ユークリッドベクトル

数学、物理学、工学において、ユークリッドベクトルまたは単にベクトル（幾何学的ベクトル^[1]または空間ベクトル^{[2]と呼ばれることもある）は、}大きさ（または長さ）と方向を持つ幾何学的オブジェクトである。ユークリッドベクトルは、加算およびスケーリングしてベクトル空間を形成することができる。ベクトル量とは、測定単位および場合によってはサポートを含むベクトル値の物理量であり、有向線分として定式化される。ベクトルは、始点Aと終点Bを結ぶ矢印としてグラフィカルに表現されることが多く、^[3]で表され、 ${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

ベクトルは、点Aを点Bに「運ぶ」ために必要なものであり、ラテン語のベクトルは「運搬者」を意味します。^[4]これは、太陽の周りを惑星が公転する様子を調査していた 18 世紀の天文学者によって初めて使用されました。^{[5]ベクトルの大きさは 2 点間の距離であり、方向は}AからBへの変位の方向を示します。加算、減算、乗算、否定などの実数に対する多くの代数演算には、ベクトルに近い類似物があり、^{[6]これらの演算は、}交換法則、結合法則、分配法則といったよく知られた代数法則に従います。これらの演算と関連する法則により、ユークリッドベクトルは、ベクトル空間の要素として単純に定義される、より一般化されたベクトルの概念の例として適しています。

ベクトルは物理学において重要な役割を果たします。移動する物体の速度と加速度、それに作用する力はすべてベクトルで記述できます。 ^[7]他の多くの物理量もベクトルとして考えることができます。ベクトルのほとんどは距離を表しませんが（位置や変位などを除く）、その大きさと方向は矢印の長さと方向で表すことができます。物理ベクトルの数学的表現は、それを記述するために使用される座標系によって異なります。物理量を記述し、座標系の変更に応じて同様に変換される他のベクトルのようなオブジェクトには、疑似ベクトルとテンソルがあります。^[8]

今日知られているベクトルの概念は、200年以上にわたる段階的な発展の結果である。その発展には約12人が大きく貢献した。^[9] 1835年、ジュスト・ベラヴィティスは、等多角性の概念を確立したときに基本的なアイデアを抽象化した。彼はユークリッド平面で作業し、同じ長さと向きを持つ任意の平行線分のペアを等多角性とした。本質的に、彼は平面上の点のペア（バイポイント）の同値関係を実現し、こうして平面に最初のベクトル空間を構築した。 ^{[9] ：52–4}ベクトルという用語は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって、実数s（スカラーとも呼ばれる）と3次元ベクトルの和q = s + vである四元数の一部として導入された。ベラヴィティスと同様に、ハミルトンはベクトルを等多角的な有向線分のクラスの代表と見なした。複素数は実数直線を補完するために虚数単位を使用するので、ハミルトンはベクトルvを四元数の虚数部とみなした。 ^[10]

代数的虚数部分は、直線または半径ベクトルによって幾何学的に構築され、一般に、各決定された四元数に対して、空間内で決定された長さと方向を持ち、ベクトル部分、または単に四元数のベクトルと呼ばれることがあります。

19世紀半ばには、オーギュスタン・コーシー、ヘルマン・グラスマン、オーギュスト・メビウス、サン＝ヴナン伯爵、マシュー・オブライエンなど、他の数学者もベクトルのような体系を開発した。グラスマンの1840年の著作「潮の満ち引き​​の理論」は、今日の体系に似た最初の空間解析体系であり、外積、スカラー積、ベクトル微分に対応するアイデアを持っていた。グラスマンの研究は1870年代までほとんど無視されていた。^[9] ピーター・ガスリー・テイトはハミルトンの後に四元数の標準を継承した。彼の1867年の「四元数初等論」では、ナブラまたはデル演算子∇が広範囲に扱われた。1878年、ウィリアム・キングドン・クリフォードによって「力学の要素」が出版された。クリフォードは、2 つのベクトルのドット積とクロス積を完全な四元数積から分離することで、四元数の研究を簡素化しました。このアプローチにより、エンジニアだけでなく、3 次元で作業し 4 次元に懐疑的な人々もベクトル計算を利用できるようになりました。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルの『電気と磁気の論文』を通じて四元数を知ったジョサイア・ウィラード・ギブスは、そのベクトル部分を分離して独立に扱った。1881年に出版されたギブスの『ベクトル解析原論』の前半は、本質的に現代のベクトル解析体系を提示している。^{[9] [6]} 1901年、エドウィン・ビッドウェル・ウィルソンは、ギブスの講義を翻案した『ベクトル解析』を出版したが、その中ではベクトル計算の発展における四元数への言及が一切排除された。

