数学記号の用語集

数学記号は、数学的対象、数学的対象に対する動作、数学的対象間の関係を表すために、または式に現れる他の記号を構成するために使用される図形または図形の組み合わせです。式はさまざまな種類の記号で完全に構成されているため、すべての数学を表現するには多くの記号が必要です。

最も基本的な記号は、10進数（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）とラテンアルファベットの文字です。10進数は、ヒンドゥー-アラビア数字システムで数字を表すために使用されます。歴史的に、大文字は幾何学の点を表すために使用され、小文字は変数と定数に使用されていました。文字は、他の多くの種類の数学的対象を表すために使用されます。現代の数学ではこれらの種類の数が著しく増加したため、ギリシャ語のアルファベットと一部のヘブライ文字も使用されます。数式では、標準的な書体は、ラテン文字と小文字のギリシャ文字の場合はイタリック体、大文字のギリシャ文字の場合は直立体です。より多くの記号を含めるために、他の書体も使用されます。主に、ボールド体 、スクリプト書体（小文字のスクリプト書体は、標準書体と混同される可能性があるため、ほとんど使用されません）、ドイツ語のフラクトゥール体、黒板ボールド体（他の文字はこの書体ではほとんど使用されないか、使用方法が一般的ではありません）です。 ${\displaystyle \mathbf {a,A,b,B} ,\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {A,B}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a,A,b,B}},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}}$

この記事では、数学的対象を表す記号としてのラテン文字とギリシャ文字の使用については説明しません。そのような使用法については、変数 (数学)および数学定数の一覧を参照してください。ただし、ここで説明する記号の中には、やのように、その派生元の文字と同じ形をしているものもあります。 ${\displaystyle \textstyle \prod {}}$${\displaystyle \textstyle \sum {}}$

これらの文字だけでは数学者のニーズを満たすには不十分であり、他の多くの記号が使用されます。 いくつかは、伝統的に印刷術で使用されてきた句読点や発音区別符号に由来し、他のものは、や の場合のように、文字の形を変形して生まれました。 +や=など、数学のために特別に設計されたものもあります。 ${\displaystyle \in}$${\displaystyle \forall}$

• 通常、用語集のエントリはトピック別に構造化され、アルファベット順に並べられます。しかし、ここでは記号に自然な順序はなく、多くの記号が数学のさまざまな部分でさまざまな意味で使用され、まったく関係がないこともよくあるため、これは不可能です。そのため、いくつかの恣意的な選択を行う必要があり、以下に要約します。
• この記事は、専門性のレベルが上がるにつれてセクションに分かれています。つまり、最初のセクションには、ほとんどの数学テキストで見られる記号が含まれており、初心者でも知っているはずです。一方、最後のセクションには、数学の特定の領域に特有の記号が含まれており、これらの領域以外では無視されます。ただし、括弧に関する長いセクションは、ほとんどのエントリが初歩的であるにもかかわらず、末尾近くに配置されています。これにより、スクロールして記号エントリを簡単に検索できます。
• ほとんどの記号には複数の意味があり、一般的には、記号が使用される数学の分野または構文、つまり数式内の位置と、記号に近い数式の他の部分の性質によって区別されます。
• 読者は探している記号が数学のどの分野に関係しているかを知らない可能性があるため、記号のさまざまな意味は、最も一般的な意味に対応するセクションにグループ化されています。
• 意味が構文に依存する場合、記号は構文に応じて異なるエントリを持つことがあります。エントリ名で構文を要約するために、記号は記号を含む式の隣接する部分を表すために使用されます。使用例については、§ 括弧を参照してください。${\displaystyle \Box}$
• ほとんどの記号には 2 つの印刷バージョンがあります。Unicode 文字として表示することも、LaTeX形式で表示することもできます。Unicode バージョンでは、検索エンジンの使用やコピー アンド ペーストが簡単です。一方、LaTeX レンダリングの方がはるかに優れていることが多く (見た目も美しい)、一般に数学の標準と見なされています。したがって、この記事では、記号のエントリのラベル付けには (可能な場合) Unicode バージョンの記号を使用し、説明には LaTeX バージョンを使用します。したがって、LaTeX で記号を入力する方法を見つけるには、記事のソースを参照するだけで十分です。
• ほとんどの記号の場合、エントリ名は対応する Unicode 記号です。したがって、記号のエントリを検索するには、検索テキストボックスに Unicode 記号を入力またはコピーするだけで十分です。同様に、可能な場合は、記号のエントリ名もアンカーであり、別の Wikipedia 記事から簡単にリンクできます。エントリ名に [、]、| などの特殊文字が含まれている場合もアンカーがありますが、それを知るには記事のソースを確認する必要があります。
• 最後に、記号自体（数学的な意味ではない）に関する記事がある場合は、エントリ名にリンクされています。

