アインシュタイン記法

この慣例によれば、インデックス変数が単一の項に2回出現し、他に定義されていない場合（自由変数と束縛変数を参照）、その項はインデックスのすべての値にわたって総和されることを意味します。したがって、インデックスは集合の範囲をとることができます。${\displaystyle \{1,2,3\}}$、 $${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}}$$ 慣例により以下のように簡略化される。 $$\displaystyle y=x^{i}e_{i}}$$

上の添え字は指数ではなく、座標、係数、または基底ベクトルの添え字です。つまり、この文脈では${\displaystyle x^{2}}$は、${\displaystyle x}$二乗ではなく${\displaystyle x}$（これは時として曖昧さを生む可能性があります）。${\displaystyle x^{i}}$これは、通常、インデックスは用語の上付き文字と下付き文字の位置にそれぞれ1回ずつ現れるためです（下記の§ 適用を参照）。通常、${\displaystyle (x^{1}\ x^{2}\ x^{3})}$従来と同等のもの${\displaystyle (x\ y\ z)}$。

一般相対性理論では、一般的な慣習として、

• ギリシャ文字は空間と時間の要素に使用され、インデックスは0、1、2、または3の値をとります（よく使用される文字には、${\displaystyle \mu }$、${\displaystyle \nu }$など）
• ラテン文字は空間コンポーネントにのみ使用され、インデックスは1、2、または3の値をとります（よく使用される文字は${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$、…）、

一般に、インデックスは無限集合を含む任意のインデックス集合の範囲をとることができます。これは、テンソルインデックス表記と、密接に関連しているものの異なる基底に依存しない抽象インデックス表記を区別するために使用される、表記上類似した慣習と混同してはなりません。

合計されるインデックスは合計インデックスであり、この場合は「${\displaystyle i}$「。任意の記号を置き換えることができるため、ダミーインデックスとも呼ばれます。」${\displaystyle i}$「式の意味を変えることなく（ただし、同じ項内の他のインデックス記号と衝突しないことを条件とする）。」

合計されない添え字は自由添え字であり、各項につき一度だけ出現する必要があります。そのような添え字が出現する場合、通常は方程式の他のすべての項にも出現します。自由添え字の例は「${\displaystyle i}$方程式の中で${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$これは、次の式と同等です。${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$。

アインシュタイン記法は、若干異なる方法で適用できます。通常、各インデックスは項内の上付き文字と下付き文字の位置にそれぞれ1回ずつ現れますが、この規則は項内の繰り返しインデックスにもより一般的に適用できます。^{[ 2 ]}共変ベクトルと反変ベクトルを扱う場合、インデックスの位置がベクトルの種類を示すため、通常は最初のケースが適用されます。共変ベクトルは、係数の積の合計に対応する反変ベクトルとのみ縮約できます。一方、座標基底が固定されている場合（または座標ベクトルを考慮しない場合）は、下付き文字のみを使用することを選択できます。§上 付き文字と下付き文字、および下付き文字のみの使用については、以下を参照してください。

ベクトルの共分散と反分散に関して、

• 上付き添え字は反変ベクトル（ベクトル）の成分を表します。
• 下位のインデックスは共変ベクトル（共変ベクトル）の成分を表します。

それらは、基底変換に関して、それぞれ反変変換または共変変換を行う。

この事実を認識し、次の表記法では、ベクトルまたは共ベクトルとその成分の両方に同じ記号を使用します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v=e_{i}v^{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle v}$はベクトルであり、${\displaystyle v^{i}}$は、その構成要素（ではなく）です。${\displaystyle i}$th コベクター${\displaystyle v}$)${\displaystyle w}$はコベクターであり、${\displaystyle w_{i}}$基底ベクトル要素は、その構成要素です。${\displaystyle e_{i}}$はそれぞれ列ベクトルであり、共ベクトル基底要素は${\displaystyle e^{i}}$これらはそれぞれ行共ベクトルです。（§ 抽象記述、双対性、および以下の例も参照してください。）

非退化形式（同型）が存在する場合${\displaystyle V\to V^{*}}$例えばリーマン計量やミンコフスキー計量などでは、添え字を上げ下げすることができます。