物理学と工学において、ベクトルは典型的には大きさと相対方向で特徴付けられる幾何学的実体とみなされる。正式にはユークリッド空間における有向線分、または矢印として定義される。^[11]純粋数学において、ベクトルはより一般的にはベクトル空間の任意の要素として定義される。この文脈では、ベクトルは大きさと方向で特徴付けられる場合もそうでない場合もある抽象的な実体である。この一般化された定義は、上記の幾何学的実体がユークリッド空間と呼ばれる特殊なベクトル空間の要素であるため、特殊な種類の抽象ベクトルであることを意味している。この特定の記事は、ユークリッド空間における矢印として厳密に定義されたベクトルについてである。これらの特殊なベクトルを純粋数学で定義されたベクトルと区別する必要がある場合、それらは幾何学的ベクトル、空間ベクトル、またはユークリッドベクトルと呼ばれることがある。

ユークリッドベクトルは、明確な始点と終点を持つことがあります。このような条件を強調して、その結果を境界ベクトルと呼ぶことがあります。^[12]ベクトルの大きさと方向だけが重要で、特定の始点や終点が重要でない場合は、そのベクトルを自由ベクトルと呼びます。境界ベクトルと自由ベクトルの区別は、物体に加えられた力が接触点を持つ力学において特に重要です（合力と偶力を参照）。

空間内の2 つの矢印とは同じ大きさと方向を持つ場合、同じ自由ベクトルを表します。つまり、四辺形ABB′A′が平行四辺形である場合、それらは同方向です。ユークリッド空間に原点の選択が備わっている場合、自由ベクトルは、初期点が原点である同じ大きさと方向の境界ベクトルと同等です。 ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{AB}}}$${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{A'B'}}}$

ベクトルという用語は、より高次元、およびより幅広い用途を持つより形式的なアプローチにも一般化されています。

古典的なユークリッド幾何学（すなわち、合成幾何学）において、ベクトルは（19世紀に）等位性に基づく同値類、すなわち点の順序付き対の同値類として導入された。2つの対（A、B）と（C、D）が等位であるとは、点A、B、D、Cがこの順序で平行四辺形を形成する場合である。このような同値類はベクトル、より正確にはユークリッドベクトルと呼ばれる。 ^[13] （A、B）の同値類はしばしば次のように表記される。${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

したがって、ユークリッドベクトルは、同じ大きさ（たとえば、線分 （A、B）の長さ）と同じ方向（たとえば、 AからBへの方向）を持つ有向線の同値類です。^{[14]物理学では、ユークリッドベクトルは、方向を持たない}スカラーとは対照的に、大きさと方向の両方を持ちながら特定の場所に位置していない物理量を表すために使用されます。^[7]たとえば、速度、力、加速度はベクトルで表されます。

現代幾何学では、ユークリッド空間は線型代数から定義されることが多い。より正確には、ユークリッド空間Eは、実数上の有限次元の内積空間と、その加法群の群作用が自由かつ推移的である集合として定義される（この構成の詳細についてはアフィン空間を参照）。 の元は並進移動と呼ばれる。ユークリッド空間の 2 つの定義は同値であり、同値性による同値類は並進移動と同一視できることが証明されている。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

ユークリッド ベクトルは、ユークリッド空間を参照せずに考慮されることがあります。この場合、ユークリッド ベクトルは、実数上の有限次元のノルム ベクトル空間の要素、または通常はドット積を備えた実座標空間 の要素です。このようなベクトル空間での加算は、ベクトル空間自体に自由かつ推移的に作用するため、これは理にかなっています。つまり、はユークリッド空間であり、 はそれ自身をベクトル空間として、ドット積を内積として持っています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ユークリッド空間は、しばしばn次元の標準ユークリッド空間として表現されます。これは、 n次元のあらゆるユークリッド空間がユークリッド空間 と同型であるという事実に基づいています。より正確には、そのようなユークリッド空間が与えられていれば、任意の点O を原点として選ぶことができます。グラム・シュミット過程によって、関連するベクトル空間 の正規直交基底(2 つの基底ベクトルの内積が異なる場合は 0 になり、等しい場合は 1 になるような基底) も見つけることができます。これは、空間の任意の点Pの直交座標を、ベクトルのこの基底上の座標 として定義します。これらの選択により、任意の点をその直交座標のn組に、すべてのベクトルをその座標ベクトルにマッピングすることによって、与えられたユークリッド空間 への同型性が定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

