レヴィ＝チヴィタのシンボル

数学、特に線型代数、テンソル解析、微分幾何学において、レヴィ＝チヴィタ記号またはレヴィ＝チヴィタイプシロンは、自然数1、2、... 、 nの順列（ある正の整数nについて）の符号から定義される数の集合を表す。イタリアの数学者で物理学者のトゥリオ・レヴィ＝チヴィタにちなんで名付けられた。他の名前には順列記号、反対称記号、交代記号などがあり、これはその反対称特性と順列の観点からの定義を指す。

レヴィ・チヴィタ記号を表す標準的な文字は、ギリシャ語の小文字のイプシロン εまたはϵ、またはそれほど一般的ではないラテン語の小文字のeです。インデックス表記を使用すると、テンソル解析と互換性のある方法で順列を表示できます。ここで、各インデックスi ₁、i ₂、...、i _{n は}、値1、2、...、nを取ります。 ε _{i 1 i 2 ... i n}のインデックス値はn ^{n 個}あり、 n次元配列に配置できます。この記号の主な定義特性は、インデックスの完全な反対称性です。任意の 2 つのインデックスが、等しいかどうかに関係なく交換されると、記号は否定されます。$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }.}$$

2 つのインデックスが等しい場合、シンボルは 0 になります。すべてのインデックスが等しくない場合は、次のようになります。ここで、p (順列の偶奇性と呼ばれる) は、 i ₁、i ₂、...、i _{n を}1、2、...、n の順序に並べ替えるために必要な、インデックスのペアごとの交換回数です。係数(-1) ^{p は}、順列の符号またはシグネチャと呼ばれます。値ε _{1 2 ... n}を定義する必要があります。そうしないと、すべての順列のシンボルの特定の値が不確定になります。ほとんどの著者はε _{1 2 ... n} = +1を選択します。これは、インデックスがすべて等しくない場合に、レヴィ-チヴィタ シンボルが順列の符号に等しいことを意味します。この選択は、この記事全体で使用されます。 $${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\dots n},}$$

「 n次元レヴィ・チヴィタ記号」という用語は、記号nの添字の数が、問題のベクトル空間の次元数（ユークリッド空間や非ユークリッド空間、ミンコフスキー空間など）と一致するという事実を指します。レヴィ・チヴィタ記号の値は、どの計量テンソルや座標系からも独立しています。また、「記号」という特定の用語は、座標系間で変換する方法から、それがテンソルではないことを強調していますが、テンソル密度として解釈することもできます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

レヴィ・チヴィタ記号を使用すると、正方行列の行列式と、3 次元ユークリッド空間の 2 つのベクトルの外積を、アインシュタイン指数表記法で表現できます。

レヴィ・チヴィタ記号は 3 次元と 4 次元で最もよく使用され、ある程度は 2 次元でも使用されるため、一般的なケースを定義する前にここでこれらを示します。

2次元では、レヴィ・チヴィタ記号は次のように定義されます。 値は2×2の反対称行列に並べることができます。 $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{if }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$$

2次元記号の使用は凝縮物質では一般的であり、超対称性^[1]やツイスター理論[ ^{2]などの特定の高エネルギーの話題では2}スピノルの文脈で登場します。

3次元では、レヴィ・チヴィタ記号は次のように定義されます。^[3] $${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ or }}(3,1,2),\\-1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ or }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j,{\text{ or }}j=k,{\text{ or }}k=i\end{cases}}}$$

つまり、( i , j , k )が(1, 2, 3)の偶順列である場合はε _ijkは1になり、奇順列である場合は-1 になり、いずれかのインデックスが繰り返される場合は 0 になります。3 次元の場合のみ、(1, 2, 3)の巡回順列はすべて偶順列であり、同様に、反巡回順列はすべて奇順列です。つまり、3 次元では、 (1, 2, 3)の巡回順列または反巡回順列を取るだけで、すべての偶数または奇数順列を簡単に取得できます。

2次元行列と同様に、3次元のレヴィ・チヴィタ記号の値は3×3×3の配列に並べることができます。

ここで、iは深さ (青: i = 1、赤: i = 2、緑: i = 3 )、jは行、kは列です。

例: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}}$$

4 次元では、レヴィ・チヴィタ記号は次のように定義されます。 $${\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

これらの値は4 × 4 × 4 × 4の配列に配置できますが、4 次元以上では描画が困難になります。

例: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}}$$

より一般的には、n次元では、レヴィ・チヴィタ記号は次のように定義されます。^[4] $${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

したがって、順列の場合は 順列の符号となり、そうでない場合はゼロとなります。

通常の数の掛け算に大文字のパイ記法 Π を使用すると、記号の明示的な表現は次のようになります。^[要出典] ここで、signum関数( sgnと表記)は引数の符号を返しますが、絶対値がゼロでない場合はそれを破棄します。この式はすべてのインデックス値と任意のnに対して有効です( n = 0またはn = 1の場合、これは空の積です)。ただし、上記の式を単純に計算すると、時間計算量はO( n ² )ですが、符号は、その互いに素なサイクルからの順列の偶奇性から、O( n log( n ))のコストで計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}}$$

