シュレーディンガー方程式

物理学や化学の入門コースでは、シュレーディンガー方程式は通常、基本的な微積分の概念と記号、特に空間と時間に関する微分だけを知っていれば理解できるような形で紹介されます。そのような形で表現できるシュレーディンガー方程式の特殊なケースとして、1次元空間における単一の非相対論的粒子の位置空間シュレーディンガー方程式が挙げられます。 $$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$$$ ここ、${\displaystyle \Psi (x,t)}$これは波動関数であり、各点に複素数を割り当てる関数である。${\displaystyle x}$それぞれの時点で${\displaystyle t}$パラメータ${\displaystyle m}$は粒子の質量であり、${\displaystyle V(x,t)}$は、粒子が存在する環境を表すポテンシャルエネルギー関数である。 ^{[ 6 ]： 74}定数${\displaystyle i}$は虚数単位であり、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数であり、作用の単位は（エネルギー×時間）である。^{[ 6 ]： 10}

この単純なケースを超えて、ポール・ディラック^{[ 7 ]}、デイヴィッド・ヒルベルト^{[ 8 ]} 、ジョン・フォン・ノイマン[9]、^{ヘ​​ルマン・}ワイル[ 10 ^{]によって開発}された量子力学の数学的定式化では、量子力学系の状態はベクトルとして定義される。${\displaystyle |\psi \rangle }$分離可能な複素ヒルベルト空間に属する$\displaystyle {\mathcal {H}}}$このベクトルはヒルベルト空間の内積の下で正規化されていると仮定される。つまり、ディラック記法では、次の式を満たす。${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$このヒルベルト空間の正確な性質はシステムに依存する。 例えば、位置と運動量を記述する場合、ヒルベルト空間は二乗可積分関数の空間となる。$\displaystyle L^{2}}$一方、単一陽子のスピンのヒルベルト空間は2次元複素ベクトル空間である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$通常の内積を用いて。^{[ 6 ]： 322}

位置、運動量、エネルギー、スピンといった関心のある物理量は、ヒルベルト空間上で作用する自己共役演算子である観測量によって表されます。波動関数は観測量の固有ベクトルとなることがあり、その場合は固有状態と呼ばれ、対応する固有値はその固有状態における観測量の値に対応します。より一般的には、量子状態は固有状態の線形結合であり、量子重ね合わせと呼ばれます。観測量を測定すると、結果はボルンの規則で与えられる確率でその固有値のいずれかになります。最も単純な場合、固有値は${\displaystyle \lambda }$は非退化であり、確率は次のように与えられる。${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$、 どこ${\displaystyle |\lambda \rangle }$はそれに対応する固有ベクトルです。より一般的には、固有値は縮退しており、確率は次のように与えられます。${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$、 どこ${\displaystyle P_{\lambda }}$は、それに対応する固有空間への射影演算子である。^{[注1 ]}

運動量固有状態は、二乗可積分ではない、無限に広がる完全な単色波となる。同様に、位置固有状態は、二乗可積分ではなく、厳密には関数ではないディラックのデルタ分布となる。したがって、どちらも粒子のヒルベルト空間に属することはできない。物理学者は、ヒルベルト空間外の要素から構成されるこれらの固有状態を「一般化固有ベクトル」とみなすことがある。これらは計算上の便宜のために用いられるものであり、物理状態を表すものではない。^{[ 11 ] [ 12 ]： 100-105}したがって、位置空間波動関数は${\displaystyle \Psi (x,t)}$上記で使用したものは、時間依存状態ベクトルの内積として記述できる。${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$非物理的だが便利な「位置固有状態」を用いて${\displaystyle |x\rangle }$: $${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$$

シュレーディンガー方程式の形式は、物理的な状況によって異なります。最も一般的な形式は時間依存シュレーディンガー方程式であり、これは時間とともに変化するシステムの記述を与えます。^{[ 13 ] : 143}