物理学者の力の概念には方向と大きさがあるため、ベクトルとして考えることができます。例として、15ニュートンの右向きの力F を考えてみましょう。正の軸も右向きであれば、F はベクトル 15 N で表され、正の軸が左向きであれば、Fのベクトルは -15 N です。どちらの場合でも、ベクトルの大きさは 15 N です。同様に、 4メートルの変位 Δ sのベクトル表現は、方向に応じて 4 m または -4 m になり、大きさはいずれの場合も 4 m になります。

ベクトルは物理科学の基本です。ベクトルは、大きさと方向を持ち、ベクトルの加法の規則に従うあらゆる量を表すために使用できます。一例として、大きさが速さである速度が挙げられます。たとえば、上向きの速度 5 メートル/秒は、ベクトル (0, 5) で表すことができます (2 次元で、正のy軸を「上」とします)。ベクトルによって表される別の量は力です。これは、大きさと方向を持ち、ベクトルの加法の規則に従うためです。^{[7]ベクトルは、線形変位、}変位、線形加速度、角加速度、線形運動量、角運動量など、他の多くの物理量も表します。電場や磁場などの他の物理ベクトルは、物理空間の各点におけるベクトルのシステム、つまりベクトル場として表されます。大きさと方向を持ちながらベクトルの加法の規則に従わない量の例として、角変位や電流が挙げられます。したがって、これらはベクトルではありません。

デカルト座標系では、境界ベクトルは始点と終点の座標を特定することで表すことができます。たとえば、空間内の点A = (1, 0, 0)と点B = (0, 1, 0)は、 x軸上の点x = 1からy軸上の点y = 1を指す境界ベクトルを決定します。 ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$

デカルト座標では、自由ベクトルは、対応する境界ベクトルの観点から考えることができます。この意味では、その開始点は原点O = (0, 0, 0)の座標を持ちます。その後、その境界ベクトルの終了点の座標によって決定されます。したがって、(1, 0, 0) で表される自由ベクトルは、正のx軸の方向を指す単位長さのベクトルです。

この自由ベクトルの座標表現により、その代数的特徴を便利な数値形式で表現することができる。例えば、2つの（自由）ベクトル（1, 2, 3）と（−2, 0, 4）の和は、（自由）ベクトルである。 $${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}$$

幾何学的および物理的な設定では、ベクトルに長さまたは大きさと方向を自然な方法で関連付けることができる場合があります。また、方向の概念は、2 つのベクトル間の角度の概念と厳密に関連付けられています。2つのベクトルのドット積(2 つのベクトルのスカラー値の積) が定義されている場合は、長さを定義することもできます。ドット積は、角度 (任意の 2 つの非ゼロベクトル間のドット積の関数) と長さ (ベクトル自身のドット積の平方根) の両方の便利な代数的特徴付けを提供します。3 次元では、外積を定義することもさらに可能であり、これは、2 つのベクトル (平行四辺形の辺として使用) によって定義される平行四辺形の空間における面積と方向の代数的特徴付けを提供します。任意の次元（特に高次元）では、外積を定義することが可能です。外積は、（とりわけ） n個のベクトルによって定義されるn次元平行四辺形の空間における面積と方向の代数的特徴付けを提供します。

擬似ユークリッド空間では、ベクトルの長さの二乗は正、負、またはゼロになります。重要な例としてはミンコフスキー空間があります（これは特殊相対性理論を理解する上で重要です）。

しかし、ベクトルの長さを定義することは必ずしも可能でも望ましいわけでもない。このより一般的なタイプの空間ベクトルは、ベクトル空間（自由ベクトルの場合）とアフィン空間（それぞれが順序付けられた「点」のペアで表される束縛ベクトルの場合）の対象である。物理的な例の1つは熱力学であり、そこでは多くの関心のある量は長さや角度の概念のない空間内のベクトルと見なすことができる。^[15]

