二等辺三角形

二等辺三角形
垂直対称軸を持つ二等辺三角形
タイプ	三角形
エッジと頂点	3
シュレーフリ記号	（）∨{}
対称グループ	Dih 2、[ ]、(*)、順序 2
プロパティ	凸、循環
デュアルポリゴン	自己双対

幾何学において、二等辺三角形（/ aɪ ˈ s ɒ s ə l iː z /）は、 2 辺の長さが等しい三角形です。二等辺三角形は、ちょうど2 辺の長さが等しいと指定される場合もあれば、少なくとも2 辺の長さが等しいと指定される場合もあります。後者のバージョンでは、正三角形が特別なケースとして含まれます。二等辺三角形の例には、直角二等辺三角形、黄金三角形、両錐体や特定のカタロニア立体の面などがあります。

二等辺三角形の数学的研究は、古代エジプトの数学とバビロニアの数学にまで遡ります。二等辺三角形はそれより古い時代から装飾に使用されており、建物のペディメントや切妻など、建築やデザインに頻繁に登場します。

等しい 2 辺は三角形の脚、3 辺目は底辺と呼ばれます。高さ、面積、周囲などの三角形のその他の寸法は、脚と底辺の長さから簡単な公式で計算できます。すべての二等辺三角形には、底辺の垂直二等分線に沿って対称軸があります。脚の反対側の 2 つの角度は等しく、常に鋭角であるため、三角形を鋭角、直角、鈍角に分類できるかどうかは、2 つの脚の間の角度によってのみ決まります。

ユークリッドは二等辺三角形をちょうど 2 つの辺が等しい三角形と定義しましたが^[1]、現代の解釈では二等辺三角形は少なくとも 2 つの辺が等しい三角形と定義されています。これら 2 つの定義の違いは、現代版では正三角形(3 つの辺が等しい) が二等辺三角形の特別なケースになっていることです。^[2]二等辺でない三角形 (3 つの辺が等しくない) は不等辺三角形と呼ばれます。^[3] 「二等辺」は、ギリシャ語の「isos」(等しい) と「skelos」(脚) の語源から作られています。同じ単語が、たとえば、二等辺台形 ( 2 つの辺が等しい台形) ^[4]や、 3 つごとに二等辺三角形を形成する点の集合である二等辺集合にも使用されます。^[5]

ちょうど2つの等しい辺を持つ二等辺三角形では、等しい辺を脚と呼び、3番目の辺を底辺と呼びます。脚によって囲まれた角度を頂角と呼び、底辺を1つの辺とする角度を底角と呼びます。^[6]底辺の反対側の頂点を頂点と呼びます。^[7]正三角形の場合、すべての辺が等しいため、どの辺も底辺と呼ぶことができます。^[8]

二等辺三角形が鋭角、直角、鈍角のいずれであるかは、その頂点の角度によってのみ決まる。ユークリッド幾何学では、底角は鈍角（90°より大きい）または直角（90°に等しい）にはなり得ない。なぜなら、それらの角度の合計は、ユークリッド三角形のすべての角度の合計である少なくとも180°になるためである。^[8]三角形が鈍角または直角となるのは、その角のうちの1つがそれぞれ鈍角または直角である場合のみであるため、二等辺三角形が鈍角、直角、または鋭角となるのは、その頂角がそれぞれ鈍角、直角、または鋭角である場合のみである。^[7]エドウィン・アボットの著書「フラットランド」では、この図形の分類は社会階層の風刺として使われており、二等辺三角形は労働者階級を表し、鋭角二等辺三角形は直角または鈍角二等辺三角形よりも階層が高かった。^[9]

二等辺三角形の他にも、いくつかの特定の形状の二等辺三角形が研究されてきた。これらには、カラビ三角形（3つの合同な内接正方形を持つ三角形）^[10] 、黄金三角形と黄金グノモン（辺と底辺が黄金比である2つの二等辺三角形）^[11]、ラングレーの不定角パズルに登場する80-80-20三角形^{[12] 、}三角錐の30-30-120三角形などがある。三角錐四面体、三角錐八面体、四角錐六面体、五角錐十二面体、三角錐二十面体の5つのカタロニア立体は、それぞれ二等辺三角形の面を持ち、無数のピラミッド^[8]と両錐体も二等辺三角形の面を持っている。^[13]

任意の二等辺三角形では、次の 6 つの線分が一致します。

• 高度、頂点から底辺に垂直な線分、[ ^14]
• 頂点から底辺までの角の二等分線、[ 14 ^]
• 頂点から底辺の中点までの中線、^[14]
• 三角形の底辺の垂直二等分線、^[14]
• 三角形の唯一の対称軸の三角形内の線分、および^[14]
• 三角形が正三角形である場合を除き、三角形のオイラー線の三角形内の線分。^[15]

それらの共通の長さは三角形の高さである。三角形の辺の長さと底辺の長さが等しい場合、これらの線分の長さに関する一般的な三角形の公式はすべて次のように簡略化される^[16]。${\displaystyle h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.}$

