Spinor

スピノルの概念を考察するには、基本的に2つの枠組みがある。表現論的な観点と幾何学的な観点である。

クリフォード代数^{[ 2 ]}（幾何代数と呼ばれることもある）の言語は、クリフォード代数の分類を通して、すべてのスピン群のスピン表現とそれらの表現間のさまざまな関係の完全な図を提供します。これにより、アドホックな構成の必要性が大幅に軽減されます。

In detail, let V be a finite-dimensional complex vector space with nondegenerate symmetric bilinear form g . The Clifford algebra Cℓ( V , g ) is the algebra generated by V subject to the anticommutation relation xy + yx = 2 g ( x , y ) . It is an abstract version of the algebra generated by the gamma or Pauli matrices . If V = ℂ ⁿ with the standard form g ( x , y ) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _n , one writes Cℓ _n (ℂ) for this Clifford algebra; since every nondegenerate symmetric bilinear form on a complex vector space is equivalent to the standard one, this notation is often used whenever dim _ℂ ( V ) = n . n = 2 kが偶数の場合、 Cℓ _n (ℂ)はMat(2 ^k , ℂ)と非正準的に同型であるため、次元2 ^kの一意な既約モジュールΔを持ちます。n = 2 k + 1が奇数の場合、Cℓ n ₍ ℂ)はMat(2 ^k , ℂ) ⊕ Mat(2 ^k , ℂ)と同型であるため、それぞれ次元2 ^kの 2 つの非等価な既約モジュールを持ちます。リー代数so ( V , g )は、交換子ブラケットを備えたクリフォード代数の偶数部分に埋め込まれ、これらのモジュールに作用します。n が奇数の場合、 2 つの既約クリフォードモジュールはso ( V , g )の同型な既約表現に制限されます。この表現はスピン表現と呼ばれ、しばしばΔと表記されます。 When n is even, the unique irreducible Clifford module Δ remains irreducible for the full Clifford algebra, but on restriction to the even Clifford algebra, or equivalently to the spin group, it splits as $${\displaystyle \Delta =\Delta _{+}\oplus \Delta _{-},}$$ ここで、Δ ₊とΔ ₋はワイル表現、またはハーフスピン表現である。

Vが実ベクトル空間である場合の実数上の既約表現ははるかに複雑であり、詳細についてはクリフォード代数に関する記事を参照されたい。

スピノルは、通常は複素数上のベクトル空間を形成し、回転群の表現では因数分解されないスピン群の線形群表現を備えています（図を参照）。スピン群は、ホモトピー類を追跡する回転群です。回転群は単連結ではないが、単連結スピン群はその二重被覆であるため、回転群のトポロジーに関する基本情報を符号化するにはスピノルが必要です。したがって、すべての回転に対して、それを表すスピン群の要素が 2 つ存在します。幾何ベクトルやその他のテンソルは、これら 2 つの要素の違いを感知できませんが、表現の下で任意のスピノルに影響を与えると、反対の符号を生成します。スピン群の要素を1 パラメータ族の回転のホモトピー類と考えると、各回転は恒等回転への経路の 2 つの異なるホモトピー類によって表されます。 If a one-parameter family of rotations is visualized as a ribbon in space, with the arc length parameter of that ribbon being the parameter (its tangent, normal, binormal frame actually gives the rotation), then these two distinct homotopy classes are visualized in the two states of the belt trick puzzle (above). The space of spinors is an auxiliary vector space that can be constructed explicitly in coordinates, but ultimately only exists up to isomorphism in that there is no "natural" construction of them that does not rely on arbitrary choices such as coordinate systems. A notion of spinors can be associated, as such an auxiliary mathematical object, with any vector space equipped with a quadratic form such as Euclidean space with its standard dot product , or Minkowski space with its Lorentz metric . In the latter case, the "rotations" include the Lorentz boosts , but otherwise the theory is substantially similar.