どこ${\displaystyle t}$時間です、${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$は量子システムの 状態ベクトルです (${\displaystyle \Psi }$（ギリシャ文字のプサイ）であり、${\displaystyle {\hat {H}}}$は観測量であり、ハミルトニアン演算子である。

「シュレーディンガー方程式」という用語は、一般方程式と、特定の非相対論的バージョンの両方を指すことがあります。一般方程式は確かに非常に一般的で、ディラック方程式から量子場理論に至るまで、量子力学全体でハミルトニアンのさまざまな表現を代入することで用いられています。特定の非相対論的バージョンは近似式であり、多くの状況で正確な結果が得られますが、ある程度までしか正確ではありません（相対論的量子力学および相対論的量子場理論を参照）。

シュレーディンガー方程式を適用するには、系を構成する粒子の運動エネルギーと位置エネルギーを考慮した系のハミルトニアンを書き出し、それをシュレーディンガー方程式に代入します。得られた偏微分方程式を波動関数について解き、その波動関数には系に関する情報が含まれています。実際には、各点における波動関数の絶対値の二乗を用いて確率密度関数を定義します。^{[ 6 ]： 78}例えば、位置空間における波動関数が与えられた場合${\displaystyle \Psi (x,t)}$上記のように、 $${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$$

上述の時間依存シュレーディンガー方程式は、波動関数が定常波、すなわち定常状態を形成できることを予測する。これらの状態は、後で個別に研究することで、任意の状態に対する時間依存シュレーディンガー方程式を解く作業が簡略化されるため、特に重要である。定常状態は、より単純な形式のシュレーディンガー方程式、すなわち時間非依存シュレーディンガー方程式によっても記述できる。

どこ${\displaystyle E}$はシステムのエネルギーです。^{[ 6 ] : 134}これは、ハミルトニアン自体が明示的に時間に依存しない場合にのみ使用されます。ただし、この場合でも、全波動関数は、以下の線形性に関するセクションで説明されているように、時間に依存します。線形代数の言葉で言えば、この方程式は固有値方程式です。したがって、波動関数は、対応する固有値を持つハミルトニアン演算子の固有関数です。${\displaystyle E}$。

シュレーディンガー方程式は線形微分方程式であり、2 つの状態ベクトルが${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$そして${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$が解であれば、任意の線形結合も解となる。$${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$$ 2 つの状態ベクトルのうち、aとb は任意の複素数である。^{[ 14 ] : 25}さらに、この和は任意の数の状態ベクトルに拡張できる。この性質により、量子状態の重ね合わせがシュレーディンガー方程式の解となる。さらに一般的には、状態の基底に対する重み付き和を取ることで、シュレーディンガー方程式の一般解を見つけることができる。よく用いられるのは、時間独立シュレーディンガー方程式の解であるエネルギー固有状態の基底である。この基底では、時間依存状態ベクトルは${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$線形結合として表すことができる $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$$ どこ${\displaystyle A_{n}}$は複素数であり、ベクトルは${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$は時間に依存しない方程式の解である${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$。

ハミルトニアンを保持する${\displaystyle {\hat {H}}}$定数の場合、シュレーディンガー方程式の解は^{[ 13 ]である。}$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$ オペレーター$\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$は時間発展演算子として知られており、ユニタリ性を持つ。つまり、ヒルベルト空間内のベクトル間の内積を保存する。^{[ 14 ]}ユニタリ性は、シュレーディンガー方程式の下での時間発展の一般的な特徴である。初期状態が${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$そして、後の時点での状態${\displaystyle t}$によって与えられる $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$$ あるユニタリ演算子に対して$\displaystyle {\hat {U}}(t)}$逆に、$\displaystyle {\hat {U}}(t)}$は、パラメータ化されたユニタリ演算子の連続族である。${\displaystyle t}$一般性を失うことなく、^{[ 15 ]}パラメータ化は次のように選択できる。$\displaystyle {\hat {U}}(0)}$は恒等演算子であり、${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$いかなる場合でも${\displaystyle N>0}$。 それから$\displaystyle {\hat {U}}(t)}$パラメータに依存します${\displaystyle t}$そのような方法で $${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$$ ある自己共役演算子に対して${\displaystyle {\hat {G}}}$ファミリーのジェネレーターと呼ばれる$\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ハミルトニアンはまさにそのような生成子です（自然単位では1に設定されるプランク定数の係数を除いて）。生成子がエルミートであることを確認するには、次の点に注目してください。$\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)\approx {\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t}$、 我々は持っています $$\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)^{\dagger }{\hat {U}}(\delta t)\approx ({\hat {U}}(0)^{\dagger }+i{\hat {G}}^{\dagger }\delta t)({\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t)=I+i\delta t({\hat {G}}^{\dagger }-{\hat {G}})+O(\delta t^{2}),}$$それで$\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ユニタリーであるのは、その導関数が一次のエルミートである場合に限る。^{[ 16 ]}

