置換の公理図式

集合論において、置換公理図式は、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）における公理図式であり、任意の定義可能な写像による任意の集合の像もまた集合であることを主張する。これは、 ZFにおける特定の無限集合の構成に必要である。

この公理図式は、クラスが集合であるかどうかは、そのクラスの要素のランクではなく、クラスの濃度のみに依存するという考えに基づいています。したがって、あるクラスが集合とみなせるほど「小さい」場合、そのクラスから別のクラスへの全射が存在すると、この公理は、その別のクラスも集合であると述べています。しかし、ZFCは集合のみを扱い、真のクラスは扱わないため、この図式は定義可能な全射に対してのみ記述され、定義可能な全射は定義式と同一視されます。

仮定する${\displaystyle P}$は定義可能な二項関係（適切なクラスである場合もある）であり、すべての集合に対して が成り立つ。${\displaystyle x}$ユニークなセットがあります${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle P(x,y)}$成立する。対応する定義可能な関数が存在する。${\displaystyle F_{P}}$、 どこ${\displaystyle F_{P}(x)=y}$かつその場合に限り${\displaystyle P(x,y)}$（おそらく適切な）クラスを検討してください${\displaystyle B}$すべての集合に対して定義される${\displaystyle y}$、${\displaystyle y\in B}$存在する場合に限り${\displaystyle x\in A}$と${\displaystyle F_{P}(x)=y}$。${\displaystyle B}$は、${\displaystyle A}$下${\displaystyle F_{P}}$、そして、${\displaystyle F_{P}[A]}$または（集合構成記法を用いて）${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$。

置換の公理図式は、もし${\displaystyle F}$上記のように定義可能なクラス関数であり、${\displaystyle A}$が任意の集合である場合、その画像${\displaystyle F[A]}$も集合である。これは小ささの原理と見なすことができる。公理は、もし${\displaystyle A}$十分に小さいのでセットになる、${\displaystyle F[A]}$は集合とみなせるほど小さい。これは、より強い大きさ制限の公理によって示唆される。

一階述語論理では定義可能な関数を定量化することは不可能であるため、各式に対してスキーマのインスタンスが1つ含まれます。${\displaystyle \phi }$自由変数を含む集合論の言葉で${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$; しかし${\displaystyle B}$無料では${\displaystyle \phi }$集合論の形式言語では、公理図式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}$

意味については${\displaystyle \exists$ !} 、一意性定量化を参照。

明確にするために、変数がない場合${\displaystyle w_{i}}$これは以下のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}}$

だからいつでも${\displaystyle \phi }$一意を指定します${\displaystyle x}$-に-${\displaystyle y}$関数に似た対応${\displaystyle F}$の上${\displaystyle A}$すると、すべて${\displaystyle y}$このようにして到達したものはセットにまとめることができる${\displaystyle B}$に似ている${\displaystyle F[A]}$。

置換公理図式は、通常の数学のほとんどの定理の証明には必ずしも必要ではありません。実際、ツェルメロ集合論（Z）は既に2階算術と有限型における型理論の大部分を解釈することができ、それが数学の大部分を形式化するのに十分です。置換公理図式は今日の集合論では標準的な公理ですが、型理論の体系やトポス理論の基礎体系ではしばしば省略されます。

いずれにせよ、公理図式は、ZFの証明可能な定理（例えば、存在が証明された集合）の面でも、証明論的な一貫性の面でも、Zと比較してZFの強さを劇的に高める。以下にいくつかの重要な例を示す。

• フォン・ノイマンによる現代的な定義を用いて、以下の値を超える任意の極限順序数の存在を証明する。${\displaystyle \omega }$置換公理を必要とする。序数${\displaystyle \omega +\omega }$はそのような順序数の最初の例である。実際、無限公理は無限集合の存在を主張している。${\displaystyle \omega =\{0,1,2,\dots \}}$定義したいと願う人もいるかもしれない${\displaystyle \omega +\omega }$シーケンスの和集合として${\displaystyle \{\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots \}}$しかし、このような任意の順序数のクラスは集合である必要はありません。たとえば、すべての順序数のクラスは集合ではありません。置換により、各有限数を置き換えることができます。${\displaystyle n}$で${\displaystyle \omega }$対応する${\displaystyle \omega +n}$、したがってこのクラスが集合であることを保証します。補足として、と同型な整列集合を簡単に構築できることに注意してください。${\displaystyle \omega +\omega }$置換に頼らずに: 単に2 つのコピーの非交和を取る${\displaystyle \omega }$2番目のコピーは1番目のコピーよりも大きいが、これは包含関係によって完全に順序付けられていないため、順序数ではない。

• より大きな順序数は、置換に直接的に依存しない。たとえば、$\displaystyle \omega _{1}}$最初の非可算順序数は、次のように構成できます。可算ウェルオーダーの集合は、 の部分集合として存在します。${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$分離公理と冪集合公理によって（${\displaystyle A}$は、${\displaystyle A\times A}$、したがって、${\displaystyle P(A\times A)}$関係の集合は、${\displaystyle P(A\times A)}$各整列集合をその順序数に置き換えます。これが可算順序数の集合です。$\displaystyle \omega _{1}}$これは、それ自体が非可算であることが示せる。この構成では、置換を2回使用する。1回目は、各整列集合に順序数を割り当てるため、2回目は、整列集合をその順序数で置き換えるためである。これは、ハルトッグス数の結果の特殊な場合であり、一般の場合も同様に証明できる。