物理学や数学では、ベクトルは多くの場合、一連の基底ベクトルのスカラー係数として機能する成分の組、または数値のリストと同一視されます。基底が、たとえば回転や伸縮によって変換されると、その基底に関するベクトルの成分も逆の方向に変換されます。ベクトル自体は変化していませんが、基底は変化しているため、ベクトルの成分はそれを補正するために変化する必要があります。ベクトルは、ベクトルの成分の変換が基底の変換とどのように関連しているかによって、共変または反変と呼ばれます。一般に、反変ベクトルは、距離の単位 (変位など)、または距離と他の単位 (速度や加速度など) の積を持つ「通常のベクトル」です。一方、共変ベクトルは、勾配のように、距離÷1 の単位を持ちます。単位をメートルからミリメートルに 変更すると（基底の変更の特殊なケース）、スケール係数は 1/1000 となり、1 m の変位は 1000 mm となり、数値の反変変更となります。対照的に、1 K /m の勾配は 0.001 K/mm となり、値の共変変更となります（詳細については、ベクトルの共変性と反変性を参照してください）。テンソルは、このように動作する別の種類の量であり、ベクトルはテンソルの一種です。

純粋数学では、ベクトルは何らかの体上のベクトル空間の任意の要素であり、座標ベクトルとして表現されることが多い。この記事で説明するベクトルは、周囲の空間に対して反変であるため、この一般的な定義の非常に特殊なケースである。反変は、ベクトルが「大きさと方向」を持つという考えの背後にある物理的な直感を捉えている。

ベクトルは通常、 、、のように小文字の太字で表記されるか、のように小文字の斜体の太字で表記されます。 (大文字は通常、行列 を表すために使用されます。) その他の表記法としては、特に手書きの場合、や などがあります。あるいは、 のように、記号の下にチルダ(~) や波線を引く場合もあります。これは、太字を示す表記法です。ベクトルが点Aから点Bへの方向付けられた距離または変位を表す場合 (図を参照)、またはABと表記することもできます。ドイツ語の文献では、などの小さなフラクトゥール文字でベクトルを表すことが特に一般的でした。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a}}}$${\displaystyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

ベクトルは、通常、図に示すように、グラフやその他の図では矢印（方向のある線分）として示されます。ここで、点Aは原点、尾、基点、または開始点と呼ばれ、点Bは先端、先端、終点、終点、または最終点と呼ばれます。矢印の長さはベクトルの大きさに比例し、矢印が指す方向はベクトルの方向を示します。

2 次元の図では、図の平面に垂直なベクトルが求められることがあります。これらのベクトルは、通常、小さな円で示されます。中心に点がある円 (Unicode U+2299 ⊙) は、図の前面から観察者の方向を指すベクトルを示します。十字が刻まれた円 (Unicode U+2297 ⊗) は、図の内側と後ろを指すベクトルを示します。これらは、矢印の先端を正面から見る場合と、矢印の飛行を後ろから見る場合とで考えることができます。

ベクトルで計算する場合、グラフィカルな表現は扱いにくい場合があります。n次元ユークリッド空間のベクトルは、直交座標系の座標ベクトルとして表すことができます。ベクトルの終点は、n個の実数の順序付きリスト ( n組) で識別できます。これらの数値は、特定の直交座標系に対するベクトルの終点の座標であり、通常、座標系の軸上のベクトルのスカラー成分(またはスカラー投影)と呼ばれます。

2次元の例（図参照）では、原点O = (0, 0)から点A = (2, 3)へのベクトルは次のように簡単に表される。 $${\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}$$

ベクトルの末尾が原点と一致するという考え方は暗黙的で、簡単に理解できます。したがって、より明示的な表記は通常は必要ないと考えられています (実際、めったに使用されません)。 ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$

3次元ユークリッド空間（または R 3 ^）では、ベクトルはスカラー成分の3つ組で表されます。 $${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).}$$$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).}$$

これはn 次元ユークリッド空間 (またはR ⁿ )に一般化できます。 $${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}).}$$

これらの数値は、特に行列を扱う場合には、次のように列ベクトルまたは行ベクトルに配置されることが多いです。 $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.}$$

n次元のベクトルを表現する別の方法は、標準基底ベクトルを導入することです。たとえば、3 次元では次の 3 つの基底ベクトルがあります。 これらは、直交座標系のx軸、y軸、z軸をそれぞれ 指す単位長さのベクトルとして直感的に解釈できます。これらを使用すると、 R ³の任意のベクトルa は次の形式で表現できます。 $${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}$$$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ }$$

または $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},}$$

ここで、 a ₁、a ₂、a _{3 は、基底}ベクトル上の、または同等に、対応する直交軸x、y、z上の aのベクトル成分（またはベクトル射影）と呼ばれます（図を参照）。一方、a ₁、a ₂、a ₃は、それぞれのスカラー成分（またはスカラー射影）です。

