ベクトル表記

数学と物理学において、ベクトル表記はベクトル^{[1] [2]}を表すために 一般的に使用される表記法であり、ベクトルはユークリッドベクトル、またはより一般的にはベクトル空間の要素である可能性があります。

ベクトルを表す場合、一般的な表記法は小文字の直立した太字体（ v ）です。国際標準化機構（ISO）は、太字のイタリック体（v）か、太字でないイタリック体（ ）に右矢印をアクセントとして付けることを推奨しています。^{[3]高度な数学では、ベクトルは}変数 と同様に単純なイタリック体で表現されることがよくあります。^[要出典]${\displaystyle {\vec {v}}}$

ベクトル表現には、直交座標、極座標、円筒座標、球座標が含まれます。

1835 年にジュスト・ベラヴィティスは等価有向線分という概念を導入し、その結果、そのような線分の同値類としてのベクトルの概念が生まれました。 ${\displaystyle AB\bumpeq CD}$

ベクトルという用語は、1843年頃にWRハミルトンが、ベクトルとスカラーを使用して4次元空間を広げるシステムである四元数を明らかにしたときに作られました。四元数q = a + b i + c j + d k に対して、ハミルトンは2つの射影を使用しました。qのスカラー部分にはS q = a、ベクトル部分にはV q = b i + c j + d k を使用しました。現代の用語である外積(×) と内積(.) を使用すると、2つのベクトルpとqの四元数積は、pq = – p . q + p × qと表記できます。 1878年、WKクリフォードは、教科書「Elements of Dynamic」で、学生が四元数演算を使いやすいように、2つの積を切り離しました。^[4]

1891年、オリバー・ヘヴィサイドはクラレンドンにベクトルとスカラーを区別するよう主張した。彼はテイトのギリシャ文字とマクスウェルのゴシック文字の使用を批判した。^[5]

1912年、JB Shawは「ベクトル表現の比較表記法」を四元数協会紀要に寄稿した。^[6]その後、Alexander Macfarlaneは同じ出版物でベクトルによる明確な表現のための15の基準を説明した。^[7]

ベクトルの考え方は、1841年にヘルマン・グラスマンによって提唱され、1862年にはドイツ語でも提唱された。しかし、ドイツの数学者は、英語圏の数学者ほど四元数に関心がなかった。フェリックス・クラインがドイツの数学百科事典を編纂していたとき、彼はアルノルド・ゾンマーフェルトにベクトル表記の標準化を依頼した。^[8] 1950年に、アカデミック・プレスがゾンマーフェルトの理論物理学講義第2巻第2版のG.クエルティ訳を出版したとき、ベクトル表記は脚注の対象となった。「元のドイツ語のテキストでは、ベクトルとその構成要素は同じゴシック体で印刷されています。この翻訳では、両者を区別するより一般的な印刷方法が採用されています。」^[9]

フェリックス・クラインは、 1925年にセイファース氏を通じてベクトルの表記法とその演算の相違についてコメントした。セイファース氏は、彼との「度重なる会議」を経て『高度な立場から見た初等数学 幾何学』の補足を準備した。^{[10] : vi}

線分、平面分、平面の大きさ、内積、外積という用語はグラスマンに由来し、スカラー、ベクトル、スカラー積、ベクトル積という用語はハミルトンに由来する。グラスマンの弟子たちは、他の点では正統派だが、この巨匠の適切な表現を部分的に他の表現に置き換えた。既存の用語は統合または変更され、個別の演算を示す記号は極めて恣意的に使用された。これらの理由により、数学的には非常に単純なこの分野に、専門家にとっても大きな不明瞭さが忍び込んできた。^{[10] : 53}

