ベクトル空間

数学と物理学において、ベクトル空間（線型空間とも呼ばれる）は、ベクトルと呼ばれる要素を加算したり、スカラーと呼ばれる数値で乗算（「スケーリング」）したりできる集合です。ベクトルの加算とスカラー乗算の演算は、ベクトル公理と呼ばれる特定の要件を満たす必要があります。実ベクトル空間と複素ベクトル空間は、異なる種類のスカラー（実数と複素数）に基づくベクトル空間の一種です。より一般的には、スカラーは任意の体の要素になることもできます。

ベクトル空間はユークリッド ベクトルを一般化したものなので、大きさだけでなく方向も持つ物理量(力や速度など) をモデル化できます。ベクトル空間の概念は、ベクトル空間での計算を可能にする行列の概念とともに、線形代数にとって基本的なものです。これにより、線形方程式のシステムを操作および研究するための簡潔で総合的な方法が提供されます。

ベクトル空間は次元によって特徴付けられ、大まかに言えば、次元は空間内の独立した方向の数を指定します。つまり、与えられた体上の同じ次元を持つ 2 つのベクトル空間について、ベクトル空間構造のみに依存する特性はまったく同じです (技術的には、ベクトル空間は同型です)。ベクトル空間は、次元が自然数である場合に有限次元です。それ以外の場合は無限次元であり、その次元は無限基数です。有限次元ベクトル空間は、幾何学および関連分野で自然に発生します。無限次元ベクトル空間は、数学の多くの分野で発生します。たとえば、多項式環は可算無限次元ベクトル空間であり、多くの関数空間は連続体の基数を次元として 持ちます。

数学で考慮される多くのベクトル空間には、他の構造も備わっています。これは、体拡大、多項式環、結合代数、リー代数を含む代数の場合です。これはまた、関数空間、内積空間、ノルム空間、ヒルベルト空間、バナッハ空間を含む位相ベクトル空間の場合でもあります。

この記事では、ベクトルをスカラーと区別するために太字で表記しています。^{[nb 1] [1]}

体 F上のベクトル空間は、空でない集合 Vと、以下に挙げる8つの公理を満たす二項演算と二項関数の組み合わせである。この文脈では、 Vの要素は一般にベクトルと呼ばれ、  Fの要素はスカラーと呼ばれる。^[2]

• ベクトル加算または単に加算と呼ばれる二項演算は、V内の任意の 2 つのベクトル vとwに、通常v + wと表記され、これら 2 つのベクトルの和と呼ばれる、 V内の3 番目のベクトルを割り当てます。

• スカラー乗算と呼ばれる2項関数は、 F内の任意のスカラー aとV内の任意のベクトル vに、  V内の別のベクトルa vを割り当てます。^{[注 2]}

ベクトル空間を持つためには、Vの任意のu、v、wとF の任意のa、bに対して次の8つの公理が満たされなければならない。^[3]

スカラー体が実数であるとき、ベクトル空間は実ベクトル空間と呼ばれ、スカラー体が複素数であるとき、ベクトル空間は複素ベクトル空間と呼ばれます。^[4]これら2つのケースは最も一般的なものですが、任意の体Fのスカラーを含むベクトル空間もよく考えられます。このようなベクトル空間は、 Fベクトル空間またはF上のベクトル空間と呼ばれます。^[5]

ベクトル空間の同等の定義を与えることができ、これははるかに簡潔だが、それほど初歩的ではない。最初の4つの公理（ベクトルの加算に関連）は、ベクトル空間が加算に関してアーベル群であることを述べ、残りの4つの公理（スカラー乗算に関連）は、この演算が体Fからこの群の自己準同型環への環準同型を定義することを述べている。 ^[6]

2つのベクトルの減算は次のように定義できる。 $${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {w} =\mathbf {v} +(-\mathbf {w} ).}$$

公理の直接的な帰結として、すべてのおよび1 に対して、${\displaystyle s\in F}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V,}$

• ${\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {0} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle (-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {v} =\mathbf {0} }$または​${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} .}$

さらに簡潔に言えば、ベクトル空間は体上の加群である。^[7]

線形結合

Fベクトル空間Vの元の集合Gが与えられたとき、 Gの元の線型結合は、 Vの元となる。ここで、スカラーは線型結合の係数と呼ばれる。 ^[8]$${\displaystyle a_{1}\mathbf {g} _{1}+a_{2}\mathbf {g} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {g} _{k},}$$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}\in F}$${\displaystyle \mathbf {g} _{1},\ldots ,\mathbf {g} _{k}\in G.}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

線形独立性

Fベクトル空間Vの部分集合Gの元は、Gのどの元もGの他の元の線型結合として表すことができないとき、線型独立であると言われる。同様に、 Gの元の 2 つの線型結合が同じ係数を持つ場合に限り、 Vの同じ元を定義するとき、それらは線型独立である。また、同様に、線型結合の結果が零ベクトルになる場合、その係数がすべて零である場合に限り、それらは線型独立である。^[9]

