コンウェイ多面体表記

幾何学と位相幾何学において、ジョン・ホートン・コンウェイによって発明され、ジョージ・W・ハートによって推進されたコンウェイ多面体記法は、様々な前置演算によって修正された種多面体に基づいて多面体を記述するために使用される。^{[1] [2]}

Conway と Hart は、 Keplerによって定義された切り捨てなどの演算子を使用して、同じ対称性を持つ関連する多面体を構築するというアイデアを拡張しました。たとえば、tC は切り取られた立方体を表し、taCはt ( aC )と解析され、（位相的には）切り取られた立方八面体です。最も単純な演算子Dual は、頂点と面の要素を交換します。たとえば、デュアル立方体は八面体です：dC = O。これらの演算子を連続して適用すると、多くの高次の多面体を生成できます。Conway は、演算子a (ambo)、b ( bevel )、d ( Dual ) 、 e ( expand )、g ( gyro )、j ( join )、k ( kis )、m ( meta )、o ( ortho ) 、 s ( snub )、およびt ( truncate ) を定義し、Hart はr ( reflect ) とp ( propellor )を追加しました。^[3]後の実装では、さらに演算子が命名され、「拡張」演算子と呼ばれることもあります。^{[4] [5]コンウェイの基本演算は、}プラトン立体からアルキメデス立体とカタラン立体を生成するのに十分です。一部の基本演算は、他の演算の合成として作成できます。たとえば、ambo を 2 回適用すると拡張演算 ( aa = e ) になり、ambo の後に切り捨てを行うとベベル ( ta = b ) が生成されます。

多面体は、頂点、辺、面がどのようにつながっているかという観点から位相的に研究することも、空間内でのそれらの要素の配置という観点から幾何学的に研究することもできます。これらの演算子の異なる実装により、幾何学的には異なるが位相的に同等な多面体が作成されることがあります。これらの位相的に同等な多面体は、球面上の多面体グラフの多くの埋め込みの 1 つと考えることができます。特に指定がない限り、この記事 (および一般的な Conway 演算子に関する文献) では、位相が主な関心事です。種数0 の多面体 (つまり、位相的に球面と同等) は、あいまいさを避けるために標準形にされることがよくあります。

コンウェイの記法では、多面体に対する演算は関数のように右から左に適用されます。たとえば、立方八面体はアンボキューブ^[6]、つまり⁠ ⁠で${\displaystyle a(C)=aC}$あり、切頂立方八面体は⁠ ⁠${\displaystyle t(a(C))=t(aC)=taC}$です。演算子の繰り返し適用は指数で表すことができます: j ² = o 。一般に、コンウェイ演算子は可換ではありません。

個々の演算子は、以下のように、基本領域（またはチャンバー）の観点から視覚化できます。各直角三角形は基本領域です。各白いチャンバーは他のチャンバーを回転したバージョンであり、各色付きチャンバーも同様です。アキラル演算子の場合、色付きチャンバーは白いチャンバーの反射であり、すべて推移的です。群の観点で言えば、アキラル演算子は二面体群 D _n（nは面の数）に対応し、カイラル演算子は二面体群の反射対称性を欠く巡回群 C _nに対応します。アキラル演算子とカイラル演算子は、それぞれ局所対称性保存操作 (LSP) と方向保存対称性を保存する局所操作 (LOPSP) とも呼ばれます。^{[7] [8] [9]} LSP は、局所対称性を保存する操作ではなく、対称性を保存する局所操作として理解する必要があります。繰り返しますが、これらは位相的な意味での対称性であり、幾何学的な意味での対称性ではありません。正確な角度と辺の長さは異なる場合があります。