物理学において、スピノル場とは、その値がスピノル表現に含まれる場のことである。ミンコフスキー空間、あるいはより一般的にはスピン構造を持つ時空多様体上では、主スピン束と選択されたスピン表現に関連付けられたスピノル束が形成される。スピノル場はこの束の断面である。平坦な時空ではこの束は自明化される可能性があるため、スピノル場はしばしば時空上のスピノル値関数として単純に記述される。

相対論的物理学で最も一般的なスピノル場は、ディラックスピノル場、ワイルスピノル場、マヨラナスピノル場です。ディラックスピノルは、完全な複素スピノル束の一部です。偶数次元では、スピン表現がカイラルな半分に分割される場合、2つの項の一部はワイルスピノルと呼ばれます。マヨラナスピノルは、関連するスピン表現が実数条件を持つ場合に、実数条件を満たすスピノルです。

スピノル場は、ディラック方程式やワイル方程式といったスピノル束に関する1階微分方程式を通して物理学に現れます。これらの方程式はスピン1/2の相対論的場を記述し、量子場理論や微分幾何学において中心的な役割を果たします。詳細については、ディラックスピノル、ワイルスピノル、マヨラナスピノル、スピノル束を参照してください。

スピノルの構成の主要な数学的応用の一つは、特殊直交群のリー代数の線形表現を明示的に構成することを可能にし、結果として群自体のスピノル表現も構成できるようにすることである。より深いレベルでは、スピノルはアティヤ・シンガー指数定理へのアプローチの中核をなすものであり、特に半単純群の離散級数表現の構成を提供するものであることが分かっている。

特殊直交リー代数のスピン表現は、重みによってワイルの構成法で与えられるテンソル表現と区別されます。テンソル表現の重みはリー代数の根の整数線形結合であるのに対し、スピン表現の重みはそれらの半整数線形結合です。詳細については、スピン表現に関する記事を参照してください。

スピノルは、簡単に言えば、「物理空間における回転と特定の方法で関連付けられる変換を持つ空間のベクトル」と説明できる。^{[ 3 ]}別の言い方をすれば、次のようになる。

スピノルは、任意の数の空間における回転群の線形表現を提供する。${\displaystyle n}$次元の各スピノルは$2ν$コンポーネント${\displaystyle n=2\nu +1}$または${\displaystyle 2\nu }$[ ^{4 ]​}

日常的な類推を説明するいくつかの方法が、皿トリック、タンロイド、およびその他の方向の絡み合いの例を用いて定式化されている。

しかしながら、この概念は一般的に理解するのが非常に難しいと考えられており、ディラックの伝記作家であるグラハム・ファーメロが引用しているマイケル・アティヤの発言がそれをよく示している。

スピノルを完全に理解している人は誰もいません。その代数は形式的には理解されていますが、その一般的な意味は謎に包まれています。ある意味で、スピノルは幾何学の「平方根」を表しており、−1 の平方根を理解するのに何世紀もかかったように、スピノルについても同じことが言えるかもしれません。^{[ 5 ]}

クリフォード代数 Cℓ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) は、1 つの単位スカラー 1、2 つの直交単位ベクトルσ ₁およびσ ₂、および 1 つの単位擬似スカラーi = σ ₁ σ ₂の基礎から構築されます。上記の定義から、( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1、および( σ ₁ σ ₂ ) ( σ ₁ σ ₂ ) = − σ _{1 σ 1} σ ₂ σ _{2 =} −1であることは明らかです。

偶数部分代数 Cℓ ⁰ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) は、 Cℓ _2,0の偶数次基底要素によって張られる(${\displaystyle \mathbb {R} }$) は、その表現によってスピノルの空間を決定します。これは 1 とσ ₁ σ ₂の実線形結合で構成されています。実代数として、Cℓ ⁰ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) は複素数体と同型である${\displaystyle \mathbb {C} }$その結果、共役演算（複素共役に類似）が可能となり、これはクリフォード要素の 逆演算とも呼ばれ、次のように定義される。$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}}$$ これは、クリフォードの関係式によって次のように書ける。 $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