+     (プラス記号)

1.加算を表し、プラスと読みます。たとえば、3 + 2です。

2. 数が正であることを示し、プラスと読みます。冗長ですが、文脈内の他の数が負であるか負になる可能性がある場合に特に、数が正であることを強調するために使用されることがあります。たとえば、+2です。

3.集合の互いに素な和集合を表すために の代わりに が使用されることもあります。${\displaystyle \sqcup}$

−     (マイナス記号)

1.減算を表し、マイナスと読みます。たとえば、3 – 2です。

2.加法逆数を表し、マイナス、の負、またはの反対として読みます。たとえば、–2です。

3.集合論的補集合を表すために\の代わりにも使用される。§ 集合論の \ を参照。

×     (乗算記号)

1.初等算術では、 は乗算を表し、 の倍数と読みます。たとえば、3 × 2です。

2.幾何学と線型代数学では、外積を表します。

3.集合論と圏論では、 は直積と直積を表します。§ 集合論の × も参照してください。

·     (ドット)

1.乗算を表し、倍として読みます。たとえば、3 ⋅ 2です。

2.幾何学と線型代数学では、 はドット積を表します。

3. 不確定な要素を置き換えるために使用されるプレースホルダー。たとえば、「絶対値は| · |で表されます」と言う方が、 | |で表すと言うよりも明確です。

±     (プラスマイナス記号)

1. プラス記号またはマイナス記号のいずれかを表します。

2. 測定された量が取り得る値の範囲を示します。たとえば、10 ± 2 は8 から 12 までの間の未知の値を表します。

∓     (マイナスプラス記号)

±と組み合わせて使用​​すると、反対の符号を表します。つまり、±が–の場合は+、±が+の場合は– になります。

÷     (除算記号)

英語圏の国では割り算を表すために広く使用されていますが、数学ではもはや一般的に使用されておらず、その使用は「推奨されません」。^[1]一部の国では、減算を表すこともあります。

:     (コロン)

1. 2 つの量の比率を表します。

2. 一部の国では、部門を表す場合があります。

3.集合記述法では、「～のような」という意味の区切り文字として使われます。{□ : □} を参照してください。

/     (スラッシュ)

1.除算を表し、 「 で割った」または「 で割った」と読みます。水平バーに置き換えられる場合が多くあります。たとえば、3 / 2または です。${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

2.商構造を表します。たとえば、商集合、商群、商圏などです。

3.数論と体論において、は体の拡大を表します。ここで、Fは体Eの拡大体です。${\displaystyle F/E}$

4.確率論では、 は条件付き確率を表します。たとえば、 は、B が発生した場合のAの確率を表します。通常は と表記されます。「|」を参照してください。${\displaystyle P(A/B)}$${\displaystyle P(A\mid B)}$

√     (平方根記号)

平方根を表し、の平方根として読みます。 現代数学では、引数の幅を区切る水平バーなしで使用されることはほとんどありません (次の項目を参照)。 たとえば、√2です。

√      (ルート記号)

1.平方根を表し、の平方根として読みます。たとえば、 です。${\displaystyle {\sqrt {3+2}}}$

2. 左上付き文字として 2 より大きい整数を使用すると、n乗根を表します。たとえば、は 3 の 7 乗根を表します。${\displaystyle {\sqrt[{7}]{3}}}$