シュレーディンガー方程式は、位置の関数として変化する量を用いて表現されることが多いが、ベクトル演算子方程式としては、ヒルベルト空間内の任意の完全なケット基底において有効な表現を持つ。上述のように、物理的なヒルベルト空間の外にある「基底」も計算目的で使用される。これは、非相対論的でスピンを持たない粒子の位置空間および運動量空間のシュレーディンガー方程式によって示される。^{[ 12 ]： 182}このような粒子のヒルベルト空間は、3次元ユークリッド空間上の複素二乗可積分関数の空間であり、そのハミルトニアンは、運動量演算子に関して2次である運動エネルギー項と位置エネルギー項の和である。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$$ 書き込み${\displaystyle \mathbf {r} }$3次元位置ベクトルと${\displaystyle \mathbf {p} }$3次元運動量ベクトルの場合、位置空間シュレーディンガー方程式は次のようになる。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t)。$$ 運動量空間における対応物は、波動関数とポテンシャルの フーリエ変換を含む。$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\チルダ {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\チルダ {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$$ 機能${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$そして${\displaystyle {\チルダ {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$から派生する${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$による $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$$$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$$ どこ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$そして${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$それらはヒルベルト空間自体には属さないが、その空間のすべての要素と明確な内積を持つ。

3次元から1次元に制限すると、位置空間方程式は、上述のシュレーディンガー方程式の最初の形式になります。量子力学における位置と運動量の関係は、1次元で理解できます。正準量子化では、古典的な変数は${\displaystyle x}$そして${\displaystyle p}$自己共役演算子に昇格される${\displaystyle {\hat {x}}}$そして${\displaystyle {\hat {p}}}$正準交換関係を満たす$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$ これは^{[ 12 ] : 190を意味する。}$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$$ したがって、運動量演算子の作用${\displaystyle {\hat {p}}}$位置空間表現では${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$。 したがって、${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$は2階微分となり、3次元では2階微分はラプラシアンとなる。$\displaystyle \nabla ^{2}}$。

正準交換関係は、位置演算子と運動量演算子が互いにフーリエ共役であることも意味します。したがって、位置依存性で最初に定義された関数は、フーリエ変換を使用して運動量の関数に変換できます。^{[ 6 ]： 103–104}固体物理学では、ブロッホの定理により周期的な結晶格子ポテンシャルが結合することが保証されるため、シュレーディンガー方程式は運動量の関数として記述されることがよくあります。${\displaystyle {\チルダ {\Psi }}(p)}$と${\displaystyle {\チルダ {\Psi }}(p+\hbar K)}$離散的な逆格子ベクトルのみの場合${\displaystyle K}$これにより、ブリルアンゾーン内の各点における運動量空間シュレーディンガー方程式を、ブリルアンゾーン内の他の点とは独立して解くことが容易になる。^{[ 17 ]： 138}

