ブラケット表記

数学では、「ベクトル」という用語は任意のベクトル空間の要素に使用されます。しかし、物理学では、「ベクトル」という用語は、変位や速度などの量にほぼ限定して使用される傾向があり、これらの量には空間の 3 次元、または相対論的には時空の 4 次元に直接関係する成分があります。このようなベクトルは通常、上矢印 (${\displaystyle {\vec {r}}}$）、太字（${\displaystyle \mathbf {p} }$）またはインデックス（${\displaystyle v^{\mu }}$)

量子力学では、量子状態は通常、複素ヒルベルト空間の要素として表されます。例えば、すべての可能な波動関数（3次元空間の各点を複素数に写像する二乗可積分関数）の無限次元ベクトル空間、あるいはより代数的に構築された抽象的なヒルベルト空間などが挙げられます。この種のベクトルを上述のベクトルと区別するために、物理学では要素を と表記するのが一般的で有用です。${\displaystyle \phi }$抽象的な複素ベクトル空間のケットとして${\displaystyle |\phi \rangle }$それをベクトルではなく「ケット」と呼び、「ケット」と発音する。${\displaystyle \phi }$または| A ⟩の場合は「ket-A」。

記号、文字、数字、あるいは単語など、便利なラベルとして使えるものは何でも、ケットの内側のラベルとして使用できます。${\displaystyle |\ \rangle }$ラベルがベクトル空間内のベクトルを示すことを明確にする。言い換えれば、記号「| A ⟩」は、表現されている変数の種類に関して認識可能な数学的意味を持つが、「A」だけではそうではない。たとえば、| 1 ⟩ + | 2 ⟩は必ずしも| 3 ⟩と等しいとは限らない。しかし、便宜上、通常はケット内のラベルの背後に何らかの論理的なスキームがあり、量子力学ではエネルギー固有ケットを量子数のリストでラベル付けするのが一般的である。最も単純な場合、ケット内のラベルは、たとえば物理演算子の固有値である。${\displaystyle {\hat {x}}}$、${\displaystyle {\hat {p}}}$、${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$など

ケットはエルミートベクトル空間におけるベクトルにすぎないため、線形代数の通常の規則を用いて操作できます。例えば、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

上記の最後の行には、実数xごとに 1 つの異なるケットが無限に存在することに注目してください。

ケットはベクトル空間の要素であるため、${\displaystyle \langle A|}$は双対空間の要素であり、つまりブラはベクトル空間から複素数への線形写像である線形汎関数です。したがって、ケットとブラは異なるベクトル空間の要素であると考えるのが適切です（ただし、下記参照）。どちらもそれぞれ異なる有用な概念です。

ブラジャー${\displaystyle \langle \phi |}$そしてケット${\displaystyle |\psi \rangle }$（つまり、関数とベクトル）は、演算子と組み合わせることができる。${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$外積を持つランク１

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

ブラケット記法は、エルミート共役を可能にし、ベクトルを連続線形汎関数（つまり、ケットとブラ）と同一視できる内積^{[ 5 ]}を持つヒルベルト空間で特に有用である（リース表現定理を参照）。ヒルベルト空間上の内積${\displaystyle (\ ,\ )}$（物理学者が好むように最初の引数を反線形にすると）は、ブラケット記法におけるケットの空間とブラの空間との間の（反線形）同一視と完全に等価である。ベクトルケットの場合、${\displaystyle \psi =|\psi \rangle }$機能を定義する（例：ブラジャー）${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$による

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

ベクトル空間がヒルベルト空間でない場合でも、ブラケット記法を使用できます。

量子力学では、ノルムが無限大、すなわち正規化不可能な波動関数を持つケットを記述するのが一般的です。例としては、波動関数がディラックのデルタ関数や無限平面波である状態などが挙げられます。これらは厳密にはヒルベルト空間自体には属しません。しかし、「ヒルベルト空間」の定義を拡張することで、これらの状態を包含することができます（ゲルファント・ナイマーク・セガル構成やリグド・ヒルベルト空間を参照）。ブラケット記法は、このより一般的な文脈においても、同様の方法で引き続き機能します。

バナッハ空間は、ヒルベルト空間の異なる一般化です。バナッハ空間Bでは、ベクトルはケットで、連続線形汎関数はブラで表記されます。位相が与えられていない任意のベクトル空間においても、ベクトルはケットで、線形汎関数はブラで表記できます。このようなより一般的な文脈では、リース表現定理が適用されないため、括弧は内積の意味を持ちません。