^     (キャレット)

1.  指数は通常、上付き文字で表されます。ただし、プログラミング言語（LaTeXを含む）やプレーンテキストの電子メールなど、上付き文字が簡単に利用できない場合は、x ^ y と表されることがよくあります。${\displaystyle x^{y}}$

2. ∧と混同しないように

=     (等号)

1.等式を表します。

2. 「let 」のような文の中で数学的なオブジェクトに名前を付けるために使用されます。ここで、 Eは式です。≝、≜ 、またはも参照してください。${\displaystyle x=E}$  ${\displaystyle :=}$

${\displaystyle \triangleq \quad {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\quad :=}$

これらはいずれも、数学的なオブジェクトに名前を付けるために使用されることがあります。したがって、およびはそれぞれ「let 」というフレーズの省略形であり、ここで⁠ ⁠ は式であり、⁠ ⁠は変数です。これは、コンピュータサイエンスにおける代入の概念に似ており、さまざまな方法で表記されます（使用するプログラミング言語によって異なります）。${\displaystyle x\triangleq E,}$ ${\displaystyle x\mathrel {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}} E,}$ ${\displaystyle x\mathrel {:=} E}$${\displaystyle E\mathrel {=:} x}$${\displaystyle x=E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle =,:=,\leftarrow ,\ldots }$

≠     (不等号)

不平等を示し、「等しくない」という意味です。

≈

近似等式を表す最も一般的な記号。たとえば、${\displaystyle \pi \approx 3.14159.}$

~     (チルダ)

1. 2 つの数値の間では、 ≈の代わりに「ほぼ等しい」という意味で使用されます。または、「同じ桁数である」という意味で使用されます。

2. 2 つの関数またはシーケンスの漸近的同値性を示します。

3.行列の類似性や幾何学的形状の類似性など、他の種類の類似性を表すためによく使用されます。

4.同値関係の標準的な表記法。

5.確率と統計では、ランダム変数の確率分布を指定することができます。たとえば、はランダム変数Xの分布が標準正規分布である ことを意味します。^[2]${\displaystyle X\sim N(0,1)}$

6.比例の表記。よりわかりやすい記号として∝も参照してください。

≡     (三本線)

1.恒等式、つまり、その中に現れる変数にどのような値が与えられても真となる等式を表します。

2.数論、より具体的にはモジュラー算術において、は整数を法とする合同を表します。

3.論理的等価性を表す場合がある。

${\displaystyle \cong }$

1. 2 つの数学的構造間の同型性を表す場合があり、「同型である」と読みます。

2.幾何学では、 は2 つの幾何学的図形の合同(つまり、変位までの等式) を表し、「 と合同である」と読みます。

<     (小なり記号)

1.   2 つの数値間の厳密な不等号。つまり、「より小さい」と読みます。

2. 一般的には、厳密な順序を表すために使用されます。

3. 2 つのグループの間では、最初のグループが2 番目のグループの適切なサブグループであることを意味する場合があります。

>     (大なり記号)

1.   2 つの数値間の厳密な不等号。 は「より大きい」と読みます。

2. 一般的には、厳密な順序を表すために使用されます。

3. 2 つのグループの間では、2 番目のグループが最初のグループの適切なサブグループであることを意味する場合があります。

≤

1. 「以下」を意味します。つまり、AとB が何であっても、A ≤ B はA < BまたはA = Bと同等です。

2. 2 つのグループの間では、最初のグループが2 番目のグループのサブグループであることを意味する場合があります。

≥

1. 「以上」を意味します。つまり、AとB が何であっても、A ≥ B はA > BまたはA = Bと同等です。

2. 2 つのグループの間では、2 番目のグループが最初のグループのサブグループであることを意味する場合があります。

${\displaystyle \ll {\text{ and }}\gg }$

1. 「はるかに少ない」および「はるかに多い」を意味します。一般に、 「はるかに」は正式に定義されていませんが、より少ない量が他の量に対して無視できることを意味します。これは通常、より少ない量が他の量よりも 1 桁または数桁小さい場合に当てはまります。

