測地学

測地学または測地学^[1]は、時間的に変化する3Dで地球の形状、重力、空間の向きを測定し、表現する科学です。惑星や周惑星系などの他の天体を研究する場合は、惑星測地学と呼ばれます。^[2]測地学は地球科学であり、地球の形状と重力の研究はその科学の中心であると考えられています。^{[3] [4]また、}応用数学の分野でもあります。^{[5] [6]}

地殻運動、潮汐、極運動などの地球力学的現象は、地球全体および国家規模の制御ネットワークを設計し、宇宙測地学と地上測地学の技術を適用し、基準点と座標系を利用することで研究することができます。測地学の職種には測地学者や測地測量士などがあります。^[7]

測地学は科学以前の古代に始まったため、測地学という単語自体が古代ギリシャ語のγεωδαισίαまたはgeodaisia (文字通り「地球の分割」) に由来しています。

地球の形状に関する初期の考えでは、地球は平らで、天空は地球を覆う物理的なドームであると考えられていました。 ^[要出典]地球が球体であると主張する初期の 2 つの議論は、月食が観測者には円形の影のように見えることと、 南に向かう旅行者には北極星が空でどんどん低く見えるというものでした。

英語では、測地学は地理空間情報を測定および表現する科学を指し、地理情報学は測量を含む、地方および地域規模での測地学の実際的な応用を網羅しています。

ドイツ語では、測地学は、地球を地球規模で測定する高等測地学( höhere GeodäsieまたはErdmessung、文字通り「測地測量」)、または測量 (地球の一部または領域を測定する) を含む工学測地学( Ingenieurgeodäsie ) のいずれかを指します。

測地学は長い間、地球の幾何学的形状、空間における方向、重力場を測定し理解する科学でしたが、測地学の科学と操作は太陽系の他の天体にも適用されています。^[2]

地球の形状は、主に自転（赤道の隆起の原因）と、プレートの衝突や火山活動などの地質学的プロセスの競合（地球の重力場の抵抗）の結果です。これは、固体表面、液体表面（動的海面地形）、地球の大気に当てはまります。このため、地球の重力場の研究は物理測地学と呼ばれています。

ジオイドは、本質的には、地形的特徴から抽象化された地球の形状です。これは、海水の理想的な平衡面、海流や気圧の変化がない場合の平均海面面であり、大陸塊の下に続いています。基準楕円体とは異なり、ジオイドは不規則で複雑すぎるため、点の位置決めなどの幾何学的問題を解決するための計算面として使用することはできません。ジオイドと基準楕円体の間の幾何学的分離はジオイド起伏と呼ばれ、GRS 80 楕円体に基づいて ±110 m の間で地球全体で変化します。

基準楕円体は通常、ジオイドと同じ大きさ（体積）になるように選択され、その長半径（赤道半径）aと扁平率fによって表されます。量f = ⁠a − b/1つの⁠、ここでb は半短軸（極半径）であり、純粋に幾何学的なものです。地球の機械的楕円率（力学的扁平化、記号J _{2 ）は、衛星}軌道摂動の観測によって高精度に決定できます。幾何学的扁平化との関係は間接的であり、内部の密度分布、または最も簡単に言えば、質量の中心集中の度合いに依存します。

国際測地学地球物理学連合 ( IUGG )の第 17 回総会で採択された1980 年の測地基準系 ( GRS 80 )では、半径が 6,378,137 メートル、平坦度が 1:298.257 とされています。GRS 80 は基本的に、全地球測位システム(GPS) による測地測位の基礎となるため、測地学コミュニティ以外でも広く使用されています。地図作成や海図作成に使用される多数のシステムは、各国が GRS 80 基準楕円体を使用した地球中心の地球基準系に移行するにつれて、時代遅れになりつつあります。

ジオイドは「実現可能な」表面です。つまり、潮位計などの物理的な物体から適切な簡単な測定を行うことで、地球上で一貫して位置を特定できます。したがって、ジオイドは物理的な（「実際の」）表面と見なすことができます。ただし、基準楕円体は多くのインスタンス化が可能であり、簡単に実現できないため、抽象的な表面です。測地学上の 3 番目の主要な表面である地球の地形面も実現可能です。

3D 空間内の点の位置は、 X、Y、Z の3 つの直交座標または直交座標によって最も簡単に記述できます。衛星測位の登場以来、このような座標系は通常、 Z 軸が地球の (従来のまたは瞬間的な) 自転軸に揃った 地心座標系です。