線形部分空間

ベクトル空間Vの線型部分空間またはベクトル部分空間 Wは、ベクトルの加算とスカラー乗算に関して閉じているVの空でない部分集合である。つまり、 Wの 2 つの要素の和と、 Wの要素とスカラーの積はWに属する。^{[10]これは、} Wの要素のすべての線型結合がWに属することを意味する。線型部分空間は、誘導加算とスカラー乗算のベクトル空間である。つまり、閉包性はベクトル空間の公理が満たされることを意味する。^{[11]閉包性は、線型部分空間の}すべての交差が線型部分空間であることを意味する。 ^[11]

線形スパン

ベクトル空間Vの部分集合Gが与えられたとき、線型スパンまたは単にGのスパンは、 G を含むすべての線型部分空間の交差という意味で、VのG を含む最小の線型部分空間である。 Gのスパンは、Gの元のすべての線型結合の集合でもある。WがGのスパンである場合、 G はWを張るまたは生成し、G はWの張集合または生成集合であると言われる。^[12]

基礎と次元

ベクトル空間の部分集合が基底であるとは、その要素が線型独立でベクトル空間を張る場合を言う。^[13]すべてのベクトル空間には少なくとも 1 つの基底があり、一般には複数の基底が存在する（基底（線型代数）§ すべてのベクトル空間には基底があることの証明を参照）。^[14]さらに、ベクトル空間のすべての基底は同じ濃度を持ち、これをベクトル空間の次元と呼ぶ（ベクトル空間の次元定理を参照）。^[15]これはベクトル空間の基本的な性質であり、この節の残りの部分で詳述する。

基底はベクトル空間の研究、特に次元が有限であるときの基礎的なツールである。無限次元の場合、しばしばハメル基底と呼ばれる無限基底の存在は選択公理に依存している。従って、一般に基底を明示的に記述することはできない。 ^[16]例えば、実数は有理数上に無限次元ベクトル空間を形成するが、これに対する特定の基底は知られていない。

体F上のn次元のベクトル空間Vの基底を考えます。基底の定義は、Fにおいて任意の が と表記され 、この分解が一意であることを意味します。スカラーは、基底上のvの座標と呼ばれます。これらは、基底上のvの分解の係数とも呼ばれます。また、座標のn組は、基底上のvの座標ベクトルとも呼ばれます。これは、 Fのn組の元の集合が、次元がnである、成分ごとの加算とスカラー乗算のベクトル空間であるためです。 ${\displaystyle (\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n})}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{n},}$$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle F^{n}}$

ベクトルとその座標ベクトルの間の1対1の対応は、ベクトルの加算をベクトルの加算に、スカラー乗算をスカラー乗算にマッピングします。したがって、これはベクトル空間同型であり、ベクトル上の推論と計算をその座標上の推論と計算に変換することができます。^[17]

ベクトル空間は、平面または3次元空間への座標の導入を介して、アフィン幾何学に由来する。1636年頃、フランスの数学者ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、 2変数方程式の解を平面曲線上の点と同一視することで解析幾何学を創始した。^[18]座標を使用せずに幾何学的解を得るために、ボルツァーノは1804年に、ベクトルの前身である点、線、平面に対する特定の操作を導入した。^{[19]メビウス（1827年）は、}重心座標の概念を導入した。^[20]ベラヴィティス（1833年）は、長さと方向が同じである有向線分に関する同値関係を導入し、これを等極関係と呼んだ。^[21]ユークリッドベクトルはその関係の同値類である。 ^[22]

ベクトルは、アルガンとハミルトンによる複素数の提示と、ハミルトンによる四元数の導入によって再考されました。 ^{[23]ベクトルは}R ²とR ⁴の要素であり、線型結合を使用してベクトルを扱うことは、1867年のラゲールにまで遡り、ラゲールは線型方程式系も定義しました。

1857年、ケイリーは線型写像の調和と簡略化を可能にする行列記法を導入した。同じ頃、グラスマンはメビウスが始めた重心計算を研究した。彼は演算を備えた抽象オブジェクトの集合を構想した。^{[24]彼の研究には、}線型独立性と次元の概念、およびスカラー積が登場する。グラスマンの1844年の研究はベクトル空間の枠組みも超えており、乗算を考察した結果、今日では代数と呼ばれるものに至った。イタリアの数学者ペアノは1888年にベクトル空間と線型写像の現代的な定義を初めて与えたが、^[25]彼はそれらを「線型システム」と呼んだ。^[26]ペアノの公理化により、無限次元のベクトル空間が許容されたが、ペアノはその理論をそれ以上発展させることはなかった。 1897年、サルヴァトーレ・ピンシェルレはペアノの公理を採用し、無限次元ベクトル空間の理論への最初の進出を果たした。^[27]