2.測度論において、測度は測度に関して絶対連続であることを意味します。${\displaystyle \mu \ll \nu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \leqq }$

あまり使用されない記号で、通常は≤と同義です。

${\displaystyle \prec {\text{ and }}\succ }$

1. <と> を使用すると混乱したり不便になったりする場合に、順序、より一般的には事前順序を示すためによく使用されます。

2.  非同期ロジックのシーケンス。

∅

空集合を表し、 と表記されることが多い。集合構築記法を使用する場合、 { } {\displaystyle \{\}} と表記されることもある。${\displaystyle \emptyset }$

#     (番号記号)

1. 要素の数:集合Sの濃度を表す。別の表記法は。| ◻ | {\displaystyle |\square |} を参照。${\displaystyle \#{}S}$ ${\displaystyle |S|}$

2.  素数: n以下の素数の積を表します。${\displaystyle n{}\#}$

3.位相幾何学において、は 2 つの多様体または 2 つの結び目の連結された和を表します。${\displaystyle M\#N}$

∈

集合のメンバーシップを示し、「含まれる」、「所属する」、「メンバーである」と読みます。つまり、x が集合Sの要素であることを意味します。${\displaystyle x\in S}$

∉

「含まれていない」という意味です。つまり、という意味です。${\displaystyle x\notin S}$${\displaystyle \neg (x\in S)}$

⊂

集合の包含を表します。ただし、わずかに異なる 2 つの定義が一般的です。

1.  は、 AがBのサブセットであり、Bと等しい可能性があることを意味します。つまり、Aのすべての要素はBに属します。式で表すと、 です。${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

2. は  、 A がBの真部分集合であること、つまり 2 つの集合が異なり、Aのすべての要素がBに属することを意味します。式で表すと、 となります。${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

⊆

${\displaystyle A\subseteq B}$AがBのサブセットであることを意味する。等式が可能であるということを強調する場合、または A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} がB の真部分集合であることを意味する場合に用いられる。${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$

⊊

${\displaystyle A\subsetneq B}$は、 AがBの真部分集合であることを意味する。 を強調する場合、または A ⊂ B {\displaystyle A\subset B}が が の真部分集合であることを意味しない場合に用いられる。${\displaystyle A\neq B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$

⊃、⊇、⊋

⊂ {\displaystyle \subset } 、⊆ {\displaystyle \subseteq } 、⊊ {\displaystyle \subsetneq } の逆関係をそれぞれ表します。たとえば、は と同等です。${\displaystyle B\supset A}$${\displaystyle A\subset B}$

∪

集合論的和集合、つまりAとBの要素が合わさって形成される集合 を表します。つまり、 です。${\displaystyle A\cup B}$${\displaystyle A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}}$

∩

集合論的な交差を表します。つまり、 はAとBの両方の要素によって形成される集合です。つまり、 です。${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}}$

∖     (バックスラッシュ)

差集合。つまり、 は、Bに含まれないAの要素によって形成される集合です。代わりに が使用される場合もあります。§ 算術演算子の – を参照してください。${\displaystyle A\setminus B}$${\displaystyle A-B}$

⊖または${\displaystyle \triangle }$

対称差: つまり、または2 つの集合AとB のうちの 1 つにのみ属する要素によって形成される集合です。${\displaystyle A\ominus B}$${\displaystyle A\operatorname {\triangle } B}$

${\displaystyle \complement }$

1. 下付き文字を伴う場合、 は集合の補集合を表します。つまり、の場合、 となります。${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle \complement _{A}B=A\setminus B}$

2. 下付き文字がない場合、 は絶対補集合、つまり を表します。ここで、Uは文脈によって暗黙的に定義される集合であり、検討中のすべての集合を含みます。この集合U は、論議対象領域と呼ばれることもあります。${\displaystyle \complement A=\complement _{U}A}$

×     (乗算記号)

