任意の圏Eに対して、任意の対象によって張られる完全部分圏がモノイドであるのと同様に、任意の2 圏EおよびOb( E ) 内の任意の対象Cに対して、 { C } によって張られるEの完全 2 圏はモノイド圏である。E = Catの場合、上記の自己関手の例が得られる。
• 上限付き交会半束は厳密な対称モノイド圏である。積は交会であり、単位元は最上位要素である。
• 普通のモノイド${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$対象集合を持つ小さなモノイド圏${\displaystyle M}$射の恒等式のみ、${\displaystyle \cdot }$テンソル積として、${\displaystyle 1}$同一対象として。逆に、モノイド圏の同型類の集合（そのような概念が意味をなすならば）は、テンソル積に関してモノイドである。
• 任意の可換モノイド${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$は、単一の対象を持つモノイド圏として実現できます。単一の対象を持つ圏は、通常のモノイドと同じであることを思い出してください。エックマン・ヒルトンの議論により、 に別のモノイド積を追加すると、${\displaystyle M}$積が可換であることを要求する。

3 つの定義的整合性条件から、大きなクラスの図 (すなわち、射がを使用して構築される図)が${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \lambda }$、${\displaystyle \rho }$（恒等式とテンソル積）は可換である：これはマックレーンの「コヒーレンス定理」である。このような図式はすべて可換であると誤って述べられることがある。

モノイド圏には、抽象代数学 における通常のモノイドの概念を一般化した、モノイド対象という一般的な概念が存在する。通常のモノイドは、まさにデカルトモノイド圏Setにおけるモノイド対象である。さらに、任意の（小さな）厳密モノイド圏は、圏の圏Cat（デカルト積によって誘導されるモノイド構造を備えている）におけるモノイド対象と見なすことができる。

モノイド関手とは、テンソル積を保存するモノイド圏間の関手であり、モノイド自然変換とは、それらの関手間の自然変換であり、テンソル積と「互換性がある」ものである。

すべてのモノイド圏は、対象が ∗ で表される双圏Bの圏B (∗, ∗)と見なすことができる。

モノイド圏Mで豊饒化された圏C の概念は、C内の対象間の射の集合という概念を、C内の任意の 2 つの対象間の射のMオブジェクトという概念に置き換える。

• モノイド圏において、${\displaystyle A\otimes B}$そして${\displaystyle B\otimes A}$が整合条件と両立する形で自然に同型である場合、それを組紐モノイド圏と呼ぶ。さらに、この自然な同型が自身の逆写像である場合、対称モノイド圏となる。
• 閉じたモノイド圏とは、関手が${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$には右随伴があり、これは「内部Homファンクター」と呼ばれます。${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$例としては、集合の圏であるSetのようなデカルト閉圏や、有限次元ベクトル空間の圏であるFdVectのようなコンパクト閉圏が挙げられる。
• 自律圏（またはコンパクト閉圏または剛性圏）は、良い性質を持つ双対が存在するモノイド圏であり、 FdVectの概念を抽象化したものです。
• ダガー対称モノイド圏は、有限次元ヒルベルト空間であるFdHilbの概念を抽象化した、追加のダガー関手を備えています。これには、ダガーコンパクト圏が含まれます。
• タナキアン圏は体上で豊饒化されたモノイド圏であり、線形代数群の表現圏と非常によく似ている。

• 骨格（圏論）
• 球面カテゴリー
• モノイド圏作用

• ウィキメディア・コモンズにあるモノイド圏に関連するメディア