アルティニアンリング

数学、特に抽象代数学において、アルティン環（アルティン環とも呼ばれる）とは、 （片側）イデアルの降下連鎖条件を満たす環、すなわち、イデアルの無限降下列が存在しない環のことである。アルティン環は、イデアルの降下連鎖条件が有限環と体上の有限次元ベクトル空間である環を同時に一般化することを最初に発見したエミール・アルティンにちなんで名付けられた。アルティン環の定義は、降下連鎖条件を同値の概念である最小条件と置き換えることで言い換えることができる。

正確には、環は左イデアルに関する下降鎖条件を満たす場合左アルティン環、右イデアルに関する下降鎖条件を満たす場合右アルティン環、そして左アルティン環と右アルティン環の両方を満たす場合アルティン環または両側アルティン環と呼ばれる。 ^{[ 1 ]}可換環 の場合、左と右の定義は一致するが、一般には互いに異なる。

ウェダーバーン・アルティン定理は、すべての単純アルティン環を、除法環上の行列環として特徴づける。これは、単純環が左アルティン環であるのは、それが右アルティン環である場合に限ることを意味する。

同じ定義と用語はモジュールにも適用でき、イデアルはサブモジュールに置き換えられます。

下降鎖条件は上昇鎖条件と双対のように見えるが、環においては実際には下降鎖条件の方が強い条件である。具体的には、秋月・ホプキンス・レビツキの定理の帰結として、左（または右）アルティン環は自動的に左（または右）ネーター環となる。これは一般の加群には当てはまらない。つまり、アルティン加群は必ずしもネーター加群であるとは限らない。

• 整域がアルティン整域であるのは、それが体である場合に限る。
• 有限個の、例えば左イデアルを持つ環は左アルティン環である。特に、有限環（例えば、${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$) は左右のアルティニウスです。
• させて${\displaystyle k}$フィールドである。${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$は、すべての正の整数nに対してアルティン的である。
• 同様に、${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}}$は最大イデアルを持つアルティン環である${\displaystyle (x,y)}$。
• させて${\displaystyle x}$有限次元ベクトル空間Vと の間の自己準同型写像である。このとき、部分代数は${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$によって生成されました${\displaystyle x}$は可換アルティニアン環です。
• I がデデキント領域Aの非零イデアルである場合、${\displaystyle A/I}$主要なアルティニアン リングです。^{[ 2 ]}
• 各${\displaystyle n\geq 1}$フルマトリックスリング${\displaystyle M_{n}(R)}$左アルティン環（または左ネーター環）R上では、Rは左アルティン環（または左ネーター環）である。^{[ 3 ]}

以下の2つは、アルティニアン環以外の環の例である。

• Rが任意の環である場合、多項式環R [ x ] はアルティン環ではない。なぜなら、${\displaystyle x^{n+1}}$は、によって生成されるイデアルに（適切に）含まれている。${\displaystyle x^{n}}$すべての自然数nに対して。対照的に、Rがネーター的であれば、ヒルベルト基底定理によりR [ x ]もネーター的である。
• 整数環${\displaystyle \mathbb {Z} }$これはネーター環ではあるが、アルティン環ではない。

M を左アルティン環上の左加群とする。このとき、以下の条件は同値である（ホプキンスの定理）：(i) Mは有限生成である、(ii) Mは有限長である（すなわち、合成系列を持つ）、(iii) Mはネーター加群である、(iv) Mはアルティン加群である。^{[ 4 ]}

A を単位元を持つ可換ネーター環とする。このとき、以下の式は同値である。

• Aはアルティニウス的である。
• Aは可換アルティニアン局所環の有限積です。^{[ 5 ]}
• A / nil( A )は半単純環であり、nil( A ) はAのニルラジカルである。
• A上の有限生成加群はすべて有限長を持つ。（上記参照）
• Aのクルル次元はゼロである。^{[ 6 ]}（特に、素イデアルは極大であるため、零根基はヤコブソン根基である。）
• ${\displaystyle \operatorname {仕様} A}$有限かつ離散的である。
• ${\displaystyle \operatorname {仕様} A}$離散的である。^{[ 7 ]}

k を体、A を有限生成k代数とする。このとき、Aがアルティン的であるのは、 Aがk加群として有限生成である場合に限る。

アルティン局所環は完全である。アルティン環の商環および局所化環はアルティン環である。

ウェダーバーン・アルティン定理の一バージョンでは、単純アルティン環Aは除法環上の行列環であると述べている。実際、 ^{[ 8 ]}では、 Aはアルティン環であるため存在するAの最小 (非零) 右イデアルをIとする (証明の残りの部分ではAがアルティン環であるという事実は使用しない)。すると、${\displaystyle AI}$両面的な理想であり、${\displaystyle AI=A}$Aは単純なので、${\displaystyle a_{i}\in A}$となることによって${\displaystyle 1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I}$kはその性質に関して最小であると仮定します。次に、右A加群の写像を考えます。

${\displaystyle {\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}}$

この写像は全射です。なぜなら、像は右イデアルであり、1 を含んでいるからです。もし単射でないとしたら、例えば、${\displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}}$非ゼロ$\displaystyle y_{1}}$すると、 Iの最小性により、次のようになる。${\displaystyle y_{1}A=I}$以下に続きます。

${\displaystyle a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I}$、

これはkの最小性と矛盾する。したがって、${\displaystyle I^{\oplus k}\simeq A}$そしてこうして${\displaystyle A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))}$。

• 代数学
• アルティニウスの理想
• シリアルモジュール
• セミパーフェクトリング
• ゴレンシュタイン指輪
• ネーター環