§ 算術演算子の × も参照してください。

1. 2 つの集合の直積を表します。つまり、はAの要素とBの要素のすべてのペアによって形成される集合です。${\displaystyle A\times B}$

2.同じタイプの2 つの数学的構造の直積を表します。これは、同じタイプの構造を備えた基礎となる集合の直積です。たとえば、環の直積、位相空間の直積などです。

3.圏論では、 は2 つのオブジェクトの直積(単に積と呼ばれることが多い) を表し、これは前述の積の概念を一般化したものです。

${\displaystyle \sqcup }$

互いに素な和集合を表します。つまり、AとBが集合である場合、 はペアの集合であり、i _Aとi _{B は}⁠ ⁠におけるAとBのメンバーを区別する異なるインデックスです。${\displaystyle A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)}$${\displaystyle A\sqcup B}$

${\displaystyle \bigsqcup {\text{ or }}\coprod }$

1.集合族の非結合和集合を表すのに用いられる。例えば、${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$

2.数学的構造またはカテゴリ内のオブジェクトの共積を表します。

いくつかの論理記号は数学全般で広く使用されており、ここにリストされています。数学論理でのみ使用される記号、またはめったに使用されない記号については、「論理記号の一覧」を参照してください。

¬     (記号なし)

論理否定を表し、「not」と読みます。Eが論理述語である場合、は、E がfalseと評価される場合にのみtrueと評価される述語です。明確にするために、多くの場合、「not」という単語に置き換えられます。プログラミング言語や一部の数学テキストでは、一部のキーボードで入力しやすい「~」または「!」に置き換えられることがあります。${\displaystyle \neg E}$

∨     (下降ウェッジ)

1.論理和を表し、「または」と読みます。EとF が論理述語である場合、E、F 、またはその両方が真であれば、 は真です。これは多くの場合、「または」という単語に置き換えられます。${\displaystyle E\lor F}$

2.格子理論では、結合または最小上限演算を表します。

3.位相幾何学において、 は2つの尖った空間のくさび和を表します。

∧     (くさび)

1.論理 and を表し、"and" と読みます。EとF が論理述語である場合、EとFが両方とも真であれば、 は真です。これは、多くの場合、単語 "and" または記号 " & "に置き換えられます。${\displaystyle E\land F}$

2.格子理論では、は、満たすまたは最大の下限操作を表します。

3.多重線型代数、幾何学、多変数微積分学では、くさび積または外積を表します。

⊻

排他的論理和: EとFが 2 つのブール変数または述語である場合、は排他的論理和を表します。E XOR F という表記もよく使用されます。⊕ を参照してください。${\displaystyle E\veebar F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$

∀     ( A になった)

1.全称量化を表し、「すべてに対して」と読みます。Eが論理述語である場合、変数xのすべての可能な値に対してEが真であることを意味します。${\displaystyle \forall x\;E}$

2.プレーンテキストでは「for all」や「for every」の略語として不適切に使用されることが多い^{[3] 。}

∃

1.存在量化を表し、「...が存在する」と読みます。Eが論理述語である場合、Eが真となるxの値が少なくとも 1 つ存在することを意味します。${\displaystyle \exists x\;E}$

2.プレーンテキストでは「there exists」の略語として不適切に使用されることが多い^{[3] 。}

∃!

一意性量化を表します。つまり、 は「 P (が真)となるx が1 つだけ存在する」ことを意味します。言い換えると、 は の略語です。${\displaystyle \exists !x\;P}$${\displaystyle \exists !x\;P(x)}$${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

⇒

1. は物質的条件を表し、「意味する」と読みます。PとQ が論理述語である場合、はPが真であればQも真であることを意味します。したがって、はと論理的に同等です。${\displaystyle P\Rightarrow Q}$${\displaystyle P\Rightarrow Q}$${\displaystyle Q\lor \neg P}$

2.プレーンテキストでは「implies」の略語として不適切に使用されることが多い^{[3] 。}

─

1. は論理的等価性を示し、「 は と同等である」または「の場合に限り」と読みます。P とQが論理述語である場合、は、または の省略形です。${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$${\displaystyle (P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)}$${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$