偶数クリフォード要素γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 (の作用${\displaystyle \mathbb {R} }$）ベクトル上で、Cℓ _2,0の 1 次数要素とみなされる（${\displaystyle \mathbb {R} }$) は、一般ベクトルu = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂をベクトルに マッピングすることによって決定されます。$${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$ どこ${\displaystyle \gamma ^{*}}$は共役です${\displaystyle \gamma }$、そしてその積はクリフォード乗算です。この場合、スピノル^{[ e ]}は通常の複素数です。${\displaystyle \gamma }$スピノール上${\displaystyle \phi }$通常の複素数乗算によって与えられます。 $${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

この定義の重要な特徴は、通常のベクトルとスピノルの区別であり、偶数次数要素がそれぞれに異なる方法で作用することに表れています。一般に、クリフォード関係を簡単に確認すると、偶数次数要素は通常のベクトルと共役可換であることがわかります。 $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

一方、スピノールに対する作用と比較すると${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$の作用${\displaystyle \gamma }$通常のベクトルに対する作用は、スピノルに対する作用の二乗として現れる。

例えば、これが平面回転に及ぼす影響を考えてみましょう。ベクトルを角度θだけ回転させることはγ ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ )に対応し、スピノルに対する対応する作用はγ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2)となります。一般に、対数分岐のため、一貫した方法で符号を選択​​することは不可能です。したがって、スピノルに対する平面回転の表現は 2 値になります。

2次元空間におけるスピノルの応用では、偶数次数要素の代数（すなわち複素数環）がスピノルの空間と同一であるという事実を利用するのが一般的です。そのため、言葉の誤用によって、この2つはしばしば混同されます。そして、「ベクトルに対するスピノルの作用」といった表現が用いられることがあります。一般的には、このような表現は意味をなしません。しかし、2次元や3次元（例えばコンピュータグラフィックスへの応用）においては、意味を持ちます。

クリフォード代数 Cℓ _3,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) は、1 つの単位スカラー 1、3 つの直交単位ベクトルσ ₁、σ ₂およびσ ₃、3 つの単位バイベクトルσ ₁ σ ₂、σ ₂ σ ₃、 σ 3 σ ₁および擬似スカラーi = σ ₁ σ ₂ σ 3_{の基礎から構築さ}れます。( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1、および( σ 1 _{σ 2 ) 2 = ( σ 2} σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² = ( σ ₁ σ 2 σ ₃ ) ² = −1^であること_を示すの_は簡単です。

偶数次数要素の部分代数は、スカラー拡大、 $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$ およびベクトル回転 $${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$ どこ

これは、単位ベクトルv = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ + a ₃ σ ₃で定義される軸を中心とした角度θだけのベクトル回転に対応します。

特殊なケースとして、 v = σ ₃の場合、これは前のセクションで検討したσ ₁ σ ₂回転を再現することが容易にわかります。また、このような回転はσ ₃方向のベクトルの係数を不変に保ちます。

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

双ベクトルσ ₂ σ ₃、σ ₃ σ ₁およびσ ₁ σ ₂は、実際には1843 年に発見されたハミルトンの四元数i、j、およびkです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

偶数次要素と代数の同一視により${\displaystyle \mathbb {H} }$2 次元の場合と同様に、偶数次数要素の代数の表現はそれ自身のみである。^{[ f ]}したがって、3 次元の (実数^{[ g ]} ) スピノルは四元数であり、スピノルに対する偶数次数要素の作用は通常の四元数乗算によって与えられる。