ベクトル空間の重要な発展は、アンリ・ルベーグによる関数空間の構成によるものです。これは後に、 1920年頃にバナッハとヒルベルトによって形式化されました。 ^[28]その当時、代数学と関数解析という新しい分野が相互作用し始め、特にp積分関数の空間やヒルベルト空間などの重要な概念が生まれました。^[29]

ベクトル空間の最初の例は、固定された平面上の、固定された 1 つの点から始まる矢印で構成されます。これは、物理学で力や速度を記述するために使用されます。[ 30 ]この^ような任意の2 つの矢印vとwが与えられた場合、これら 2 つの矢印が張る平行四辺形には、原点から始まる 1 つの対角矢印が含まれます。この新しい矢印は2 つの矢印の和と呼ばれ、v + wと表記されます。同じ線上にある 2 つの矢印の特別なケースでは、それらの和はこの線上の矢印であり、その長さは、矢印が同じ方向にあるかどうかに応じて、長さの合計または差になります。矢印で実行できる別の操作はスケーリングです。任意の正の実数aが与えられた場合、 vと同じ方向を持ち、長さにaを掛けて拡大または縮小された矢印は、 vのa乗と呼ばれます。これはa vと表記されます。 aが負の場合、a v は反対方向を指す矢印として定義されます。^[31]

以下にいくつかの例を示します。a = 2の場合、結果のベクトルa w はwと同じ方向を持ちますが、 wの 2 倍の長さに引き伸ばされます(2 番目の画像)。同様に、2 w はw + w の合計です。さらに、(−1) v = − vはvと反対方向で、長さは同じです(2 番目の画像で下向きの青いベクトル)。

ベクトル空間の2番目の重要な例は、実数xとyのペアです。成分xとyの順序は重要なので、このようなペアは順序付きペアとも呼ばれます。このようなペアは( x , y )と書きます。このような2つのペアの和と、ペアと数の乗算は次のように定義されます。^[32] $${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

上記の最初の例は、矢印がその終点の 直交座標のペアによって表される場合、この例に簡略化されます。

体F上のベクトル空間の最も単純な例は、体F自身であり、その加算をベクトルの加算、乗算をスカラー乗算として見た場合である。より一般的には、Fの 元a _{iのすべての}n組（長さnの列） はベクトル空間を形成し、これは通常F ⁿと表記され、座標空間と呼ばれる。^[33] n = 1 の場合は上記の最も単純な例であり、この場合、体Fはそれ自身の上のベクトル空間としても見なされる。F = Rおよびn = 2（したがってR ² ）の場合は、前の例に帰着する。 $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$

複素数 Cの集合は、実数xとy （ iは虚数単位）に対してx + iyの形式で表記される数であり、通常の加算と乗算によって実数上のベクトル空間を形成します。実数 x 、 y 、 a 、b、cに対して、 ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b )およびc ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y )となります。ベクトル空間のさまざまな公理は、複素数演算に同じ規則が当てはまるという事実から生じます。複素数の例は、本質的には、上で述べた実数の順序付きペアのベクトル空間と同じです (つまり、同型です)。複素数x + i y を複素平面上の順序付きペア( x、y )を表すものと考えると、加算とスカラー乗算の規則が前の例の規則と正確に一致することがわかります。

より一般的には、体の拡大は、特に代数学と代数的数論において、ベクトル空間の別の種類の例を提供します。より小さな体Eを含む体F は、 Fの与えられた乗算と加算の演算により、Eベクトル空間になります。^[34]たとえば、複素数はR上のベクトル空間であり、体の拡大はQ上のベクトル空間です。 ${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$

任意の固定集合Ωから体Fへの関数も、点ごとに加算とスカラー倍算を実行することによってベクトル空間を形成します。つまり、2 つの関数fとgの和は、によって与えられる 関数であり 、乗算についても同様です。このような関数空間は、Ω が実数直線または区間、またはRの他の部分集合である場合に、多くの幾何学的な状況で発生します。連続性、積分可能性、微分可能性など、位相幾何学や解析学における多くの概念は、線型性に関して適切に動作します。つまり、そのような性質を持つ関数の和とスカラー倍数は、依然としてその性質を持ちます。^{[35]したがって、そのような関数の集合はベクトル空間であり、その研究は}関数解析に属します。 ${\displaystyle (f+g)}$$${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$

同次線形方程式のシステムはベクトル空間と密接に結びついている。^[36]例えば、の解は 任意のと の3つ組で与えられる。これらはベクトル空間を形成する。このような3つ組の和とスカラー倍は、3つの変数の同じ比を満たすため、これらも解である。行列は、上記のような複数の線形方程式を1つのベクトル方程式に凝縮するために使用できる。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b=a/2,}$${\displaystyle c=-5a/2.}$

ここで、 は与えられた方程式の係数を含む行列、は行列積を表すベクトル、 は零ベクトルです。同様に、同次線形微分方程式の解はベクトル空間を形成します。例えば、 ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle (a,b,c),}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$

