ウィリアム・キングドン・クリフォード

ウィリアム・クリフォード フランス
ウィリアム・キングドン・クリフォード（1845–1879）
生まれる	1845年5月4日 ( 1845-05-04 ) エクセター、デヴォン、イングランド
死亡	1879年3月3日（33歳） ( 1879-03-04 ) マデイラ島、ポルトガル
母校	キングス・カレッジ・ロンドン ケンブリッジ・トリニティ・カレッジ
知られている	クリフォード代数 クリフォードの円定理 クリフォード の定理 クリフォードトーラス クリフォード・クライン形式 クリフォード平行線 ベッセル・クリフォード関数 双対四元数 動的要素
配偶者	ルーシー・クリフォード（1875–1879）
科学者としてのキャリア
フィールド	数学 哲学
機関	ユニバーシティ・カレッジ・ロンドン
博士課程の学生	アーサー・ブラック

ウィリアム・キングドン ・クリフォード（1845年5月4日 - 1879年3月3日）は、イギリスの数学者、哲学者。ヘルマン・グラスマンの研究を基にして、現在では幾何代数と呼ばれるものを導入した。これは、グラスマンにちなんで名付けられたクリフォード代数の特殊なケースである。幾何代数の演算には、モデル化されている幾何学的オブジェクトを新しい位置にミラーリング、回転、変換、マッピングする効果がある。クリフォード代数全般、特に幾何代数は、数理物理学、^[1] 幾何学、^[2]コンピューティングにおいてますます重要になってきている。^{[3]クリフォードは、}重力が基礎となる幾何学の現れである可能性を示唆した最初の人物である。彼は哲学的な著作の中で、「マインドスタッフ」という表現を生み出した。

エクセター生まれのウィリアム・クリフォードは、ベッドフォード・サーカスのドクター・テンプルトンのアカデミーで教育を受け、学校で大きな才能を発揮した。^[4]彼は15歳でロンドン大学キングス・カレッジに進学し、1867年に第2位のラングラー、第2位のスミス賞受賞者となった後、1868年にケンブリッジ大学トリニティ・カレッジのフェローに選ばれた。 ^{[5] [6] 1870年、彼は12月22日の}日食を観測するためにイタリアへの遠征に参加した。その航海中に、彼はシチリア海岸沿いで難破したが、生き延びた。^[7]

1871年、彼はロンドン大学ユニバーシティ・カレッジの数学と力学の教授に任命され、1874年には王立協会の会員となった。^{[5]彼はまた、}ロンドン数学協会と形而上学協会 の会員でもあった。

クリフォードは1875年4月7日にルーシー・レーンと結婚し、2人の子供をもうけた。^[8]クリフォードは子供たちを楽しませるのが好きで、童話集『小人たち』を書いた。^[9]

1876 年、クリフォードはおそらく過労が原因で精神を病んだ。昼間は教職に就き、夜は執筆活動に従事した。アルジェリアとスペインで半年間休暇を過ごし、18 か月間職務を再開したが、その後再び精神を病んだ。療養のためマデイラ島に渡ったが、数か月後に結核で亡くなり、2 人の子供を抱えた未亡人となった。

クリフォードとその妻はロンドンのハイゲート墓地のジョージ・エリオットとハーバート・スペンサーの墓の近く、カール・マルクスの墓のすぐ北に埋葬されている。

学術誌「 Advances in Applied Clifford Algebras」には、運動学と抽象代数学におけるクリフォードの業績が掲載されています。

「クリフォードは何よりもまず幾何学者だった。」

— ヘンリー・ジョン・スティーブン・スミス^[5]

非ユークリッド幾何学の発見は、クリフォードの時代に幾何学の新たな可能性を切り開いた。内在的微分幾何学の分野が誕生し、曲率の概念が空間自体だけでなく曲線や曲面にも広く適用されるようになった。クリフォードは、ベルンハルト・リーマンの1854年の論文「幾何学の基礎にある仮説について」に非常に感銘を受けた。^[10] 1870年、彼はケンブリッジ哲学協会にリーマンの曲がった空間の概念について報告し、重力による空間の曲がりについての推測を含めた。リーマンの論文のクリフォードによる翻訳^{[11] [12]は、1873年に}ネイチャー誌に掲載された。彼のケンブリッジでの報告書「物質の空間理論について」は、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論を40年も先取りして、1876年に出版された。クリフォードは、楕円空間幾何学を非ユークリッド 計量空間として詳述した。楕円空間内の等距離曲線は現在クリフォード平行線と呼ばれています。

