抽象インデックス表記

抽象インデックス表記法（スロット命名インデックス表記法とも呼ばれる）^[1]は、テンソルとスピノルの数学的表記法であり、特定の基底における成分ではなく、その型を示すためにインデックスを使用する。^{[2]インデックスは単なるプレースホルダーであり、基底とは関係がなく、特に数値的ではない。したがって、}リッチ計算と混同してはならない。この表記法は、アインシュタインの総和規則の形式的側面を使用して、現代の抽象テンソル表記法における縮約と共変微分を記述する際の難しさを補い、関連する式の明示的な共変性を維持する方法として、ロジャー・ペンローズによって導入された。 ^[3]

をベクトル空間、その双対空間とします。たとえば、次数 2 の共変テンソルを考えます。すると、 は上の双線型形式と同一視できます。言い換えると、これは 2 つの引数の関数であり、 はスロットのペアとして表すことができます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle h=h(-,-).}$

抽象インデックス表記は、スロットをラテン文字で ラベル付けするだけであり、スロットのラベルとして指定する以外には意味を持ちません（つまり、数値ではありません）。

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

2つのテンソル間のテンソル収縮（またはトレース）は、インデックスラベルの繰り返しによって表されます。1つのラベルは反変（上のインデックスは因子 に対応）で、もう1つのラベルは共変（下のインデックスは因子 に対応）です。したがって、たとえば、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

は、テンソルの最後の 2 つのスロット上のトレースです。繰り返しインデックスによってテンソル縮約を表すこの方法は、形式的にはアインシュタインの総和規則に似ています。ただし、インデックスは数値ではないため、総和を意味するわけではありません。むしろ、これは、 型のテンソル因子と 型のテンソル因子の間の抽象的な基底に依存しないトレース操作 (または自然なペアリング)に対応します。 ${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

一般同次テンソルは、 とのコピーのテンソル積の要素であり、例えば ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

このテンソル積の各因子に、反変因子については上向きの位置に、共変因子については下向きの位置にラテン文字でラベルを付けます。このようにして、積を次のように書きます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

あるいは、単に

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

最後の 2 つの式は、最初の式と同じオブジェクトを表します。このタイプのテンソルは、同様の表記法を使用して表されます。たとえば、次のようになります。

${\displaystyle h^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}\in V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e }=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

一般に、空間のテンソル積に反変因子と共変因子が 1 つずつ現れるときはいつでも、それに関連する収縮写像(またはトレース写像) が存在する。例えば、

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

テンソル積の最初の 2 つの空間上のトレースです。は最初と最後の空間上のトレースです。 $${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{ *}\時々 V}$$

これらのトレース操作は、テンソル上でインデックスの繰り返しによって表される。したがって、最初のトレースマップは次のように表される。

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^ {a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{}_{e}}$

そして2番目は

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^ {a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{a}.}$

単一のベクトル空間上の任意のテンソル積には、関連する編組写像が存在する。例えば、編組写像

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

は、 2 つのテンソル因子を交換します (そのため、単純テンソルへの作用は で与えられます)。一般に、編組写像は対称群の要素と 1 対 1 に対応しており、テンソル因子を置換することによって作用します。ここで、 は、置換に関連付けられた編組写像を表します(互いに素な巡回置換の積として表されます)。 ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$${\displaystyle \tau_{\sigma}}$${\displaystyle \sigma}$

編み込み写像は、例えば、ビアンキ恒等式を表現するために微分幾何学において重要である。ここで、 はリーマンテンソル を表し、 のテンソルとみなされる。最初のビアンキ恒等式は、次のことを主張する。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

${\displaystyle R+\タウ _{(123)}R+\タウ _{(132)}R=0.}$

抽象インデックス表記法は、次のように組紐を扱う。特定のテンソル積において、抽象インデックスの順序は固定されている（通常は辞書式順序）。次に、組紐はインデックスのラベルを並べ替える表記法で表現される。例えば、リーマンテンソルの場合、

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V 、}$

ビアンキのアイデンティティは

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

一般テンソルは反対称化または対称化することができ、それに応じた表記法があります。

例を使って表記法を説明します。(0,3) 型テンソル を反対称化してみましょう。ここでは3 つの要素上の対称群です。 ${\displaystyle \omega_{abc}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

同様に対称化することもできます。

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

• ペンローズのグラフィカル表記
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• ベクトルの共変性と反変性