恒等式（数学）

特定のアイデンティティ、例えば${\displaystyle a+0=a}$そして${\displaystyle a+(-a)=0}$代数学の基礎を形成する^{[ 5 ]}一方、他の恒等式、例えば${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$そして${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$代数式の簡略化や展開に役立つことがある。 ^{[ 6 ]}

幾何学的には、三角関数の恒等式は、 1 つ以上の角度の特定の関数を含む恒等式です。^{[ 7 ]}これらは、三角形の角度と辺の長さの両方を含む恒等式である三角形の恒等式とは異なります。この記事では前者のみを取り上げます。

これらの恒等式は、三角関数を含む式を簡略化する必要がある場合にいつでも役立ちます。もう1つの重要な応用例は、三角関数以外の関数の積分です。これは、まず三角関数を用いた置換規則を適用し、次に三角関数の恒等式を用いて得られた積分を簡略化するという一般的な手法です。

三角関数の恒等式の最も顕著な例の1つは、次の式です。${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$これは、すべての実数値に対して真である。${\displaystyle \theta }$一方、方程式は

${\displaystyle \cos \theta =1}$

は特定の値に対してのみ真である${\displaystyle \theta }$すべてではない。たとえば、この式は次のような場合に真となる。${\displaystyle \theta =0,}$しかし、偽りの場合${\displaystyle \theta =2}$。

三角関数の恒等式のもう1つのグループは、いわゆる加算/減算の公式（例えば、倍角の恒等式）に関するものです。${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$加算式${\displaystyle \tan(x+y)}$これは、より大きな角度の式をより小さな構成要素を持つ式に分解するために使用できます。

底がゼロでない限り、すべての整数指数に対して以下の恒等式が成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

加算や乗算とは異なり、指数は交換法則を満たしません。例えば、2 + 3 = 3 + 2 = 5および2 · 3 = 3 · 2 = 6ですが、2 ³ = 8であるのに対し、3 ² = 9 です。

また、加算や乗算とは異なり、指数計算は結合法則を満たしません。例えば、(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9、(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24ですが、2 ³の 4乗は 8 ⁴ (または 4,096) であるのに対し、2 の 3 の⁴乗は 2 ⁸¹ (または 2,417,851,639,229,258,349,412,352) となります。括弧が書かれていない場合、慣例として、計算順序は下から上ではなく上から下になります。

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$ 一方 ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

対数同士の関係を表す重要な公式がいくつかあり、これらは対数恒等式または対数法則と呼ばれることもあります。^{[ a ]}

双曲線関数は多くの恒等式を満たし、それらはすべて三角関数の恒等式と形式が似ています。実際、オズボーンの規則^{[ 9 ]}は、任意の三角関数の恒等式を、正弦と余弦の整数乗で完全に展開し、正弦をsinhに、余弦をcoshに変更し、偶数個の双曲線正弦の積を含むすべての項の符号を反転することで、双曲線恒等式に変換できると述べています。^{[ 10 ]}

グーデルマン関数は、複素数を用いずに三角関数と双曲線関数の間に直接的な関係を与える。