2.プレーンテキストでは「 if and only if 」の略語として不適切に使用されることが多い^[3]。

⊤     (ティー)

1.  論理述語が常に真であることを示します。${\displaystyle \top }$

2.真理値 trueも表します。

3.境界付き格子の最上位要素を表すこともあります（前述の意味は具体的な例です）。

4. 上付き文字として使用する場合は□⊤を参照してください。

⊥     (アップタック)

1.  論理述語が常に偽であることを示します。${\displaystyle \bot }$

2.真理値 falseも表します。

3.境界付き格子の底部要素を表すこともあります（前述の意味は具体的な例です）。

4.暗号化では、通常の値の代わりにエラーを表すことがよくあります。

5. 上付き文字として使用する場合は、□⊥を参照してください。

6. 同様の記号については⊥ {\displaystyle \perp } を参照してください。

黒板太字の 書体は、基本的な数体系 を表すために広く使用されています。これらの体系は、対応する大文字の太字でも表されることが多々あります。黒板太字の明らかな利点は、これらの記号が他のものと混同されないことです。これにより、定義を思い出すことなく、数学のあらゆる分野でこれらの記号を使用できます。たとえば、組合せ論で に遭遇した場合、これが実数を表すことはすぐにわかりますが、組合せ論では実数は研究されません (ただし、多くの証明で実数を使用します)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {N} }$

自然数 の集合を表します。または、区別が重要で、読者がどちらかの定義を想定する可能性がある場合には、それぞれ、どちらかの定義を明確に示すために使用されます。表記法もよく使用されます。${\displaystyle \{1,2,\ldots \},}$${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}.}$${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {N} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数 の集合を表す。${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.}$${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

1. p進整数の集合を表します。ここでpは素数です。

2. 場合によっては、はn を法とする整数を表します。ここで、nは0 より大きい整数です。という表記法も使用され、こちらの方が曖昧さが少なくなります。${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

有理数（2つの整数の分数）の集合を表す。${\displaystyle \mathbf {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

p進数の集合を表します。ここでpは素数です。

${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数の集合を表す。また、次のように表記されることもある。${\displaystyle \mathbf {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

複素数の集合を表す。${\displaystyle \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {H} }$

四元数の集合を表す。また、次のように表記されることもある。${\displaystyle \mathbf {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

q個の元を持つ有限体を表します。ここでq は素数（素数を含む）の累乗です。GF( q )とも表記されます。

${\displaystyle \mathbb {O} }$

まれに八元数を表すために使用される。また、次のように表記されることも多い。${\displaystyle \mathbf {O} .}$

□ '

ラグランジュの導関数表記: f が単一変数の関数である場合、は「f prime 」と読み、この変数に関するfの導関数です。2次導関数は の導関数であり、 と表記されます。${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f''}$

${\displaystyle {\dot {\Box }}}$

ニュートンの記法 は、時間に関する導関数に最もよく使用されます。xが時間に依存する変数である場合は、「x 点」と読み、 は時間に関するその導関数です。特に、x が移動点を表す場合、 はその速度です。${\displaystyle {\dot {x}},}$${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\ddot {\Box }}}$

ニュートンの記法、2 次導関数の場合: x が移動する点を表す変数である場合、 はその加速度です。${\displaystyle {\ddot {x}}}$

⁠d □/d □⁠

ライプニッツの導関数表記法。これはいくつかのわずかに異なる方法で使用されます。

1. y がxに依存する変数である場合、 （「dy over d x」（通常は「dyd x」と短縮される）と読みます）は、 yのxに関する導関数です。${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

2. f が単一変数xの関数である場合、 はfの導関数であり、 は aにおける導関数の値です。${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}$

3.  全微分: がxに依存する複数の変数の関数である場合、fの微分はxの関数として扱われます。つまり、 です。${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{dx}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

⁠∂ □/∂ □⁠

偏微分: が複数の変数の関数である場合、はi番目の変数を独立変数として扱い、他の変数を定数として扱う微分です。${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

