存在定量化

存在定量化

タイプ	数量詞
分野	数学的論理
声明	${\displaystyle \exists xP(x)}$の少なくとも 1 つの値に対して が真である場合、 は真です。${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$
象徴的な声明	${\displaystyle \exists xP(x)}$

述語論理において、存在量化は量化子の一種であり、「存在する」、「少なくとも 1 つ存在する」、「いくつかに対して」と解釈される論理定数である。これは通常、論理演算子記号∃ で表され、述語変数と一緒に使用される場合は存在量化子(「∃ x」または「∃( x )」または「(∃ x ) 」^[1] ) と呼ばれる。存在量化は、ドメインのすべてのメンバーに対してプロパティまたは関係が成り立つと主張する全称量化(「すべてに対して」)とは異なる。 ^{[2] [3]}一部の情報源では、存在量化を指すために存在化という用語が使用されている。 ^[4]

量化全般については、量化（論理）の記事で説明しています。存在量指定子は、UnicodeではU+2203 ∃ THERE EXISTSとしてエンコードされ、LaTeXや関連する数式エディタ でも同様です。\exists

正式な文 を考えてみましょう

ある自然数 に対して、。${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

これは存在量化を使用した単一の文です。これは、非公式の文「、または、または、または... など」にほぼ類似していますが、より正確です。「など」という語句の意味を推測する必要がないためです。(特に、この文では、その談話領域が、たとえば実数ではなく、自然数であると明示的に指定されています。) ${\displaystyle 0\times 0=25}$${\displaystyle 1\times 1=25}$${\displaystyle 2\times 2=25}$

この特定の例は真です。なぜなら、 5 は自然数であり、 5 をnに置き換えると、真のステートメント が生成されるからです。 「 」がその単一の自然数 5 に対してのみ真であるかどうかは問題ではありません。単一の解の存在は、この存在量化が真であることを証明するのに十分です。 ${\displaystyle 5\times 5=25}$${\displaystyle n\times n=25}$

対照的に、「ある偶数 に対して、」は偽です。なぜなら、偶数の解は存在しないからです。したがって、変数nが取り得る値を指定する談話領域は、文の真偽を左右する重要な要素です。論理接続詞は、与えられた述語を満たすように談話領域を制限するために使用されます。たとえば、次の文 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

ある正の奇数に対して、${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

は論理的に次の文と 同等である

ある自然数 に対して、は奇数であり、 です。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

「ある」オブジェクトについての存在ステートメントの数学的証明は、「ある」ステートメントを満たすオブジェクトを示す構成的証明、または、そのようなオブジェクトを具体的に示すことなく存在しなければならないことを示す非構成的証明のいずれかによって達成される可能性があります。

記号論理学では、「∃」（サンセリフフォントの反転した文字「E 」 （Unicode U+2203））は存在量化を表すために使用されます。たとえば、表記法は（真の）ステートメントを表します。 ${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} :n\times n=25}$

自然数の集合の中には となるものが存在します。${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n=25}$

この記号は、ジュゼッペ・ペアノの『数学の公式』（1896年）で初めて使用されたと考えられています。その後、バートランド・ラッセルが存在量化子としてこの記号の使用を普及させました。ペアノは集合論の研究を通じて、集合の交差と和集合を表す記号 と も導入しました。[ ^5]${\displaystyle \cap}$${\displaystyle \cup}$

量化命題関数は文です。したがって、文と同様に、量化関数は否定することができます。記号は否定を表すために使用されます。 ${\displaystyle \lnot\}$

たとえば、P ( x ) が述語「xは 0 より大きく 1 より小さい」である場合、すべての自然数の談話領域Xに対して、存在量化「0 より大きく 1 より小さい 自然数xが存在する」は次のように記号的に表現できます。

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

これは誤りであることが証明できます。正直に言うと、「 0 より大きく 1 より小さい 自然数xは存在しない」、つまり記号的に言えば次のようになります。

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$。

もし、その文が真となる談話領域の要素が一つも存在しないなら、その文はそれらの要素すべてに対して偽でなければならない。つまり、

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

は論理的には「任意の自然数xに対して、x は0 より大きく 1 より小さい」 と同等です。

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

一般的に、命題関数の存在量化の否定は、その命題関数の否定の 全称量化である。象徴的に言えば、

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

(これはド・モルガンの法則を述語論理に一般化したものです。)

よくある間違いは、「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり、「結婚している人は存在しない」）と述べることです。これは、「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり、「結婚していない人が存在する」）という意味です。

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

否定は、「for some」ではなく「for no」という表現でも表現できます。

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

全称量指定子とは異なり、存在量指定子は論理和を分配します。

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

推論規則は、仮説から結論までの論理的ステップを正当化する規則です。存在量指定子を利用する推論規則はいくつかあります。

存在論的導入（∃I）は、命題関数が談話領域の特定の要素に対して真であることがわかっている場合、命題関数が真である要素が存在することは真でなければならないと結論付けます。象徴的に言えば、

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

存在的具体化は、フィッチ スタイルの演繹で行われる場合、主語を存在量化された変数に置き換えながら新しいサブ導出に入ることによって進行します。このサブ導出では、置き換えられた主語は現れません。このサブ導出内で結論に到達できる場合、その結論でサブ導出を終了することができます。存在的消去 (∃E) の背後にある推論は次のとおりです。命題関数が真となる要素が存在し、その要素に任意の名前を付けることで結論に到達できる場合、その結論は、名前が含まれていない限り、必然的に真です。任意のcと、 c が出現しない命題Qについて、象徴的に次のようになります。

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$同じドメインX上のcのすべての値に対して真でなければなりません。そうでない場合、ロジックは成り立ちません。cが任意ではなく、談話ドメインの特定の要素である場合、P ( c ) と述べると、そのオブジェクトに関するより多くの情報が不当に提供される可能性があります。

P ( x ) に関係なく、式は常に偽です。これは、が空集合を表し、空集合には、述語P ( x ) を満たすxはもちろん、どのような記述のx も存在しないためです。詳細については、 「空虚な真実」も参照してください。${\displaystyle \exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)}$${\displaystyle \varnothing }$

圏論と基本トポイ理論では、存在量化子は冪集合間の関数の左随伴子、集合間の関数の逆像関数として理解できる。同様に、全称量化子は右随伴子である。^[6]

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