行列の乗算

数学、特に線型代数において、行列の乗算は2つの行列から1つの行列を生成する二項演算である。行列の乗算では、最初の行列の列数は2番目の行列の行数と等しくなければならない。結果として得られる行列は行列積と呼ばれ、最初の行列の行数と2番目の行列の列数を持つ。行列Aと行列Bの積はABと表記される。^[1]

行列の乗算は、1812年にフランスの数学者ジャック・フィリップ・マリー・ビネによって初めて記述され、^[2]行列で表される線型写像の合成を表現しました。したがって、行列の乗算は線型代数の基本的なツールであり、数学の多くの分野だけでなく、応用数学、統計学、物理学、経済学、工学でも多数の用途があります。^{[3] [4]} 行列の積の計算は、線型代数のすべての計算アプリケーションにおける中心的な操作です。

この記事では、次の表記規則を使用します。行列は太字の大文字で表されます (例: A ) 。ベクトルは太字の小文字で表されます (例: a )。ベクトルと行列のエントリは斜体で表されます (フィールドの数値です) (例: Aおよびa )。インデックス表記は、定義を表現する最も明確な方法であることが多く、文献では標準として使用されています。行列Aの行i、列jのエントリは、 ( A ) _ij、A _ij 、またはa _ijで示されます。対照的に、単一の下付き文字 (例: A ₁、A ₂ ) は、行列のコレクションから行列 (行列エントリではない) を選択するために使用されます。

Aがm × n行列でBがn × p行列の場合、 行列積C = AB（乗算記号やドットなしで表記）は、i = 1, ..., mおよびj = 1, ..., p に対して、 m × p行列[ ^{5] [6] [7] [8]}と定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},}$$

つまり、積の項⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle c_{ij}}$Aのi行目とBのj列目の項を項ごとに乗算し、これらのn個の積を合計することによって得られます。言い換えると、⁠ ⁠ は、 Aのi行目とBのj列目のドット積です。 ${\displaystyle c_{ij}}$

したがって、ABは次のようにも書ける。 $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$

したがって、積ABは、Aの列数がBの行数と等しい場合にのみ定義されます^[1] 。この場合、nです。

ほとんどの場合、エントリは数値ですが、加算と乗算が定義され、結合法則があり、加算が可換法則で、乗算が加算に対して分配法則であるような、任意の種類の数学オブジェクトにすることができます。特に、エントリは行列自体である場合があります (ブロック行列を参照)。

長さのベクトルは、要素が で与えられる行列に対応する列ベクトルとして見ることができます。 が行列である場合、 で表される行列とベクトルの積は、列ベクトルとして見ると行列に等しいベクトルです。インデックス表記では、これは次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} _{i1}=\mathbf {x} _{i}.}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {Ax} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle \mathbf {AX} .}$

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}.}$

これを見る一つの方法は、「プレーン」ベクトルから列ベクトルへの変更とその逆の変更が想定され、暗黙的に残されることです。

同様に、長さのベクトルは、行列に対応する行ベクトルとして見ることができます。行ベクトルを意味していることを明確にするために、この文脈では、行ベクトルを列ベクトルの転置として表すのが通例です。したがって、次のような表記が見られます。恒等式が成り立ちます。インデックス表記では、が行列の場合、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} .}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle n\times p}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle y_{k}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{jk}.}$

長さが等しい2 つのベクトルのドット積は 、これらのベクトルを行ベクトルと列ベクトルとして乗算して得られる行列の単一の要素に等しいため、次のようになります(または、同じ行列になります)。 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ,}$${\displaystyle 1\times 1}$

右の図は、 2 つの行列AとBの積を図式的に示しており、積行列の各交点がAの行とBの列にどのように対応しているかを示しています。 $${\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\\cdot &\cdot \\a_{31}&a_{32}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &b_{12}&b_{13}\\\cdot &b_{22}&b_{23}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &c_{12}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &c_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}$$

右の図で円でマークされた交差点の値は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{12}&=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\c_{33}&=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}.\end{aligned}}}$$

歴史的に、行列の乗算は線形代数の計算を容易にし、明確にするために導入されてきました。行列の乗算と線形代数のこの強い関係は、すべての数学だけでなく、物理学、化学、工学、コンピューターサイエンスにおいても基本的なものとなっています。

