n乗根

数学において、数xのn乗根とは、正の整数n乗したときにxとなる 数r (根)のことです。 $${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ factors}}}=x.}$$

整数n は指数または次数と呼ばれ、根が取られる数x は被根号と呼ばれます。次数 2 の根は平方根、次数 3 の根は立方根と呼ばれます。より高い次数の根は、 4乗根、20 乗根などのように序数を使用して参照されます。n乗根の計算は、根の抽出です。

たとえば、3 ² = 9なので3 は9の平方根であり、(−3) ² = 9なので−3も9の平方根です。

xの n 乗根は、根号記号または基数を使ってと表されます。平方根は通常、n を除いた⁠ ⁠と表されます。数値のn乗根は指数関数の逆演算であり、^[1]分数指数として表すことができます。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

正の実数xの場合、はxの正の平方根を表し、 は正の実数の n乗根を表します。負の実数− x には実数値の平方根はありませんが、x を複素数として扱うと、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠ の2 つの虚数平方根が存在します。ここで、i は虚数単位です。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$

一般に、ゼロでない任意の複素数は、 n個の異なる複素数値のn乗根を持ち、絶対値が一定の複素円 の周りに均等に分布しています。( 0のn乗根は、重複度がnのゼロであり、この円は点に退化します。)したがって、複素数xのn乗根を抽出することは、多値関数と見なすことができます。慣例により、この関数の主値は主根と呼ばれ、 ⁠ ⁠と表記され、実部が最大のn乗根とされ、 xが負の実数である特別な場合には、虚部が正の n 乗根とされます。したがって、正の実数の主根も正の実数です。関数 として、主根は、負の実軸に沿う場合を除いて、複素平面全体で連続しています。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

未解決の根、特に根号記号を使用する根は無理数^[2]または根号[ ^3]と呼ばれることがあります。平方根、立方根、高次の根など、根号を含む式は根号式と呼ばれ、超越関数や超越数を含まない場合は代数式と呼ばれます。

根は、根検定によってべき級数の収束半径を決定するために使用されます。 1 のn乗根は 1 の根と呼ばれ、数論、方程式の理論、フーリエ変換など、数学のさまざまな分野で基本的な役割を果たします。

n乗根を求める操作の古い用語は「根号化」である。^{[4] [5]}

数xのn乗根 ( nは正の整数) とは、n乗がx となるn個の実数または複素数rのいずれかです。

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

すべての正の実数 x には、主n乗根と呼ばれる正のn乗根が 1 つあり、 と書きます。nが 2 の場合、これは主平方根と呼ばれ、 nは省略されます。n乗根は、指数を使用してx ^1/nと表すこともできます。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

nが偶数値の場合、正の数には負のn乗根もありますが、負の数には実数のn乗根はありません。 nが奇数値の場合、すべての負の数xには実数の負のn乗根があります。たとえば、 -2 には実数の 5 乗根がありますが、 -2 には実数の 6 乗根はありません。 ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

実数または複素数の0 以外のすべての数xには、nつの異なる複素数のn乗根があります。( xが実数の場合、この数には実数のn乗根も含まれます。) 0 の唯一の複素根は 0 です。

ほとんどすべての数のn乗根（ n乗以外のすべての整数、および2つのn乗の商以外のすべての有理数）は無理数です。たとえば、

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

有理数のn乗根はすべて代数的数であり、整数のn乗根はすべて代数的整数です。

「無理数」という用語は、有理数を可聴数、無理数を不可聴数と呼んだアル・フワーリズミー（ 825年頃）に由来する。これは後に、無理数を表すアラビア語のأصم（asamm、「耳が聞こえない」または「口がきけない」を意味する）がラテン語でsurdus（「耳が聞こえない」または「口がきけない」を意味する）と翻訳されることにつながった。クレモナのジェラルド（ 1150年頃）、フィボナッチ（1202年）、そしてロバート・レコード（1551年）はいずれも、解決されていない無理数根、つまり の形式の式（ および は整数で、式全体が無理数を表す）を指すのにこの用語を使用した。^{[6] が}有理数である の形式の無理数は、純粋な二次無理数と呼ばれる。の形をした無理数（ ただし、およびは有理数）は混合二次無理数と呼ばれる。^[7]${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

数xの平方根は、二乗するとxになる数rです。

$${\displaystyle r^{2}=x.}$$

すべての正の実数には、正と負の 2 つの平方根があります。たとえば、25 の 2 つの平方根は 5 と -5 です。正の平方根は主平方根とも呼ばれ、根号記号で表されます。

$${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

すべての実数の平方は非負なので、負の数には実平方根はありません。ただし、すべての負の実数には 2 つの虚平方根があります。たとえば、 -25 の平方根は 5 iと -5 iです。ここで、i は平方すると-1になる数を表します。