となります。ここで、 および は任意の定数であり、 は自然指数関数です。 ${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle e^{x}}$

2つのベクトル空間の関係は、線型写像または線型変換によって表現できる。これらはベクトル空間構造を反映する関数であり、つまり、和とスカラー乗算を保存する。 すべてのに対して、すべてのにおいて[ ^37]$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ),\\f(a\cdot \mathbf {v} )&=a\cdot f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle V,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F.}$

同型写像とは 、逆写像 g : W → Vが存在するような線型写像である。逆写像 g  : W → Vとは、 f ∘ g  : W → Wとg ∘ f  : V → Vの２つの可能な合成が 恒等写像となるような写像である。同様に、f は１対１（単射）かつ全射（全射）である。^[38] VとWの間に同型写像が存在する場合、２つの空間は同型であると言われ、その場合、それらはベクトル空間として本質的に同一である。なぜなら、Vで成立するすべての恒等写像は、fを介してWの同様の恒等写像に移行し、その逆もまたg を介して成立するからである。

例えば、平面上の矢印と、上記の序論で示した数ベクトル空間の順序対（§ 例を参照）は同型である。ある（固定された）座標系の原点から出発する平面矢印v は、矢印のx成分とy成分を考慮することで、右の図に示すように順序対として表現できる。逆に、ペア（x、y）が与えられたとき、 x を右（xが負の場合は左）に、y を上（yが負の場合は下）に行く矢印は、矢印v を逆方向に向ける。^[39]

2つのベクトル空間間の線型写像V → W はベクトル空間Hom _F ( V , W )を形成し、これはL( V , W )または𝓛( V , W )とも表記される。^[40] VからFへの線型写像の空間は双対ベクトル空間と呼ばれ、V ^∗と表記される。^{[41]入射的な}自然写像V → V ^∗∗を介して、任意のベクトル空間をその双対に埋め込むことができる。この写像が同型となるのは、空間が有限次元である場合に限る。^[42]

Vの基底が選択されると、線型写像f  : V → Wは基底ベクトルの像を指定することによって完全に決定される。なぜなら、Vの任意の要素はそれらの線型結合として一意に表現されるからである。^[43] dim V = dim Wの場合、VとWの固定基底間の1 対 1 対応により、 Vの任意の基底要素をWの対応する基底要素に写す線型写像が生じる。これは、定義そのものにより同型である。^[44]したがって、与えられた体上の 2 つのベクトル空間は、それらの次元が一致する場合同型であり、その逆もまた同様である。これを別の方法で表現すると、与えられた体上の任意のベクトル空間は、その次元、つまり単一の数によって完全に分類される(同型を除いて) ということである。特に、任意のn次元Fベクトル空間V はF ⁿと同型である。しかし、「標準的な」または優先される同型は存在しない。同型φ  : F ⁿ → V は、 φを介してF ⁿの標準基底をVに写像することによってVの基底を選択することと同等である。

行列は線形写像を符号化するのに便利な概念である。^[45]行列は右の図のようにスカラーの矩形配列として表される。任意のm行n列の行列は、次のようにして F ⁿからF ^mへの線形写像を生成する。 ここで は和を表す。または、行列と座標ベクトルとの行列乗算を使用することによっても生成される。 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$${\textstyle \sum }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

さらに、 VとWの基底を選択した後、任意の線型写像f  : V → Wはこの割り当てを介して行列によって一意に表される。^[46]

正方行列Aの行列式 det( A )は、関連付けられた写像が同型であるかどうかを示すスカラーである。同型であるためには、行列式がゼロでないことが十分かつ必要である。^[47]実n行n列の行列に対応するRnの線型変換は^、その行列式が正である場合にのみ、 方向を保つ。

自己準同型写像、線型写像f  : V → V は、この場合ベクトルv をfによる像f ( v )と比較できるため特に重要である。 λ v = f ( v )（ここでλはスカラー）を満たす任意の非零ベクトルvは、固有値λを持つfの固有ベクトルと呼ばれる。^[48]同様に、v は差分f − λ · Id（ここで Id は恒等写像V → V）の核の要素である。Vが有限次元の場合、これは行列式を使用して言い換えることができる。固有値λ を持つfは、次と同等である 。 行列式の定義を詳しく説明すると、左辺の式はλの多項式関数、つまりfの特性多項式であることがわかる。^[49]体F がこの多項式の零点を含むのに十分大きい場合（これはF = Cのように代数的に閉じているFに対して自動的に起こります）、任意の線型写像は少なくとも 1 つの固有ベクトルを持ちます。ベクトル空間V は、固有基底、つまり固有ベクトルからなる基底を持つことも持たないこともあります。この現象は、写像のジョルダン標準形によって決まります。 ^[50] fの特定の固有値に対応するすべての固有ベクトルの集合は、問題の固有値（およびf ）に対応する固有空間と呼ばれるベクトル空間を形成します。 $${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$