シュレーディンガー方程式は局所確率保存則と整合している。^{[ 12 ] : 238}また、正規化された波動関数が時間発展後も正規化されたままであることを保証する。行列力学では、これは時間発展演算子がユニタリ演算子であることを意味する。^{[ 18 ]}例えばクライン・ゴルドン方程式とは対照的に、波動関数の再定義された内積は時間に依存しない可能性があるが、波動関数の絶対値の二乗の全体積積分は時間に依存しない必要はない。^{[ 19 ]}

非相対論的量子力学における確率の連続方程式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$どこ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\オペレーター名 {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$これは確率流または確率フラックス（単位面積あたりの流れ） です。

波動関数が次のように表される場合${\displaystyle \textstyle \psi ({\bf {x}},t)={\sqrt {\rho ({\bf {x}},t)}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S({\bf {x}},t)\right)}$⁠、そこで${\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}$は波動関数の複素位相を表す実関数であり、確率流束は次のように計算されます。$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\rho \nabla S}{m}}.}$$したがって、波動関数の位相の空間的変化は、波動関数の確率流束を特徴づけると言われている。${\textstyle {\nabla S}/{m}}$速度の役割を果たしているように見えるが、位置と速度の同時測定は不確定性原理に違反するため、ある点での速度を表すものではない。^{[ 18 ]}

ハミルトニアンが時間の明示的な関数でない場合、シュレーディンガー方程式は次のようになります。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$左辺の演算子は時間のみに依存し、右辺の演算子は空間のみに依存します。変数分離法で方程式を解くということは、空間部分と時間部分の積の形の解を求めることを意味します^{[ 20 ] 。}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$$ どこ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$これは、システムを構成する粒子のすべての空間座標のみの関数であり、$\displaystyle \tau (t)$これは時間のみの関数です。この式を代入すると${\displaystyle \Psi }$時間依存の左辺を見ると、$\displaystyle \tau (t)$位相因子です。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$$ この種の解は定常解と呼ばれる。なぜなら、唯一の時間依存性は位相因子であり、ボルンの規則を用いて確率密度を計算すると位相因子が相殺されるからである。^{[ 13 ]： 143ff}

全波動関数の空間部分は方程式^{[ 21 ]を解く。}$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[EV(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$$ エネルギーが${\displaystyle E}$位相因子に現れる。

これは、任意の数の粒子と任意の次元（時間に依存しないポテンシャル内）に一般化できます。時間に依存しない方程式の定常波解は、異なるエネルギーの確率分布ではなく、確定したエネルギーを持つ状態です。物理学では、これらの定常波は「定常状態」または「エネルギー固有状態」と呼ばれ、化学では「原子軌道」または「分子軌道」と呼ばれます。エネルギー固有状態の重ね合わせは、エネルギー準位間の相対位相に応じてその性質が変化します。エネルギー固有状態は基底を形成します。任意の波動関数は、離散エネルギー状態の和、連続エネルギー状態の積分、またはより一般的には測度の積分として記述できます。これはスペクトル定理の一例であり、有限次元状態空間では、エルミート行列の固有ベクトルの完全性を表す記述にすぎません。

変数分離は、時間独立シュレーディンガー方程式にも有効な方法となり得る。例えば、問題の対称性によっては、デカルト座標軸を分離することができる。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$$ または、半径座標と角度座標を分離することもできます。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$$

1次元ポテンシャルエネルギーボックス内の粒子は、拘束によってエネルギー準位が量子化される最も数学的に単純な例である。ボックスは、ある領域内ではポテンシャルエネルギーがゼロ、その外側ではポテンシャルエネルギーが無限大であると定義される。^{[ 12 ]： 77-78} 1次元の場合、${\displaystyle x}$方向、時間独立シュレーディンガー方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{\vphantom {\psi }}}{2m{\vphantom {x^{2}}}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

微分演算子は次のように定義される。 $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$ 前述の式は、古典的な運動エネルギーの類似性を想起させる。 $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$ 状態とともに${\displaystyle \psi }$この場合はエネルギーを持っている${\displaystyle E}$粒子の運動エネルギーと一致する。

箱の中の粒子に対するシュレーディンガー方程式の一般解は次のとおりである。 $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$ または、オイラーの公式より、 $${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).}$$