数xの立方根とは、その立方体がxとなる数r のことです。

$${\displaystyle r^{3}=x.}$$

すべての実数x には、 と表記される実数 3 乗根が 1 つだけあります。たとえば、 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

すべての実数には、さらに 2 つの複素3 乗根があります。

n乗根の次数を のように指数形式で表すと、累乗や累乗根の操作が容易になります。 が非負の実数である場合、 ${\displaystyle x^{1/n}}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

すべての非負数には、正確に 1 つの非負の実数n乗根が存在するため、非負の根号を含む無理数に対する演算の規則は、実数の範囲内で単純です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$$

負の数や複素数のn乗根を取るときに微妙な問題が発生することがあります。例:

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$

しかし、むしろ、

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

この規則は非負の実数の根号に対してのみ厳密に適用されるため、これを適用することで上記の最初のステップの不等式が導かれます。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

ネストされていない根号式は、被根号の因数が指数以上のべき乗で表すことができず、根号記号内に分数が存在せず、分母に根号が存在しない場合に、簡略化された形式であると言われる。[ 8 ^]

たとえば、根号式を簡略化した形で書くには、次のように進めます。まず、平方根記号の下の完全平方を探してそれを削除します。 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

次に、根号の下に分数があります。これを次のように変更します。

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

最後に、次のように分母から根号を除去します。

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

分母に無理数が含まれる場合、分子と分母の両方に掛ける因数を見つけて式を簡略化することが常に可能です。^{[9] [10]}たとえば、2つの立方数の和の因数分解を使用すると、

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

ネストされた根号を含む根号式を簡略化するのは、非常に難しい場合があります。特に、ネスト解除は常に可能であるとは限らず、可能であっても、高度なガロア理論が必要になる場合があります。さらに、完全なネスト解除が不可能な場合は、 2 つの数の等式を単にその標準形を見るだけでテストできるような 一般的な標準形は存在しません。

例えば、

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

上記は以下を通じて導き出されます:

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

、pとq が互いに素で正の整数であるとします。 が有理数となるのは、 と が両方とも整数である場合に限ります。つまり、pとq は両方とも何らかの整数のn乗 です。${\displaystyle r=p/q}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$

根号または平方根は、無限級数で表すことができます。

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}$$

とします。この式は二項級数から導出できます。 ${\displaystyle |x|<1}$

数Aのn乗根はニュートン法で計算できる。これは初期推定値x ₀から始まり、その後再帰関係を使用して反復する。

$${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$$

所望の精度に達するまで繰り返す。計算効率を上げるために、再帰関係は一般に次のように書き換えられる。

$${\displaystyle x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.}$$

これにより、指数関数は1 つだけになり、各項の最初の因数を 1 回だけ計算できるようになります。

たとえば、34 の 5 乗根を求めるには、n = 5、A = 34、x ₀ = 2 (初期推定値) を代入します。最初の 5 回の反復は、おおよそ次のようになります。

(正しい数字はすべて表示されます。)

近似値x _{4 は}小数点以下 25 桁の精度があり、x _{5 は}51 桁の精度があります。

ニュートン法は、n乗根のさまざまな一般連分数を生成するように修正することができます。たとえば、

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$

平方根 の桁ごとの計算を基にすると、ここで使用されている式、または は、パスカルの三角形を伴うパターンに従っていることがわかります。数値のn乗根は、パスカルの三角形の行の要素の値として定義され、となるため、式を と書き直すことができます。便宜上、この式の結果を と呼びます。このより一般的な式を使用すると、次のように、任意の正の主根を桁ごとに計算できます。 ${\displaystyle x(20p+x)\leq c}$${\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}$${\displaystyle P(n,i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(4,1)=4}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$${\displaystyle y}$

元の数字を小数形式で書きます。数字は長除法のアルゴリズムに似た形式で書きます。長除法の場合と同様に、根は上の行に書きます。次に、小数点から始めて左と右の両方に進み、根を求める数字に等しい数字のグループに数字を分けます。根の小数点は、被除数の小数点の上にあります。元の数字の各数字グループの上に、根の 1 桁が表示されます。

一番左の数字のグループから始めて、各グループに対して次の手順を実行します。

1. 左から始めて、まだ使用されていない最上位（左端）の数字のグループを下ろし（すべての数字が使用されている場合は、グループを作成するために必要な回数だけ「0」を書き込みます）、前の手順の余りの右側に書き込みます（最初の手順では余りはありません）。つまり、余りを で乗算し、次のグループの数字を追加します。これが現在の値cになります。${\displaystyle 10^{n}}$
2. 次のようにしてpとx を求めます。
   • これまでに求めた根の部分を とします。小数点はすべて無視します。(最初のステップでは、および)。${\displaystyle p}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle 0^{0}=1}$
   • となる最大の数字を決定します。${\displaystyle x}$${\displaystyle y\leq c}$
   • その数字をルートの次の数字、つまり先ほど下ろした数字のグループの上に置きます。したがって、次のp は古いp の10 倍にx を加えたものになります。${\displaystyle x}$
3. から減算して新しい剰余を作成します。${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$
4. 余りがゼロで、下げる桁がもうない場合、アルゴリズムは終了します。それ以外の場合は、ステップ 1 に戻ってもう一度繰り返します。