国際数学者会議の委員会を通じてさまざまな表記法を統一するための取り組みは、次のように説明されています。

ベクトル表記法の統一のためにローマに設立された委員会は、期待されていたほどの成果をあげなかった。ケンブリッジでの次の会議（1912年）では、委員会は自分たちの仕事が終わっていないことを説明し、次回の会議まで時間を延長するよう要請しなければならなかった。この会議は1916年にストックホルムで開催される予定だったが、戦争のため開催されなかった。単位と記号に関する委員会も同様の運命をたどった。1921年にベクトル量の表記法の提案を発表したが、これは直ちに多くの方面から最も激しい反対を引き起こした。^{[10] : 52}

デカルト座標系が与えられた場合、ベクトルはそのデカルト座標によって指定されます。

n次元の実座標空間のベクトルvは、座標のタプル(順序付きリスト)を使用して指定できます。

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n})}$

括弧の代わりに山括弧 が使われることもある。^[11]${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

のベクトルは、順序付けられた要素のセットを含む行または列の行列として指定することもできます。行行列として指定されたベクトルは行ベクトルと呼ばれ、列行列として指定されたベクトルは列ベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

また、n次元ベクトルは、行列を使用して次のいずれかの形式で指定できます。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$

• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_ {1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{bmatrix}}= {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}}$

ここで、v ₁、v ₂、…、v _{n  − 1}、v _nはvの成分です。高度なコンテキストでは、行ベクトルと列ベクトルは異なる意味を持ちます。詳細については、ベクトルの共変性と反変性を参照してください。

（または、以下のv _zがゼロであるようなより次元の少ない）のベクトルは、の標準基底のメンバーを持つベクトルの成分のスカラー倍数の合計として指定できます。基底は、単位ベクトル、、およびで表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}}=(1,0,0)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}=(0,1,0)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {k}}}=(0,0,1)}$

3 次元ベクトルは、単位ベクトル表記を使用して次の形式で指定できます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+v_{y}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+v_{z}{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

ここで、v _x、v _y、v _zはvのスカラー成分です。スカラー成分は正または負の値をとります。スカラー成分の絶対値はその大きさです。

平面上の点の2 つの極座標は、2 次元ベクトルとして考えることができます。このようなベクトルは、大きさ(長さ) と方向 (角度) で構成されます。大きさは、通常rとして表され、開始点である原点から表される点までの距離です。角度は、通常θ (ギリシャ文字のシータ) として表され、通常は反時計回りに測定される、固定方向 (通常は正のx軸) と原点から点への方向との間の角度です。角度は通常、ラジアンまたは の範囲内に収まるように縮小されます。 ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$${\displaystyle 0\leq \theta <360^{\circ}}$

ベクトルは、直交座標と同様に、順序付きペア表記法（2 つの要素のみを使用する順序付きセット表記法のサブセット）または行列表記法を使用して指定できます。これらの形式では、ベクトルの最初の要素はr （ v ₁ではなく）で、2 番目の要素はθ （ v ₂ではなく）です。極座標と直交座標を区別するために、角度の前に角度記号 を付けることがあります。 ${\displaystyle \angle}$

vの 2 次元極座標は、順序付きペア表記または行列表記のいずれかを使用して、次のいずれかとして表すことができます。

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \end{bmatrix}}}$

ここで、rは大きさ、θは角度、角度記号 ( ) はオプションです。 ${\displaystyle \angle}$

ベクトルは、 rとθ を明示的に定義する簡略化された自律方程式を使用して指定することもできます。これは扱いにくい場合がありますが、順序付きペアまたは行列表記を使用することで生じる 2 次元の長方形ベクトルとの混乱を避けるのに役立ちます。

大きさが 5 単位で方向がπ /9 ラジアン (20°)である 2 次元ベクトルは、次のいずれかの形式で指定できます。

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9}}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ}}$