ベクトル空間が有限の基底を持つ場合、そのベクトルはそれぞれ、座標ベクトルと呼ばれるスカラーの有限列によって一意に表現されます。座標ベクトルの要素は、基底上のベクトルの座標です。これらの座標ベクトルは、元のベクトル空間と同型の別のベクトル空間を形成します。座標ベクトルは、通常、列行列(列ベクトルとも呼ばれます) として構成されます。これは、1 つの列のみを持つ行列です。したがって、列ベクトルは、座標ベクトルと、元のベクトル空間のベクトルの両方を表します。

n次元のベクトル空間からm次元のベクトル空間への線型写像 Aは、列ベクトルを写像する。

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

列ベクトルに

${\displaystyle \mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.}$

線形写像Aは行列によって定義される。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

列ベクトルを行列積に マッピングする${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ax} .}$

Bが、前述のm次元のベクトル空間からp次元のベクトル空間への別の線型写像である場合、それは⁠ ⁠${\displaystyle p\times m}$行列で表されます。簡単な計算により、合成写像⁠ ⁠の行列は行列積であることがわかります。関数合成を定義する一般式⁠ ⁠ ) は、ここでは行列積の結合性の特定のケースとして例示されています (以下の § 結合性を参照)。 ${\displaystyle \mathbf {B} .}$ ${\displaystyle B\circ A}$${\displaystyle \mathbf {BA} .}$${\displaystyle (B\circ A)(\mathbf {x} )=B(A(\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle (\mathbf {BA} )\mathbf {x} =\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=\mathbf {BAx} .}$

ユークリッド平面の直交座標系を使用すると、原点を中心とした角度による回転は線形マップになります。より正確には、 ソース ポイントとそのイメージが列ベクトルとして記述されます。 ${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x',y')}$

による回転と による回転の合成は、2 番目の等式に 適切な三角関数の恒等式が採用されている行列積に対応します 。つまり、この合成は、予想どおり、角度 による回転に対応します。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha &-\cos \beta \sin \alpha -\sin \beta \cos \alpha \\\sin \beta \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha &-\sin \beta \sin \alpha +\cos \beta \cos \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \alpha +\beta }$

例として、架空の工場では、 4種類の基本商品を使用して3種類の中間財を生産し、これらを使用して3種類の最終製品を製造するとします。行列 ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\0&1&1\\1&1&2\\\end{pmatrix}}}$   そして   ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\4&2&2\\\end{pmatrix}}}$

は、与えられた量の中間財に必要な基礎商品の量、および与えられた量の最終製品に必要な中間財の量をそれぞれ提供します。たとえば、1単位の中間財、1単位の基礎商品、2単位の、の単位なし、および1単位のが必要であり、これは の最初の列に対応します。 ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{3}}$${\displaystyle b_{4}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

行列の乗算を使用して計算します

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}5&4&3\\8&9&5\\\ 6&5&3\\11&9&6\\\end{pmatrix}};}$

この行列は、与えられた量の最終財に必要な基本商品の量を直接提供します。たとえば、 の左下の項目はとして計算され、1 単位の を生産するためにの単位が必要であることを反映しています。実際、 には 1単位、 2 個の それぞれに 1 単位、単位を構成する4 単位のそれぞれに1 単位が必要です(図を参照)。 ${\displaystyle \mathbf {AB} }$${\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 4=11}$${\displaystyle 11}$${\displaystyle b_{4}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle b_{4}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle f_{1}}$

例えば、最終製品を100単位、を80単位、を60単位生産する場合、基本財の必要量は次のように計算できる。 ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f_{3}}$

${\displaystyle (\mathbf {AB} ){\begin{pmatrix}100\\80\\60\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1000\\1820\\1180\\2180\end{pmatrix}},}$

つまり、単位、単位、単位が必要である。同様に、製品行列は他の最終財量データの基本財の必要量を計算するために使用できる。^[9 ]${\displaystyle 1000}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle 1820}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle 1180}$${\displaystyle b_{3}}$${\displaystyle 2180}$${\displaystyle b_{4}}$${\displaystyle \mathbf {AB} }$

線形方程式系の一般的な形は

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}}$

上記と同じ表記法を用いると、このようなシステムは単一行列方程式と同等となる。

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} .}$

2つの列ベクトルのドット積は行列積の唯一の要素である。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}$

