勢い

勢い
ビリヤードのキューボールの運動量は衝突後にラックに置かれたボールに伝達されます。
一般的な記号	p、p
SI単位	kg⋅m/s
その他のユニット	スラグ⋅ ft/s
保存されていますか?	はい
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-1}}$

ニュートン力学では、運動量（複数形：momentaまたはmomentums、より具体的には線形運動量または並進運動量）は、物体の質量と速度の積です。これはベクトル量であり、大きさと方向を持ちます。物体の質量をm 、速度をv（これもベクトル量）とすると、物体の運動量p（ラテン語のpellere「押す、駆動する」に由来）は次のようになります。国際単位系（SI） では、運動量の測定単位はキログラムメートル毎秒（kg⋅m/s）であり、これはニュートン秒と次元的に等価です。 ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} .}$

ニュートンの運動の第二法則は、物体の運動量の変化率は物体に作用する正味の力に等しいと述べています。運動量は基準系に依存しますが、どの慣性系でも保存量であり、つまり、閉じたシステムが外力の影響を受けない場合、その総線形運動量は変化しません。運動量は特殊相対性理論（修正された式を使用）でも保存され、修正された形式で、電磁力学、量子力学、場の量子論、および一般相対性理論でも保存されます。これは、空間と時間の基本的な対称性の1つである並進対称性の表現です。

古典力学の高度な定式化であるラグランジアン力学とハミルトン力学では、対称性と制約を組み込んだ座標系を選択できます。これらのシステムでは、保存量は 一般化運動量であり、一般にこれは上で定義した運動運動量とは異なります。一般化運動量の概念は量子力学に引き継がれ、波動関数の演算子になります。運動量演算子と位置演算子は、ハイゼンベルクの不確定性原理によって関連付けられています。

電磁場、流体力学、変形可能な物体などの連続システムでは、運動量密度は体積あたりの運動量（体積固有の量）として定義できます。運動量保存の連続バージョンは、流体のナビエ-ストークス方程式や変形可能な固体または流体のコーシー運動量方程式などの方程式につながります。

運動量はベクトル量です。大きさと方向の両方を持ちます。運動量には方向があるため、物体が衝突した後の運動の方向と速度を予測するために使用できます。以下では、運動量の基本的な特性を 1 次元で説明します。ベクトル方程式はスカラー方程式とほぼ同じです (複数の次元を参照)。

粒子の運動量は慣例的に文字pで表されます。これは粒子の質量(文字mで表される) と速度( v ) の 2 つの量の積です: ^[1] p = m v . {\displaystyle p=mv.}

運動量の単位は、質量と速度の単位の積です。SI単位では、質量がキログラムで速度がメートル/秒の場合、運動量はキログラムメートル/秒 (kg⋅m/s) になります。cgs単位では、質量がグラムで速度がセンチメートル/秒の場合、運動量はグラムセンチメートル/秒 (g⋅cm/s) になります。

運動量はベクトルであるため、大きさと方向があります。たとえば、1 kg の模型飛行機が真北に向かって 1 m/s で水平直線飛行する場合、地面を基準にして測定すると、真北方向に 1 kg⋅m/s の運動量になります。

粒子系の運動量は、それらの運動量のベクトル和です。2 つの粒子がそれぞれ質量m ₁とm ₂、速度v ₁とv ₂を持つ場合、全体の運動量は 次のようになります。2 つ以上の粒子の運動量は、より一般的には次のように加算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}$$

粒子のシステムには質量の中心があり、これは粒子の位置の加重合計によって決まる点です。 $${\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.}$$

1 つ以上の粒子が動いている場合、システムの質量の中心も通常は動きます (システムが質量の中心の周りを純粋に回転している場合を除く)。粒子の全質量が で、質量の中心が速度v _cmで動いている場合、システムの運動量は次のようになります。 ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}$$

これはオイラーの第一法則として知られています。^{[2] [3]}

粒子に作用する正味の力F が一定で、時間間隔Δ tにわたって作用する場合、粒子の運動量は Δ p = F Δ t だけ変化します。{\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

微分形式では、これはニュートンの第二法則である。粒子の運動量の変化率は、それに作用する瞬間的な力Fに等しい。 ^[1] $${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}p}{{\text{d}}t}}.}$$

粒子が受ける正味の力が時間の関数として変化するとすると、時間t 1 とt 2 の間の運動_量（または_力積J ）の変化は $${\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,{\text{d}}t\,.}$$

衝撃はニュートン秒（1 N⋅s = 1 kg⋅m/s）またはダイン秒（1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s） の派生単位で測定されます。