物理学の入門書では、標準的な基底ベクトルは（または、ここでハット記号は通常単位ベクトル を表します）と表記されることが多いです。この場合、スカラー成分とベクトル成分はそれぞれa _x、a _y、a _z、およびa _x、a _y、a _zと表記されます（太字の違いに注意してください）。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {}} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.}$$

表記法e _{i は、}高等数学、物理学、工学で一般的に使用される インデックス表記法および合計規則と互換性があります。

上で説明したように、ベクトルは多くの場合、特定のベクトルを形成するために加算されるベクトル成分のセットによって記述されます。通常、これらの成分は、相互に垂直な参照軸 (基底ベクトル) のセットへのベクトルの投影です。ベクトルはそのセットに関して分解または解決されると言われています。

ベクトルの成分への分解または分解^[16]は、ベクトルが投影される軸の選択に依存するため、一意ではありません。

さらに、ベクトルを表現するための基底として、などの直交単位ベクトルの使用は必須ではありません。ベクトルは、円筒座標系( ) や球面座標系( ) の単位ベクトルを含む任意の基底で表現することもできます。後者の 2 つの選択肢は、それぞれ円筒対称性または球対称性を持つ問題を解くのに便利です。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

基底の選択はベクトルの特性や変換時の挙動には影響しません。

ベクトルは、時間や空間の関数として方向を変える「固定されていない」基底ベクトルに関しても分解できます。たとえば、3次元空間のベクトルは、それぞれ法線と接線の2つの軸に関して分解できます（図を参照）。さらに、ベクトルの放射状成分と接線成分は、オブジェクトの回転半径に関連しています。前者は半径に平行で、後者は半径に直交します。^[17]

このような場合、各コンポーネントは、固定された座標系または基底セット（たとえば、グローバル座標系または慣性参照フレーム） に対して順番に分解される可能性があります。

以下のセクションでは、基底ベクトルを持つ 直交座標系を使用し 、すべてのベクトルが共通の基点として原点を持っていると仮定します。ベクトルaは次のように記述されます。 $${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$$$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

2つのベクトルが同じ大きさと方向を持っている場合、それらは等しいと言われます。同様に、座標が等しい場合もそれらは等しいです。したがって、2つのベクトル と が等しい場合、 $${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$$${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$$

2つのベクトルは大きさは同じだが方向が逆である場合に反対である。^[18]つまり、2つのベクトルは

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

そして

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

反対の場合

$${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$$

2つのベクトルが同じ方向を持っているが、必ずしも同じ大きさではない場合、それらのベクトルは等方向（または共方向）です。 ^[18] 2つのベクトルが同じまたは反対方向を持っているが、必ずしも同じ大きさではない場合、 それらのベクトルは平行です。 ^[a]

2 つのベクトルaとbの和は、次のように定義されます。 結果のベクトルは、aとbの結果ベクトルと呼ばれることもあります。 $${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

この加算は、矢印bの尾を矢印aの先端に置き、矢印aの尾から矢印 b の先端に向かって矢印を描くことで図的に表すことができます。描かれた新しい矢印は、以下に示すようにベクトルa + bを表します。^[7]

この加算法は、aとb が平行四辺形の辺を形成し、a + b が対角線の 1 つであるため、平行四辺形法と呼ばれることもあります。 aとb が同じ基点を持つ境界ベクトルである場合、この点はa + bの基点にもなります。 a + b = b + aかつ ( a + b ) + c = a + ( b + c )であることが幾何学的に確認できます。

aとbの差は

$${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

2 つのベクトルの減算は、次のように幾何学的に表すことができます。aからbを引くには、 aとbの末尾を同じ点に置き、bの先端からaの先端に向かって矢印を描きます。この新しい矢印はベクトル(-b) + aを表します。(-b)はbの反対です (図を参照)。また、(-b) + a = a − bです。

ベクトルは任意の実数rで乗算、または再スケール化されることもあります。従来のベクトル代数の文脈では、これらの実数はベクトルと区別するためにスカラー(スケールから) と呼ばれることがよくあります。ベクトルにスカラーを乗算する操作はスカラー乗算と呼ばれます。結果のベクトルは

$${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

直感的には、スカラーrを掛けるとベクトルがr倍に伸びます。幾何学的には、これは (少なくともrが整数の場合)、1 つのベクトルの終点が次のベクトルの始点となる直線上にベクトルの r個のコピーを配置することとして視覚化できます。

rが負の場合、ベクトルの方向が変わります。つまり、180° の角度で反転します。以下に 2 つの例 ( r = −1 とr = 2) を示します。

スカラー乗算は、次の意味でベクトル加算に対して分配的です:すべてのベクトルaとbおよびすべてのスカラーrに対して、 r ( a + b ) = r a + r bです。また、 a − b = a + (−1) bであることも示せます。