円筒ベクトルは、極座標の概念を 3 次元に拡張したものです。円筒座標系の矢印に似ています。円筒ベクトルは、 xy平面での距離、角度、xy平面からの距離 (高さ) によって指定されます。最初の距離は、通常rまたはρ (ギリシャ文字のrho ) として表され、ベクトルのxy平面への投影の大きさです。角度は、通常θまたはφ (ギリシャ文字のphi ) として表され、 x軸と共線的な線から正の方向へのオフセットとして測定されます。角度は通常、 の範囲内に収まるように縮小されます。2 番目の距離は、通常hまたはzとして表され、 xy平面からベクトルの終点までの 距離です。${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$

円筒ベクトルは極座標を使用し、2 番目の距離成分が3 番目の成分として連結されて、順序付き 3 要素 (これも順序付きセット表記のサブセット) と行列を形成します。角度の前に角度記号 ( ) を付けることもできます。距離、角度、距離の組み合わせにより、この表記の円筒ベクトルは、同様の表記の球面ベクトルと区別されます。 ${\displaystyle \angle}$

3次元の円筒形ベクトルv は、順序付き3つ組表記または行列表記のいずれかを使用して、次のいずれかとして表すことができます。

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta ,h)}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta ,h\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta &h\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \\h\end{bmatrix}}}$

ここで、rはvのxy平面への投影の大きさ、θは正のx軸とv の間の角度、h はxy平面からvの終点までの高さです。ここでも、角度記号 ( ) はオプションです。 ${\displaystyle \angle}$

円筒ベクトルは、r (またはρ )、θ (またはφ )、およびh (またはz ) を定義する簡略化された自律方程式を使用して直接指定することもできます。変数に使用する名前を選択するときは一貫性を保つ必要があります。ρとθなど を混在させないでください。

xy平面への投影の大きさが5 単位、正のx軸からの角度がπ /9 ラジアン (20°)、xy平面からの高さが 3 単位である 3 次元ベクトルは、次のいずれかの形式で指定できます。

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9},\ h=3}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ },\ h=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi ={\pi \over 9},\ z=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi =20^{\circ },\ z=3}$

球面ベクトルは、極ベクトルの概念を 3 次元に拡張する別の方法です。これは、球面座標系の矢印に似ています。球面ベクトルは、大きさ、方位角、天頂角によって指定されます。大きさは通常、ρで表されます。方位角は通常θで表され、正のx軸からの (反時計回りの) オフセットです。天頂角は通常φで表され、正のz軸からのオフセットです。両方の角度は通常、0 (含む) から 2 π (含まない)までの範囲内に収まるように縮小されます。

球面ベクトルは極ベクトルと同様に指定され、天頂角が 3 番目の要素として連結されて、順序付けられた 3 つ組と行列が形成されます。方位角と天頂角の両方に角度記号 ( ) を接頭辞として付けることができます。この接頭辞は、球面ベクトルと円筒形ベクトルを区別する距離 - 角度 - 角度の組み合わせを生成するために一貫して使用する必要があります。 ${\displaystyle \angle}$

3次元球面ベクトルv は、順序付き3つ組表記または行列表記のいずれかを使用して、次のいずれかとして表すことができます。

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(\rho ,\angle \theta ,\angle \phi )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle \rho ,\angle \theta ,\angle \phi \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho &\angle \theta &\angle \phi \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho \\\angle \theta \\\angle \phi \end{bmatrix}}}$

ここで、ρは大きさ、θは方位角、φ は天頂角です。

極ベクトルや円筒ベクトルと同様に、球面ベクトルも簡略化された自律方程式（この場合はρ、θ、φ ）を使用して指定できます。

大きさが 5 単位、方位角がπ /9 ラジアン (20°)、天頂角がπ /4 ラジアン (45°)の 3 次元ベクトルは、次のように指定できます。

• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta ={\pi \over 9},\ \phi ={\pi \over 4}}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta =20^{\circ },\ \phi =45^{\circ }}$