クリフォードの同時代人は彼を鋭敏で独創的、機知に富み温厚な人物とみなしていた。彼は夜遅くまで働くことが多く、それが死期を早めたのかもしれない。彼は代数形式や射影幾何学など幅広いテーマの論文や教科書『Elements of Dynamic』を発表した。グラフ理論の不変理論への応用はウィリアム・スポティスウッドとアルフレッド・ケンプによって引き継がれた。^[13]

1878年、クリフォードはグラスマンの拡充代数に基づいた画期的な著作を出版した。^[14]彼はウィリアム・ローワン・ハミルトンが開発した四元数をグラスマンの外積（外積とも呼ばれる）と統合することに成功した。 彼はグラスマンの創作の幾何学的性質を理解しており、四元数はグラスマンが開発した代数にきれいに当てはまることも理解していた。四元数のベルソルは回転の表現を容易にする。 クリフォードは内積とグラスマンの外積の和からなる幾何積の基礎を築いた。 幾何積は最終的にハンガリーの数学者マルセル・リースによって形式化された。 内積は幾何代数に距離と角度の関係を完全に組み込んだ計量を与え、外積はそれらの平面と体積に方向バイアスを含むベクトルのような特性を与える。

この 2 つを組み合わせることで、除算の演算が利用できるようになりました。これにより、物体が空間内でどのように相互作用するかについての質的な理解が大幅に広がりました。さらに重要なのは、相互作用の空間的影響を定量的に計算する手段も提供されたことです。その結果得られた幾何学代数は、彼が名付けたように、3 次元空間内の物体の動きと投影を反映する代数を作成するという長年の目標^{[i]を最終的に実現しました。 [15]}

さらに、クリフォードの代数的図式は高次元にまで拡張される。代数演算は2次元や3次元の場合と同じ記号形式をとる。一般クリフォード代数の重要性は時とともに高まり、その同型類は実代数として、単なる四元数以外の数学体系でも特定されてきた。^[16]

実解析と複素解析の領域は、四次元空間に埋め込まれた三次元球面の概念のおかげで、四元数代数Hを通じて拡張されました。この三次元球面に存在する四元数ベルソルは、回転群 SO(3)の表現を提供します。クリフォードは、ハミルトンの双四元数が既知の代数のテンソル積であることに注目し、代わりにHの他の 2 つのテンソル積を提案しました。クリフォードは、複素数Cから取られた「スカラー」は、分割複素数Dまたは双対数Nから取られてもよいと主張しました。テンソル積の点では、は分割双四元数を生成し、は双対四元数を形成します。双対四元数の代数は、運動学で一般的なマッピングである スクリュー変位 を表現するために使用されます。 ${\displaystyle H\otimes C}$ ${\displaystyle H\otimes D}$${\displaystyle H\otimes N}$

哲学者としてのクリフォードの名は、彼が作った二つの言葉、「心の物質」と「部族的自己」に主に結び付けられている。前者は、彼が読んだバルーク・スピノザ^{[5]から得た}形而上学的概念を象徴しており、クリフォード(1878)はそれを次のように定義している。^[18]

すでに見たように、最も単純な感情でさえ複合体であるその要素を、私はマインド スタッフと呼ぶことにします。無機物質の運動分子は、マインドや意識を持ちませんが、小さなマインド スタッフを持っています。分子が結合してクラゲの下側の膜を形成すると、それに付随するマインド スタッフの要素が結合して、かすかな感覚の始まりを形成します。分子が結合して脊椎動物の脳と神経系を形成すると、対応するマインド スタッフの要素が結合して、ある種の意識を形成します。つまり、同時に発生する複合体の変化は、一方の反復がもう一方の反復を意味するほどに結び付けられます。物質が生きている人間の脳という複合体の形をとると、対応するマインド スタッフは、知性と意志を持つ人間の意識の形をとります。

—  「物自体の性質について」（1878年）

クリフォードの構想に関して、フレデリック・ポロック卿は次のように書いています。

簡単に言えば、その概念は、心こそが唯一の究極の現実であるというものである。それは、意識的な感情や思考の複雑な形態で知られているような心ではなく、思考や感情が構築されるより単純な要素である。心の仮説上の究極の要素、あるいは心の素材の原子は、物質の仮説上の原子と正確に対応しており、物質の原子はその現象である究極の事実である。物質と感覚的な宇宙は、特定の有機体、つまり意識に組織化された心と世界の残りの部分との関係である。これは、大まかで一般的な意味では唯物論的と呼ばれる結果につながる。しかし、形而上学的理論として、この理論は観念論的側面にあるとみなされなければならない。技術的に言えば、それは観念論的一元論である。^[5]

