解析幾何学

数学において、解析幾何学は座標幾何学またはデカルト幾何学とも呼ばれ、座標系を使用する幾何学の研究であり、総合幾何学とは対照的です。

解析幾何学は物理学や工学だけでなく、航空学、ロケット工学、宇宙科学、宇宙飛行の分野でも利用されています。代数幾何学、微分幾何学、離散幾何学、計算幾何学など、現代の幾何学のほとんどの分野の基礎となっています。

通常、直交座標系は、平面、直線、円の方程式を、多くの場合 2 次元、時には 3 次元で操作するために使用されます。幾何学的には、ユークリッド平面 (2 次元) とユークリッド空間を研究します。学校の教科書で教えられているように、解析幾何学はもっと簡単に説明できます。解析幾何学は、幾何学的形状を数値的に定義および表現し、形状の数値定義と表現から数値情報を抽出することに関係しています。実数の代数を使用して幾何学の線形連続体に関する結果を生成できることは、カントール-デデキントの公理に依存しています。

ギリシャの数学者メナエクモスは、座標の使用に非常に類似した方法を使用して問題を解決し、定理を証明し、彼が解析幾何学を導入したと主張することもあります。^[1]

ペルガのアポロニウスは、『定断面について』で、一次元解析幾何学とも言える方法で、ある直線上で他の直線と比をなす点を見つける問題を扱っている。^[2]アポロニウスは『円錐曲線論』でさらに解析幾何学に非常によく似た手法を展開し、彼の研究はデカルトの研究を1800年ほど先取りしていたと考えられることもある。彼が適用した基準線、直径、接線は、本質的には現代の座標フレームの使用と何ら変わらない。座標フレームでは、接点から直径に沿って測った距離が横座標、接線に平行で軸と曲線の間にある線分が縦座標である。彼はさらに、曲線の修辞的方程式（言葉で表現）に相当する横座標と対応する縦座標の関係を展開した。しかし、アポロニウスは解析幾何学の発展に近づいたものの、負の絶対値を考慮しなかったことと、座標系が事前にではなく事後に与えられた曲線に重ね合わされたことから、解析幾何学の発展には至らなかった。つまり、方程式は曲線によって決定されたが、曲線は方程式によって決定されなかった。座標、変数、方程式は、特定の幾何学的状況に適用される補助的な概念であった。^[3]

11世紀のペルシャの数学者オマール・ハイヤームは、幾何学と代数の強い関係を見出し、一般三次方程式の幾何学的解法^{[5 ]によって数値}代数と幾何代数の溝を埋める手助けをし、正しい方向に進んでいたが [4] 、決定的な一歩を踏み出したのはその後のデカルトであった^[4] 。オマール・ハイヤームは代数幾何学の基礎を解明したとされ、解析幾何学の原理を定めた著書『代数の問題の証明』（1070年）は、最終的にヨーロッパに伝わったペルシャ数学の一部である^[6] 。代数方程式に対する徹底した幾何学的アプローチにより、ハイヤームは解析幾何学の発明におけるデカルトの先駆者とみなすことができる。^{[7] : 248}

解析幾何学はルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーによって独立に発明されましたが、^{[8] [9]}デカルトが単独で発明したとされることもあります。^{[10] [11]} 解析幾何学の別名である デカルト幾何学は、デカルトにちなんで名付けられました。

デカルトは、1637年に出版された『方法序説』 (通称『方法序説』 )とともに出版された3つの付録のうちの1つである『幾何学』というエッセイで、方法に大きな進歩を遂げた。 母国語であるフランス語で書かれた『幾何学』とその哲学的原理は、ヨーロッパにおける微積分学の基礎となった。当初、この作品は議論に多くの欠落があり、方程式が複雑だったこともあり、あまり受け入れられなかった。1649年にファン・スホーテンがラテン語に翻訳し、注釈を加えた後(そしてその後もさらに研究が進められた)、ようやくデカルトの傑作は正当な評価を受けるようになった。^[12]

ピエール・ド・フェルマーもまた解析幾何学の発展の先駆者であった。フェルマーの生前には出版されなかったが、デカルトの『講義』出版直前の1637年には『平面と立体の場所への序論』の原稿がパリで流通していた。^{[13] [14] [15]}明快に書かれ好評だった『序論』は解析幾何学の基礎も築いた。フェルマーとデカルトの扱い方の主な違いは観点の問題である。フェルマーは常に代数方程式から始めて、それを満たす幾何学的曲線を説明したのに対し、デカルトは幾何学的曲線から始めて、曲線のいくつかの特性の1つとしてその方程式を導いた。^[12]このアプローチの結果、デカルトはより複雑な方程式を扱わなければならず、より高次の多項式方程式を扱う方法を開発しなければならなかった。座標法を空間曲線と空間面の体系的な研究に初めて適用したのは レオンハルト・オイラーでした。