上記の具体的な例に加えて、与えられたベクトル空間に関連するベクトル空間を生成する標準的な線型代数構造が数多くあります。

加算とスカラー乗算に関して閉じている（したがって の-ベクトルを含む）ベクトル空間の空でない部分集合 は の線型部分空間と呼ばれる。または、周囲の空間が明確にベクトル空間であるときは、単に の部分空間と呼ばれる。 ^{[51] [注 4]}の部分空間は、それ自体がベクトル空間（同じ体上）である。与えられたベクトルの集合を含むすべての部分空間の共通集合はそのスパンと呼ばれ、集合 を含むの最小の部分空間である。元で表現すると、スパンはの元のすべての線型結合からなる部分空間である。^[52]${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

1次元と2次元の線型部分空間はそれぞれ直線（ベクトル線とも呼ばれる）、平面と呼ばれる。Wがn次元ベクトル空間の場合、1次元小さい、つまり次元の部分空間は超平面と呼ばれる。^[53]${\displaystyle n-1}$

部分空間に対応するのは商ベクトル空間です。^[54]任意の部分空間 が与えられた場合、商空間(「法」) は次のように定義されます。集合として、商空間は で構成されます 。 ここで、は 内の任意のベクトルです。このような 2 つの要素と の和は であり、スカラー乗算は で与えられます。この定義の重要な点は、と の差が内にある場合のみ であるということです。^{[nb 5]}このように、商空間は部分空間 に含まれる情報を「忘れます」。 ${\displaystyle W\subseteq V}$${\displaystyle V/W}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$$${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w} :\mathbf {w} \in W\},}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

線型写像の核は 、に写像されるベクトルから構成される。^[55]核と像は、それぞれとの部分空間である。^[56]${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

重要な例として、ある固定行列 に対する線型写像の核があげられる。この写像の核はとなるベクトルの部分空間であり、これはまさに に属する同次線型方程式系の解の集合である。この概念は、 係数がの関数である線型微分方程式にも拡張される 。対応する写像では、 関数 の導関数は 線型に現れる（たとえば とは対照的である）。微分は線型手順であるため（つまり、定数 に対してとなる）、この割り当ては線型であり、線型微分演算子と呼ばれる。特に、微分方程式の解は（ RまたはC上の）ベクトル空間を形成する。 ^[57]${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle A}$$${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D(f)=0}$

核と像の存在は、（固定された体上の）ベクトル空間の圏がアーベル圏、つまり、アーベル群の圏とよく似た振る舞いをする数学的対象とそれらの間の構造保存写像の集合（圏）であるという主張の一部である。^[58]このため、第1同型定理（行列関連の用語では 階数-零定理とも呼ばれる）や第2、第3同型定理などの多くの主張は、群 の対応する主張と非常によく似た方法で定式化および証明することができる。 ${\displaystyle F}$$${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$

ベクトル空間の直積とベクトル空間の直和は、インデックス付きベクトル空間族を新しいベクトル空間に結合する 2 つの方法です。

ベクトル空間の族の直積は 、あるインデックス セットの各インデックスに対しての要素を指定するすべての組 の集合で構成されます。^[59]加算とスカラー乗算は、成分ごとに実行されます。この構成の変形は直和（コプロダクトとも呼ばれ、 と表記されます）であり、有限個の非ゼロ ベクトルを持つ組のみが許可されます。インデックス セットが有限の場合、2 つの構成は一致しますが、一般的には異なります。 ${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle I}$

テンソル積 または単に2つのベクトル空間とは、線形写像などの概念を複数の変数に拡張する多重線型代数の中心的な概念の1つです。デカルト積からの写像は、が両方の変数で線形であり、の場合、双線型と呼ばれます。 つまり、 が固定されている場合、写像は上記の意味で線形であり、 が固定されている場合も同様です。${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$${\displaystyle V\otimes W,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle g:V\times W\to X}$ ${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} .}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {v} .}$

テンソル積は、次のように双線型写像の普遍的な受け手である特定のベクトル空間です。これは、 規則^{[60]に従う}テンソルと呼ばれる記号の有限（形式的）和からなるベクトル空間として定義されます。これらの規則は、タプルを に写すからへの 写像が双線型であることを保証します。普遍性とは、任意のベクトル空間と任意の双線型写像が与えられた場合、図に点線矢印で示される一意の写像が存在し、その との合成が に等しいことを意味します^{。 [61]これはテンソル積の}普遍的性質と呼ばれ、高度な抽象代数でよく使用される、このオブジェクトからの写像またはオブジェクトへの写像を指定することによってオブジェクトを間接的に定義する方法の一例です。 ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle g:V\times W\to X,}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:}$ ${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$