角度θによるベクトル回転を表す式 (1) では、γ に現れる角度が半分になっていることに注意してください。したがって、スピノル回転γ ( ψ ) = γψ (通常の四元数乗算)は、対応するベクトル回転の角度の半分の角度でスピノルψを回転させます。ここでも、ベクトル回転をスピノル回転に持ち上げる問題は 2 値です。θ /2の代わりに(180° + θ /2)を使用した式 (1) は、同じベクトル回転を生成しますが、スピノル回転の負の値になります。

3D空間における回転のスピノル／クォータニオン表現は、対応するスピン行列が非常に簡潔であること、および異なる軸を中心とした連続的な回転の複合効果を計算するためにそれらを簡単に乗算できることから、コンピュータ幾何学やその他のアプリケーションでますます普及しつつあります。

ベクトル空間Vと二次形式gが与えられると、クリフォード代数の明示的な行列表現Cℓ( V , g )は次のように定義できます。Vieg ( e ^μ e ^ν ) = η ^μνの正規直交基底e ¹ ... e ⁿを選択します。ここで、μ ≠ νの場合、η ^μμ = ±1およびη ^μν = 0 です。k = ⌊ n /2⌋とします。γ ^μ γ ^ν + γ ^ν γ ^μ = 2 η ^μν 1となるように2 ^k × 2 ^kの行列γ ¹ ... γ ⁿのセットを修正します(つまり、ガンマ行列の規則を修正します)。すると、割り当てe ^μ → γ ^μは、クリフォード代数における単項式e ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{μ _k}を行列の積γ ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{μ _k}に写像し、線形に拡張することによって、代数準同型Cℓ( V , g ) → Mat (2 ^k , ℂ)に一意に拡張される。${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$ガンマ行列が作用する空間は、スピノルの空間となる。ただし、このような行列は明示的に構成する必要がある。3 次元では、ガンマ行列をパウリ シグマ行列と定義すると、非相対論的量子力学で用いられるおなじみの 2 成分スピノルが得られる。同様に、4 × 4ディラック ガンマ行列を用いると、3+1 次元の相対論的量子場理論で用いられる 4 成分ディラック スピノルが得られる。一般に、必要な種類のガンマ行列を定義するには、ワイル・ブラウアー行列を用いることができる。

この構成では、クリフォード代数Cℓ( V , g )、リー代数so ( V , g )、およびスピン群Spin( V , g )の表現はすべて、正規直交基底の選択とガンマ行列の選択に依存します。これは慣例に関して混乱を招く可能性がありますが、トレースなどの不変量は選択に依存しません。特に、物理的に観測可能なすべての量は、このような選択に依存しない必要があります。この構成では、スピノルは 2 ^{k 個}の複素数のベクトルとして表現でき、スピノル添え字 (通常はα、 β、 γ ) で表されます。物理学の文献では、抽象的なスピノル構成が使用されている場合でも、このような添え字がスピノルを表すためによく使用されます。

スピノルを抽象的に定義する方法は少なくとも 2 つありますが、本質的には同等です。 1 つのアプローチは、Cℓ( V , g )の左作用の最小イデアルを特定しようとします。 これらは、 Cℓ( V , g ) ωの形のクリフォード代数の部分空間であり、左乗算によるCℓ( V , g )の明らかな作用c : xω → cxωを許容します。 このテーマには 2 つのバリエーションがあります。クリフォード代数の冪零元である原始元ωを見つけるか、冪等元である原始元 ω を見つけるかのいずれかです。冪零元による構成は、そこから冪等元を生成できるという意味でより基本的です。^{[ 17 ]}このようにして、スピノル表現はクリフォード代数自体の特定の部分空間と同一視されます。 2つ目のアプローチは、 Vの特別な部分空間を用いてベクトル空間を構築し、そのベクトル空間の外部でクリフォード代数の作用を指定することである。

どちらのアプローチにおいても、基本的な概念は等方性部分空間Wである。それぞれの構成は、この部分空間を選択する際の初期の自由度に依存する。物理的に言えば、これは、 Vの好ましい基底が与えられたとしても、スピン空間の基底を指定できる測定プロトコルが存在しないという事実に対応する。