任意のベクトル空間では、ベクトルの加算とスカラー乗算の演算が定義されています。ノルムベクトル空間では、ノルム(または大きさの決定)と呼ばれる演算も定義されています。内積空間では、内積 と呼ばれる演算も定義されています。 では、内積はドット積と呼ばれます。およびでは、外積と呼ばれる追加の演算も定義されています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$

ベクトルの加算は、2 つのベクトル間の演算子として使用されるプラス記号で表されます。2 つのベクトルuとvの合計は次のように表されます。$${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$$

スカラー乗算は代数乗算と同じ方法で表されます。ベクトルの横にスカラーがある場合 (どちらかまたは両方が括弧で囲まれている場合があります)、スカラー乗算を意味します。2 つの一般的な演算子、ドットと回転クロスも使用できます (回転クロスはほとんど使用されませんが)。ただし、2 つのベクトルに対して演算されるドット積やクロス積と混同される可能性があります。スカラーkとベクトルvの積は、次のいずれかの方法で表すことができます。

• ${\displaystyle k\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle k\cdot \mathbf {v} }$

減算と除算の代数的性質をスカラー乗算とともに使用することで、2 つのベクトルを「減算」したり、ベクトルをスカラーで「除算」したりすることも可能です。

ベクトル減算は、ベクトルの 2 番目のオペランドの -1 のスカラー倍数をベクトルの 1 番目のオペランドに追加することによって実行されます。これは、マイナス記号を演算子として使用して表すことができます。2 つのベクトルuとvの差は、次のいずれかの方法で表すことができます。

• ${\displaystyle \mathbf {u} +-\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \mathbf {u} -\mathbf {v} }$

スカラー除算は、ベクトル オペランドをスカラー オペランドの逆数で乗算することによって実行されます。これは、分数バーまたは除算記号を演算子として使用して表すことができます。ベクトルvとスカラーcの商は、次のいずれかの形式で表すことができます。

• ${\displaystyle {1 \over c}\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle {\mathbf {v} \over c}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {v} \div c}}$

ベクトルのノルムは、ベクトルの両側の二重のバーで表されます。ベクトルvのノルムは次のように表すことができます。$${\displaystyle \|\mathbf {v} \|}$$

ノルムは のように単一のバーで表されることもありますが、これは絶対値（ノルムの一種） と混同される可能性があります。${\displaystyle |\mathbf {v} |}$

2 つのベクトルの内積(スカラー積とも呼ばれますが、スカラー乗算と混同しないでください)は、山括弧で囲まれた順序付きペアとして表されます。2 つのベクトルuとvの内積は次のように表されます。 $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$$

では、内積はドット積とも呼ばれます。標準的な内積表記に加えて、ドット積表記 (ドットを演算子として使用) も使用できます (こちらの方が一般的です)。2 つのベクトルuとvのドット積は、次のように表すことができます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$$

古い文献の中には、並べて書かれた 2 つのベクトル間のドット積が暗示されているものもあります。この表記は、 2 つのベクトル間の2 項積と混同される可能性があります。

2 つのベクトル ( ) の外積は、回転したクロスを演算子として使用して表されます。2 つのベクトルuとvの外積は次のように表されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$$

いくつかの慣習（例えばフランスや高等数学のいくつかの分野）では、これはくさびでも表され、^[12]くさび積との混同を避けることができる。なぜなら、この2つは3次元では機能的に同等だからである。 $${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$$

古い文献の中には、 uとvの外積を表すために次のような表記法が使われているものがあります。 $${\displaystyle [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$$

ベクトル表記は、ナブラ演算子を介して微積分で使用される。 スカラー関数fの場合、勾配は次のように表される。$${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$$${\displaystyle \nabla f\,,}$

ベクトル場Fの場合、発散は次のように表される。${\displaystyle \nabla \cdot F,}$

そしてベクトル場Fでは回転は次のように表される。${\displaystyle \nabla \times F.}$

• ユークリッドベクトル
• ISO 31-11 § ベクトルとテンソル
• フェーザー