線型代数の観点からは、与えられた体上の任意のベクトル空間が同型性を除いてその次元によって特徴付けられる限りにおいて、ベクトル空間は完全に理解される。しかし、ベクトル空間自体は、関数の列が別の関数に収束するかどうかという解析にとって重要な問題を扱う枠組みを提供しない。同様に、線型代数は、加算演算では有限個の項しか追加できないため、無限級数を扱うのに適していない。したがって、関数解析の必要性により、追加の構造を考慮する必要がある。^[62]

ベクトル空間には、いくつかのベクトルを比較できる半順序が与えられることがある。 ^[63]例えば、次元実空間は、ベクトルを成分ごとに比較することで順序付けることができる。順序付けられたベクトル空間、例えばリース空間は、関数を 2 つの正の関数の差として表す能力に依存している ルベーグ積分の基礎であり、 ここで はの正の部分、負の部分を表す。^[64]${\displaystyle \,\leq ,\,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$$${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$${\displaystyle f^{+}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-}}$

ベクトルの「測定」は、ベクトルの長さを測定するデータであるノルムを指定するか、ベクトル間の角度を測定する内積によって行われます。ノルムと内積はそれぞれ、およびで表されます。内積のデータにより、関連するノルムを定義することでベクトルの長さも定義できます。このようなデータを持つベクトル空間は、それぞれノルムベクトル空間と内積空間と呼ばれます。^[65]${\displaystyle |\mathbf {v} |}$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$

座標空間には、標準的なドット積が備わっている。 これ は、2 つのベクトル間の角度の一般的な概念を反映しており、余弦定理によってとなる。 このため、 を満たす 2 つのベクトルは直交 と呼ばれる。標準的なドット積の重要なバリエーションは、ミンコフスキー空間で使用される。ローレンツ積^[66]が備わっている。 標準的なドット積とは対照的に、これは正定値ではない。また、たとえば の場合は負の値も取る。3つの空間次元ではなく、時間 に対応する4 番目の座標を単独で取り出すと、特殊相対性理論の数学的処理に役立つ。他の慣例では、時間は最初の、つまり「ゼロ番目」の要素として記述されることが多く、ローレンツ積は次のように記述される。${\displaystyle F^{n}}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} ,}$$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.}$$

収束の問題は、適合する位相を持つベクトル空間を考えることによって扱われます。適合する位相とは、要素が互いに近いことを語ることを可能にする構造です。^{[67]ここで適合するとは、加算とスカラー乗算が}連続写像でなければならないことを意味します。おおまかに言えば、 のと、および が制限された量だけ変化すると、と も制限された量だけ変化します。 ^{[nb 6]}スカラーが変化する量を指定することに意味を持たせるためには、この文脈では体も位相を持っている必要があります。一般的な選択は、実数または複素数です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$${\displaystyle a\mathbf {x} .}$${\displaystyle F}$

このような位相ベクトル空間では、ベクトルの級数を考えることができる。無限和は、 の要素の列の対応する有限部分和の極限 を表す。たとえば、は（実数または複素数の）関数である可能性があり、その場合、級数は関数級数である。級数の収束モードは、関数空間に課せられた位相に依存する。そのような場合、点収束と一様収束は2つの顕著な例である。^[68]$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$${\displaystyle V.}$${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle V,}$

ある種の無限級数の極限の存在を保証する方法は、任意のコーシー列が極限を持つ空間に着目することである。そのようなベクトル空間は完備 と呼ばれる。大まかに言えば、ベクトル空間は、必要な極限がすべて含まれていれば完備である。例えば、一様収束の位相を備えた単位区間上の多項式のベクトル空間は、ワイエルシュトラスの近似定理により、上の任意の連続関数を多項式の列で一様に近似できるため、完備ではない。^[69] 対照的に、同じ位相を持つ 上のすべての連続関数の空間は完備である。 ^[70]ノルムは、バナッハ空間とヒルベルト空間が、それぞれノルムと内積で位相が与えられる完備位相ベクトル空間である場合に限り、 ベクトルの列が に 収束することを定義することにより、位相を生み出す。関数解析の重要な部分である彼らの研究は、有限次元位相ベクトル空間上のすべてのノルムが同じ収束の概念を生み出すため、無限次元ベクトル空間に焦点を当てている。^[71]右の図は、単位「球」が互いを囲んでいるため、シーケンスが 1 つのノルムでゼロに収束するのは、他のノルムでもゼロに収束する場合に限ります。ただし、無限次元の場合は、一般に同値でない位相が存在するため、位相ベクトル空間の研究は、追加データのないベクトル空間の研究よりも豊富になります。 ${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$

概念的な観点からは、位相ベクトル空間に関連するすべての概念は位相と一致する必要があります。たとえば、すべての線型写像（関数とも呼ばれる）を考慮する代わりに、位相ベクトル空間間の写像は連続している必要があります。^[72]特に、（位相）双対空間は連続関数（または）で構成されます。基本的なハーン-バナッハの定理は、適切な位相ベクトル空間の部分空間を連続関数で分離することに関係しています。^[73]${\displaystyle V\to W,}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