質量mが一定であると仮定すると、これは次のように書くことができる。

$${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}(mv)}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=ma,}$$

したがって、正味の力は粒子の質量と加速度の積に等しい。^[1]

例: 質量 1 kg の模型飛行機が、静止状態から 2 秒間で北方向に 6 m/s の速度まで加速します。この加速を生成するために必要な正味の力は、北方向に 3 ニュートンです。運動量の変化は、北方向に 6 kg⋅m/s です。運動量の変化率は、北方向に 3 (kg⋅m/s)/s であり、数値的には 3 ニュートンに相当します。

閉鎖系（周囲と物質の交換がなく、外部からの力も受けない系）では、運動量全体は一定のままである。この事実は運動量保存の法則として知られ、ニュートンの運動の法則によって暗示されている。^{[4] [5]}たとえば、2つの粒子が相互作用するとしよう。第3法則で説明されているように、それらの間の力は大きさは等しいが、方向は反対である。粒子に1と2の番号が付けられている場合、第2法則はF ₁ = ⁠と述べている。d p ₁/d t⁠そしてF ₂ = ⁠₂ページ目/d t⁠ . したがって、

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}p_{1}}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}p_{2}}{{\text{d}}t}},}$$ 負の符号は力が反対であることを示します。同様に、

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}$$

相互作用前の粒子の速度がv _A1とv _B1で、相互作用後の粒子の速度がv _A2とv _B2だとすると、

m A v A 1 + m B v B 1 = m A v A 2 + m B v B 2 です。 {\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}

この法則は、粒子間の力がどんなに複雑であっても成り立ちます。同様に、複数の粒子がある場合、各粒子間で交換される運動量は合計でゼロになるため、運動量の変化は合計でゼロになります。相互作用する多数の粒子の全運動量保存則は次のように表すことができます^[4]$${\displaystyle m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}+m_{C}v_{C}+...=constant.}$$

この保存則は、衝突（弾性衝突と非弾性衝突の両方）や爆発力による分離など、すべての相互作用に適用されます。^{[4]また、ニュートンの法則が当てはまらない状況、例えば}相対性理論や電磁力学にも一般化できます。^[6]

運動量は測定可能な量であり、その測定は基準フレームに依存します。たとえば、質量が 1000 kg の航空機が 50 m/s の速度で空中を飛行している場合、その運動量は 50,000 kg.m/s と計算できます。航空機が 5 m/s の向かい風に向かって飛行している場合、地球の表面に対する速度は 45 m/s に過ぎず、その運動量は 45,000 kg.m/s と計算できます。両方の計算は同様に正確です。両方の基準フレームにおいて、運動量の変化は関連する物理法則と一致していることがわかります。

x が慣性座標系上の位置であるとする 。他の座標系から見ると、他の座標系に対して一定速度uで移動する位置（ダッシュ付きの座標で表される）は時間とともに次のように変化する。

$${\displaystyle x'=x-ut\,.}$$

これをガリレイ変換といいます。

粒子が速度で動いている場合⁠d x/d t⁠ = v は最初の参照フレームでは、2番目の参照フレームでは速度

$${\displaystyle v'={\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}=v-u\,.}$$

u は変化しないので、2 番目の参照フレームも慣性フレームとなり、加速度は同じになります。

$${\displaystyle a'={\frac {{\text{d}}v'}{{\text{d}}t}}=a\,.}$$

したがって、運動量は両方の基準系で保存されます。さらに、両方の基準系で力が同じ形をしている限り、ニュートンの第二法則は変化しません。ニュートンの重力などの力は、物体間のスカラー距離のみに依存し、この基準を満たします。この基準系の独立性は、ニュートンの相対性またはガリレイ不変性と呼ばれます。^[7]

参照フレームの変更により、多くの場合、運動の計算が簡素化されます。たとえば、2 つの粒子の衝突では、一方の粒子が静止状態から始まる参照フレームを選択できます。よく使用される別の参照フレームは、質量中心フレームです。これは質量中心とともに移動するフレームです。このフレームでは、総運動量はゼロです。

運動量がわかっている2つの粒子が衝突して合体した場合、運動量保存の法則を使って合体した物体の運動量を求めることができます。衝突の結果、2つの粒子が分離した場合、この法則は各粒子の運動量を求めるのに十分ではありません。衝突後の一方の粒子の運動量がわかっている場合は、この法則を使ってもう一方の粒子の運動量を求めることができます。あるいは、衝突後の総合運動エネルギーがわかっている場合は、この法則を使って衝突後の各粒子の運動量を求めることができます。^[8]運動エネルギーは通常は保存されません。運動エネルギーが保存される場合、その衝突は弾性衝突と呼ばれ、保存されない場合は非弾性衝突と呼ばれます。