ハートは多面体の鏡像を与える反射演算子rを導入した。 ^[6]これは厳密にはLOPSPではない。なぜなら、向きを保存しないからである。白と赤のチャンバーを交換することで向きを反転させる。rは向き以外にアキラル多面体には影響を与えず、rr = Sは元の多面体を返す。上線は演算子の他のキラル形式を示すために使用できる：s = rsr。

dとr以外の演算子の合成として表現できない場合、その演算子は既約ではありません。Conway の元の演算子の大部分は既約です。例外はe、b、o、およびmです。

シードの頂点、辺、面の数と、この記事で挙げた操作によって作成された多面体との関係は、行列として表現できます。xが演算子の場合、はシードの頂点、辺、面（それぞれ）、は結果の頂点、辺、面です。 ${\displaystyle \mathbf {M} _{x}}$${\displaystyle v,e,f}$${\displaystyle v',e',f'}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}{\begin{bmatrix}v\\e\\f\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v'\\e'\\f'\end {bマトリックス}}}$。

2つの演算子の合成行列は、2つの演算子の行列の積に過ぎません。異なる演算子が同じ行列を持つ場合もあります。たとえば、pとlです。結果のエッジ数はシード値の整数倍dです。これはインフレーション率、またはエッジ係数と呼ばれます。^[7]

最も単純な演算子である恒等演算子 Sと双対演算子 d は、単純な行列形式を持ちます。

${\displaystyle \mathbf {M} _{S}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {I} _{3}}$、${\displaystyle \mathbf {M} _{d}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$

2 つの双対演算子は打ち消し合います。dd = Sであり、 の平方は単位行列です。他の演算子に適用すると、双対演算子は行列の水平および垂直の反射に対応します。演算子は、演算子x、xd (双対演算子)、dx (演算子の双対)、およびdxd (演算子の共役) を識別することによって、4 つ (またはいくつかの形式が同じ場合はそれより少ない) のグループにグループ化できます。この記事では、その他は単純な反射であるため、 xの行列のみが示されています。${\displaystyle \mathbf {M} _{d}}$

各インフレ率に対するLSPの数は、インフレ率1から始まります。しかし、すべてのLSPが必ずしも辺と頂点が3連結グラフを形成する多面体を生成するわけではなく、スタインツの定理の結果として、凸シードから必ずしも凸多面体を生成するわけではありません。各インフレ率に対する3連結LSPの数は です。^[8]${\displaystyle 2,2,4,6,6,20,28,58,82,\cdots }$${\displaystyle 2,2,4,6,4,20,20,54,64,\cdots }$

厳密に言えば、seed ( S )、needle ( n )、zip ( z ) は Conway には含まれていませんでしたが、双対性によって元の Conway 演算に関連付けられているため、ここに含まれています。

ここからは、立方体の表面に描画された立方体のシード上で操作が視覚化されます。青い面はシードのエッジを横切り、ピンクの面はシードの頂点の上にあります。特にカイラル演算子の場合、頂点の正確な配置にはある程度の柔軟性があります。

操作を実行できる限り、任意の多面体はシードとして使用できます。共通のシードには文字が割り当てられています。プラトンの立体は、その名前の最初の文字 (正四面体、正八面体、立方体、十二面体)、n 角柱( P n ₎、反角柱( A n ₎、キューポラ( U n ₎、アンチキューポラ( V _n )、およびピラミッド( Y _n ) で表されます。ジョンソン立体は、 n = 1..92の場合、 J nとして_参照できます。

5つのプラトン立体はすべて、0個から2個の演算子を持つプリズマティックジェネレータから生成できます。^[14]

通常のユークリッドタイリングもシードとして使用できます。

• Q = クアドリル =正方形のタイル
• H = Hextille =六角形のタイル張り= dΔ
• Δ = デルティル =三角形のタイリング= dH

これらは、コンウェイの元のセットの後に作成された演算です。名前が付けられた演算よりも多くの演算が存在することに注意してください。演算がここにないからといって、存在しない (または LSP または LOPSP ではない) というわけではありません。さらに、このリストには既約演算子のみが含まれています。演算子を組み合わせることで、他の多くの演算子を作成できます。

いくつかの演算子は、何らかの基準でグループ化したり、インデックスによって動作を変更したりすることができます。^[4]これらは、添え字付きの演算子x _nとして記述されます。