一方、部族的自己は、クリフォードの倫理観の鍵となる。それは、良心と道徳律を、各個人の「自己」の発達によって説明し、それが「部族」の幸福につながる行動を規定する。クリフォードが当時有名だったのは、宗教に対する彼の姿勢によるところが大きい。真実の概念に対する強い愛情と公務への献身に突き動かされた彼は、彼が考えるに反啓蒙主義を支持し、宗派の主張を人間社会の主張よりも優先させるような教会制度に戦いを挑んだ。神学がまだダーウィニズムと和解していなかったため、警戒はさらに大きく、クリフォードは当時近代科学に帰せられていた反精神的傾向の危険な擁護者とみなされた。^{[5]また、クリフォードの「}同時性」または「精神物理学的平行性」の教義がジョン・ヒューリング・ジャクソンの神経系モデル、そして彼を通じてジャネット、フロイト、リボー、アイの研究にどの程度影響を与えたかについても議論がありました。^[19]

クリフォードは1877年のエッセイ『信仰の倫理』で、証拠のないことを信じるのは不道徳であると主張している。^[20]彼は、古くてよく造られていない船を乗客を満載にして海に送る計画を立てていた船主について述べている。船主は、船が航海に適さないかもしれないという疑念を抱いた。「この疑念が彼の心を悩ませ、彼を不幸にした。」彼は、費用がかかっても船を修理することを考えた。ついに、「彼はこの憂鬱な思いを克服することに成功した。」彼は船が出発するのを見送り、「軽い気持ちで…そして、船が海の真ん中で沈没し、何も言わなかったときに保険金を受け取った。」^[20]

クリフォードは、船主は船が​​安全であると心から信じていたにもかかわらず、乗客の死について有罪であると主張している。「[彼に]目の前にある証拠を信じる権利はなかった。」^[ii]さらに、船が無事に目的地に到着した場合でも、その決定は不道徳のままであると主張している。なぜなら、選択が行われた時点でその選択の道徳性は永遠に定義され、盲目的な偶然によって定義された実際の結果は重要ではないからである。船主の罪は変わらない。彼の不正行為は決して発見されないが、当時彼が入手できた情報を考えると、彼にはその決定を下す権利はなかった。

クリフォードは、クリフォードの原則として知られる結論で有名です。「不十分な証拠に基づいて何かを信じることは、いつでも、どこでも、誰にとっても間違っている。」^[20]

したがって、彼は「盲信」（つまり、証拠がないにもかかわらず物事を信じる）が美徳である宗教思想家と真っ向から対立している。この論文は、実用主義哲学者ウィリアム・ジェームズの「信じる意志」の講義で有名に攻撃された。これら 2 つの著作は、証拠主義、信仰、過信をめぐる議論の試金石として、一緒に読まれ、出版されることが多い。

クリフォードは時空と相対性理論の完全な理論を構築しなかったが、彼が著作の中で残したいくつかの注目すべき観察は、これらの現代の概念を予見するものであった。彼の著書「力学の要素」 （1878年）では、「双曲線上の準調和運動」を紹介した。彼はパラメータ化された単位双曲線の式を書き、後に他の著者が相対論的速度のモデルとして使用した。彼は別の箇所で次のように述べている。^[21]

ローターとモーターの幾何学は、不変システムの相対的静止（静的）と相対的運動（運動学的および運動的）の現代理論全体の基礎を形成します。^[iii]

この一節では、バイクォータニオンについて言及しているが、クリフォードはこれを独自の発展として分割バイクォータニオンにしている。この本は、一般相対性理論の本質である「空間の曲がりについて」という章に続く。クリフォードは、1876年の 『物質の空間理論について』でも自身の見解を論じている。

1910年、ウィリアム・バレット・フランクランドは平行性に関する著書の中で物質の空間理論を引用している。「この推測の大胆さは、思想史上、確かに比類のないものである。しかしながら、現在に至るまで、それはイカリア飛行の様相を呈している。」 ^[22]数年後、アルバート・アインシュタインが一般相対性理論を提唱した後、様々な著者がクリフォードがアインシュタインを先取りしていたと指摘した。例えばヘルマン・ワイル（1923）は、ベルンハルト・リーマンと同様に相対性理論の幾何学的アイデアを先取りした人物の一人としてクリフォードについて言及している。 ^[23]