基底は（双対基底を介して）このような形式を与えるので、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ユークリッド距離と固定された正規直交基底を用いる場合、添え字のみを用いて作業する選択肢がある。

しかし、座標を変更すると、係数の変化の仕方は対象の分散に依存するため、その違いを無視することはできません。ベクトルの共分散と反分散を参照してください。

上記の例では、ベクトルは次のように表されます。${\displaystyle n\times 1}$行列（列ベクトル）は、共ベクトルは次のように表されます。${\displaystyle 1\times n}$行列（行共ベクトル）。

列ベクトル規約を使用する場合：

• 「上位指数は上昇から下降へ、下位指数は左から右へ動きます。」
• 「共変テンソルとは、インデックスが（共-行-下）である行ベクトルのことです。」
• コベクターは行ベクトルです。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$したがって、下側のインデックスは、あなたがどの列にいるかを示しています。
• 反変ベクトルは列ベクトルです。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$したがって、上のインデックスはあなたがどの行にいるかを示しています。

アインシュタイン記法の利点は、不変量を単純な記法で表現できる点にある。

物理学において、スカラーは基底変換に対して不変です。特に、ローレンツスカラーはローレンツ変換に対して不変です。ただし、和の中の個々の項は不変ではありません。基底が変化すると、ベクトルの成分は行列で表される線形変換によって変化します。このことから、アインシュタインは、添え字が繰り返される場合は総和をとることを意味するという慣例を提案しました。

共ベクトルについては、逆行列によって変化します。これは、共ベクトルに関連付けられた線形関数（上記の和）が、基底が何であっても同じであることを保証するために設計されています。

アインシュタイン規約の価値は、他のベクトル空間にも適用できることである。${\displaystyle V}$テンソル積と双対性を用いる。例えば、${\displaystyle V\otimes V}$、テンソル積${\displaystyle V}$自身とともに、次の形式のテンソルからなる基底を持つ。${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$任意のテンソル${\displaystyle \mathbf {T} }$で${\displaystyle V\otimes V}$次のように書くことができます。 $${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

デュアルスペース$\displaystyle V^{*}}$の${\displaystyle V}$根拠がある${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n}}$これは規則に従う $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$ どこ${\displaystyle \delta }$はクロネッカーデルタです。 $${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$ 行列の行/列座標は、テンソル積の上下のインデックスに対応します。

2 つのベクトルの内積は、対応する成分の積の合計であり、一方のベクトルのインデックスは下げられます ( #インデックスの上げ下げを参照)。 $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$正規直交基底 の場合、次のようになります。${\displaystyle u^{j}=u_{j}}$、そして式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$

3次元では、正の向きを持つ正規直交基底に関する2つのベクトルの外積は、${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}}$は次のように表現できます。 $${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{\,jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$

ここ、${\displaystyle \varepsilon _{\,jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}}$はレヴィ＝チヴィタ記号です。基底は正規直交なので、指数を上げると${\displaystyle i}$値を変更しない${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$テンソルとして扱う場合。

行列の積${\displaystyle A_{ij}}$列ベクトル付き${\displaystyle v_{j}}$は： $${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$ 同等 $${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

これは行列乗算の特殊なケースです。

2つの行列の行列積${\displaystyle A_{ij}}$そして${\displaystyle B_{jk}}$は： $${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

同等 $${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

正方行列の場合${\displaystyle {A^{i}}_{j}}$トレースは対角要素の合計であり、したがって共通のインデックスに関する合計である。${\displaystyle {A^{i}}_{i}}$。

列ベクトルの外積${\displaystyle u^{i}}$行ベクトルによる${\displaystyle v_{j}}$生成する${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle \mathbf {A} }$: $${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

以来${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$これらは2つの異なるインデックスを表しており、加算は行われず、乗算によってインデックスが消去されることもありません。

テンソルが与えられた場合、そのテンソルを計量テンソルと縮約することにより、インデックスを上げたり下げたりすることができる。${\displaystyle g_{\mu \nu }}$例えば、テンソルを取ると${\displaystyle {T^{\alpha }}_{\beta }}$指数を下げることができます。 $${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

または、インデックスを上げることもできます。 $${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$