衛星測地学の時代以前は、測地基準系に関連付けられた座標系は地心座標系となるよう試みられていましたが、鉛直線(垂直)の方向の地域的な偏差により、原点は地心と数百メートル異なっていました。ED 50 (ヨーロッパ測地基準 1950) やNAD 27 (北米測地基準 1927)などの地域測地基準系には、有効範囲内のジオイドに地域的に「最適」な楕円体が関連付けられており、これらの領域での垂直の偏向が最小限に抑えられています。

GPS衛星が地球の中心の周りを周回しているからこそ、この点は自然に衛星測地手段によって定義される座標系の原点となり、宇宙空間における衛星の位置自体がそのようなシステム内で計算されるのです。

測地学で使用される地心座標系は、自然に次の 2 つのクラスに分けられます。

1. 慣性基準システムでは、座標軸は恒星、または理想的なジャイロスコープの回転軸に対して相対的な方向を維持します。X軸は春分点を指します。
2. 共回転基準システム（ECEFまたは「地球中心、地球固定」とも呼ばれる）では、軸は地球の固体に「固定」されます。X軸は、グリニッジ天文台の子午線面内にあります。

これら 2 つのシステム間の座標変換は、地球の自転軸の変動 (一日の長さの変動) を考慮した (見かけの)恒星時によってほぼ正確に記述されます。より正確な記述では、測地学者が綿密に監視する現象としての 極運動も考慮されます。

測量や地図作成などの測地学アプリケーションでは、平面上の 2 種類の一般的な座標系が使用されています。

1. 平面極座標。平面上の点は、基準線または軸から方向α を持つ光線に沿った指定された点からの距離sによって定義されます。
2. 互いに垂直な 2 つの軸xとyからの距離によって点が定義される長方形。数学的な慣例に反して、測地学の実践では、x軸は北を指し、y軸は東を指します。

平面上の直交座標を直感的に現在の位置として使うことができます。その場合、x軸は地元の北を指します。より正式には、このような座標は地図投影の技術を使用して 3D 座標から取得できます。地球の曲面を変形せずに平面の地図にマッピングすることは不可能です。最もよく選択される妥協案は正角投影と呼ばれ、角度と長さの比が維持されるため、小さな円は小さな円として、小さな正方形は正方形としてマッピングされます。

このような投影法の例として、 UTM (ユニバーサル横メルカトル図法) があります。地図平面内には、直交座標xとy があります。この場合、参照に使用される北方向は、地図の北であり、現地の北ではありません。この 2 つの差は、子午線収束と呼ばれます。

平面上の極座標と直交座標を「変換」するのは簡単です。上記のように、方向と距離をそれぞれαとsとすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=s\cos \alpha \\y&=s\sin \alpha \end{aligned}}}$

逆変換は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\alpha &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}$

測地学では、点または地形の高さは、不規則で物理的に定義された表面として 「海面より上」にあります。使用されている高さシステムは次のとおりです。

1. 標高
2. ダイナミックハイト
3. ジオポテンシャルの高さ
4. 通常の高さ

それぞれのシステムには長所と短所がある。正距高と通常高はどちらも海抜メートルで表すが、ジオポテンシャル数は位置エネルギーの尺度（単位：m ² s ⁻²）でありメートル法ではない。基準面はジオイドであり、前述のように平均海面を近似する等ジオポテンシャル面である。通常高の場合、基準面はいわゆる準ジオイドであり、大陸塊の下での密度仮定によりジオイドから数メートル離れている。^[8]

これらの高さは、ジオイドの起伏の概念を通じて、基準楕円体上の点の高さを表す楕円体高(測地高とも呼ばれる)に関連付けることができます。衛星測位受信機は、ジオイドのモデルに基づく特別な変換ソフトウェアが装備されていない限り、通常は楕円体高を提供します。

測地点の座標と高さは、常に現実世界の観測に基づいて構築されたシステム内で取得されるため、測地学者は「測地基準点」(複数形はdatums ) という概念を導入しました。これは、点の位置を記述するために使用される座標系の物理的な (現実世界の) 実現です。この実現は、1 つ以上の基準点に対して (したがって従来の) 座標値を選択することで得られます。高さデータの場合、1 つの基準点 (通常は海岸の潮位計) を選択すれば十分です。したがって、NAVD 88 (North American Vertical Datum 1988)、NAP ( Normaal Amsterdams Peil )、Kronstadt 基準点、Trieste 基準点など、多数の垂直基準点があります。