複素ベクトル| A ⟩の離散成分A _kは、Σ _k A _k | e _k ⟩ です。

複素ベクトルの連続成分ψ ( x ) | ψ ⟩ = ∫ d x ψ ( x ) | x ⟩。

複素ベクトルの成分をインデックス番号（離散的なkと連続的なx）に対してプロットした図。無限に存在する成分のうち、特に2つの成分が強調表示されている。

スピン0の点粒子のヒルベルト空間は、 「位置基底」{ | r ⟩ }で表すことができ、ラベルrは位置空間内のすべての点の集合に及ぶ。これらの状態は、位置演算子の固有値方程式を満たす。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle .}$$ 位置状態は「一般化固有ベクトル」であり、ヒルベルト空間自体の要素ではなく、可算正規直交基底を形成しません。しかし、ヒルベルト空間は分離可能であるため、その波動関数の定義領域内に可算稠密部分集合を許容します。つまり、このヒルベルト空間内の任意のケット| Ψ ⟩から出発して、波動関数として知られるrの複素スカラー関数を定義することができます。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

左側では、Ψ( r )は空間内の任意の点を複素数にマッピングする関数です。右側では、 $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$ これは、その関数によって指定された相対係数を持つケットの重ね合わせからなるケットです。

そこで、波動関数に作用する線形演算子をケットに作用する線形演算子を用いて定義するのが慣例となっている。 $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

例えば、運動量演算子${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$座標表現は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

時には次のような表現に出くわすこともある。${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$ただし、これは表記法の濫用とも言える。微分演算子は、ケットに作用する抽象的な演算子であり、式が位置基底に射影されると波動関数を微分する効果を持つと理解されなければならない。${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$ 運動量基底では、この演算子は単なる乗算演算子（iħ pによる）に相当するが、つまり、 $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$ または $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

量子力学において、式⟨ φ | ψ ⟩は通常、状態ψが状態φに崩壊する確率振幅として解釈されます。数学的には、これはψからφへの射影の係数を意味します。また、状態ψから状態φへの射影とも表現されます。

静止したスピン1/2粒子は2次元ヒルベルト空間を持つ。正規直交基底の一つは次の通りである。 $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ ここで、| ↑ z⟩_はスピン演算子Szの値_が+1/2に等しい状態であり、| ↓ _z⟩はスピン演算子Sz_の値が-1/2に等しい状態である。

これらは基底であるため、粒子の任意の量子状態は、これら2つの状態の 線形結合（すなわち量子重ね合わせ）として表現できる。$${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ ここで_、aψとbψは_複素数である。

同じヒルベルト空間に対する別の基底は 次のとおりである。$${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$S _zではなくS _x で定義される。

繰り返しますが、粒子の 任意の状態は、これら2つの線形結合として表現できます。$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

ベクトル形式では、次のように書くことができます。 $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$ 使用する基底によって異なります。言い換えれば、ベクトルの「座標」は使用する基底によって決まります。

数学的な関係がある${\displaystyle a_{\psi }}$、${\displaystyle b_{\psi }}$、${\displaystyle c_{\psi }}$そして${\displaystyle d_{\psi }}$;基準の変更を参照。

混乱の原因の一つは、この表記法が内積演算と（ブラ）ベクトルの表記法を区別していないことです。（双対空間の）ブラベクトルが他のブラベクトルの線形結合として構築される場合（例えば、何らかの基底で表現する場合）、この表記法は曖昧さを生み出し、数学的な詳細を隠蔽します。ブラケット表記法は、ベクトルに太字を使用することに例えることができます。${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$、 そして${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$内積について。基底における以下の双対空間ブラベクトルを考える。${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$、 どこ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$は、${\displaystyle \langle \psi |}$: $${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

複素数が慣例によって決定される必要がある${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$は内積の内側にあるか外側にあるかで、それぞれの慣習によって異なる結果が得られます。

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

ラベルと定数に同じ記号を使用するのが一般的です。たとえば、${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$記号${\displaystyle \alpha }$オペレーター名としても同時に使用されます${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$その固有ベクトル${\displaystyle |\alpha \rangle }$そしてそれに対応する固有値${\displaystyle \alpha }$演算子の場合も、帽子が外されることがあり、次のような表記が見られます。${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$[ ^{7 ]​}

使用例をよく見かけます${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$短剣（${\displaystyle \dagger }$) はエルミート共役に対応します。ただし、これは技術的な意味では正しくありません。なぜなら、ケット、${\displaystyle |\psi \rangle }$は複素ヒルベルト空間におけるベクトルを表す。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$、そしてブラジャー、${\displaystyle \langle \psi |}$は、のベクトル上の線形汎関数である。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$。 言い換えると、${\displaystyle |\psi \rangle }$は単なるベクトルですが、${\displaystyle \langle \psi |}$これはベクトルと内積の組み合わせです。