解析幾何学では、平面には座標系が与えられ、その座標系では各点に実数座標のペアが割り当てられます。同様に、ユークリッド空間には各点に3つの座標が割り当てられます。座標の値は、最初の原点の選択によって異なります。使用される座標系にはさまざまなものがありますが、最も一般的なものは次のとおりです。^[16]

最も一般的に使用される座標系は直交座標系です。直交座標系では、各点には水平位置を表すx座標と垂直位置を表すy座標があります。これらは通常、順序付けられたペア( x、  y )として記述されます。このシステムは 3 次元幾何学にも使用でき、ユークリッド空間のすべての点は順序付けられた 3 つの座標 ( x、  y、  z )で表されます。

極座標では、平面上のすべての点は原点からの距離rと角度 θで表され、θは通常、正のx軸から反時計回りに測定されます。この表記法を使用すると、点は通常、順序付きペア ( r、θ ) として記述されます。次の式を使用して、2 次元の直交座標と極座標の間を相互に変換できます。このシステムは、円筒座標または球面座標を使用して 3 次元空間に一般化できます。 $${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).}$$

円筒座標では、空間上のあらゆる点は、高さz、z軸からの半径 r、およびxy平面への投影が水平軸に対してなす 角度θによって表されます。

球面座標では、空間内のあらゆる点は、原点からの距離ρ 、 xy平面への投影が水平軸に対してなす角度 θ 、 z軸に対してなす角度φによって表されます。物理学では角度の名前が逆になることがよくあります。^[16]

解析幾何学では、座標を含む方程式はどれも平面の部分集合、つまり方程式の解集合、つまり軌跡を指定​​します。たとえば、方程式y  =  xは、平面上でx座標とy座標が等しいすべての点の集合に対応します。これらの点は直線を形成し、y  =  x はこの直線の方程式であると言われています。一般に、xとy を含む線形方程式は直線 を指定し、二次方程式は円錐曲線を指定し、より複雑な方程式はより複雑な図形を記述します。^[17]

通常、単一の方程式が平面上の曲線に対応します。ただし、常にそうであるとは限りません。自明な方程式x  =  xは平面全体を指定し、方程式x ²  +  y ²  = 0 は単一の点 (0, 0) のみを指定します。3 次元では、単一の方程式は通常、面を与え、曲線は2 つの面の交差(以下を参照) として、またはパラメトリック方程式のシステムとして指定する必要があります。^[18]方程式x ²  +  y ²  =  r ²は、原点 (0, 0) を中心とし、半径 r の任意の円の方程式です。

デカルト平面、またはより一般的にはアフィン座標の線は、線形方程式によって代数的に記述できます。2次元では、非垂直線の方程式は、傾きと切片の形式で表されることがよくあります。 ここ で、 $${\displaystyle y=mx+b}$$

• m は線の傾きまたは勾配です。
• b は直線のy 切片です。
• x は関数y = f ( x ) の独立変数です。

2 次元空間の線が点と傾きの形式を使用して方程式として記述されるのと同様に、3 次元空間の平面は、平面内の点とそれに直交するベクトル (法線ベクトル)を使用してその「傾斜」を示す自然な記述を持ちます。

具体的には、をある点 の位置ベクトルとし、 を非ゼロのベクトルとします。この点とベクトルによって決まる平面は、 から に引かれたベクトルが に垂直になるような、位置ベクトル を持つ点 から構成されます。2つのベクトルが垂直になるのは、それらのドット積が 0 の場合のみであることを思い出してください。したがって、目的の平面は、 となる すべての点の集合として記述できます (ここでのドットはドット積を意味し、スカラー乗算を意味しません)。これを展開すると 、平面方程式の点法線形式になります。 ^{[要出典]これは単なる}線形方程式です。 逆に、a、b、c、dが定数で、a、b、cがすべてゼロでない場合、方程式のグラフは ベクトル を法線とする平面であることが簡単に示されます。^[要出典]このよく知られた平面方程式は、平面方程式の一般形と呼ばれます。 ^[19]${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$$${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