ベクトルaの長さ、大きさ、ノルムは、‖ a ‖ または、あまり一般的ではないが | a |で表されますが、絶対値(スカラー「ノルム」) と混同しないでください。

ベクトルaの長さはユークリッドノルムで計算できる。

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$$

これは、基底ベクトルe ₁、e ₂、e ₃が直交単位ベクトルである ため、ピタゴラスの定理の結果です。

これは、以下で説明するベクトルとそれ自身との ドット積の平方根に等しくなります。

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

単位ベクトルは長さが1のベクトルです。通常、単位ベクトルは方向を示すために使用されます。任意の長さのベクトルをその長さで割ると単位ベクトルが作成されます。^{[14]これはベクトルの}正規化として知られています。単位ベクトルは、 âのようにハットで示されることがよくあります。

ベクトルa = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ )を正規化するには、ベクトルをその長さの逆数 ‖ a ‖ でスケーリングします。つまり、

$${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$$

ゼロベクトルは長さが 0 のベクトルです。座標で表すと、ベクトルは(0, 0, 0)となり、通常は、0 、または単に 0と表記されます。他のベクトルとは異なり、方向は任意または不定であり、正規化できません (つまり、ゼロ ベクトルの倍数となる単位ベクトルはありません)。ゼロ ベクトルと任意のベクトルaの和はaです(つまり、0 + a = a )。 ${\displaystyle {\vec {0}}}$

2 つのベクトルaとbのドット積(内積と呼ばれることもあります。または、その結果がスカラーなのでスカラー積 と呼ばれることもあります)はa  ∙  b で表され、次のように定義されます。

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

ここで、θ はaとb の間の角度の尺度です(コサインの説明については三角関数を参照してください)。幾何学的には、 aとb が共通の開始点から描かれ、次にaの長さが、aと同じ方向を指すbの要素の長さで乗算されることを意味します。

ドット積は、各ベクトルの成分の積の合計として定義することもできます。

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$$

外積（ベクトル積または外積とも呼ばれる）は、3次元または7次元でのみ意味を持ちます。外積は、2つのベクトルの外積の結果がベクトルであるという点で内積と主に異なります。外積はa  ×  bで表され、 aとbの両方に垂直なベクトルであり、次のように定義されます 。

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$$

ここで、θ はaとb の間の角度の尺度であり、nはaとb の両方に垂直な単位ベクトルで、右手系を完成します。右利き制約が必要なのは、 aとb の両方に垂直な2 つの単位ベクトル、つまりnと (- n )が存在するためです。

外積a  ×  b は、 a、b、a  ×  bも右手系になるように定義されます（ただし、 aとbは必ずしも直交するわけではありません）。これが右手の法則です。

a  ×  bの長さは、 aとb を辺とする平行四辺形の面積として解釈できます。

外積は次のように表される。 $${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

空間方向を任意に選択すると（つまり、左手座標系と右手座標系の両方を考慮）、2 つのベクトルの外積はベクトルではなく 擬似ベクトルになります（以下を参照）。

スカラー三重積（ボックス積または混合三重積とも呼ばれる）は実際には新しい演算子ではなく、他の 2 つの乗算演算子を 3 つのベクトルに適用する方法です。スカラー三重積は ( a b c ) と表記されることもあり、次のように定義されます。

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$$

これには 3 つの主な用途があります。まず、ボックス積の絶対値は、3 つのベクトルによって定義される辺を持つ平行六面体の体積です。2 番目に、スカラー三重積がゼロになるのは、3 つのベクトルが線形従属である場合のみです。これは、3 つのベクトルが体積を作らないためには、それらすべてが同じ平面上にある必要があると考えることで簡単に証明できます。3 番目に、ボックス積が正になるのは、3 つのベクトルa、b、cが右手系である場合のみです。

成分（右手正規直交基底に関して）において、３つのベクトルを行（または列、ただし同じ順序）と考えると、スカラー三重積は単に３つのベクトルを行とする３行３列の行列式の行列式となる。 $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