数学と測地学の両方において、座標系はISO用語では「座標系」ですが、国際地球回転・基準系サービス(IERS) では「基準系」という用語を使用しています。座標が基準点の選択と測地基準の固定によって実現される場合、ISO では「座標参照系」と呼び、IERS では「基準フレーム」を使用します。基準変換の ISO 用語は「座標変換」です。^[9]

一般的な地理測位、または単に測位とは、無数の技術によって地球上の点の位置を決定することです。測地測位では、測地学的方法を使用して、陸上、海上、または宇宙の点の正確な測地座標のセットを決定します。これは、座標系内で実行することも (点測位または絶対測位)、別の点を基準にして実行することもできます (相対測位)。既知の位置にある地上または地球外の点 (「既知の点」) と、位置が不明な地上の点 (「未知の点」) をリンクする測定値から、空間内の点の位置を計算します。計算には、天文座標系と地上座標系間の変換が含まれる場合があります。点測位で使用される既知の点は、GNSS の 継続的に動作する基準局、または高次ネットワークの 三角測量点です。

伝統的に、測地学者は、国内の地点の位置を特定できるようにネットワークの階層を構築しました。この階層の最上位は三角測量ネットワークで、通常は巻尺、コーナー プリズム、赤と白のポールを使用して収集される現地の地図作成と測量の測定値が結び付けられるトラバース(ポリゴン) のネットワークに密集しています。

現在では、特殊な測定（地下や高精度の工学など）を除き、GPS が一般的に使用されています。高次のネットワークは、差分測定を使用して地上のポイント間のベクトルを決定する静的 GPSで測定されます。これらのベクトルは、従来のネットワーク方式で調整されます。IERSの支援を受けて恒久的に稼働している GPS ステーションのグローバル多面体は、国家の測定が関連付けられる「ゼロ次」（グローバル）基準として機能する単一のグローバルな地球中心基準フレームを定義するための基礎となります。

リアルタイム キネマティック ポジショニング(RTK GPS) は、測量マッピングで頻繁に使用されます。この測定技術では、未知のポイントを近くの地上の既知のポイントにすばやく結び付けることができます。

ポイント測位の目的の 1 つは、測量測量 (水平および垂直) 用の既知のポイントを提供することです。測地測量によって決定されたポイントは国内に数千個存在し、通常は国の測量機関によって記録されます。不動産や保険に携わる測量士は、これらのポイントを使用して地元の測量を結び付けます。

幾何測地学には、主に 2 つの問題があります。

最初の（直接または前方の）測地問題

ある点の座標と、2 番目の点までの方向 (方位角) と距離が与えられた場合、その 2 番目の点の座標を決定します。

2番目の（逆または逆）測地問題

2 点の座標が与えられた場合、それらの点を結ぶ線 (直線、曲線、測地線) の方位角と長さを決定します。

平面幾何学における両方の問題の解は単純な三角法に帰着し、地球表面の小さな領域に対して有効です。球面上では、例えば逆問題では、接続する大円の弧に沿った 2 つの端点間を移動するときに方位角が異なるため、解は大幅に複雑になります。

一般解は、対象の表面の測地線と呼ばれ、測地線の微分方程式は数値的に解くことができます。回転楕円体上では、測地線は楕円積分で表現でき、楕円積分は通常、級数展開で評価されます。たとえば、ヴィンセントの公式を参照してください。

測地学（および天文学）で定義されているように、角度や座標などの基本的な観測概念には次のものがあります（最も一般的には、現地の観測者の観点から）。

• 鉛直線または垂直: 局所的な重力の方向に沿った線。
• 天頂: ある点における上向きの重力ベクトルと天球との交点(の方向) 。
• 天底: 下向きの重力ベクトルが（隠れた）天球と交差する対蹠点（の方向）。
• 天の地平線: ある点における重力ベクトルに垂直な平面。
• 方位角: 地平線面内の方向角。通常は北 (測地学および天文学) または南 (フランス) から時計回りに数えられます。
• 仰角: 地平線上の物体の角度の高さ。あるいは、天頂距離は90 度から仰角を引いた値に等しい。
• ローカル地心座標: 方位角 (地平線内の方向角)、仰角 (または天頂角)、距離。
• 北天の極: 地球の（歳差運動と章動運動の）瞬間的な自転軸が北に延長され、天球と交差します。（南天の極についても同様です。）
• 天の赤道: 地球の赤道面と天球の（瞬間的な）交差。
• 子午線面: 天の赤道に垂直で天の極を含む平面。
• 地方子午線: 天頂と天の極の方向を含む平面。