ここで、 は転置によって得られる行ベクトルです。(通常どおり、1×1 行列はその一意の要素によって識別されます。) ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

より一般的には、有限次元のベクトル空間上の任意の双線型形式は行列積として表現できる。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay} ,}$

そして任意の2等分線は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay} ,}$

ここで、 はの共役転置(転置の共役、または共役の転置と同値) を表します。${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

行列の乗算は、通常の乗算​​といくつかの性質を共有しています。しかし、行列の乗算は、最初の因子の列数と2番目の因子の行数が異なる場合は定義されず、因子の順序を変更した後も積が定義されている場合でも非可換です。[10 ^{] [11] [12]}

演算が可換であるとは、積が定義される2つの要素AとBが与えられ、積も定義され、${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} .}$

AとB がそれぞれサイズ⁠ ⁠${\displaystyle m\times n}$と⁠ ⁠${\displaystyle p\times q}$の行列である場合、⁠ ⁠であれば が定義され、⁠ ⁠であれば が定義されます。したがって、積の 1 つが定義されている場合、もう 1 つは定義される必要はありません。⁠ ⁠の場合、2 つの積は定義されますが、サイズが異なります。したがって、それらは等しくありません。⁠ ⁠の場合、つまりAとB が同じサイズの正方行列である場合に限り、両方の積が定義され、同じサイズになります。この場合でも、一般に ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$${\displaystyle n=p}$${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$${\displaystyle m=q}$${\displaystyle m=q\neq n=p}$${\displaystyle m=q=n=p}$

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} .}$

例えば

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$

しかし

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

この例は、Aが体Fの要素を${\displaystyle n\times n}$持つ行列である場合、Fの要素を持つすべての行列Bに対して、であり、 I が単位行列である場合に限り、であることを示すために拡張できます。 体ではなく、要素がリングに属すると想定される場合、cがリングの 中心に属するという条件を追加する必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} }$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =c\,\mathbf {I} }$${\displaystyle c\in F}$${\displaystyle n\times n}$

交換法則が成立する特別なケースは、DとEが2つの（正方）対角行列（同じサイズ）である場合です。このときDE = EDです。^[10]また、行列が体ではなく一般環上にある場合、これが成立するためには、それぞれの対応する要素も互いに交換可能でなければなりません。

行列の積は、行列の加算に関して分配的である。つまり、A、B、C、D がそれぞれm × n、n × p、 n × p、p × qの大きさの行列である場合、次の式が成り立つ（左分配性）。

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} ,}$

そして（正しい分配性）

${\displaystyle (\mathbf {B} +\mathbf {C} )\mathbf {D} =\mathbf {BD} +\mathbf {CD} .}$^[10]

これは、係数の分配性から生じる。

${\displaystyle \sum _{k}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}c_{kj}}$

${\displaystyle \sum _{k}(b_{ik}+c_{ik})d_{kj}=\sum _{k}b_{ik}d_{kj}+\sum _{k}c_{ik}d_{kj}.}$

Aが行列でc がスカラーの場合、行列と はAのすべての要素にcを左または右に掛けて得られます。スカラーに交換法則がある場合は、${\displaystyle c\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} c}$${\displaystyle c\mathbf {A} =\mathbf {A} c.}$

積が定義されている場合（つまり、Aの列の数がBの行の数に等しい場合）、 ${\displaystyle \mathbf {AB} }$

${\displaystyle c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }$そして${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c).}$

スカラーが交換法則を持つ場合、4 つの行列はすべて等しくなります。より一般的には、c が行列の要素を含むリングの中心に属する場合、4 つはすべて等しくなります。この場合、すべての行列Xに対してc X = X c となるためです。

これらの特性は、スカラー積の 双線型性から生じます。

${\displaystyle c\left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)=\sum _{k}(ca_{ik})b_{kj}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)c=\sum _{k}a_{ik}(b_{kj}c).}$

スカラーが交換法則を持つ場合、行列の積の転置は、因子の転置の逆順の積になります。つまり、

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathsf {T}}=\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$