ボックスの無限ポテンシャル壁は、以下の値を決定します。${\displaystyle C,D,}$そして${\displaystyle k}$で${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle x=L}$どこ${\displaystyle \psi }$ゼロでなければならない。したがって、${\displaystyle x=0}$、 $${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$ そして${\displaystyle D=0}$。 で${\displaystyle x=L}$、 $${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$ その中で${\displaystyle C}$ゼロにはなり得ない。なぜなら、それは次の仮説と矛盾するからである。${\displaystyle \psi }$ノルムは1です。したがって、${\displaystyle \sin(kL)=0}$、${\displaystyle kL}$整数倍でなければならない${\displaystyle \pi }$、 $${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

この制約は${\displaystyle k}$これはエネルギー準位に制約があることを意味し、 $${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

有限ポテンシャル井戸は、無限ポテンシャル井戸問題を有限の深さを持つポテンシャル井戸に一般化したものです。有限ポテンシャル井戸問題は、井戸の壁で波動関数がゼロに固定されないため、無限粒子箱問題よりも数学的に複雑です。代わりに、波動関数は井戸の外側の領域でゼロではないため、より複雑な数学的境界条件を満たす必要があります。関連するもう1つの問題は、矩形ポテンシャル障壁の問題です。これは、フラッシュメモリや走査型トンネル顕微鏡などの現代技術の性能において重要な役割を果たす量子トンネル効果のモデルを提供します。

この状況におけるシュレーディンガー方程式は $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m{\vphantom {x^{2}}}}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2{\vphantom {x^{2}}}}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$$ どこ${\displaystyle x}$変位と${\displaystyle \omega }$角周波数。さらに、振動する原子、分子^{[ 22 ]}、格子中の原子やイオン^{[ 23 ]}など、さまざまな他のシステムを近似的に記述したり、平衡点付近の他のポテンシャルを近似したりするために使用できます。また、量子力学における摂動法の基礎でもあります。

位置空間における解は $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$$ どこ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$、そして関数${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$次数が のエルミート多項式である${\displaystyle n}$解集合は以下のように生成される可能性があります。 $$\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$$

固有値は $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

ケース${\displaystyle n=0}$は基底状態と呼ばれ、そのエネルギーは零点エネルギーと呼ばれ、波動関数はガウス関数である。^{[ 24 ]}

調和振動子は、箱の中の粒子と同様に、束縛固有状態のエネルギーが離散化されるというシュレーディンガー方程式の一般的な特徴を示している。^{[ 12 ]： 352}

水素原子（または水素様原子） 中の電子に対するシュレーディンガー方程式は次のとおりである。$${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$$ どこ${\displaystyle q}$は電子の電荷です。${\displaystyle \mathbf {r} }$は、原子核に対する電子の位置です。${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$は相対位置の大きさであり、ポテンシャル項はクーロン相互作用によるもので、$\displaystyle \varepsilon _{0}}$は自由空間の誘電率であり、 $${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$は、水素原子核（陽子のみ）の 2体換算質量で、質量は${\displaystyle m_{p}}$そして質量の電子${\displaystyle m_{q}}$負の符号は、陽子と電子が反対の電荷を持つため、電位項に現れます。電子と陽子は共通の重心の周りを共に公転し、二体問題を解く必要があるため、電子の質量の代わりに換算質量が用いられます。ここでは電子の運動が主な関心事であるため、換算質量を用いた電子の運動が等価な一体問題となります。

水素原子のシュレーディンガー方程式は変数分離法によって解くことができる。^{[ 25 ]}この場合、球面極座標が最も便利である。したがって、 $${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\ Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi ),}$$ ここで、Rは動径関数であり、${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$次数が球面調和関数である${\displaystyle \ell }$そして注文する${\displaystyle m}$これは、シュレーディンガー方程式が厳密に解かれた唯一の原子です。多電子原子には近似法が必要です。解のファミリーは次のとおりです。^{[ 26 ]}$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ どこ