スカラー三重積は、3 つの要素すべてにおいて線形であり、次の意味で反対称です。 $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$$

これまでの例はすべて、同じ基底、つまりe基底 { e ₁ , e ₂ , e _{3 } で表さ}れるベクトルを扱ってきました。しかし、ベクトルは、必ずしも互いに整列している必要はなく、同じベクトルのままである任意の数の異なる基底で表現できます。e基底では、ベクトルaは定義により次のように表現されます。

$${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}$$

e基底のスカラー成分は定義により、

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$$

必ずしもeと一直線上にない別の正規直交基底n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } では、ベクトルa は次のように表される。

$${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$$

そしてn基底のスカラー成分は定義により、

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

p、q、r、およびu、v、wの値は、単位ベクトルと関連しており、結果として得られるベクトルの合計は、どちらの場合もまったく同じ物理ベクトルaになります。異なる基底で知られているベクトルに遭遇することはよくあります (たとえば、1 つの基底は地球に固定され、2 つ目の基底は移動する車両に固定されています)。このような場合、加算や減算などの基本的なベクトル演算を実行できるように、基底間で変換する方法を開発する必要があります。u、v、w をp、q、rで表現する 1 つの方法は、2 つの基底を関連付ける情報を含む方向余弦行列とともに列行列を使用することです。このような表現は、上記の式を次のように置き換えることによって作成できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

ドット乗算を分配すると

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

各ドット積を一意のスカラーに置き換えると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}$$

これらの方程式は単一の行列方程式として表現できる。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.}$$

この行列方程式は、 n基底 ( u、v、w )のaのスカラー成分とe基底 ( p、q、r ) のスカラー成分を関連付けます。各行列要素c _jkは、 n _jとe _kを関連付ける方向余弦です。^[19]方向余弦という用語は、2 つの単位ベクトル間の角度の余弦を指し、それらのドット積に等しくなります。^[19]したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

e ₁、e ₂、e ₃をまとめてe基底、n ₁、n ₂、n _3をn基底と呼び、 c _{jk の}すべてを含む行列は、「eからnへの変換行列」、または「eからnへの回転行列」（ある基底から別の基底へのベクトルの「回転」として想像できるため）、または「eからnへの方向余弦行列」^[19]（方向余弦を含むため）と呼ばれます。回転行列の特性は、その逆行列がその転置行列に等しいというものです。つまり、「eからnへの回転行列」は「 nからeへの回転行列」の転置行列です。

方向余弦行列Cの性質は以下の通りである。^[20]

• 行列式は1、|C| = 1です。
• 逆は転置に等しい。
• 行と列は直交単位ベクトルなので、それらの内積はゼロになります。

この方法の利点は、通常、オイラー角または四元数を使用して2 つのベクトル基底を関連付けることで、方向余弦行列を独立して取得できるため、上記のドット積をすべて計算しなくても、基底変換を直接実行できることです。

複数の行列乗算を連続して適用することで、連続する基底を関連付ける方向余弦の集合がわかっている限り、任意のベクトルを任意の基底で表現することができます。^[19]

交差積と三重積を除いて、上記の公式は2次元以上の高次元に一般化されます。たとえば、加算は2次元では次のように一般化され 、4次元では次のように 一般化されます。$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$$

外積は他の次元に容易には一般化できないが、密接に関連する外積はそうであり、その結果はバイベクトルとなる。2次元ではこれは単なる擬似スカラーである。 $${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$$

7 次元外積は、その結果が 2 つの引数に直交するベクトルであるという点で外積に似ていますが、そのような可能な積の 1 つを選択する自然な方法はありません。

ベクトルは物理学やその他の科学において多くの用途があります。

抽象ベクトル空間では、矢印の長さは無次元 スケールに依存します。たとえば、矢印が力を表す場合、「スケール」は物理的な次元の長さ/力です。したがって、通常、同じ次元の量の間ではスケールに一貫性がありますが、そうでない場合はスケールの比率が異なる場合があります。たとえば、「1 ニュートン」と「5 m」の両方が 2 cm の矢印で表されている場合、スケールはそれぞれ 1 m:50 N と 1:250 です。異なる次元のベクトルの長さが等しいことは、図が表すシステムに固有の比例定数がない限り、特に意味はありません。また、単位ベクトル (長さ/力などではなく、次元の長さ) の長さは、座標系に依存しない意味を持ちません。