ステファン・バナッハによって導入されたバナッハ空間は、完全なノルムベクトル空間である。 ^[74]

最初の例は、実数要素を持つ無限ベクトルからなるベクトル空間${\displaystyle \ell ^{p}}$であり、 その-ノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (1\leq p\leq \infty )}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|\qquad {\text{ for }}p=\infty ,{\text{ and }}}$$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad {\text{ for }}p<\infty .}$$

無限次元空間上の位相は、異なる に対して同値ではない。例えば、最初の要素がで、次の要素がであるベクトルの列は、に対しては零ベクトルに収束するが、 に対しては収束しない 。 ${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right),}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{-n}}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle p=1:}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0,}$$$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}$$

実数の列よりも一般的には、関数は上記の和をルベーグ積分に置き換えるノルムを備えている。${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,{d\mu (x)}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$

このノルムを満たし、このノルムを備えた、与えられた領域（例えば区間）上の積分可能な関数の空間はルベーグ空間と呼ばれ、^{[nb 7]で表記される。} ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \|f\|_{p}<\infty ,}$${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega ).}$

これらの空間は完備である。^{[75] （代わりに}リーマン積分を用いると、空間は完備ではなくなり、 これはルベーグの積分理論の正当化とみなすことができる。 ^{[注 8]} ）具体的には、条件を満たすルベーグ積分可能関数の任意の列に対して、ベクトル空間に属する 関数が存在し、 ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }$${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}<\infty ,}$$${\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left|f_{k}(x)-f_{n}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega )}$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0.}$$

関数だけでなくその導関数にも有界条件を課すとソボレフ空間が得られる。^[76]

完全な内積空間は、デイヴィッド・ヒルベルトにちなんでヒルベルト空間として知られています。^[77]内積が （ここで はの複素共役を表します）で与えられる ヒルベルト空間は重要なケースです。 ^{[78] [nb 9]}${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$$${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$${\displaystyle g(x),}$

定義により、ヒルベルト空間では、任意のコーシー列は極限に収束する。逆に、与えられた極限関数を近似する望ましい特性を持つ関数の列を見つけることも同様に重要である。初期の解析では、テイラー近似の形で、多項式による微分可能関数の近似が確立された。[79] ストーン・ワイエルシュトラスの定理により、上のすべて^の連続関数は、多項式で望みどおりに近似できる。^[80]三角関数による同様の近似手法は一般にフーリエ展開と呼ばれ、工学で広く応用されている。より一般的に、より概念的に、この定理は、どのような「基本関数」、または抽象ヒルベルト空間では、そのスパンの閉包（つまり、有限線形結合とそれらの極限）が空間全体であるという意味でのヒルベルト空間を生成するのに十分であるかを簡単に記述する。このような関数の集合は基底と呼ばれ、その濃度はヒルベルト空間次元として知られています。^{[nb 10]}定理は、近似目的に十分な適切な基底関数を示しているだけでなく、グラム・シュミット過程と組み合わせることで、直交ベクトルの基底を構成することも可能にします。^{[81]このような直交基底は、有限次元}ユークリッド空間の座標軸のヒルベルト空間一般化です。 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H,}$

さまざまな微分方程式の解は、ヒルベルト空間の観点から解釈できます。たとえば、物理学や工学の多くの分野でそのような方程式が生まれ、特定の物理的特性を持つ解が基底関数として頻繁に使用され、多くの場合、直交しています。^[82]物理学の例として、量子力学における時間依存シュレーディンガー方程式は、偏微分方程式によって時間に伴う物理的特性の変化を記述します。偏微分方程式の解は波動関数と呼ばれます。 ^[83]エネルギーや運動量などの物理的特性の明確な値は、特定の（線形）微分演算子の固有値に対応し、関連する波動関数は固有状態と呼ばれます。スペクトル定理は、関数に作用する線形コンパクト演算子をこれらの固有関数とその固有値で分解します。^[84]

一般のベクトル空間はベクトル間の乗算を持たない。2つのベクトルの乗算を定義する追加の双線型演算子を備えたベクトル空間は、体上の代数（または体Fが指定されている場合はF代数）である。^[85]

例えば、すべての多項式の集合は 多項式環と呼ばれる代数を形成します。2つの多項式の和​​が多項式であることを利用して、それらはベクトル空間を形成します。2つの多項式の積もまた多項式であるため、それらは代数を形成します。多項式環（複数の変数）とその商は代数幾何学の基礎を形成します。なぜなら、それらは代数幾何学的オブジェクトの関数の環だからです。^[86]${\displaystyle p(t)}$

もう一つの重要な例はリー代数です。リー代数は可換でも結合的でもないのですが、可換でも結合的でないことは制約（は との積を表す）によって制限されます。 ${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$（反可換性）、そして
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$（ヤコビ恒等式）。^[87]

例としては、 2 つの行列の交換子を持つ- 行- 列の行列のベクトル空間、および外積を持つが挙げられます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$