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$はボーア半径です。
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$は次数が一般化されたラゲール多項式である。${\displaystyle n-\ell -1}$、
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$はそれぞれ主量子数、方位量子数、磁気量子数であり、以下の値をとる。${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

物理的に興味深い状況において、シュレーディンガー方程式を厳密に解くことは通常不可能です。そのため、変分法やWKB近似などの手法を用いて近似解が得られます。また、厳密に解ける問題に小さな修正を加えたものとして、関心のある問題を扱うことも一般的であり、これは摂動論として知られる手法です。

量子物理学と特殊相対性理論を融合させる試みは、相対論的エネルギー・運動量関係から相対論的波動方程式を構築することから始まった。$${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},}$$ 非相対論的エネルギー方程式の代わりに。クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式はそのような方程式の2つです。クライン・ゴルドン方程式は、 $${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$$ これは、非相対論的1粒子シュレーディンガー方程式よりも前に得られた最初のそのような方程式であり、質量のあるスピンのない粒子に適用されます。歴史的に、ディラックは、相対論的理論にとって望ましい性質である、時間と空間の両方に関して1階となる微分方程式を求めることによってディラック方程式を得ました。このようにクライン・ゴルドン方程式の左辺の「平方根」を取るには、それを2つの演算子の積に因数分解する必要があり、ディラックはそれを4×4行列を使用して記述しました。${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta }$その結果、波動関数も4成分関数となり、自由空間では次のようになるディラック方程式によって支配される。 $${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

これは再びシュレーディンガー方程式の形をとり、波動関数の時間微分は、波動関数に作用するハミルトニアン演算子によって与えられます。粒子への影響を含めるには、ハミルトニアン演算子を修正する必要があります。例えば、電磁場（電磁ポテンシャルφとAで記述される） 中の質量m、電荷qの粒子に対するディラックハミルトニアンは次のようになります。$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],}$$ ここで、γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ )およびγ ⁰は、粒子のスピンに関連するディラックのガンマ行列です。ディラック方程式はすべてのスピン1 ⁄ 2粒子に対して成り立ち、方程式の解は4 成分のスピノル場であり、2 つの成分は粒子に対応し、残りの 2 つは反粒子に対応します。

クライン・ゴルドン方程式の場合、シュレーディンガー方程式の一般形は使いにくく、実際にはハミルトニアンはディラック・ハミルトニアンと同様の方法では表現されません。クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式は相対論的量子場の方程式の一例ですが、ラグランジアン密度から始めて場のオイラー・ラグランジュ方程式を用いる方法や、ローレンツ群の表現論を用いて特定の表現によって与えられたスピン（および質量）を持つ自由粒子の方程式を固定する方法など、他の方法でも得ることができます。

一般に、一般的なシュレーディンガー方程式に代入されるハミルトニアンは、位置演算子と運動量演算子（および場合によっては時間）の関数であるだけでなく、スピン行列の関数でもある。また、スピンsの質量を持つ粒子に対する相対論的波動方程式の解は、複素数値の2( 2s + 1)成分スピノル場である。

当初定式化されたディラック方程式は、波動関数を持つ単一粒子シュレーディンガー方程式と同様に、単一量子粒子の方程式である。${\displaystyle \Psi (x,t)}$これは、粒子数が固定されていない相対論的量子力学では限定的な用途しかありません。経験的に、この複雑さは、質量とエネルギーの等価性から物質粒子がエネルギーから生成される可能性があることに注目することで説明できます。QFT でこれに対処する一般的な方法は、基底状態が粒子数でラベル付けされたヒルベルト空間、いわゆるフォック空間を導入することです。このヒルベルト空間上の量子状態に対してシュレーディンガー方程式を定式化できます。^{[ 31 ]}しかし、シュレーディンガー方程式は特定の時間軸を選択するため、理論のローレンツ不変性はもはや明らかではなく、したがって、この理論はしばしば他の方法で定式化されます。^{[ 36 ]}