物理学や数学の分野では、ベクトルは時間とともに変化することがよくあり、つまり時間パラメータtに依存します。たとえば、r が粒子の位置ベクトルを表す場合、r ( t ) は粒子の軌道のパラメータ表現を提供します。ベクトル値関数は、ベクトルの成分を微分または積分することで微分および積分することができ、微積分学でよく知られている規則の多くは、ベクトル値関数の微分および積分にも適用されます。

3次元空間における点x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) の位置は、原点を基点とする 位置ベクトルとして表すことができます。 位置ベクトルの長さの次元は です。 $${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

2 つの点x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ )、y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) が与えられた場合、それらの変位はxに対するy の位置を指定するベクトルです 。このベクトルの長さは、 xからyまでの直線距離を示します。変位は長さの次元を持ちます。 $${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

点または粒子の速度vは ベクトルであり、その長さによって速度が決まります。速度が一定である場合、時刻tにおける位置は、時刻t = 0における位置である x 0_になります 。速度は位置の時間微分です。その次元は長さ/時間です。 $${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$$

点の加速度 aは速度の時間微分であるベクトルです。その次元は長さ/時間²です。

力は質量×長さ/時間²（N ms ^-2）の次元を持つベクトルであり、ニュートンの第二法則はスカラー乗法である。 $${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$$

仕事は力と変位の内積である $${\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$$

特に物理学におけるユークリッド ベクトルの別の特徴付けでは、座標変換の下で特定の方法で動作する量のリストとしてユークリッド ベクトルが説明されます。反変ベクトルは、基底の変化の下で「基底と反対に変換される」成分を持っている必要があります。基底が変換されてもベクトル自体は変化しません。代わりに、ベクトルの成分が基底の変化を打ち消すように変化します。言い換えると、基準軸 (およびそこから導かれる基底) が一方向に回転した場合、ベクトルの成分表現は反対方向に回転して、同じ最終ベクトルを生成します。同様に、基準軸が一方向に引き伸ばされた場合、ベクトルの成分は正確に補償する方法で縮小します。数学的には、基底が可逆行列 Mによって記述される変換を受けて座標ベクトルx がx ′ = M xに変換される場合、反変ベクトルv はv ′ = M v${\displaystyle ^{-1}}$を介して同様に変換される必要があります。この重要な要件は、反変ベクトルを他の物理的に意味のある量の 3 つ組と区別するものです。たとえば、v が速度のx、y、z成分で構成されている場合、v は反変ベクトルです。つまり、空間の座標が引き伸ばされたり、回転したり、ねじれたりすると、速度の成分も同じように変換されます。一方、たとえば、長方形のボックスの長さ、幅、高さで構成される 3 つ組は、抽象的なベクトルの 3 つの成分を構成することができますが、ボックスを回転させてもボックスの長さ、幅、高さは変わらないため、このベクトルは反変ではありません。反変ベクトルの例には、変位、速度、電場、運動量、力、加速度などがあります。

微分幾何学の言語では、ベクトルの成分が座標変換の同じ行列に従って変換されるという要件は、反変ベクトルを反変ランク 1のテンソルとして定義することと同等です。あるいは、反変ベクトルは接ベクトルとして定義され、反変ベクトルの変換規則は連鎖律に従います。

いくつかのベクトルは反変ベクトルのように変換されますが、鏡に映ると反転してマイナス符号が付きます。鏡のように右利きから左利きに、またはその逆に切り替える変換は、空間の方向を変更すると言われています。空間の方向が変わるとマイナス符号が付くベクトルは、擬似ベクトルまたは軸ベクトルと呼ばれます。通常のベクトルは、擬似ベクトルと区別するために、真ベクトルまたは極ベクトルと呼ばれることもあります。擬似ベクトルは、2 つの通常のベクトルの外積として最も頻繁に発生します。

擬似ベクトルの一例は角速度です。車を運転し、前方を見ると、各車輪の角速度ベクトルは左を向いています。世界を鏡に映して車の左右を入れ替えると、この角速度ベクトルの反射は右を向きますが、車輪の実際の角速度ベクトルは依然として左を向き、マイナス符号に対応します。擬似ベクトルの他の例としては、磁場、トルク、またはより一般的には 2 つの (真の) ベクトルの外積など があります。

ベクトルと擬似ベクトルのこの区別はしばしば無視されますが、対称性特性を研究する上で重要になります。

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• オンラインベクターアイデンティティ（PDF）
• ベクトル入門 概念入門（応用数学）