⁠𝛿 □/𝛿 □⁠

関数の微分:が複数の関数の関数である場合、は、独立変数とみなされるn番目の関数に関する関数の微分であり、他の関数は定数とみなされます。${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\Box }}}$

1.  複素共役: zが複素数の場合、 はその複素共役です。たとえば、です。${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle {\overline {a+bi}}=a-bi}$

2.  位相閉包: S が位相空間Tの部分集合である場合、 はその位相閉包、つまりSを含むTの最小の閉部分集合です。 ${\displaystyle {\overline {S}}}$

3.  代数的閉包: Fが体である場合、 はその代数的閉包、つまりF を含む最小の代数的に閉じた体です。たとえば、はすべての代数的数の体 です。${\displaystyle {\overline {F}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

4.  平均値: x が数値の列Sで値を取る変数である場合、Sの要素の平均を表すことができます。${\displaystyle {\overline {x}}}$

→

1. は  、定義域Aと共定義域Bを持つ関数を表します。このような関数に名前を付けるには、 と書きます。これは「 AからBへのf 」と読みます。${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$

2. より一般的には、AからBへの準同型または射を表します。${\displaystyle A\to B}$

3.論理的含意を表す場合があります。数学の推論で広く使用されている物質的含意については、現在では一般的に ⇒ に置き換えられています。数理論理学では、含意を表すために引き続き使用されていますが、その正確な意味は研究されている特定の理論によって異なります。

4.変数名上の は、通常の変数がスカラーを表すコンテキストで、変数がベクトルを表すことを意味します。たとえば、 です。太字 ( ) またはサーカムフレックス( ) は同じ目的でよく使用されます。${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\hat {v}}}$

5.ユークリッド幾何学、より一般的にはアフィン幾何学では、2点PとQによって定義されるベクトルを表します。これは、 PをQに写す変換と同一視できます。同じベクトルを と表記することもできます。アフィン空間を参照してください。${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$${\displaystyle Q-P}$

↦

「Maps to」:名前を付けずに関数を定義する場合に使用します。たとえば、はsquare 関数です。${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

○ ^[4]

1.  関数の合成: fとgが 2 つの関数である場合、 はxのすべての値に対してとなる関数です。${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

2.  行列のアダマール積: AとBが同じサイズの 2 つの行列である場合、 はとなる行列です。冪級数のアダマール積では、 の代わりに が使用される場合もあります。^{[出典が必要]}${\displaystyle A\circ B}$${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$${\displaystyle \circ }$

∂

1.  位相的部分空間の境界: S が位相的空間の部分空間である場合、その境界はと表記され、 Sの閉包と内部との差集合です。${\displaystyle \partial S}$

2.  偏微分: ⁠∂□/∂□⁠を参照してください。

∫

1. 下付き文字がない場合、 は不定積分を表します。たとえば、 です。${\displaystyle \textstyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

2. 上付き文字と下付き文字、またはその上下に置かれた式は、定積分を表します。たとえば、 です。${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}}$

3. 曲線を表す下付き文字 は、線積分を表します。たとえば、r が曲線C のaからbへのパラメータ化である場合、 となります。${\displaystyle \textstyle \int _{C}f=\int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)\operatorname {d} t}$

∮

物理学では、閉曲線上の線積分に対しての代わりによく使用されます。${\displaystyle \textstyle \int }$

∬、∯

表面積分についてはおよびと同様です。${\displaystyle \textstyle \int }$${\displaystyle \textstyle \oint }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$または${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

ナブラ、勾配ベクトル微分演算子、delまたはgradとも呼ばれる、${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

あるいは共変微分。

∇ ²または∇⋅∇

ラプラス演算子またはラプラシアン: 。形式と形式は、勾配 (または) とそれ自身とのドット積を表します。Δ (次の項目) とも表記されます。${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Δ

(ギリシャ語の大文字のデルタ。幾何学的な三角形や、 2 つの集合の対称差を表すと混同しないでください。) ${\displaystyle \triangle }$