この式は、高さが底辺を二等分し、二等辺三角形を2つの合同な直角三角形に分割するという事実を利用して、ピタゴラスの定理から導くこともできます。 ^[17]

三角形のオイラー線は、その垂心（3つの高さの交点）、重心（3つの中線の交点）、外心（3辺の垂直二等分線の交点、3つの頂点を通る外接円の中心でもある）を通ります。ちょうど2つの等しい辺を持つ二等辺三角形では、これらの3つの点は別個であり、（対称性により）すべて三角形の対称軸上にあります。したがって、オイラー線は対称軸と一致することになります。三角形の内心もオイラー線上にありますが、これは他の三角形には当てはまりません。^[15]与えられた三角形で、角の二等分線、中線、高さのいずれか2つが一致する場合、その三角形は二等辺三角形でなければなりません。^[18]

二等辺三角形の面積は、その高さの公式と、底辺と高さの積の半分として三角形の面積を求める一般的な公式から導くことができる。 ^[16]${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.}$

同じ面積の公式は、ヘロンの三角形の3辺の面積の公式からも導かれます。しかし、ヘロンの公式を直接適用すると、非常に鋭角な二等辺三角形では半周と辺の長さがほぼ相殺されるため、数値的に不安定になる可能性があります。 ^[19]

二等辺三角形の頂角と辺の長さが分かっている場合、その三角形の面積は次のようになる。 ^[20]${\displaystyle (\theta )}$${\displaystyle (a)}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta .}$

これは三角形の面積を2辺の積の半分に内角の正弦を掛けたものとみなす一般的な公式の特殊なケースである。^[21]

辺と底辺が等しい二等辺三角形の周囲の長さは^[16]${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle p=2a+b.}$

他の三角形と同様に、面積と周囲の長さは等周不等式によって関係付けられる^[22]${\displaystyle T}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p^{2}>12{\sqrt {3}}T.}$

これは、辺の長さが底辺の長さと等しくない二等辺三角形の場合の厳密な不等式であり、正三角形の場合は等式となる。面積、周囲長、底辺は、次の式によって互いに関連付けることもできる^[23]。

${\displaystyle 2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.}$

底辺と周囲が固定されている場合、この公式は結果として得られる二等辺三角形の面積を決定します。この面積は、同じ底辺と周囲長を持つすべての三角形の中で最大の面積となります。^[24] 一方、面積と周囲が固定されている場合、この公式を使用して底辺の長さを復元できますが、一意ではありません。一般に、面積と周囲長が与えられた2つの異なる二等辺三角形が存在します。等周不等式が等式になると、そのような三角形は1つだけになり、それが正三角形になります。^[25]${\displaystyle T}$${\displaystyle p}$

2つの等しい辺の長さがで、もう1つの辺の長さがの場合、2つの等しい角度の頂点の1つからの内角の二等分線は^{[26]を満たす。}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}}$

同様に

${\displaystyle t<{\frac {4a}{3}};}$

逆に後者の条件が成り立つ場合、およびによってパラメータ化された二等辺三角形が存在する。^[27]${\displaystyle a}$${\displaystyle t}$

シュタイナー・レームスの定理は、長さが等しい2本の角の二等分線を持つ三角形はすべて二等辺三角形であるというものである。この定理は1840年にCLレームスによって定式化された。別名のレームスであるヤコブ・シュタイナーは、この定理を最初に提示した人物の1人である。^[28] もともとは内角の二等分線に対してのみ定式化されたが、外角の二等分線が等しい場合の多く（すべてではない）にも適用できる。30-30-120の二等辺三角形は、 4本の等しい角の二等分線（内角2本、外角2本）を持つため、この定理のバリエーションの境界例となる。^[29]

二等辺三角形の内接円と外接円の公式は、任意の三角形の公式から導くことができる。^[30]辺の長さが、底辺が、高さがである二等辺三角形の内接円 の半径は、次のとおりである。^[16]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.}$

円の中心は三角形の対称軸上にあり、底辺からこの距離だけ上にあります。二等辺三角形は、同じ底辺と頂角を持つ三角形の中で内接円が最大であり、同じ種類の三角形の中で面積と周囲長も最大です。^[31]

外接円の半径は^[16]である。

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2h}}.}$

円の中心は三角形の対称軸上にあり、頂点からこの距離だけ下にあります。

二等辺三角形には、その底辺と一直線上に一辺を持ち、その辺の反対側の 2 つの頂点がその辺上にある唯一の正方形が存在する。カラビ三角形は、他の 2 つの内接正方形 (三角形の辺と一直線上にある) が底辺の正方形と同じ大きさであるという特性を持つ特殊な二等辺三角形である。^[10]アレクサンドリアのヘロンの著作に保存されている、はるかに古い定理では、底辺が で高さがの二等辺三角形の場合、三角形の底辺に内接する正方形の辺の長さは^[32]であると述べている。${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {bh}{b+h}}.}$