1940年にエリック・テンプル・ベルは『数学の発展』を出版し、その中でクリフォードの相対性理論に関する先見性について論じている。^[24]

リーマンよりも大胆なクリフォードは、物質は時空多様体における曲率の現れにすぎないという信念を告白した (1870)。この初期の予言は、アインシュタイン (1915-16) の重力場の相対論的理論の先駆けとして称賛されてきた。しかし、実際の理論は、クリフォードのかなり詳細な信条とほとんど似ていない。原則として、細部にまで踏み込まない数学の予言者が最高の成績を収める。ほとんど誰でも、散弾銃で 40 ヤード離れた納屋の側面を撃つことができる。

ジョン・アーチボルド・ホイーラーは、1960年にスタンフォードで開催された国際論理・方法論・科学哲学会議（CLMPS）で、クリフォードを創始者として一般相対性理論のジオメトロダイナミクス定式化を紹介した。 ^[25]

ジェラルド・ジェームズ・ウィットロウは『時間の自然哲学』（1961年）の中で、クリフォードの先見性を回想し、宇宙論におけるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカーの計量を説明するために彼の言葉を引用している。^[26]

コーネリアス・ランチョス（1970）はクリフォードの予感を次のように要約している。^[27]

[彼は] 非常に独創的で、物質は一般に平らな平面上の湾曲した波紋として考えられるかもしれないことを定性的に予見しました。彼の独創的な予感の多くは、後にアインシュタインの重力理論で実現されました。そのような推測は当然ながら時期尚早であり、3 次元幾何学を時間を含むものに拡張することを要求する中間リンクなしでは、建設的な結果に結びつくことはありませんでした。曲がった空間の理論は、空間と時間が単一の 4 次元実体を形成するという認識に先行する必要がありました。

同様にバネシュ・ホフマン（1973）は次のように書いている。^[28]

リーマン、より具体的にはクリフォードは、力と物質は空間の曲率における局所的な不規則性である可能性があると推測し、その点で彼らは驚くほど予言的であったが、その努力にもかかわらず、当時は空想家として退けられた。

1990年、ルース・ファーウェルとクリストファー・ニーはクリフォードの先見の明についての記録を調査した。^[29]彼らは「一般相対性理論の概念的アイデアのいくつかを予見したのはリーマンではなくクリフォードだった」と結論付けた。クリフォードの先見の明が認識されなかった理由として、彼らは彼が計量幾何学の専門家であり、「計量幾何学は正統的な認識論では追求するには難しすぎた」と指摘している。^[29] 1992年、ファーウェルとニーはクリフォードとリーマンの研究を続けた。^[30]

[彼らは]、一般相対性理論でテンソルが使用されると、物理学における幾何学的視点を展開できる枠組みが存在し、リーマンとクリフォードの挑戦的な幾何学的概念を再発見できるようになったと主張している。

• 1872年『科学的思考の目的と手段について』524-41頁。
• 1876 [1870].物質の空間理論について. ^{[31] [32]}
• 1877年「信仰の倫理」コンテンポラリーレビュー29:289。^{[20] [33]}
• 1878年。動力学の要素：固体と流体の運動と静止の研究入門。^[34]
  • 第1巻「翻訳」
  • 第2巻：「回転」
  • 第3巻：「緊張」
• 1878年「グラスマンの拡張代数の応用」アメリカ数学誌1(4):353. ^[35]
• 1879年：見る事と考える事^[36] - 4つの科学講演を収録: ^[5]
  • 「目と脳」
  • 「目と見る」
  • 「脳と思考」
  • 「境界一般について」
• 1879年。講義とエッセイIとII、サー・フレデリック・ポロックによる序文付き。^[37]
• 1881年「数学の断片」（複製）。^[38]
• 1882年、ロバート・タッカー編著『数学論文集』 、ヘンリー・JS・スミスの序文付き。^[39]
• 1885年、カール・ピアソンが『正確な科学の常識』を完成。^{[40] [5]}
• 1887年ダイナミックの要素2. ^[41]

• 
  1885 年版「正確な科学の常識」
• 
  1885 年版『正確な科学の常識』の表紙
• 
  1885 年版「正確な科学の常識」の目次ページ
• 
  1885 年版『正確な科学の常識』の最初のページ