弾性衝突とは、運動エネルギーが熱や他の形態のエネルギーに変換されない衝突のことである。完全弾性衝突は、物体が互いに接触していないときに発生する。たとえば、原子や核の散乱では、電気的反発によって物体が離れている。衛星が惑星の周りをパチンコのように飛ぶことも、完全弾性衝突とみなすことができる。ビリヤードのボール同士の衝突は、その高い剛性によりほぼ完全な弾性衝突の良い例であるが、物体が接触すると必ずいくらかの散逸が生じる。^[9]

2 つの物体の正面衝突は、物体を通る線に沿った 1 次元の速度で表すことができます。衝突前の速度がv _A1とv _{B1 、衝突後の速度が}v _A2とv _B2の場合、運動量と運動エネルギーの保存を表す式は次のようになります 。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

参照フレームの変更により、衝突の分析が簡単になります。たとえば、等質量mの 2 つの物体があり、一方は静止しており、もう一方は速度vで他方に近づいているとします(図を参照)。質量の中心は速度⁠で移動しています。ヴ/2⁠そして両方の物体はそれに向かって高速で移動しています⁠ヴ/2⁠。対称性のため、衝突後、両者は同じ速度で質量の中心から遠ざかることになる。質量の中心の速度を両者に加えると、動いていた物体は停止し、もう一方は速度vで遠ざかっていることがわかる。物体は速度を交換した。物体の速度に関係なく、質量の中心フレームに切り替えると同じ結論に至る。したがって、最終的な速度は^{[4]で与えられる。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

一般に、初期速度がわかっている場合、最終速度は^{[10]で与えられる。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=\left({\frac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}+\left({\frac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}\\v_{B2}&=\left({\frac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}+\left({\frac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

一方の物体の質量が他方の物体の質量よりはるかに大きい場合、その物体の速度は衝突によってほとんど影響を受けませんが、もう一方の物体の速度は大きな変化を経験します。

非弾性衝突では、衝突する物体の運動エネルギーの一部が他の形態のエネルギー（熱や音など）に変換されます。例としては、交通事故^[11]では運動エネルギーの損失の影響が車両の損傷に見られます。また、電子がエネルギーの一部を原子に失う（フランク・ヘルツの実験のように）^[12]や、粒子加速器では運動エネルギーが新しい粒子の形で質量に変換されます。

完全に非弾性な衝突（虫がフロントガラスにぶつかるなど）では、衝突後、両方の物体は同じ動きをします。2 つの物体の正面衝突は、物体を通る線に沿った 1 次元の速度で表すことができます。衝突前の速度がv _A1とv _B1の場合、完全に非弾性な衝突では、衝突後、 両方の物体は速度v ₂で移動します。運動量保存を表す式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

一方の物体が最初から静止している場合（例）、運動量保存則は ${\displaystyle u_{2}=0}$

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,,}$$

それで

$${\displaystyle v_{2}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}\,.}$$

別の状況では、基準フレームが最終速度で動いていて、 の場合、物体は完全に非弾性な衝突によって静止し、運動エネルギーの 100% が他の形態のエネルギーに変換されます。この場合、物体の初期速度はゼロではないか、物体の質量がゼロでなければなりません。 ${\displaystyle v_{2}=0}$

衝突の非弾性度を測る一つの指標は反発係数 C _Rであり、これは分離相対速度と接近​​相対速度の比として定義される。この指標を固体表面から跳ね返るボールに適用すると、次の式で簡単に測定できる。^[13]

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$$

運動量とエネルギーの方程式は、最初は一緒に動き、その後離れていく物体の運動にも当てはまります。たとえば、爆発は、化学的、機械的、または核的な形で蓄えられた位置エネルギーを運動エネルギー、音響エネルギー、および電磁放射に変換する連鎖反応の結果です。ロケットも運動量保存則を利用しています。推進剤は外側に押し出されて運動量を獲得し、等しく反対の運動量がロケットに与えられます。^[14]

実際の運動は方向と速度の両方を持ち、ベクトルで表現される必要がある。x 、y、z軸を持つ座標系では、速度はx方向にv _x、y方向にv _y、z方向にv _zの成分を持つ。ベクトルは太字の記号で表される: ^[15]