152.2756 の平方根を求めます。

          1 2. 3 4
        /
     \/ 01 52.27 56 (結果) (説明)
    
         01 x = 1 10 0・1・0 0・1 2 + 10 1・2・0 1・1 1      ≤ 1 < 10 0・1・0 0・2 2    + 10 1・2・0 1・2 1 
        01                   y = 1 y = 10 0・1・0 0・1 2    + 10 1・2・0 1・1 1    = 1 + 0 =      1 
         00 52 x = 2 10 0・1・1 0 · 2 2 + 10 1・2・1 1・2 1      ≦ 52 < 10 0・1・1 0・3 2    + 10 1・2・1 1・3 1 
        00 44                y = 44 y = 10 0・1・1 0・2 2    + 10 1・2・1 1・2 1    = 4 + 40 =     44 
            08 27 x = 3 10 0・1・12 0・3 2 + 10 1・2・12 1・3 1    ≤ 827 < 10 0・1・12 0・4 2   + 10 1・2・12 1・4 1 
           07 29             y = 729 y = 10 0・1・12 0・3 2   + 10 1・2・12 1・3 1   = 9 + 720 =    729 
               98 56 x = 4 10 0 ·1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 ·2 · 123 1 · 4 1 ≤ 9856 < 10 0 ·1 · 123 0 ·5 2 + 10 1・2・123 1・5 1 
              98 56          y = 9856 y = 10 0・1・123 0・4 2 + 10 1・2・123 1・4 1 = 16 + 9840 =   9856
               00 00

アルゴリズム終了: 答えは 12.34

4192 の 3 乗根を 1000 分の 1 未満を切り捨てて求めます。

        1 6. 1 2 4 
 3   /
  \/ 004 192.000 000 000 (結果) (説明)
    
      004 x = 1 10 0・1・0 0・1 3     + 10 1・3・0 1・1 2    + 10 2・3・0 2・1 1     ≦ 4 < 10 0・1・0 0・2 3      + 10 1・3・0 1・2 2     + 10 2・3・0 2・2 1 
     001                          y = 1 y = 10 0・1・0 0・1 3    + 10 1・3・0 1・1 2    + 10 2・3・0 2・1 1    = 1 + 0 + 0 =           1 
      003 192 x = 6 10 0・1・1 0・6 3     + 10 1・3・1 1・6 2    + 10 2・3・1 2・6 1     ≤ 3192 < 10 0・1・1 0・7 3      + 10 1・3・1 1・7 2     + 10 2・3・1 2・7 1 
     003 096                      y = 3096 y = 10 0・1・1 0・6 3    + 10 1 ·3·1 1 ·6 2    + 10 2 ·3·1 2 ·6 1    = 216 + 1,080 + 1,800 =       3,096 
          096 000 x = 1 10 0 ·1·16 0 · 1 3    + 10 1・3・16 1・1 2    + 10 2・3・16 2・1 1    ≤ 96000 < 10 0・1・16 0・2 3    + 10 1・3・16 1・2 2    + 10 2・3・16 2・2 1 
         077 281                  y = 77281 y = 10 0・1・16 0・1 3   + 10 1・3・16 1・1 2   + 10 2・3・16 2・1 1   = 1 + 480 + 76,800 =      77,281 
          018 719 000 x = 2 10 0・1・161 0・2 3   + 10 1・3・161 1・2 2   + 10 2・3・161 2・2 1   ≤ 18719000 < 10 0・1・161 0・3 3   + 10 1・3・161 1・3 2   + 10 2・3・161 2・3 1 
             015 571 928          y = 15571928 y = 10 0 ·1 · 161 0 ·2 3 + 10 1 ·3·161 1 ·2 2 + 10 2 ·3·161 2 ·2 1 = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928 
              003 147 072 000 x = 4 10 0 ·1·1612 0 · 4 3 + 10 1 ·3· 1612 1 · 4 2 + 10 2 ·3·1612 2 · 4 1 ≤ 3147072000 < 10 0 ·1·1612 0 ·5 3 + 10 1 ·3·1612 1 ·5 2 + 10 2 ·3·1612 2 ·5 1

希望の精度が達成されました。4192 の 3 乗根は 16.124 です...