「私は…物理世界では、この変化（空間の曲率の）以外には何も起こらないと考えています。」

— 数学論文（1882）

「科学的発見者、詩人、画家、音楽家は、自分の発見や詩や絵がすでに出来上がっていた、つまり、それが外部からやって来たのであって、意識的に内部から作り出したのではない、と言わない者はいない。」

—  「精神発達のいくつかの条件」（1882年）、王立研究所での講演

「不十分な証拠に基づいて何かを信じることは、いつでも、どこでも、誰にとっても間違っている。」

— 信仰の倫理（1879）[1877]

「もし人が、子供の頃に教えられた、あるいはその後説得された信念を持ち、それについて心に浮かぶあらゆる疑問を抑えて押しのけ、その信念を疑問視したり議論したりする本を読んだり人との付き合いを故意に避け、その信念を乱さずに容易に尋ねることのできない質問を不敬虔なものとみなすなら、その人の人生は人類に対する長い罪である。」

— 信仰の倫理（1879）[1877]

「私は存在せず、そして受胎した。私は愛し、少しの仕事をした。私は存在せず、悲しまない。」

— 墓碑銘

• ベッセル・クリフォード関数
• クリフォードの原理
• クリフォード分析
• クリフォード ゲイツ
• クリフォードバンドル
• クリフォードモジュール
• クリフォード数
• モーター
• ローター
• シンプレックス
• 分割双四元数
• 信じる意志の教義

•  この記事には、現在パブリック ドメインとなっている出版物のテキストが組み込まれています: ヒュー・チザム編 (1911)。「ウィリアム・キングドン・クリフォード」。ブリタニカ百科事典。第 6 巻 (第 11 版)。ケンブリッジ大学出版局。506 ページ。

• Chisholm, M. (1997). 「ウィリアム・キングドン・クリフォード（1845-1879）と妻ルーシー（1846-1929）」。応用クリフォード代数の進歩。7S ： 27–41。2020年8月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2007年4月22日閲覧。（オンライン版には記事の写真がありません。）
• チザム、M. (2002)。『Such Silver Currents - The Story of William and Lucy Clifford, 1845-1929』ケンブリッジ、イギリス：ラターワース・プレス。ISBN 978-0-7188-3017-5。
• ファーウェル、ルース、ニー、クリストファー (1990)。「絶対の終焉：一般相対性理論への 19 世紀の貢献」。科学史哲学研究。21 ( 1): 91–121。Bibcode :1990SHPSA..21...91F。doi : 10.1016/0039-3681(90)90016-2。
• マクファーレン、アレクサンダー (1916)。『19 世紀イギリスの 10 人の数学者に関する講義』。ニューヨーク: ジョン ワイリー アンド サンズ。『19 世紀イギリスの 10 人の数学者に関する講義』。（特に78～91ページを参照）
• マディガン、ティモシー J. (2010)。WKクリフォードと「信念の倫理」ケンブリッジ・スカラーズ・プレス、ケンブリッジ、英国 978-1847-18503-7。
• ペンローズ、ロジャー（2004年）。『現実への道：宇宙の法則への完全ガイド』アルフレッド・A・ノップフ。ISBN 9780679454434。（特に第11章を参照）
• スティーブン、レスリー、ポロック、フレデリック (1879)。故ウィリアム・キングドン・クリフォードによる講義とエッセイ、FRS 第 1 巻。ニューヨーク: マクミラン アンド カンパニー。
• スティーブン、レスリー、ポロック、フレデリック (1879)。故ウィリアム・キングドン・クリフォードの講義とエッセイ、FRS 第 2 巻。ニューヨーク: マクミラン アンド カンパニー。

• プロジェクト・グーテンベルクのウィリアム・キングドン・クリフォードの作品
• ウィリアムとルーシー・クリフォード（写真付き）
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ウィリアム キングドン クリフォード」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• インターネット アーカイブにあるウィリアム キングドン クリフォードの著作またはウィリアム キングドン クリフォードに関する作品
• LibriVoxの William Kingdon Clifford の作品(パブリック ドメイン オーディオブック)
• クリフォード、ウィリアム・キングドン、ウィリアム・ジェームズ、AJ・バーガー（編）『信念の倫理』
• ジョー・ルーニー ウィリアム・キングドン・クリフォード、ロンドンオープン大学デザイン・イノベーション学部。