$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}$$

同様に、運動量はベクトル量であり、太字の記号で表されます。

$${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

前のセクションの方程式は、スカラーpとv をベクトルpとvに置き換えるとベクトル形式で機能します。各ベクトル方程式は、3 つのスカラー方程式を表します。たとえば、

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$

３つの方程式を表す：^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}$$

運動エネルギー方程式は上記の置換規則の例外です。方程式は依然として1次元ですが、各スカラーはベクトルの大きさを表します。たとえば、

$${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.}$$

各ベクトル方程式は3つのスカラー方程式を表します。多くの場合、図のように2つの成分だけが必要になるように座標を選択できます。各成分を個別に取得し、結果を組み合わせてベクトルの結果を生成することができます。^[15]

質量中心フレームを含む単純な構造は、静止した弾性球が動いている球に衝突した場合、衝突後に2つの球が直角に進むことを示すために使用できます（図を参照）。^[16]

運動量の概念は、燃料を噴射するロケットやガスを降着させる恒星 など、質量が変化する物体の挙動を説明する上で基本的な役割を果たします。このような物体を分析する場合、物体の質量を時間とともに変化する関数m ( t )として扱います。したがって、時刻tにおける物体の運動量はp ( t ) = m ( t ) v ( t )です。次に、ニュートンの運動の第 2 法則を適用して、物体に働く外力F は、その運動量p ( t )とF = ⁠によって関係していると言うことができます。d p/d t⁠ですが、これは誤りであり、積の法則を⁠に適用して得られる関連式も同様です。d ( m v )/d t⁠ : ^[17]

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}+v(t){\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}.{\text{(incorrect)}}}$$

この式は、質量が変化する物体の運動を正しく記述していません。正しい式は

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}-u{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}},}$$

ここでuは物体の静止系から見た放出/蓄積された質量の速度である。^[17]これは慣性系から見た物体自体の速度 vとは異なる。

この方程式は、物体の運動量と放出/蓄積された質量 ( d m ) の運動量の両方を追跡することによって導き出されます。一緒に考えると、物体と質量 ( d m ) は、全体の運動量が保存される閉じたシステムを構成します。

$${\displaystyle P(t+{\text{d}}t)=(m-{\text{d}}m)(v+{\text{d}}v)+{\text{d}}m(v-u)=mv+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m=P(t)+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m}$$

ニュートンの法則は、多くの種類の運動に適用するのが難しい場合があります。なぜなら、運動は制約によって制限されるからです。たとえば、そろばんの珠はワイヤーに沿って動くように制約され、振り子の錘は支点から一定の距離で振動するように制約されています。このような制約の多くは、通常の直交座標を、より少ない数の一般化座標に変更することによって組み込むことができます。 ^[18]一般化座標で力学問題を解くための洗練された数学的手法が開発されています。これらの手法では、線運動量と角運動量の両方の概念を拡張した、一般化運動量（正準運動量または共役運動量とも呼ばれる）が導入されています。これを一般化運動量と区別するために、質量と速度の積は、機械的運動量、運動運動量、または運動学的運動量とも呼ばれます。^{[6] [19] [20]}以下に、2つの主な手法について説明します。

ラグランジアン力学では、ラグランジアンは運動エネルギーTと位置エネルギー Vの差として定義されます。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V\,.}$$

一般化座標がベクトルq = ( q ₁ , q ₂ , ... , q _N )として表され、時間微分が変数上の点で表される場合、運動方程式（ラグランジュ方程式またはオイラー・ラグランジュ方程式として知られる）はN個の方程式の集合である：^[21]

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.}$$

座標q _{i が}直交座標でない場合、関連する一般化運動量成分p _{i は}必ずしも線形運動量の次元を持つわけではありません。q _{i が}直交座標であっても、ポテンシャルが速度に依存する場合、 p _{i は}機械的運動量と同じではありません。^[6]一部の情報源では、運動量を記号Πで表しています。^[22]

この数学的枠組みでは、一般化運動量は一般化座標と関連しており、その成分は次のように定義される。

$${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.}$$

各成分p _{j は}座標q _jの共役運動量であると言われています。

ここで、与えられた座標q _{i が}ラグランジアンに現れない場合（時間微分は現れるかもしれないが）、p _jは一定である。これが運動量保存則の一般化である。^[6]

一般化座標が通常の空間座標であっても、共役運動量は必ずしも通常の運動量座標であるとは限りません。例は電磁気学のセクションにあります。

ハミルトン力学では、ラグランジアン（一般化座標とその導関数）は、一般化座標と運動量の関数であるハミルトニアンに置き換えられます。ハミルトニアンは次のように定義されます。