正規直交基底の成分がレヴィ・チヴィタ記号で与えられるテンソル（共変ランクnのテンソル）は、置換テンソルと呼ばれることもあります。

テンソルの通常の変換規則では、レヴィ・チヴィタ記号は純粋な回転では変化しません。これは、直交変換によって関連付けられるすべての座標系で (定義により) 同じであるということと一致しています。ただし、レヴィ・チヴィタ記号は擬似テンソルです。これは、ヤコビ行列式が -1 の直交変換(たとえば、奇数次元での反射)では、テンソルであればマイナス符号が付くはずだからです。まったく変化しないため、レヴィ・チヴィタ記号は定義により擬似テンソルです。

レヴィ・チヴィタ記号は擬テンソルなので、外積をとった結果はベクトルではなく擬ベクトルとなる。^[5]

一般的な座標変換では、置換テンソルの成分は変換行列のヤコビアンで乗算されます。これは、テンソルが定義された座標系とは異なる座標系では、その成分がレヴィ・チヴィタ記号の成分と全体的な係数だけ異なる可能性があることを意味します。座標系が正規直交の場合、係数は座標系の向きが同じかどうかに応じて±1になります。^[5]

インデックスフリーのテンソル表記では、レヴィ・チヴィタ記号はホッジ双対の概念に置き換えられる。^[要出典]

和の記号はアインシュタイン記法を使うことで省略できる。アインシュタイン記法では、2つ以上の項の間に繰り返されるインデックスは、そのインデックスの合計を表す。例えば、

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}}$。

以下の例では、アインシュタイン表記法が使用されています。

2次元では、i、j、m、nがそれぞれ1と2の値を取る場合：^[3]

3次元では、i、j、k、m、nがそれぞれ1、2、3の値を取る場合：^[3]

レヴィ・チヴィタ記号はクロネッカーのデルタと関連している。3次元では、関係は次の式で与えられる（縦線は行列式を表す）^{[4] 。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}}$

この結果の特別なケースは、インデックスの 1 つが繰り返され、合計された場合に発生します。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$

アインシュタイン表記では、 iの添え字の重複はiの合計を意味します。前のものはε _ijk ε _imn = δ _jm δ _kn − δ _jn δ _kmと表されます。

2 つのインデックスが繰り返され (合計される) 場合、これはさらに次のように簡略化されます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}$

n次元では、すべてのi ₁、...、i _n、j ₁、...、j _{n が}1、2、...、nの値を取る場合：^{[引用が必要]}

ここで感嘆符（！）は階乗を表し、δは^{α ...}
_{β ...}は一般化されたクロネッカーのデルタである。任意のnに対して、性質

${\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!}$

事実から、

• すべての順列は偶数か奇数のいずれかである。
• (+1) ² = (−1) ² = 1であり、
• 任意のn要素集合数の順列の数はちょうどn !です。

（ ８）の特別なケースは ${\textstyle k=n-2}$$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-2}jk}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n-2}lm}=(n-2)!(\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{l})\,.}$$

一般に、n次元の場合、2 つのレヴィ・チヴィタ記号の積は次のように表すことができます。 証明:両辺は 2 つのインデックスを切り替えると符号が変わるため、一般性を失うことなく と仮定します。 の場合、左辺は 0 になり、右辺も 2 つの行が等しいため 0 になります。 についても同様です。最後に、の場合、両辺は 1 になります。 $${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.}$$${\displaystyle i_{1}\leq \cdots \leq i_{n},j_{1}\leq \cdots \leq j_{n}}$${\displaystyle i_{c}=i_{c+1}}$${\displaystyle j_{c}=j_{c+1}}$${\displaystyle i_{1}<\cdots <i_{n},j_{1}<\cdots <j_{n}}$

( 1 ) では、両辺がijおよびmnに関して反対称である。したがって、i ≠ jかつm ≠ n の場合のみを考慮すればよい。代入により、ε ₁₂ ε ¹²の場合、つまりi = m = 1かつj = n = 2の場合に、この式が成り立つことがわかる。(このとき両辺は 1 つである)。この式はijおよびmnに関して反対称であるため、これらの値の任意のセットは、上記の場合 (成立する) に簡約できる。したがって、この式はijおよびmnのすべての値に対して成立する。

（１ ）を用いると、（ ２） について

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.}$

ここでは、 iが1から2までのアインシュタインの総和規則を使用しました。次に、（ 3）は（2）と同様に得られます。

（５）を証明するために、両辺がi ≠ jのとき消えることに注意する。実際、i ≠ jのとき、左側の順列記号が両方ともゼロでないようなmとn を選ぶことはできない。すると、 i = j を固定すると、残りの２つの添え字からmとn を選ぶ方法は２つしかない。そのような添え字に対して、