高度差や高度基準システムを決定するために使用される基準面（レベル）は、平均海面として知られています。従来の水準器は、そのような（実用上最も有用な）海抜の高さを直接生成します。高度決定に GPS 機器をより経済的に使用するには、ジオイドの形状に関する正確な知識が必要です。これは、GPS はGRS80基準楕円体上の高さのみを提供するためです。ジオイドの決定が改善されるにつれて、高度決定における GPS の使用も増加すると予想されます。

セオドライトは、目標地点に対する水平角度と垂直角度（現地の垂直角度に対する）を測定するのに使用される計器です。さらに、タキメーターは電子的または電気光学的に目標までの距離を測定し、操作は高度に自動化されており、ロボット化もされています。同じ目的で広く使用されているのが、フリーステーションポジション法です。

一般的に、現地の詳細調査ではタキメーターが使用されますが、角度プリズムとスチールテープを使用した旧式の長方形の技術も、依然として安価な代替手段です。前述のように、高速で比較的正確なリアルタイムキネマティック (RTK) GPS 技術もあります。収集されたデータは、地理情報システム(GIS) データベースに入力するために、デジタル形式でタグ付けされ、記録されます。

測地 GNSS (最も一般的にはGPS ) 受信機は、地心座標フレームで 3D 座標を直接生成します。そのようなフレームの 1 つにWGS84があり、国際地球回転・基準系サービス ( IERS ) のフレームもあります。GNSS 受信機は、大規模な基地ネットワーク調査用の地上機器をほぼ完全に置き換えました。

地球の自転の不規則性やプレートテクトニクスの動きを監視し、地球全体の測地調査を行うために、クエーサーまでの距離を測定する超長基線電波干渉法（VLBI） 、月のプリズムまでの距離を測定する月レーザー測距法（LLR）、人工衛星のプリズムまでの距離を測定する衛星レーザー測距法（SLR）などの方法が採用されています。

重力は重力計を使用して測定されますが、重力計には 2 種類あります。1 つ目は絶対重力計で、自由落下の加速度(真空管内の反射プリズムなど) の測定に基づいています。これらは、垂直の地理空間制御を確立するため、または現場で使用されます。2 つ目は相対重力計で、ばねベースでより一般的です。これらは、広い領域での重力調査で使用され、これらの領域のジオイドの形状を確立します。最も正確な相対重力計は超伝導重力計と呼ばれ、地球表面の重力の 10 億分の 1 の 1000 分の 1 まで感知できます。世界中で 20 台ほどの超伝導重力計が、地球の潮汐、自転、内部、海洋、大気の荷重の研究や、ニュートンの万有引力定数の検証に使用されています。

将来的には、光時計によって計測される特殊相対論的な時間の遅れの概念を使用して、重力と高度を測定できるようになるかもしれません。

地理的な緯度と経度は、度、分、秒の単位で表されます。これらは角度であり、メートル法の尺度ではなく、回転の基準楕円体に対する局所法線の方向を表します。この方向は、鉛直線の方向、つまり局所重力とほぼ同じであり、これはジオイド面に対する法線でもあります。このため、天文学的な位置決定 (天文学的な手段で鉛直線の方向を測定する) は、地球の形状の楕円体モデルも使用すれば、かなりうまく機能します。

1 地理​​マイルは、赤道上の 1 分の弧として定義され、1,855.32571922 メートルに相当します。1海里は天文緯度の 1 分に相当します。楕円体の曲率半径は緯度によって異なり、海里と同様に極で最大、赤道で最小となります。

1メートルは、もともと赤道から北極まで、パリを通る子午線に沿って伸びる長さの 1,000 万分の 1 として定義されていました (現在の定義では 200 ppmずれているため、実際の実装では目標は達成されませんでした)。この状況は、1 キロメートルが (1/40,000) * 360 * 60 子午線分弧、つまり 0.54 海里にほぼ等しいことを意味します (2 つの単位は異なる基準で定義されているため、これは厳密にはそうではありません。したがって、国際海里は正確に 1,852 m であり、これは 1,000/0.54 m を 4 桁に丸めた値に相当します)。