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,}$$

ここで運動量は上記のようにラグランジアンを微分することによって得られる。ハミルトンの運動方程式は^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {{\text{d}}{\mathcal {H}}}{{\text{d}}t}}\,.\end{aligned}}}$$

ラグランジアン力学と同様に、ハミルトニアンに一般化座標が現れない場合、その共役運動量成分は保存される。^[24]

運動量保存則は、空間の均質性（シフト対称性）（空間内の位置は運動量の標準的な共役量である）の数学的帰結である。つまり、運動量保存則は、物理法則が位置に依存しないという事実の帰結であり、これはノイマンの定理の特殊なケースである。^[25]この対称性を持たないシステムの場合、運動量保存則を定義できない可能性がある。運動量保存則が適用されない例としては、一般相対性理論における曲がった時空^[26]や凝縮物質物理学における時間結晶などがある。^{[27] [28] [29] [30]}

流体力学や固体力学などの分野では、個々の原子や分子の運動を追跡することは現実的ではありません。代わりに、物質を連続体で近似する必要があります。連続体では、各点に、近くの小さな領域にある原子の特性の平均が割り当てられた粒子または流体塊があります。特に、時間tと位置rに依存する密度ρと速度v があります。単位体積あたりの運動量はρ vです。^[31]

静水圧平衡にある水柱を考えてみましょう。水に働くすべての力が釣り合っており、水は静止しています。どの水滴でも、2 つの力が釣り合っています。1 つ目は重力で、内部の各原子と分子に直接作用します。単位体積あたりの重力はρ gで、gは重力加速度です。2 つ目の力は、周囲の水によって表面に及ぼされるすべての力の合計です。下からの力は、重力と釣り合うのに必要な量だけ上からの力よりも大きくなります。単位面積あたりの法線方向の力は圧力p です。液滴内部の単位体積あたりの平均力は圧力の勾配であるため、力のバランス方程式は^{[32]です。}

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

力が釣り合っていなければ、液滴は加速します。この加速は単なる偏微分ではありません。∂v​/∂t ...⁠与えられた体積内の流体は時間とともに変化するため、代わりに物質微分が必要となる。 ^[33]

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

あらゆる物理量に適用すると、物質微分には、ある点における変化率と、流体がその点を通過する際の移流による変化が含まれます。単位体積あたりの運動量の変化率はρに等しい⁠Dv​/D t⁠。これは液滴にかかる正味の力に等しい。

液滴の運動量を変化させる力には、上記のように圧力勾配と重力があります。さらに、表面力によって液滴が変形することがあります。最も単純なケースでは、液滴の表面に平行な力によって生じるせん断応力 τは、変形速度またはひずみ速度に比例します。このようなせん断応力は、流体が一方の側で他方よりも速く移動しているために流体に速度勾配がある場合に発生します。x 方向の速度が z とともに変化する場合は、z方向に垂直 な単位面積あたりの方向xの接線力は

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

ここでμは粘度である。これは表面を通るx運動量のフラックス、つまり単位面積あたりの流れでもある。 ^[34]

粘性の影響を考慮すると、ニュートン流体の非圧縮流れの運動量バランス方程式は

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

これらはナビエ・ストークス方程式として知られています。^[35]

運動量バランス方程式は、固体を含むより一般的な材料に拡張できます。法線がi方向で力がj方向の各表面に対して、応力成分σ _{i j}が存在します。9 つの成分がコーシー応力テンソル σを構成し、圧力とせん断の両方が含まれます。運動量の局所的保存は、コーシー運動量方程式によって表されます。

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

ここでfは体積力である。^[36]

コーシー運動量方程式は、固体と液体の変形に広く適用できます。応力とひずみ速度の関係は、材料の特性によって異なります ( 「粘性の種類」を参照)。

媒体の乱れは振動、つまり波を生じさせ、発生源から離れて伝播します。流体では、圧力pの小さな変化は、多くの場合、音波方程式で記述できます。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

ここでcは音速である。固体では圧力（P波）とせん断（S波）の伝播についても同様の式が得られる。^[37]

運動量成分ρ v _{j の}速度v _iによるフラックス、つまり単位面積あたりの輸送量はρ v _j v _jに等しい。^{[疑わしい–議論する]}上記の音響方程式を導く線形近似では、このフラックスの時間平均はゼロである。しかし、非線形効果により平均がゼロ以外の値になることもある。^[38]波自体が平均運動量を持たない場合でも、運動量フラックスが発生する可能性がある。^[39]