1.ラプラシアンの別の表記法（上記参照）。

2.差分演算子。

${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$または${\displaystyle \partial _{\mu }}$

(注: と の両方がダランベルシアンを表すために使用されるため、 この表記法は4 次勾配には推奨されません。以下を参照してください。) ${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle {\Box }^{2}}$

Quad、4 ベクトル勾配演算子または4勾配。${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \Box }$または${\displaystyle {\Box }^{2}}$

(ここではプレースホルダーではなく実際のボックスです)

ダランベルシアンまたは平方4 次勾配を表します。これはラプラシアンを4 次元時空に一般化したものです。ユークリッド座標を持つ平坦な時空では、これは または の いずれかを意味します。符号規則を指定する必要があります。曲がった時空 (または非ユークリッド座標を持つ平坦な時空) では、定義はより複雑になります。ボックスまたはquablaとも呼ばれます。${\displaystyle ~\textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$${\displaystyle \;~\textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;}$

∑     (大文字シグマ表記)

1.またはのように、下付き文字と上付き文字（下や上に付けることもできる）によって決まる有限個の項の合計を表します。${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i}$

2.級数を表し、級数が収束する場合は級数の和を表します。たとえば、 です。${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$

∏    (大文字のπ表記)

1.またはのように、下付き文字と上付き文字（下や上に付けることもできる）によって決まる有限個の項の積を表します。${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i}$

2.無限積を表します。例えば、リーマンゼータ関数のオイラー積の公式は です。${\displaystyle \textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$

3.任意の数の集合の直積や、任意の数の数学的構造の直積にも使用されます。

${\displaystyle \oplus }$

1. 内部直和: EとF がアーベル群Vのアーベル部分群である場合、表記はV がEとFの直和であることを意味します。つまり、Vのすべての要素は、 Eの要素とFの要素の和として一意に表すことができます。これは、 EとF がベクトル空間またはモジュールVの線型部分空間または部分モジュールである場合にも適用されます。 ${\displaystyle V=E\oplus F}$

2.  直和: EとF が2 つのアーベル群、ベクトル空間、または加群である場合、それらの直和 は、それぞれおよびの内部直和となる2つの単射を備えたアーベル群、ベクトル空間、または加群です。この定義は、この直和が一意の同型を除いて一意であるため、意味をなします。${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f:E\to E\oplus F}$${\displaystyle g:F\to E\oplus F}$${\displaystyle E\oplus F}$${\displaystyle f(E)}$${\displaystyle g(F)}$

3.  排他的論理和: EとFが 2 つのブール変数または述語である場合、は排他的論理和を表すことができます。E XOR F という表記もよく使用されます。⊻ を参照してください。${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle E\veebar F}$

${\displaystyle \otimes }$

1.アーベル群、ベクトル空間、 加群、またはその他の数学的構造のテンソル積を表す。例えば、または${\displaystyle E\otimes F,}$${\displaystyle E\otimes _{K}F.}$

2.要素のテンソル積を表す:かつ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle y\in F,}$${\displaystyle x\otimes y\in E\otimes F.}$

□ ^⊤

1.  転置: Aが行列の場合、 はAの転置、つまりAの行と列を交換して得られる行列を表します。 表記法も使用されます。 記号は、文字Tまたはtに置き換えられることがよくあります。${\displaystyle A^{\top }}$${\displaystyle ^{\top }\!\!A}$${\displaystyle \top }$

2. シンボルのインライン使用については、⊤ を参照してください。

□ ^⊥

1.  直交補空間: W が内積空間Vの線型部分空間である場合、 はその直交補空間、つまりWの要素との内積がすべてゼロになるようなVの要素の線型空間を表します。 ${\displaystyle W^{\bot }}$

2.  双対空間の直交部分空間: W がベクトル空間(またはモジュール) Vの線型部分空間(またはサブモジュール)である場合、 はWの直交部分空間、つまりW をゼロに写すすべての線型形式の集合を表すことができます。${\displaystyle W^{\bot }}$

3. シンボルのインライン使用については、⊥ を参照してください。