上記と同様に、( V , g )を非退化双線形形式を備えたn次元複素ベクトル空間とする。Vが実ベクトル空間である場合、 V をその複素化で置き換える。${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$そして、gを誘導双線形形式とする。${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$W を最大等方性部分空間、すなわちg | _W = 0となるVの最大部分空間とする。n = 2 kが偶数の場合、W ′ をWの補空間である等方性部分空間とする。n = 2 k + 1 が奇数の場合、 W ′をW ∩ W ′ = 0となる最大等方性部分空間とし、U をW ⊕ W ′の直交補空間とする。偶数次元と奇数次元の両方の場合において、WとW ′はk次元である。奇数次元の場合、Uは 1 次元であり、単位ベクトルuによって張られる。

W ′は等方的であるため、 Cℓ( V , g )内部でのW ′の要素の乗算は歪乗となる。したがって、W ′内のベクトルは反可換であり、Cℓ( W ′ , g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0)は外積代数Λ ^∗ W ′に等しい。結果として、W ′とそれ自身とのk重積W′k^は1次元となる。ωをW′kの生成元とする。W ′の基底w′1 , ..., w′kに関して、一つの可能​​性として_、次のように設定することができる ^。$${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

ω ² = 0 (すなわち、ω は2 位の冪零関数である)であること、さらに、すべてのw ′ ∈ W ′に対してw ′ ω = 0 であることに注意してください。以下の事実は容易に証明できます。

1. n = 2kの場合、左イデアルΔ = Cℓ( V , g ) ωは最小左イデアルです。さらに、偶数クリフォード代数の作用に制限すると、これは^Δ + = Cℓevenω_とΔ− ⁼ Cℓoddωの₂つのスピン空間に分割されます。
2. n = 2 k + 1の場合、左イデアルCℓ( V , g ) ωに対する単位ベクトルuの作用は、空間を同型な既約固有空間のペア (両方とも Δ で表される) に分解し、それぞれが +1 と −1 の固有値に対応します。

具体的には、例えばn が偶数であると仮定します。IがCℓ( V , g ) ωに含まれる非零の左イデアルであると仮定します。I がωの非零のスカラー倍を含むことを証明することにより、 I がCℓ( V , g ) ωと等しくなければならないことを示します。

Wの基底w _iとW ′の相補基底w _i ′ を固定して、

Iの任意の要素は、 I ⊂ Cℓ( V , g ) ωという仮定により、αωの形を持たなければならないことに注意してください。αω ∈ Iをそのような要素とします。選択した基底を使用して、次のように書くことができます 。$${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$ ここで、a _{i 1 ... i p}はスカラーであり、B _jはクリフォード代数の補助要素である。ここで、積が $${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$αの展開式において、要素w _iに関して最大​​の同次次数を持つ 任意の非ゼロ単項式a を選択する。 $${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$（総和は含まない） $${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$は、要求どおり、ω のゼロでないスカラー倍数である。

nが偶数の場合、この計算では次のことも示されます。 $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$ ベクトル空間として。最後の等式では、Wが等方的であることを再び使用しました。物理学的に言えば、これは、真空ωに作用するW内の反可換生成演算子を使用してスピノルを作成することにより、 Δ がフォック空間のように構築されることを示しています。

最小イデアル構成による計算では、スピノル表現は等方性部分空間Wの外積代数Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j Wを使用して直接定義することもできることが示唆されている。Δ = Λ ^∗ Wをベクトル空間のみとみなしたWの外積代数とする。これがスピン表現となり、その要素はスピノルと呼ばれる。^{[ 18 ] [ 19 ]}