3 次元では、線は単一の線形方程式では記述できないため、多くの場合、パラメトリック方程式で記述されます。ここで 、 $${\displaystyle x=x_{0}+at}$$ $${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$ $${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$

• x、y、z はすべて、実数にわたる独立変数tの関数です。
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) は線上の任意の点です。
• a、b、c は直線の傾きに関係しており、ベクトル( a、b、c ) は直線に平行です。

デカルト座標系では、 2変数の2次方程式のグラフは常に円錐曲線になる。ただし、円錐曲線は退化している可能性があり、すべての円錐曲線はこのようにして生じる。方程式は、 6つの定数すべてをスケーリングすると同じゼロの軌跡が得られるため、円錐曲線を5次元射影空間 の点と見なすことができる。$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

この式で表される円錐曲線は判別式^{[20]を用いて分類することができる。}

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$ 円錐曲線が非退化の場合、次のようになります。

• の場合、方程式は楕円を表します。 ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • かつの場合、方程式は楕円の特殊なケースである円を表します。${\displaystyle A=C}$${\displaystyle B=0}$
• の場合、方程式は放物線を表します。${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• の場合、方程式は双曲線を表します。 ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • また、 である場合、この方程式は直角双曲線を表します。${\displaystyle A+C=0}$

二次曲面は、3次元空間における2次元曲面であり、二次多項式の零点の軌跡として定義される。座標x ₁、x ₂、x ₃において、一般的な二次曲面は代数方程式^[21]によって定義される。

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

二次曲面には、楕円体（球を含む）、放物面、双曲面、円柱、円錐、平面が含まれます。

解析幾何学では、距離や角度の測定などの幾何学的概念は、公式を使用して定義されます。これらの定義は、基礎となるユークリッド幾何学と一致するように設計されています。たとえば、平面上の直交座標を使用すると、2 点 ( x ₁、  y ₁ ) と ( x ₂、  y _{2 ) 間の距離は、}ピタゴラスの定理 のバージョンと見なすことができる公式によって定義されます 。同様に、線が水平となす角度は、 m が線の 傾きである 公式によって定義できます 。$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$$${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$

3次元では、距離はピタゴラスの定理の一般化によって与えられ、 2つのベクトル間の角度はドット積 で与えられます。2つのユークリッドベクトルAとBのドット積は^[22]で定義されます。 ここでθはAとBの間の角度です。 $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$

変換は親関数に適用され、同様の特性を持つ新しい関数に変換されます。

のグラフは標準変換によって次のように変更されます。 ${\displaystyle R(x,y)}$

• に変更すると、グラフが正しい単位に移動します。${\displaystyle x}$${\displaystyle x-h}$${\displaystyle h}$
• に変更すると、グラフが単位上に移動します。${\displaystyle y}$${\displaystyle y-k}$${\displaystyle k}$
• を に変更すると、グラフは 倍に水平方向に伸びます。(が拡大されると考えてください)${\displaystyle x}$${\displaystyle x/b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$
• に変更すると、グラフが垂直方向に伸びます。${\displaystyle y}$${\displaystyle y/a}$
• を に変更し、 を変更すると、グラフが角度 だけ回転します。${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$${\displaystyle A}$

基本的な解析幾何学では通常研究されない標準的な変換が他にもあります。これは、変換によって、通常は考慮されない方法でオブジェクトの形状が変化するためです。通常考慮されない変換の例としては、スキューがあります。詳細については、Wikipedia のアフィン変換に関する記事を参照してください。

たとえば、親関数には水平漸近線と垂直漸近線があり、 は第 1 象限と第 3 象限を占め、その変換された形式はすべて 1 つの水平漸近線と垂直漸近線を持ち、 は第 1 象限と第 3 象限、または第 2 象限と第 4 象限のいずれかを占めます。一般に、の場合、 を に変換できます。新しい変換された関数では、は、1 より大きい場合は関数を垂直に引き伸ばし、1 より小さい場合は関数を垂直に圧縮する係数であり、負の値の場合は関数が-軸に反映されます。の値は、1 より大きい場合は関数のグラフを水平に圧縮し、1 より小さい場合は関数を水平に引き伸ばします。 と同様に、が負の場合、関数が -軸に反映されます。と の値は、垂直、水平の平行移動を導入します。と の値が正の場合は関数が軸の正の端に向かって平行移動することを意味し、負の場合は負の端に向かって平行移動を意味します。 ${\displaystyle y=1/x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$