マクスウェル方程式では、粒子間の力は電場と磁場によって媒介される。電荷qを持つ粒子に電場Eと磁場Bの組み合わせによって生じる電磁力（ローレンツ力）は、

F = q ( E + v × B ) 。 {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}

（SI単位系）。^{[40] : 2}電位 φ ( r , t )と磁気ベクトルポテンシャル A ( r , t ) を持つ。^[22] 非相対論的領域では、その一般化運動量は

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

一方、相対論的力学では、これは

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

V = q Aという量は、潜在的運動量と呼ばれることもあります。^{[41] [42] [43]}これは、粒子と電磁場の相互作用によって生じる運動量です。この名前は、粒子と電磁場の相互作用によって生じるエネルギーである潜在的エネルギーU = q φとの類似性から来ています。これらの量は 4 元ベクトルを形成するため、この類似性は一貫しています。また、潜在的運動量の概念は、いわゆる電磁場の隠れた運動量を説明する上で重要です。 ^[44]

ニュートン力学では、運動量保存の法則は作用反作用の法則から導かれ、すべての力には互いに等しく反対の力が作用するというものです。状況によっては、運動する荷電粒子が互いに反対方向ではない方向に力を及ぼすことがあります。^[45]それにもかかわらず、粒子と電磁場の結合した運動量は保存されます。

ローレンツ力は粒子に運動量を与えるので、ニュートンの第二法則によれば、粒子は電磁場に運動量を与えなければならない。^[46]

真空中では、単位体積あたりの運動量は

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,}$$

ここで、μ ₀は真空の透磁率、c は光速である。運動量密度はポインティングベクトル Sに比例し、単位面積あたりのエネルギー移動の方向速度を与える：^{[46] [47]}

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.}$$

運動量が領域Q上の体積Vにわたって保存される場合、ローレンツ力による物質の運動量の変化は、電磁場の運動量の変化と運動量の流出によってバランスされなければならない。P _mechがQ内のすべての粒子の運動量であり、粒子が連続体として扱われる場合、ニュートンの第2法則は次のように表される。

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\mathbf {P} _{\text{mech}}}{{\text{d}}t}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right){\text{d}}V\,.}$$

電磁運動量は

$${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,}$$

そして運動量の 各成分iの保存式は

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right){\text{d}}\Sigma \,.}$$

右辺の項は、体積に出入りする運動量の流れを表す表面σの表面積Σの積分であり、 n _{j は}Sの表面法線の成分である。量T _{i j}はマクスウェル応力テンソルと呼ばれ、 ^[46]で定義される。

$${\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.}$$

上記の結果は、真空中（または媒体内の非常に小さなスケール）の電磁力に適用できるミクロなマクスウェル方程式に関するものです。媒体内の運動量密度を定義するのは、電磁力と機械力学への区分が恣意的であるため、より困難です。電磁運動量密度の定義は次のように修正されます。

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,}$$

ここで、磁界Hは磁界Bと磁化 Mと次のように 関係している。

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.}$$

電磁応力テンソルは媒体の特性に依存する。^[46]

量子力学では、運動量は波動関数の自己随伴演算子として定義されます。ハイゼンベルクの不確定性原理は、単一の観測可能なシステムの運動量と位置を一度にどれだけ正確に知ることができるかについての限界を定義します。量子力学では、位置と運動量は共役変数です。

位置基底で記述された単一粒子の場合、運動量演算子は次のように表される。

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}$$

ここで、∇は勾配演算子、ħは縮約プランク定数、iは虚数単位です。これは運動量演算子の一般的な形式ですが、他の基底における運動量演算子は他の形式を取ることもあります。たとえば、運動量空間では、運動量演算子は固有値方程式 によって表されます。

$${\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}$$

ここで、波動固有関数ψ ( p )に作用する演算子p は、波動関数に固有値pを乗じた値を生成します。これは、波動関数ψ ( x )に作用する位置演算子が波動関数に固有値xを乗じた値を生成するのと類似しています。

質量のある物体と質量のない物体の両方において、相対論的運動量は位相定数 βと次の式で関係付けられる^[48]。

$${\displaystyle p=\hbar \beta }$$

電磁放射（可視光線、紫外線、電波など）は光子によって運ばれる。光子（光の粒子的側面）は質量を持たないが、運動量を運ぶ。この性質を利用してソーラーセイルなどの応用が行われている。誘電体媒体内での光の運動量の計算は、やや議論を呼んでいる（アブラハム・ミンコフスキー論争を参照）。^{[49] [50]}