• 以上のことから、すべての整列集合に順序数を割り当てるという規則の存在には、置換公理も必要となる。同様に、各集合に基数を割り当てるフォン・ノイマン基数割り当ても、選択公理と同様に置換公理を必要とする。

• 再帰的に定義されたタプルの集合の場合${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$そして大規模な${\displaystyle A}$セット${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$その存在は、冪集合、選択、非置換の公理のみを用いた集合論から証明するには、ランクが高すぎる。

• 同様に、ハーヴェイ・フリードマンは、ボレルゲームが決定可能であることを示すには、少なくともいくつかの置換が必要であることを示した。証明された結果は、ドナルド・A・マーティンのボレル決定性定理である。マーティンによる後のより綿密な分析では、定義域が任意の可算順序数である関数に対してのみ置換が必要であることが示された。

• ZF（置換を含む）は、Zの一貫性を証明する。${\displaystyle V_{\オメガ +\オメガ }}$ZF においてその存在が証明できる Z のモデルである。基数${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は、ZF には存在するが Z には存在しないことが証明できる最小の基数です。明確にするために、ゲーデルの第 2 不完全性定理は、これらの理論のそれぞれが、その理論が無矛盾である場合に、その理論内で証明不可能な、その理論自身の無矛盾性を「表現する」文を含んでいることを示しています。この結果は、これらの理論のどちらも、無矛盾である場合に、自身の無矛盾性を証明できないという主張として、しばしば大まかに表現されます。

置換の公理図式は、エルンスト・ツェルメロの1908年の集合論の公理化（Z ）には含まれていなかった。カントールの未発表の著作にはそれに対する非公式な近似が存在し、ミリマノフ（1917）にも非公式に再び現れた。^{[ 5 ]}

1922年にアブラハム・フレンケルによって発表されたことで、現代の集合論はツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC ）と呼ばれるようになった。この公理は同年後半にトーラルフ・スコレムによって独立に発見され発表された（そして1923年に発表された）。ツェルメロ自身は、1930年に発表した改訂版の体系にフレンケルの公理を取り入れ、そこにはフォン・ノイマンの基礎公理も新しい公理として含まれていた。^{[ 6 ]}今日私たちが使用しているのはスコレムの公理リストの1階版であるが、^{[ 7 ]}個々の公理はそれぞれツェルメロかフレンケルによって以前に開発されたものであるため、通常はスコレムの功績は認められていない。「ツェルメロ＝フレンケル集合論」という表現は、1928年にフォン・ノイマンによって初めて印刷物で使用された。^{[ 8 ]}

ツェルメロとフランケルは1921年に頻繁に文通しており、置換公理はこのやり取りの主要な話題であった。^{[ 7 ]}フランケルは1921年3月頃にツェルメロとの文通を開始した。しかし、1921年5月6日付けの手紙より前の手紙は失われている。ツェルメロは1921年5月9日付けのフランケルへの返信で、自身の体系に欠陥があることを初めて認めた。1921年7月10日、フランケルは自身の公理が任意の置換を許容すると説明した論文（1922年に出版）を完成させ、出版のために提出した。「Mが集合であり、Mの各要素が[集合または要素]に置き換えられた場合、 Mは再び集合になる」（括弧内の補足と翻訳はエビングハウスによる）。フランケルの1922年の出版物では、有益な議論に対してツェルメロに感謝している。この出版に先立ち、フランケルは1921年9月22日にイエナで開催されたドイツ数学会の会合で、自身の新しい公理を公に発表した。ツェルメロはこの会合に出席しており、フランケルの講演後の議論で、置換公理を概ね受け入れたものの、その適用範囲については留保を表明した。^{[ 7 ]}

トーラルフ・スコレムは、1922年7月6日にヘルシンキで開催された第5回スカンジナビア数学者会議で行った講演で、ツェルメロの体系におけるギャップ（フランケルが発見したのと同じギャップ）の発見を公表した。この会議の議事録は1923年に出版された。スコレムは、1階定義可能な置換という観点から解決策を提示した。「Uを、領域B内の特定のペア( a , b )に対して成り立つ確定命題とする。さらに、すべてのaに対して、 Uが真となるbが最大で1つ存在すると仮定する。すると、aが集合M _aの要素を移動するとき、bは集合M _bのすべての要素を移動する。」同年、フランケルはスコレムの論文のレビューを執筆し、その中でスコレムの考察は自分の考察と一致すると単純に述べた。^{[ 7 ]}

ツェルメロ自身は、スコレムの置換公理図式の定式化を決して受け入れなかった。^{[ 7 ]}ある時点では、彼はスコレムのアプローチを「貧弱な集合論」と呼んだ。ツェルメロは、大きな基数を許容するシステムを構想していた。^{[ 9 ]}彼はまた、スコレムの第一階公理化から導かれる集合論の可算モデルの哲学的含意にも強く反対した。 ^{[ 8 ]}ハインツ＝ディーター・エビングハウスによるツェルメロの伝記によれば、ツェルメロがスコレムのアプローチを否定したことが、集合論と論理学の発展に対するツェルメロの影響の終焉を告げるものであった。^{[ 7 ]}

• エビングハウス、ハインツ＝ディーター（2007）。エルンスト・ツェルメロ：その生涯と作品へのアプローチ。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 978-3-540-49553-6。
• ハルモス、ポール R. (1974) [1960]。素朴集合論。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-90092-6。
• Jech, Thomas (2003).集合論：第三千年紀版、改訂増補版. Springer. ISBN 3-540-44085-2。
• クネン、ケネス（1980）。集合論：独立性証明入門。エルゼビア。ISBN 0-444-86839-9。