${\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1}$

(合計なし)、結果は次のようになります。

すると、 3! = 6であり、任意の異なるインデックスi、j、k が1、 2、 3 の値をとるので、 ( 6 ) が成り立ちます。

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1}$ (合計なし、i、j、k は別個)

線型代数では、3×3正方行列A = [ a _ij ]の行列式は次のように表される^[6]。

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}$

同様にn × n行列A = [ a _ij ]の行列式は^[5]のように表される。

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},}$

ここで、各i _{r は}1, ..., nにわたって合計されるか、または同等である:

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},}$

ここで、各i _rと各j _{r は}1, ..., nにわたって合計される。より一般的には、次の式が成り立つ^[5]

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$

ベクトル空間の正の向きの正規直交基底を考える。 ( a ¹ , a ² , a ³ )と( b ¹ , b ² , b ³ )がこの基底におけるベクトルaとbの座標である 場合、それらの外積は行列式として表される: ^[5]${\displaystyle (\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )}$

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}}$

したがって、レヴィ＝チヴィタの記号も使用し、より簡単に言えば次のようになります。

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.}$

アインシュタイン記法では、和の記号は省略することができ、その積のi番目の成分は^{[4]に等しい。}

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.}$

最初の要素は

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,}$

1、2、3の循環置換により、他のものは上記の式から明示的に計算しなくてもすぐに導き出すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}}$

上記の外積の式から、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a} }$。

c = ( c ¹ , c ² , c ³ )が3番目のベクトルである場合、 3重スカラー積は

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.}$

この式から、任意の引数のペアを交換するときに、三重スカラー積は反対称であることがわかります。たとえば、

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )}$。

F = ( F ¹ , F ² , F ³ )が、位置x = ( x ¹ , x ² , x ³ )の関数としての開集合上で定義されたベクトル場である場合(直交座標を使用)、 Fの回転のi番目の成分は^[4]に等しい。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),}$

これは、勾配ベクトル演算子(ナブラ) の要素を置き換えた上記の外積式から導かれます。

任意の曲線座標系において、また多様体上に計量が存在しない場合でも、上で定義したレヴィ・チヴィタ記号は、 2つの異なる方法でテンソル密度場とみなすことができます。これは、重み+1の反変テンソル密度、または重み-1の共変テンソル密度として見なすことができます。一般化されたクロネッカーデルタを使用したn次元では、 ^{[7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}}$

これらは数値的に同一であることに注意してください。特に、符号は同じです。

擬リーマン多様体上で、座標系が接空間の基底が計量に関して正規直交であり、選択された方向と一致するような場合、座標表現がレヴィ・チヴィタ記号と一致する座標不変共変テンソル場を定義できます。このテンソルは、前述のテンソル密度場と混同しないでください。このセクションの説明は、Carroll 2004 に厳密に従っています。

選択された方向と一致する任意の座標系における 共変レヴィ・チヴィタテンソル（リーマン体積形式とも呼ばれる）は、

${\displaystyle E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,}$

ここでg _{ab は}その座標系における計量の表現である。同様に、計量の添え字をいつものように累乗することで反変レヴィ・チヴィタテンソルを考えることができる。

${\displaystyle E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}}\,,}$

しかし、計量シグネチャに負の固有値qが奇数個含まれる場合、このテンソルの成分の符号は標準的なレヴィ・チヴィタ記号とは異なることに注意する必要がある: ^[9]

${\displaystyle E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}},}$

ここで、sgn(det[g _ab ]) = (−1) ^qは、この記事の残りの部分で説明する通常のレヴィ・チヴィタ記号であり、導出では計量行列式の定義を使用しました。より明確に言えば、テンソルと基底の向きが となるように選択されると、 となります。 ${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}}$${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$${\displaystyle E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}}$

このことから、

${\displaystyle E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,}$

どこ

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }}$

一般化されたクロネッカーのデルタです。

ミンコフスキー空間（特殊相対論の4次元時空）では、共変レヴィ・チヴィタテンソルは

${\displaystyle E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,}$

ここで、符号は基底の向きに依存する。反変レヴィ・チヴィタテンソルは

${\displaystyle E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.}$

以下は、ミンコフスキー空間に特殊化された上記の一般的な恒等式の例です (負の符号は、どちらの符号規則でも計量テンソルの符号の負の数が奇数であることから生じます)。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-2\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

• 順列トピックのリスト
• 対称テンソル

• ミスナー、C.; ソーン、K. S.; ウィーラー、J. A. (1973)。重力。W. H. フリーマン & Co. pp. 85–86、§3.5。ISBN 0-7167-0344-0。
• ノイエンシュヴァンダー、D.E. (2015)。物理学のためのテンソル微積分。ジョンズ・ホプキンス大学出版局。 11、29、95ページ。ISBN 978-1-4214-1565-9。
• キャロル、ショーン・M（2004）、時空と幾何学、アディソン・ウェズリー、ISBN 0-8053-8732-3

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• ワイスタイン、エリック W.「順列テンソル」。マスワールド。