拡張操作では、元のエッジが保持されます。これらは、面の任意の独立したサブセットに適用することも、元のエッジを削除して結合形式に変換することもできます。Conway 表記法​​では、これらの演算子のオプションのインデックスがサポートされています。結合形式の場合は 0、影響を受ける面の辺の数の場合は 3 以上です。たとえば、k ₄ Y ₄ =O の場合、正方形の底面を持つピラミッドを取り、別のピラミッドを正方形の底面に接着すると、八面体になります。

切り捨て演算子tには、特定の次数の頂点のみが切り捨てられることを示すインデックス形式t _nもあります。これはdk _n dと同等です。

拡張演算子の一部は、k n 演算子および t n 演算子を使用する特殊なケースで作成できます。たとえば、面取りされた立方体 cC は、次数 4 の頂点を切り取った菱形十二面体 daCまたは_jCとしてt ₄ daCとして構築できます。ロフト付き立方体lCはt 4 kCと_同じです。五十_十二面体qD は、次数 5 の頂点を切り取った三角錐六十面体deDまたはt ₅ oDとしてt ₅ daaDまたは t 5 deD またはt 5 oDとして_構築できます。

Metaは中心と辺に沿って頂点を追加しますが、Bevelは中心、シード頂点、辺に沿って面を追加します。インデックスは、辺に沿って追加される頂点または面の数です。Meta（インデックスなしの形式）は、cantitruncationまたはomnitruncationとも呼ばれます。ここでの0は、拡張操作と同じ意味ではないことに注意してください。つまり、辺に沿って0の頂点（または面）が追加されることを意味します。^[4]

medial は meta に似ていますが、中心から各シード頂点にエッジを追加しない点が異なります。インデックス 1 の形式は、コンウェイの ortho 演算子および expand 演算子と同じです。expand はcantellationおよびexpandとも呼ばれます。oとeには、以下で説明する独自のインデックス形式があることに注意してください。また、実装によっては、インデックスが 1 ではなく 0 から始まることにも注意してください。^[4]

ゴールドバーグ-コクセター (GC) コンウェイ演算子は、ゴールドバーグ-コクセター構成の拡張である 2 つの無限演算子族です。^{[16] [17]} GC 構成は、三角格子の三角形セクション、または正方格子の正方形セクションを取り、それを多面体の各面に配置するものと考えることができます。この構成は、三角形または正方形のチャンバー (「マスター多角形」) を特定することで、任意の面に拡張できます。^[7]三角形族の演算子を使用して、ゴールドバーグ多面体と測地多面体を作成できます。公式については、測地多面体とゴールドバーグ多面体の一覧を参照してください。

2 つのファミリは、三角形の GC ファミリc _a,bおよびu _a,bと、四辺形の GC ファミリe _a,bおよびo _a,bです。どちらの GC ファミリも、2 つの整数とでインデックス付けされます。これらには、多くの優れた特性があります。 ${\displaystyle a\geq 1}$${\displaystyle b\geq 0}$

• 族のインデックスは、複素数上の特定のユークリッド領域と関係があります。三角形の GC 族の場合はアイゼンシュタイン整数、四辺形の GC 族の場合はガウス整数です。
• 同じファミリー内のx 列とdxd列の演算子は互いに交換可能です。

演算子は 3 つのクラスに分けられます (例はcで書かれていますが、4 つの演算子すべてに適用されます)。

• クラス I: ⁠ ⁠${\displaystyle b=0}$。アキラル、元のエッジを保持します。ゼロインデックスを省略して記述できます (例: c _{a ,0} = c _{a )}。
• クラス II: ⁠ ⁠ 。アキラルでもある。c ${\displaystyle a=b}$a _,a = c _a c _1,1と分解できる。
• クラス III: その他のすべての演算子。これらはカイラルであり、c _a,bとc _{b,a は}互いのカイラル ペアです。

オリジナルのコンウェイ演算のうち、GC ファミリーに該当しないのはgとs (ジャイロとスナブ) だけです。メタとベベル ( mとb ) は、三角形ファミリーの演算子 1 つと四辺形ファミリーの演算子 1 つで表現できます。