測地学では、時間的に変化する表面、質量体、物理的場、および動的システムを研究するためにさまざまな手法が使用されています。地球の表面上の点は、さまざまなメカニズムによって位置が変化します。

• 大陸プレート運動、プレートテクトニクス^[10]
• 特に断層線に近い場所での地殻変動による断続的な動き
• 潮汐と潮汐荷重による周期的な影響^[11]
• 等圧調整による後氷期の陸地隆起
• 大気、氷圏、陸地水文学、海洋などの水文学的変化による質量変動
• 極運動の亜日周性^[12]
• 一日の長さの変動^[13]
• 地球の質量中心（地心）の変化^[14]
• 貯水池建設や石油・水資源採掘などの人為的活動

地球力学は、地球の地殻とその固体全体の変形と運動を研究する学問です。多くの場合、地球の不規則な自転の研究は上記の定義に含まれます。地球力学研究では、全球測地観測システム（GGOS ^{[16] ）に属する観測所によって実現される地上基準フレーム[15]}が必要です。

地球規模での地球力学的現象を研究するための手法には以下のものがあります。

• GPS、GLONASS、Galileo、BeiDouによる衛星測位
• 超長基線電波干渉法（VLBI）
• 衛星レーザー測距（SLR）^[17]と月レーザー測距（LLR）
• ドリス
• 地域的および局所的に正確な水準測量
• 正確なタキメーター
• 陸上、航空機、船舶、宇宙船搭載の重力測定装置による重力変化の監視
• 海面、海面上昇、氷の監視を研究するためのマイクロ波とレーザー観測に基づく衛星高度測定
• 衛星画像を使用した干渉合成開口レーダー（InSAR）。

• 地球システム科学 – 地球の球体とその自然統合システムの科学的研究
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• 地球物理学の歴史
• 地球力学 – 地球の力学の研究
• 惑星科学 – 惑星と惑星系の科学

• FR Helmert、高等測地学の数学的および物理的理論、パート 1、ACIC (セントルイス、1964 年)。これは、『 Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie 』第 1 巻 (Teubner、ライプツィヒ、1880 年)の英語翻訳です。
• FR Helmert、高等測地学の数学的および物理的理論、パート 2、ACIC (セントルイス、1964 年)。これは、『 Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie 』第 2 巻 (Teubner、ライプツィヒ、1884 年)の英語翻訳です。
• B. Hofmann-Wellenhof および H. Moritz、「Physical Geodesy」、Springer-Verlag Wien、2005 年。(このテキストは、WA Heiskanen および H. Moritz による 1967 年の古典の改訂版です。)
• W. Kaula、「衛星測地学の理論：衛星の測地学への応用」、Dover Publications、2000 年。（このテキストは 1966 年の古典の再版です）。
• Vaníček P. および EJ Krakiwsky、『測地学: 概念』、714 ページ、エルゼビア、1986 年。
• Torge, W (2001)、『測地学』（第3版）、de Gruyter 発行、ISBN 3-11-017072-8。 
• Thomas H. Meyer、Daniel R. Roman、および David B. Zilkoski。「高さは実際には何を意味するのか?」 (これはSurveying and Land Information Science、SaLISに掲載された 4 部構成の記事です。)
  • 「パート I: はじめに」SaLIS Vol. 64、No. 4、223 ～ 233 ページ、2004 年 12 月。
  • 「パート II: 物理学と重力」SaLIS Vol. 65、No. 1、5～15 ページ、2005 年 3 月。
  • 「パート III: 高度システム」SaLIS Vol. 66、No. 2、149 ～ 160 ページ、2006 年 6 月。
  • 「パート IV: GPS 高度測定」SaLIS Vol. 66、No. 3、165 ～ 183 ページ、2006 年 9 月。

ウィキブックスの測地学 ウィキメディア・コモンズの測地学に関連するメディア

• 測地認識ガイダンスノート、測地学小委員会、測地情報委員会、国際石油・ガス生産者協会
• 「測地学」 ブリタニカ百科事典第11巻（第11版）。1911年。607～615ページ。