ここで、^{T は}転置、つまり行と列の交換を表します。

この恒等式は非可換なエントリには当てはまりません。行列積の定義を展開すると、 AとBのエントリ間の順序が逆になるからです。

AとBが複素数エントリを持つ場合、

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {B} ^{*}}$

ここで、^{* は}行列の要素ごとの複素共役を表します。

これは、和の共役は加数の共役の和であり、積の共役は因数の共役の積であるという事実を行列積の定義に適用した結果です。

転置は要素のインデックスに作用しますが、共役は要素自体に独立して作用します。その結果、AとBが複素要素を持つ場合、

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\dagger }=\mathbf {B} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{\dagger },}$

ここで、^{† は}共役転置（転置の共役、または共役の転置と同義） を表します。

3つの行列A、B、Cが与えられたとき、積( AB ) CとA ( BC )は、 Aの列数がBの行数に等しく、 Bの列数がCの行数に等しい場合にのみ定義されます(特に、積の1つが定義されている場合、もう1つも定義されます)。この場合、結合法則が成り立ちます。

${\displaystyle (\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} ).}$

結合演算の場合と同様に、括弧を省略して上記の積を次のように書くことができます。${\displaystyle \mathbf {ABC} .}$

これは、次元が一致する限り、任意の数の行列の積に自然に拡張されます。つまり、A ₁、A ₂、...、A _nが、 i = 1、...、n – 1に対してA _iの列数がA _{i + 1}の行数に等しい行列である場合、 積

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{n}}$

は定義されており、行列の順序が固定されている場合、乗算の順序に依存しません。

これらの特性は、単純だが複雑な加算操作によって証明できる。この結果は、行列が線型写像を表すという事実からも導かれる。したがって、行列の結合法則は、単に関数合成の結合法則の特殊なケースである。

一連の行列積の結果は演算の順序に依存しませんが(行列の順序が変更されない限り)、計算の複雑さはこの順序に大きく依存する可能性があります。

たとえば、A、B、Cがそれぞれ10×30、30×5、5×60のサイズの行列である場合、( AB ) C の計算には10×30×5 + 10×5×60 = 4,500 回の乗算が必要ですが、A ( BC )の計算には30×5×60 + 10×30×60 = 27,000 回の乗算が必要です。

積の最適な順序を選択するためのアルゴリズムが設計されている。行列の連鎖乗算を参照のこと。行列の数nが増加すると、最適な順序の選択の複雑さは^{[13] [14]}になることが示されている。${\displaystyle O(n\log n).}$

任意の可逆行列は 相似変換を定義する（ と同じサイズの正方行列に対して） ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$

${\displaystyle S_{\mathbf {P} }(\mathbf {A} )=\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} .}$

相似変換は積を積に写像する。つまり

${\displaystyle S_{\mathbf {P} }(\mathbf {AB} )=S_{\mathbf {P} }(\mathbf {A} )S_{\mathbf {P} }(\mathbf {B} ).}$

実際、

${\displaystyle \mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {AB} )\mathbf {P} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} (\mathbf {P} \mathbf {P} ^{-1})\mathbf {B} \mathbf {P} =(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} )(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} \mathbf {P} ).}$

環R （実際には体であることが多い）内の要素を持つn × n正方行列の集合を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$

では、積は行列のすべてのペアに対して定義されます。これにより、単位行列Iを単位元(対角要素が 1 で、他のすべての要素が 0 である行列)として持つ環が作成されます。この環は結合R代数でもあります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$

n > 1の場合、多くの行列には逆行列がありません。たとえば、行（または列）のすべての要素が0である行列には逆行列がありません。逆行列が存在する場合、行列Aの逆行列はA ⁻¹と表され、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} .}$

逆行列を持つ行列は可逆行列と呼ばれます。そうでない場合は、特異行列と呼ばれます。

行列の積が逆行列を持つのは、各因子が逆行列を持つ場合に限られます。この場合、

${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.}$

Rが可換なとき、特にそれが体であるとき、積の行列式は行列式の積である。行列式はスカラーであり、スカラーは可換なので、

${\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {BA} )=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {B} ).}$

他の行列不変量は積に対してはうまく動作しません。しかし、Rが可換であれば、ABとBA は同じトレース、同じ特性多項式、同じ重複度を持つ同じ固有値を持ちます。ただし、AB ≠ BAの場合、固有ベクトルは一般に異なります。

正方行列を任意の非負整数乗にするには、通常の数の場合と同じように、繰り返し自身を乗じる。つまり、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{0}=\mathbf {I} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}=\mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}=\underbrace {\mathbf {A} \mathbf {A} \cdots \mathbf {A} } _{k{\text{ times}}}.}$