クリフォード代数のΔへの作用は、まずVの要素のΔへの作用を示し、次にこの作用がクリフォード関係を尊重し、クリフォード代数の普遍性によって完全クリフォード代数から自己準同型環End(Δ)への準同型に拡張されることを示すことによって定義される。詳細は、 Vの次元が偶数か奇数かによって若干異なる。

dim( V )が偶数の場合、V = W ⊕ W ′となり、W ′は選択された等方性補元である。したがって、任意のv ∈ Vは、 w ∈ Wおよびw ′ ∈ W ′であるv = w + w ′として一意に分解される。スピノルに対する vの作用は次のように与えられる。$${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$ ここで、i ( w ′ ) は、非退化二次形式を使用してV をV ^∗と同一視し、 w ′との内積を表し、ε ( w ) は外積を表します。この操作は、クリフォード積と呼ばれることもあります。以下が検証できます。 $${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$ したがって、c はクリフォード関係を尊重し、クリフォード代数から End(Δ) への準同型へと拡張されます。

^{スピン表現 Δ は、さらにスピン群[ 20 ]}の既約複素表現のペア(半スピン表現、またはワイルスピノル) に分解され、$${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

dim( V )が奇数の場合、V = W ⊕ U ⊕ W ′となり、UはWに直交する単位ベクトルuによって張られる。クリフォード作用cはW ⊕ W ′上で以前と同様に定義され、 u（の倍数）のクリフォード作用は次のように定義される。 $${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$ これまでと同様に、cがクリフォード関係式を満たすことを確認し、準同型写像を誘導する。

ベクトル空間Vが、その複素化を2つの最大等方性部分空間に分解できるような追加構造を持つ場合、スピノルの定義（どちらの方法によるものでも）は自然なものとなる。

主な例は、実ベクトル空間Vがエルミートベクトル空間( V , g )である場合、すなわち、Vに内積gに関する直交変換である複素構造Jが備わっている場合である。${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$Jの± i固有空間に分割されます。これらの固有空間はgの複素化に対して等方的であり、複素ベクトル空間( V , J )とその複素共役( V , − J )と同一視できます。したがって、エルミートベクトル空間( V , g )の場合、ベクトル空間は${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$（その複素共役も含む）${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$) は、基礎となる実ユークリッドベクトル空間のスピノル空間です。

上記のクリフォード作用にエルミート形式を用いた縮約を加えると、この構成によりほぼエルミート多様体の各点にスピノル空間が与えられ、すべてのほぼ複素多様体（特にすべてのシンプレクティック多様体）がスピン^c構造を持つ理由となる。同様に、多様体上のすべての複素ベクトル束はスピン^c構造を持つ。^{[ 21 ]}

n = 2 k が偶数の場合、Δ と反比例表現のテンソル積は次のように分解されます。 $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$これは、（明示的な構成において）クリフォード代数の分解可能な要素αω ⊗ βω ′ への作用を考慮することで明確に確認できます。最も右側の定式化は、ホッジスター演算子の変換特性から導かれます。偶数クリフォード代数に制限すると、対になった和因子Γ _p ⊕ σ Γ _pは同型になりますが、完全なクリフォード代数では同型にならないことに注意してください。

クリフォード代数における共役を介して、Δとその反比例表現との間に自然な同一視が存在する。 $${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$ したがって、Δ ⊗ Δも上記のように分解されます。さらに、偶数クリフォード代数の下では、半スピン表現は分解されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

実クリフォード代数の複素表現の場合、複素クリフォード代数上の関連する実数構造は、（例えば、最小イデアルによる明示的な構成によって）スピノルの空間へと移行する。このようにして、表現 Δ の複素共役Δが得られ、次の同型が成り立つことがわかる。 $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

特に、直交スピン群の表現 Δ はユニタリ表現であることに注意する。一般に、クレブシュ・ゴルダン分解は $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

メトリックシグネチャ( p , q )において、共役ハーフスピン表現に対して以下の同型が成り立つ。

• qが偶数の場合、${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$そして${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• qが奇数の場合、${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$そして${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