これはスケーリングベクトルの高速表記のために行われます。たとえば、ベクトルが${\displaystyle |\alpha \rangle }$スケーリングされる${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$と表記される場合もある${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$これは曖昧になる可能性がある。${\displaystyle \alpha }$は単なる状態のラベルであり、演算を実行できる数学的オブジェクトではありません。この用法は、ベクトルをテンソル積として表す場合によく見られ、ラベルの一部が設計されたスロットの外に移動します。例:${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$。

線形演算子とは、ケットを入力として受け取り、ケットを出力する写像のことです。（「線形」と呼ばれるためには、特定の性質を満たす必要があります。）言い換えれば、${\displaystyle {\hat {A}}}$は線形演算子であり、${\displaystyle |\psi \rangle }$ケットベクトルである場合、${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$は別のケットベクトルです。

では${\displaystyle N}$次元ヒルベルト空間では、空間に基底を課し、表現することができます。${\displaystyle |\psi \rangle }$座標の観点から${\displaystyle N\times 1}$列ベクトル。同じ基底を使用して${\displaystyle {\hat {A}}}$それは、${\displaystyle N\times N}$複素行列。ケットベクトル${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$行列乗算によって計算できるようになりました。

線形演算子は量子力学の理論において遍在する。例えば、観測可能な物理量は、エネルギーや運動量といった自己共役演算子によって表される一方、変換過程は、回転や時間の進行といったユニタリ線形演算子によって表される。

演算子は、右側からブラに作用するものと見なすこともできます。具体的には、Aが線形演算子で、⟨φ |がブラである場合、⟨φ | Aは次の規則で定義される別のブラです 。$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$ （言い換えれば、関数合成）。この式は一般的に次のように表記されます（エネルギー内積を参照）。 $${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

N次元ヒルベルト空間では、 ⟨ φ | は1 × N行ベクトルとして表すことができ、A は(前のセクションと同様に) N × N行列です。このとき、ブラ⟨ φ | Aは通常の行列乗算によって計算できます。

ブラ側とケット側の両方に同じ状態ベクトルが現れた場合、 $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$ すると、この式は、状態| ψ ⟩にある物理システムに対して演算子Aで表される観測量の期待値、平均値、または平均値を与えます。

ヒルベルト空間H上の線形演算子を定義する便利な方法は外積によって与えられます。⟨ ϕ |がブラであり、| ψ ⟩がケットである場合、外積は $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$ランク1演算子 を表す規則 $${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

有限次元ベクトル空間の場合、外積は単純な行列乗算として理解できる。 $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$ 外積は、線形演算子に期待されるように、N × N行列となる。

外積の用途の一つは射影演算子を構成することである。ノルム1のケット| ψ⟩が与えられたとき、 | ψ⟩によって張られる部分空間への直交射影は次のようになる 。$${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$ これは、ヒルベルト空間に作用する観測量代数における冪等元である。

ケットとブラが互いに変換可能であるのと同様に（| ψ⟩を⟨ψ |に変換する）、 A | ψ⟩に対応する双対空間の要素は⟨ψ | A †であり、ここでA ^†は演算子Aのエルミート共役（または随伴）を表す^。言い換えれば、 $${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

AがN × N行列として表される場合、A ^†はその共役転置行列である。

• ブラは線形関数であるため、$${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• 双対空間における線形汎関数の加算とスカラー乗算の定義により、^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

複素数、ブラ、ケット、内積、外積、および/または線形演算子（ただし加算は除く）を含む式をブラケット記法で記述した場合、括弧内のグループ化は関係ありません（つまり、結合法則が成り立ちます）。例：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

など。右側の式（括弧が一切ないもの）は、左側の等式のおかげで、曖昧さなく記述できます。ただし、物理学における反線形時間反転演算子のような非線形演算子を含む式には、結合法則は成り立たないことに注意してください。

ブラケット記法を用いると、式のエルミート共役（ダガーとも呼ばれ、†で表される）を計算するのが特に容易になります。正式な規則は次のとおりです。

• ブラのエルミート共役は対応するケットであり、その逆もまた然りである。
• 複素数のエルミート共役とは、その複素共役のことである。
• あらゆるもの（線形演算子、ブラ、ケット、数）のエルミート共役のエルミート共役は、それ自身である。$${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• 複素数、ブラ、ケット、内積、外積、および/または線形演算子の任意の組み合わせがブラケット表記で与えられた場合、そのエルミート共役は、構成要素の順序を逆にして、それぞれのエルミート共役を取ることによって計算できます。

これらの規則は、そのような式のエルミート共役を形式的に記述するのに十分です。いくつかの例を以下に示します。

• ケッツ:$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• 内部製品：$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$⟨ φ | ψ ⟩はスカラーなので、エルミート共役は複素共役、つまり、$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• 行列要素:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• 外装製品：$${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$