行列のk乗を計算するには、単純なアルゴリズム (繰り返し乗算) を使用すると、単一の行列乗算のk – 1倍の時間がかかります。これは非常に時間がかかる可能性があるため、通常は を 2乗して累乗する方が好まれます。この方法では、必要な行列乗算が2 log ₂ k回未満で済むため、はるかに効率的です。

指数関数の簡単な例としては、対角行列があります。対角行列の積は、対応する対角要素を単純に掛け合わせたものなので、対角行列のk乗は、各要素をk乗することで得られます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}^{k}={\begin{bmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}^{k}\end{bmatrix}}.}$

行列積の定義では、要素が半環に属していることが必要であり、半環の要素の乗算が可換である必要はない。多くのアプリケーションでは、行列要素は体に属しますが、熱帯半環もグラフ最短経路問題でよく選択されます。^[15]体上の行列の場合でも、積は一般に可換ではありませんが、結合法則があり、行列の加算に対して分配法則があります。単位行列（主対角線の外側の要素が 0 で、主対角線の要素が 1 である正方行列）は、行列積の単位元です。したがって、環上のn × n行列は環を形成し、n = 1で基底環が可換である場合を除いて、非可換です。

正方行列には逆行列が存在する場合があり、これを逆行列と呼びます。要素が可換環 Rに属する一般的なケースでは、行列の行列式がRに逆行列を持つ場合に限り、行列は逆行列を持ちます。正方行列の積の行列式は、因子の行列式の積です。逆行列を持つn × n行列は行列乗法の下で群を形成し、その部分群は行列群と呼ばれます。多くの古典的な群 (すべての有限群を含む)は行列群と同型です。これが群表現の理論の出発点です。

行列は、カテゴリ、つまり行列のカテゴリの射です。オブジェクトは行列のサイズを測定する自然数であり、射の合成は行列の乗算です。射のソースは対応する行列の列数であり、ターゲットは行数です。

定義から得られる行列乗算アルゴリズムでは、最悪の場合、 2 つの正方n × n行列の積を計算するために、スカラーの⁠ ⁠${\displaystyle n^{3}}$乗算と⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)n^{2}}$加算が必要になります。したがって、スカラー演算に一定時間がかかる 計算モデルでは、その計算複雑度は⁠ ⁠ ⁠です。${\displaystyle O(n^{3})}$

驚くべきことに、この計算量は最適ではなく、1969 年にVolker Strassenによって示されました。彼は、現在Strassen のアルゴリズムと呼ばれる、計算量が^[16]のアルゴリズムを提供しました 。 Strassen のアルゴリズムは並列化することでさらにパフォーマンスを向上させることができます。^[17] 2024 年 1 月現在、最良の査読済み行列乗算アルゴリズムは、Virginia Vassilevska Williams、Yinzhan Xu、Zixuan Xu、および Renfei Zhou によるもので、計算量O ( n ^2.371552 )です。^{[18] [19]行列乗算が}n ^{2 + o(1)}時間 で実行できるかどうかは不明です。 ^[20]これは最適です。行列を別の行列と乗算するには、行列の ⁠ ⁠要素を読み取る必要があるためです。${\displaystyle O(n^{\log _{2}7})\approx O(n^{2.8074}).}$^[update]${\displaystyle n^{2}}$

行列の乗算は多くのアルゴリズムの基礎を形成し、行列に対する多くの演算は行列の乗算と同じ複雑さ（乗法定数まで）を持つため、行列の乗算の計算複雑さは数値線形代数と理論計算機科学のいたるところに現れます。

その他の種類の行列積には次のものがあります。

• ブロック行列演算
• クラコフ積は、 A ∧ B = B ^T Aと定義される。
• フロベニウスの内積、ベクトルとして考えられた行列のドット積、または同等にアダマール積の要素の合計
• 同じサイズの2つの行列のアダマール積は、同じサイズの行列になり、これは各要素の積である。
• クロネッカー積またはテンソル積は、前述の任意のサイズへの一般化である。
• カトリ・ラオ積とフェイススプリッティング積
• 外積は、 2つの列行列の二項積またはテンソル積とも呼ばれ、${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}$
• スカラー乗算

• 行列計算、行列の乗算と計算の相互作用