正の数の主根nは対数を使って計算できる。rをxのn乗根、つまりxが正でその主根rも正であるとして定義する式から始めて、両辺の対数を取る（対数の底はどれでも構わない）と次の式が得られる。 ${\displaystyle r^{n}=x,}$

$${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$$

ルートr は、逆対数を取ることで復元されます。

$${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$$

(注意: この式は、b を除算の結果で累乗したものを示しており、b を除算の結果で乗算したものではありません。)

xが負でnが奇数の場合、負の実根rが 1 つあります。これは、定義式の両辺に −1 を掛けて求め、次に前と同じように | r |を求め、 r = −| r | を使用することで求められます。 ${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

古代ギリシャの数学者は、単位長さの補助線が与えられた場合、コンパスと定規を使用して、与えられた長さの平方根に等しい長さを作成する方法を知っていました。1837年にピエール・ワンツェルは、nが2の累乗でない場合は、与えられた長さのn乗根を作成できないことを証明しました。 ^[11]

0 以外のすべての複素数には、n つの異なるn乗根があります。

複素数の2つの平方根は常に互いに負になります。たとえば、-4の平方根は2 iと-2 iであり、 iの平方根は

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

複素数を極形式で表すと、半径の平方根を取り、角度を半分にすることで平方根が得られます。

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

複素数の 主根は、例えば、様々な方法で選ぶことができる。

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

これは、0 ≤  θ  < 2 πの条件で正の実軸に沿って複素平面に分岐を導入するか、− π  <  θ  ≤  πの条件で負の実軸に沿って分岐を導入します。

最初の（最後の）分岐切断法を使用すると、主平方根は、負でない虚数部（実数部）を持つ半平面にマッピングされます。最後の分岐切断法は、 MatlabやScilabなどの数学ソフトウェアでは前提とされています。 ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \scriptstyle z}$

数1は複素平面上で n個の異なるn乗根を持ち、すなわち

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

どこ

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

これらの根は、複素平面上の単位円の周囲にの倍数の角度で均等に配置されます。たとえば、1 の平方根は 1 と -1 であり、1 の 4 乗根は 1、、 -1、です。 ${\displaystyle 2\pi /n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$

すべての複素数は複素平面上で n個の異なるn乗根を持ちます。これらは

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

ここで、η は単一のn乗根であり、1、  ω、  ω ²、...  ω ^{n −1は1の}n乗根である。例えば、2の4つの異なる4乗根は、

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

極形式では、単一のn乗根は次の式で求められる。

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.}$$

ここでr は根を求める数の大きさ（絶対値とも呼ばれる）です。数がa+biと書ける場合は です。また、は、原点を正の水平軸から反時計回りに回転させて原点から数に向かう直線まで回転させたときに形成される角度です。この角度には、次の特性があります。${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta =a/r,}$ ${\displaystyle \sin \theta =b/r,}$${\displaystyle \tan \theta =b/a.}$

したがって、複素平面でn乗根を求める作業は、2 つのステップに分けられます。まず、すべてのn乗根の大きさは、元の数値の大きさのn乗根です。次に、正の水平軸と、原点からn乗根の 1 つに伸びる直線との間の角度は です。ここで は、根を求める数値に対して同様に定義される角度です。さらに、すべてのn乗根は、互いに等間隔の角度にあります。 ${\displaystyle \theta /n}$${\displaystyle \theta }$

nが偶数の場合、複素数のn乗根（そのうちの 1 つは偶数）は加法逆数の対になります。そのため、数r _1がn乗根の 1 つである場合、 r ₂ = – r ₁も別の n乗根になります。これは、後者の係数 –1 を偶数nに対してn乗すると 1 になるためです。つまり、(– r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿです。

平方根と同様に、上記の式は複素平面全体にわたって連続関数を定義するのではなく、 θ  /  nが不連続になる点で分岐を切断します。

かつては、すべての多項式方程式は代数的に解ける（つまり、多項式のすべての根は有限個の累乗根と基本演算で表現できる）と推測されていました。しかし、これは3次多項式（ 3次）と4次多項式（4次）には当てはまりますが、アベル・ルフィニの定理（1824年）は、次数が5以上の場合は一般には当てはまらないことを示しています。たとえば、次の方程式の解は

$${\displaystyle x^{5}=x+1}$$

根号では表すことができません。（五次方程式を参照 ）

が有理数であると仮定します。つまり、分数 に簡約できます。ここで、 aとbは共通因数のない整数です。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

これは、次のことを意味します。 ${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

x は整数なので、 の場合、共通の因数を共有する必要があります。つまり、 の場合、 は最も単純な形式ではありません。したがって、b は1 に等しくなります。 ${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

およびなので、。 ${\displaystyle 1^{n}=1}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

これは、 を意味し、したがって です。これは が整数であることを意味します。x は完全なn乗ではないので、これは不可能です。したがって は無理数です。 ${\displaystyle x=a^{n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

• 幾何平均
• 2の12乗根

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