テンソル代数は、 任意のベクトル空間に積を加えて代数を得るための正式な方法です。 ^[88]ベクトル空間として、それは次数が変化する単純テンソルと呼ばれる記号によって張られます 。乗算は、そのような記号を連結し、加算に関して分配法則を課し、スカラー乗算がテンソル積 ⊗ と交換することを要求することによって与えられます。これは、テンソル積に関する上記のセクションで紹介した2つのベクトル空間のテンソル積の場合とほぼ同じです。一般に、との間には関係がありません。このような2つの要素を等しくすると対称代数 になり、等しくすると外積代数になります。^[89]${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$

ベクトル束は、位相空間 Xによって連続的にパラメータ化されたベクトル空間の族である。^{[90]より正確には、} X上のベクトル束は、X内のすべてのx に対して、ファイバーπ ⁻¹ ( x ) がベクトル空間となるような連続写像を備えた位相 空間Eである。 dim V = 1の場合を線束と呼ぶ。任意のベクトル空間Vに対して、射影X × V → X により、積X × Vが「自明な」ベクトル束になる。 X上のベクトル束は、局所的にはXと何らかの（固定された）ベクトル空間Vの積であることが要求される。つまり、 X内のすべてのxに対して、 xの近傍Uが存在し、 π から π ⁻¹ ( U )への制限が自明な束U × V → Uと同型である^{[nb 11]}。ベクトル束は局所的には自明であるが、その基底空間Xの形状に応じて、大域的には「ねじれ」ている可能性がある（つまり、束は自明な束X × V （大域的に同型）である必要はない）。たとえば、メビウスの帯は、 （開区間を実数直線と同一視することにより）円S ¹上の線束と見ることができる。しかし、メビウスの帯は円筒S ¹ × Rとは異なり、後者は向きを変えることができるが、前者はそうではない。^[91]$${\displaystyle \pi :E\to X}$$

特定のベクトル束の特性は、基礎となる位相空間についての情報を提供します。たとえば、接束は、微分可能多様体の点でパラメータ化された接空間のコレクションで構成されます。円S ¹の接束は、 S ¹ × Rに大域的に同型です。これは、 S ¹上に大域的な非ゼロのベクトル場があるためです。^{[nb 12]}対照的に、毛球定理により、 2次元球面S ²上には、どこでも非ゼロである（接）ベクトル場は存在しません。 ^[92] K理論は、ある位相空間上のすべてのベクトル束の同型類を研究します。^{[93]位相的および幾何学的な洞察を深めることに加えて、有限次元実}除算代数R、C、四元数H、八元数Oの分類など、純粋に代数的な結果をもたらします。

微分可能多様体の余接束は、多様体のあらゆる点において、接空間の双対である余接空間から構成されます。その束のセクションは微分 1 形式として知られています。

環に対する加群の関係は、体に対するベクトル空間の関係と同じである。つまり、同じ公理を体F の代わりに環Rに適用すると、加群が得られる。^{[94]ベクトル空間の理論と比較すると、加群の理論は、}乗法逆元を持たない環元が存在することで複雑になる。たとえば、Z加群（つまり、アーベル群）Z /2 Zが示すように、加群は基底を持つ必要はない。基底を持つ加群（すべてのベクトル空間を含む）は、自由加群と呼ばれる。それでも、ベクトル空間は、体 である環上の加群として簡潔に定義でき、その元はベクトルと呼ばれる。一部の著者は、ベクトル空間という用語を、除算環上の加群の意味で使用している。^[95]可換環のスペクトルを介した代数幾何学的解釈により、ベクトル束の代数 版である局所自由加群などの概念の発展が可能になる。

大まかに言えば、アフィン空間とは、原点が指定されていないベクトル空間のことである。^{[96]より正確には、アフィン空間は、}自由な推移的なベクトル空間作用を持つ集合である。特に、ベクトル空間は、写像 によってそれ自身上のアフィン空間である 。 Wがベクトル空間である 場合、アフィン部分空間は、線型部分空間V を固定ベクトルx ∈ Wで変換することによって得られるWの部分集合である。この空間はx + V（WにおけるVの剰余類）で表され、 v ∈ Vに対して形式x + vのすべてのベクトルから構成される。重要な例として、 上の線型方程式の節で説明した同次ケースを一般化する非同次線型方程式系の解の空間が挙げられ、この方程式で と設定することで見つけることができる。^[97]解の空間は、アフィン部分空間x + Vであり、xは方程式の特殊解、Vは同次方程式の解の空間（Aの零空間）である。 $${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$

固定された有限次元ベクトル空間Vの1次元部分空間の集合は射影空間として知られており、無限遠で交差する平行線の考え方を形式化するために使用できます。 ^[98] グラスマン多様体と旗多様体は、それぞれ固定次元kの線型部分空間と部分空間の旗をパラメータ化することでこれを一般化します。

• 「ベクトル空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]