変換は、方程式が関数を表しているかどうかに関係なく、任意の幾何方程式に適用できます。変換は、個別のトランザクションとして、または組み合わせとして考えることができます。

が平面上の関係であると仮定します。たとえば、 は単位円を表す関係です。 ${\displaystyle R(x,y)}$${\displaystyle xy}$$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$

2つの幾何学的物体PとQは関係によって表され、交差点は両方の関係にあるすべての点の集合である。 ^[23]${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$

たとえば、 は半径 1 で中心 の円である可能性があります。 また は半径 1 で中心 の円である可能性があります。これら 2 つの円の交点は、両方の方程式が成り立つようにする点の集合です。この点は両方の方程式を成り立たせるでしょうか。を に使用すると、 の方程式はまたはとなり、これは真であるため、 は関係 に含まれます。一方、 を引き続きに使用すると、 の方程式はまたはとなり、これは偽です。 は には含まれないため、交点に含まれません。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$${\displaystyle (-1)^{2}=1}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$${\displaystyle 0=1}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle P}$

と の交点は、次の連立方程式を解くことで見つけることができます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

交差を見つける従来の方法には、置換と消去が含まれます。

代入:についての 最初の方程式をについて解き、 の式を2 番目の方程式に代入します。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

次に、この値を他の方程式に代入し、 を解きます。 ${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$ $${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

次に、この の値を元の方程式のいずれかに代入し、 を解きます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

したがって、交差点には 2 つの点があります。 $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

消去法: 1 つの方程式の倍数を他の方程式に加え (または引き)、変数の 1 つを消去します。現在の例では、最初の方程式から 2 番目の方程式を引くと が得られます。最初の方程式の が2 番目の方程式のから引き算され、項は残りません。変数が消去されました。次に、置換法と同じ方法で、残りの方程式を について解きます。 ${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1-x^{2}=0}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

次に、この の値を元の方程式のいずれかに代入し、 を解きます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

したがって、交差点には 2 つの点があります。 $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

円錐曲線の場合、交差点には最大 4 つの点が存在する可能性があります。

広く研究されている交差の 1 つのタイプは、幾何学的オブジェクトと座標軸との交差です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

幾何学的オブジェクトと - 軸の交点は、オブジェクトの - 切片と呼ばれます。幾何学的オブジェクトと - 軸の交点は、オブジェクトの - 切片 と呼ばれます。${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

直線 の場合、 パラメータは直線が軸と交差する点を指定します。コンテキストに応じて、または のどちらかの点が -切片と呼ばれます。 ${\displaystyle y=mx+b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (0,b)}$${\displaystyle y}$

幾何学における軸は、任意の線、物体、または面に対する垂直線です。

また、このために、一般用語では「法線（垂直）線」として、エンジニアリングでは「軸線」として使用されることもあります。

幾何学において、法線とは、特定のオブジェクトに対して垂直な線やベクトルなどのオブジェクトです。たとえば、2 次元の場合、特定の点における曲線の法線は、その点における曲線の接線に対して垂直な線です。

3 次元の場合、点Pにおける面の法線、または単に法線は、点Pにおける面の接平面に対して垂直なベクトルです。「法線」という単語は形容詞としても使用され、平面に垂直な線、力の法線成分、法線ベクトルなどです。法線性の概念は、直交性に一般化されます。

接線は、関数の球面またはその他の曲線やねじれ線の線形近似です。

幾何学において、平面曲線の任意の点における接線（または単に接線）とは、その点で曲線に「ちょうど接する」直線のことです。非公式には、曲線上の 2 つの無限に近い点を通る直線です。より正確には、直線が曲線上の点( c , f ( c )) を通過し、傾きが f ' ( c ) であるとき、その直線は曲線上の点 x = c における曲線 y = f ( x )の接線であるとされます。ここで、 f 'はfの導関数です。同様の定義が、空間曲線およびn次元ユークリッド空間内の曲線にも適用されます。

接線と曲線が交わる点（接点）を通過するとき、接線は曲線と「同じ方向に進む」ため、その点における曲線の最良の直線近似になります。

同様に、ある点における面の接平面とは、その点において面に「ちょうど接する」平面のことです。接線の概念は微分幾何学における最も基本的な概念の 1 つであり、広く一般化されています。接線空間を参照してください。

• 応用幾何学
• クロス積
• 軸の回転
• 軸の翻訳
• ベクトル空間

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• Pecl, J.,ニュートンと解析幾何学

• インタラクティブなアニメーションによる座標幾何学のトピック