関数型（数学）

マッピング $${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$$ は関数であり、${\displaystyle x_{0}}$関数の引数です${\displaystyle f.}$ 同時に、関数をある点における関数の値にマッピングする $${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$$ は機能的です。ここでは、${\displaystyle x_{0}}$はパラメータです。

ただし、${\displaystyle f}$はベクトル空間から基礎となるスカラー場への線形関数であり、上記の線形写像は互いに双対であり、関数解析では両方とも線形汎関数と呼ばれます。

積分など $${\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)}$$ これらは関数の特別なクラスを形成します。これらは関数をマッピングします。${\displaystyle f}$実数に変換するには、${\displaystyle H}$実数値です。例としては、

• 正の関数のグラフの下の領域${\displaystyle f}$$${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x}$$
• $\displaystyle L^{p}}$集合上の関数のノルム${\displaystyle E}$$${\displaystyle f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}}$$
• 2次元ユークリッド空間における曲線の弧長$${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x}$$

内積空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$固定ベクトル${\displaystyle {\vec {x}}\in X,}$定義されるマップ${\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$は線形汎関数である${\displaystyle X.}$ベクトルの集合${\displaystyle {\vec {y}}}$そのため${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$はゼロであり、ベクトル部分空間である${\displaystyle X,}$関数の零空間または核、あるいは直交補空間と呼ばれる。${\displaystyle {\vec {x}},}$表記${\displaystyle \{{\vec {x}}\}^{\perp }.}$

例えば、固定関数との内積をとる${\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ヒルベルト空間上の（線形）汎関数を定義する${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$二乗可積分関数の${\displaystyle [-\pi ,\pi ]:}$$${\displaystyle f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g}$$

入力曲線の小さなセグメントごとに関数の値を計算し、それらを合計して全体の値を求めることができる場合、その関数は局所的であると呼ばれます。そうでない場合は、非局所的であると呼ばれます。例： $${\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}$$ ローカルですが $${\displaystyle F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}}$$ これは非局所的です。これは、質量中心の計算のように、方程式の分子と分母に積分が別々に現れる場合によく発生します。