基本的な数論によれば、 aとbの任意の値に対して、. ${\displaystyle T\not \equiv 2\ (\mathrm {mod} \ 3)}$

コンウェイのオリジナルの演算子セットは、プラトン立体をシードとして使用して、すべてのアルキメデス立体とカタラン立体を作成できます。(両方のカイラル形式を作成するためにr演算子は必要ないことに注意してください。)

• アルキメデス
• 
  切頂四面体
  tT
• 
  立方八面体
  aC = aO = eT
• 
  切り取られた立方体
  tC
• 
  切頂八面体
  tO = bT
• 
  菱形八面体
  eC = eO
• 
  切頂立方八面体
  bC = bO
• 
  スナブキューブ
  sC = sO
• 
  二十面体
  aD = aI
• 
  切頂十二面体
  tD
• 
  切頂二十面体
  tI
• 
  菱形十二面体 eD
  = eI
• 
  切頂二十二面体
  bD = bI
• 
  スナブ十二面体
  sD = sI

• カタロニア語
• 
  トリアキス四面体
  kT
• 
  菱形十二面体
  jC = jO = oT
• 
  トリアキス八面体
  kO
• 
  テトラキス六面体
  kC = mT
• 
  三角錐二十四面体
  oC = oO
• 
  ディスディアキス十二面体
  mC = mO
• 
  五角形二十四面体
  gC = gO
• 
  菱形三十面体
  jD = jI
• 
  三十面体
  kI
• 
  ペンタキス十二面体
  kD
• 
  三角正六面体
  oD = oI
• 
  ディスディアキス トリアコンタヘドロン
  mD = mI
• 
  五角形六十面体
  gD = gI

切頂二十面体tIは、頂点推移的でも面推移的でもないものの、見た目に美しい多面体を作成するためのシードとして使用できます。

• 
  私は
• 
  で
• 
  ttI
• 
  ztI = ttD
• 
  etI
• 
  だけど
• 
  stI

• デュアル
• 
  dtI = nI = kD
• 
  jtI
• 
  ntI = kkD
• 
  ktI
• 
  otI
• 
  mtI
• 
  gtI

凸均一タイリングとそのデュアルはそれぞれ、通常のタイリング Q、H、およびΔにコンウェイ演算子を適用することによって作成できます。

• 
  正方形のタイル
  Q = dQ = aQ = eQ
  = jQ = oQ
• 
  切り詰められた正方形のタイル
  tQ = bQ
• 
  テトラキス正方形タイリング
  kQ = mQ
• 
  スナブスクエアタイル
  sQ
• 
  カイロ五角形タイル
  gQ

• 
  六角形のタイリング
  H = dΔ = tΔ
• 
  三角タイル
  aH = aΔ
• 
  切り詰められた六角形のタイル
  tH
• 
  菱形三角タイル
  eH = eΔ
• 
  切頂三角タイル
  bH = bΔ
• 
  スナブ三角タイル
  sH = sΔ

• 
  三角形のタイリング
  Δ = dH = kH
• 
  菱形タイリング
  jΔ = jH
• 
  トリアキス三角タイル
  kΔ
• 
  三角三角形のタイル張り
  oΔ = oH
• 
  キスロンビルタイリング
  mΔ = mH
• 
  小花五角形タイリング
  gΔ = gH

コンウェイ演算子は、環状多面体や複数の穴を持つ多面体 にも適用できます。

• 
  1x1正方トーラス、{4,4} _1,0
• 
  正4x4の正方トーラス、{4,4} _4,0
• 
  tQ24×12をトーラスに投影
• 
  taQ24×12をトーラスに投影
• 
  actQ24×8をトーラスに投影
• 
  tH24×12をトーラスに投影
• 
  taH24×8をトーラスに投影
• 
  kH24×12をトーラスに投影

ウィキメディア・コモンズには、コンウェイ多面体に関連するメディアがあります。

• 対称面体
• ゾノヘドロン
• シュレーフリ記号

• polyHédronisme: Conway 記法を入力として HTML5 キャンバスに多面体を生成します。