これらの同型性を用いることで、半スピン表現Δ _± ⊗ Δ _±のテンソル積に対する同様の分解を導き出すことができる。

n = 2k + 1が奇数の場合、 $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$ 実際のケースでは、再び同型性が成り立つ。 $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$ したがって、クレブシュ・ゴルダン分解（ここでもホッジスターを用いて双対化する）は次のように与えられる。 $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

スピノル空間のクレブシュ・ゴルダン分解には、多くの広範な影響がある。その中でも最も基本的なものは、ディラックの電子理論に関するものであり、その基本的な要件には以下が含まれる。

• 2 つのスピノルϕ ψの積をスカラーとみなす方法。物理的には、スピノルは量子状態の確率振幅を決定するはずです。
• 積ψϕをベクトルとみなす方法。これはディラック理論の本質的な特徴であり、スピノル形式を物理空間の幾何学と結びつけるものである。
• スピノルがベクトルに作用していると考える方法であり、ψv ψのような表現で表される。物理的には、これはマクスウェルの電磁気理論における電流、あるいはより一般的には確率電流を表す。

混乱の原因の一つは、 「実数」、「複素数」、「四元数」という言葉が、密接に関連しているものの同一ではない2つの意味で使われていることである。これらの言葉は、選択されたクリフォード加群の基礎体を指す場合と、既約スピン表現の型（シューア型とも呼ばれる）を指す場合がある。スピン群に関しては、後者の概念の方が有用である。

させて${\displaystyle S}$既約複素スピン表現である${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$。 それから${\displaystyle S}$と言われている

• 実数型の場合${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$-同変反線形写像${\displaystyle J:S\to S}$と${\displaystyle J^{2}=+1}$;
• 四元数型（または擬実数）の写像が存在する場合、${\displaystyle J^{2}=-1}$;
• 同変反線形写像が存在しない場合は複素数型、同等に${\displaystyle S}$およびその複素共役${\displaystyle {\overline {S}}}$それらは同等ではない。

いつ${\displaystyle S}$は実数型であり、不動点集合は${\displaystyle J}$これは表現の実数形式を与える。これがマヨラナ条件の代数的起源である。${\displaystyle S}$は四元数型であり、表現は不変の四元数構造を持つが、既約複素モジュール上には不変の実構造を持たない。^{[ 23 ]}

mod-8 パターンの理由は、スピノルが偶数クリフォード代数の自然な加群であるためである。${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$。 もし${\displaystyle S}$還元不可能な実数である${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$-モジュール、そしてシューアの補題によりその可換代数 $${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}(S)}$$ は有限次元実数除法代数である。フロベニウスの定理により、 は とちょうど 1 つだけ同型である。 $${\displaystyle \mathbb {R} ,\qquad \mathbb {C} ,\qquad \mathbb {H} .}$$ これら３つの可能性は、まさに実数型、複素数型、および四元数型である。偶数クリフォード代数を１つ低い次元のクリフォード代数と標準的に同一視し、ボット周期性を用いると、型は${\displaystyle p-q{\pmod {8}}}$[ ^{24 ]​}

したがって、例えば、3 次元ユークリッド空間のスピノルは 4 元数であり、4 次元ユークリッド空間のワイル スピノルは 4 元数であり、ローレンツ符号のワイル スピノルは${\displaystyle (3,1)}$互いに複素共役であり、ワイルスピノルは分割シグネチャにある${\displaystyle (1,1)}$は実在し、8次元ユークリッドワイルスピノルも実在する。

文献中の表間で見かけ上の不一致が生じる一般的な原因は、一部の著者が実クリフォード代数全体に対して既約加群を分類していることである。${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}}$一方で、他のものはスピン表現を分類する${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$スピン群は偶数クリフォード代数に属するため、これら2つの表はmod-8パターンで1ステップずれている。