ニュートン物理学は、絶対的な時間と空間はいかなる観測者からも外に存在すると仮定しており、これがガリレイ不変性を生む。また、光速は基準系ごとに変化する可能性があるという予測にもつながる。これはこれまで観察されてきたこととは相反する。特殊相対性理論において、アインシュタインは運動方程式は基準系に依存しないという仮定を維持しているが、光速cは不変であると仮定している。その結果、2つの基準系における位置と時間は、ガリレイ変換ではなくローレンツ変換によって関連付けられる。^[51]

例えば、ある基準フレームが別の基準フレームに対してx方向に速度vで動いているとします。ガリレイ変換により、動いているフレームの座標は次のように表されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

一方、ローレンツ変換は^[52]

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

ここでγはローレンツ因子である。

γ = 1 1 − v 2 / c 2 。 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}

ニュートンの第 2 法則は、質量が固定されているため、ローレンツ変換に対して不変ではありません。ただし、物体の 慣性質量 m を速度の関数にすることで不変にすることができます。

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m _{0 は}物体の不変質量である。 ^[53]

修正された運動量、

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

ニュートンの第二法則に従う:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

古典力学の領域では、相対論的運動量はニュートンの運動量に近似します。つまり、低速度では、γ m ₀ v はニュートンの運動量の表現であるm ₀ vとほぼ等しくなります。

特殊相対性理論では、物理量は4 次元ベクトルで表現され、3 つの空間座標に加えて 4 番目の座標として時間が含まれる。これらのベクトルは一般に大文字で表され、たとえば位置はRとなる。4次元運動量の表現は、座標の表現方法によって異なる。時間は、通常の単位で表すことも、光速を乗じて 4 次元ベクトルのすべての要素が長さの次元を持つようにすることもできる。後者のスケーリングを使用する場合、固有時間間隔τは^[54]で定義される。

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

はローレンツ変換に対して不変である（この表現とその後の表現では（+ − − −） 計量符号が使用されているが、著者によって表記法が異なる）。数学的には、この不変性は2つの方法のいずれかで保証できる。4元ベクトルをユークリッドベクトルとして扱い、時間に√ −1を掛ける。または、時間を実数として、ベクトルをミンコフスキー空間に埋め込む。^[55]ミンコフスキー空間では、2つの4元ベクトルU = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ )とV = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ )のスカラー積は次のように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

すべての座標系において、（反変）相対論的４元速度は次のように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

そして（反変）4元運動量は

P = m 0 U 、 {\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}

ここで、m 0_は不変質量である。R = ( c t , x , y , z ) (ミンコフスキー空間) の場合、

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

アインシュタインの質量エネルギー等価性、E = m c ²を用いると、これは次のように書き直すことができる。

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

したがって、四元運動量の保存はローレンツ不変であり、質量とエネルギーの両方の保存を意味します。

運動量4ベクトルの大きさはm ₀ cに等しい。

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

すべての参照フレームにわたって不変です。

相対論的なエネルギーと運動量の関係は、光子のような質量のない粒子に対しても成り立つ。m ₀ = 0と設定すると、

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

相対論的な「ビリヤード」ゲームでは、静止粒子が弾性衝突で運動粒子に当たった場合、その後の2つの粒子の軌道は鋭角を形成する。これは、2つの粒子が直角に移動する非相対論的なケースとは異なる。^[56]

平面波の4元運動量は波の4元ベクトルと関連している可能性がある^[57]

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

粒子の場合、時間成分間の関係 E = ħ ωはプランク・アインシュタインの関係であり、空間成分間の関係p = ħ kはド・ブロイ 物質波を表します。

西暦530年頃、ヨハネス・ピロポノスはアリストテレスの『自然学』の注釈書である『物理学について』の中で運動量の概念を展開した。アリストテレスは、動いているものはすべて何かによって動かされているに違いないと主張した。例えば、投げられたボールは空気の動きによって動かされているに違いない。ピロポノスは、物体の運動は、その通過に抵抗する同じ空気によって促進されるというアリストテレスの主張の不合理性を指摘した。彼は代わりに、物体を投げるという行為によって物体に推進力が与えられると提唱した。^[58]

1020年、イブン・シーナー（ラテン語表記のアヴィセンナとしても知られる）はフィロポノスを読み、 『治癒の書』で独自の運動理論を発表した。彼は、発射体には投射者によって推進力が与えられることに同意したが、それが真空中でも衰える一時的な効用であると信じていたフィロポノスとは異なり、彼はそれを永続的なものとみなし、それを消散させるには空気抵抗などの外力が必要であると考えた。^{[59] [60] [61]}