任意の整数 に対して、任意の三角形を二等辺三角形に分割できます。 ^[33]直角三角形 では、斜辺からの中線（つまり、斜辺の中点から直角頂点までの線分）によって、直角三角形が 2 つの二等辺三角形に分割されます。これは、斜辺の中点が直角三角形の外接円の中心であり、分割によって作成された 2 つの三角形のそれぞれが、2 つの辺として等しい半径を持つためです。^[34] 同様に、鋭角三角形は、外心からの線分によって 3 つの二等辺三角形に分割できますが、^[35]外心が三角形の外側にあるため、この方法は鈍角三角形には適用できません。^[30]${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle n}$

鋭角三角形の分割を一般化すると、外接円の中心を含む任意の環状多角形は、頂点を通る円の半径によって二等辺三角形に分割できます。円の半径がすべて等しいという事実は、これらの三角形がすべて二等辺三角形であることを意味します。この分割を使用して、外心を含まない環状多角形であっても、辺の長さの関数として多角形の面積の公式を導き出すことができます。この公式は、三角形に対するヘロンの公式と環状四辺形に対するブラフマグプタの公式を一般化したものです。^[36]

菱形のいずれかの対角線は、それを2つの合同な二等辺三角形に分割します。同様に、凧の2つの対角線のうちの1つは、凧を2つの二等辺三角形に分割しますが、凧が菱形の場合を除き、それらは合同ではありません。^[37]

二等辺三角形は、建築物では切妻屋根やペディメントの形状としてよく見られます。古代ギリシャ建築やその後の模倣では鈍角二等辺三角形が使用されていましたが、ゴシック建築では鋭角二等辺三角形に置き換えられました。^[8]

中世の建築では、もう一つの二等辺三角形が人気を博しました。エジプトの二等辺三角形です。これは鋭角ですが、正三角形ほど鋭角ではありません。高さは底辺の5/8に比例します。^{[38]エジプトの二等辺三角形は、オランダの建築家}ヘンドリック・ペトルス・ベルラーヘによって現代建築に復活しました。^[39]

橋などのウォーレントラス構造は、通常二等辺三角形に配置されますが、強度を高めるために垂直の梁が含まれることもあります。 ^{[40]鈍角二等辺三角形でモザイク状に}分割された 表面は、2つの安定状態を持つ展開構造を形成するために使用できます。1つは、表面が円筒形の柱に広がる展開状態、もう1つは、より簡単に輸送できるよりコンパクトな角柱形に折りたたまれる折り畳まれた状態です。^[41]同じモザイクパターンは、円筒形の表面が軸方向に圧縮されたときに形成されるパターンである吉村座屈^[42]や、滑らかな表面の面積が必ずしも表面に収束する多面体で正確に近似できるとは限らないことを示すために数学で使用される例であるシュワルツランタンの基礎を形成します。^[43]

グラフィックデザインや装飾芸術において、二等辺三角形は、少なくとも初期新石器時代^[44]から現代まで、世界中の文化で頻繁に使用されるデザイン要素です。 ^{[45]二等辺三角形は}旗や紋章学の一般的なデザイン要素であり、たとえばガイアナの国旗のように垂直のベースで目立つように表示され、セントルシアの国旗では水平のベースで山の島の様式化されたイメージを形成しています。^[46]

また、ヒンズー教の瞑想修行におけるシュリ・ヤントラなど、宗教的または神秘的な意味を持つデザインにも使われてきました。^[47]

実係数の3次方程式に、すべてが実数ではない3つの根がある場合、これらの根を複素平面にアルガン図としてプロットすると、対称軸が水平（実）軸と一致する二等辺三角形の頂点を形成します。これは、複素根が複素共役であり、したがって実軸に関して対称であるためです。^[48]

天体力学では、三体問題は、三体が二等辺三角形を形成する特殊なケースで研究されてきた。これは、三体がこのように配置されていると仮定すると、系の自由度の数が減るが、三体が正三角形を形成する場合のラグランジュ点の解決例にまで減少しないためである。三体問題が無制限の振動を持つことが示された最初の例は、二等辺三体問題であった。^[49]

古代ギリシャの数学者が二等辺三角形を研究するよりずっと前から、古代エジプト数学やバビロニア数学の研究者は二等辺三角形の面積を計算する方法を知っていました。この種の問題はモスクワ数学パピルスやリンド数学パピルスに含まれています。^[50]

二等辺三角形の底角が等しいという定理は、ユークリッドの命題I.5に登場します。^[51]この結果は、pons asinorum（ロバの橋）または二等辺三角形の定理と呼ばれています。この名前の競合する説明には、ユークリッドが結果の証明に使用した図が橋に似ているため、またはこれがユークリッドの最初の難しい結果であり、ユークリッドの幾何学を理解できる人とできない人を区別する役割を果たすためであるという理論があります。^[52]

よく知られている誤謬は、すべての三角形は二等辺三角形であるという命題の誤った証明であり、これは1892年にWWラウズ・ボールによって初めて発表され、 ^[53]後にルイス・キャロルの死後に出版された『ルイス・キャロルの絵本』で再出版された。^{[54]この誤謬は、ユークリッドが}媒介の概念を認識していなかったことと、その結果生じた図形の内側と外側の曖昧さに起因している。^[55]

• ワイスシュタイン、エリック W.、「二等辺三角形」、MathWorld