13世紀と14世紀に、ピーター・オリヴィとジャン・ビュリダンは、フィロポノスの著作、そしておそらくはイブン・シーナーの著作を読み、改良した。^[61] 1350年頃にパリ大学の学長となったビュリダンは、推進力は重さと速度の積に比例すると述べている。さらに、ビュリダンの理論は、推進力が自己消散するとは考えず、物体は推進力に対抗する空気抵抗と重力の力によって停止すると主張した点で、前任者の理論とは異なっていた。^{[62] [63]}

フランスの哲学者ルネ・デカルトは、1644年の『哲学原理』 の中で、 「運動量」（ラテン語：quantitas motus）を大きさと速度の積として定義し、^[64]宇宙の運動の総量は保存されると主張した。^{[64] [65]}

x が y の 2 倍の大きさで、半分の速さで移動している場合、それぞれの動きは同じ量になります。

[神]は物質とその運動を創造しました...物事をただ自然に進ませるだけで、神は最初に置いたのと同じ量の運動を保存します。

これを現代の運動量保存の法則の記述として読むべきではない。なぜならデカルトには、重さや大きさとは異なる質量という概念がなかったからである。（重さとは異なる質量という概念は、1686年にニュートンによって導入された。）^[66]さらに重要なことは、彼は保存されるのは速度ではなく速さであると信じていたことである。したがってデカルトにとって、動いている物体が表面で跳ね返り、方向は変わっても速度は変わらない場合、その運動量は変化しないはずであった。^{[67] [68] [69]} ガリレオは、1638年に出版された『二つの新科学』の中で、同様にデカルトの運動量を説明するのにイタリア語の「インペート」という言葉を使った。

1600年代、クリスティアーン・ホイヘンスは、デカルトの二物体の弾性衝突に関する法則は間違っているに違いないとかなり早い段階で結論付け、正しい法則を定式化した。 ^[70]重要なステップは、問題のガリレイ不変性を認識したことだ。 ^[71]彼の見解が広まるまでには何年もかかった。 1661年にロンドンでウィリアム・ブランカーとクリストファー・レンに直接それを伝えた。 ^{[72]スピノザが1666年の}第二次英蘭戦争中にヘンリー・オルデンバーグにそれについて書いた内容は秘密にされた。^{[73]ホイヘンスは実際に1652年から1656年の間に}『体からの動力について』という原稿でそれを解明していた。戦争は1667年に終わり、ホイヘンスは1668年に王立協会で研究結果を発表しました。彼は1669年にそれをJournal des sçavans^{に出版しました。 [74]}

1670年、ジョン・ウォリスは『幾何学論考』の中で、運動量保存の法則を次のように述べた。「物体の初期状態は、静止しているか運動しているかにかかわらず、そのまま維持される」そして「力が抵抗よりも大きい場合、運動が生じる」。^{[75]ウォリスは運動量に}運動量、力に力を使用した。

1686年、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは『形而上学序説』の中で、異なる大きさのブロックを異なる距離に落とす例を用いて、デカルトの「運動量」保存説の構築に反論した。彼は、力は保存されるが、物体の大きさと速度の積として解釈される運動量は保存されないと指摘した。^[76]

1687年、アイザック・ニュートンは、ウォリスと同様に、著書『自然哲学の数学的原理』の中で、数学的な運動量を表す言葉の模索を行っている。彼の定義IIでは、 quantitas motus（運動量）を「物質の速度と量から同時に生じる」と定義し、運動量であるとしている。^[77]したがって、法則IIで彼がmutatio motus（運動の変化）に言及しているとき、それは加えられた力に比例するため、一般的に運動量ではなく運動量を意味していると解釈されている。^[78]

1721年、ジョン・ジェニングスは、ニュートンの『プリンキピア・マテマティカ』の最終版の5年前に、現在の数学的な意味での運動量が証明された『雑集』を出版した。運動量M、つまり「運動量」は、学生向けに「長方形」、QとVの積として定義されていた。ここで、Qは「物質の量」、Vは「速度」である。 s/t⁠ . ^[79]

1728年、百科事典には次のように記されています。

あらゆる物体の運動量、推進力、または運動量は、その速度（または特定の時間に移動する空間、運動を参照）と質量の積です。

• ウィキメディア・コモンズのMomentumに関連するメディア
• 運動量保存則 – オンライン教科書の一章