テンソル収縮

多重線型代数において、テンソル縮約は、ベクトル空間とその双対の標準的なペアリングから生じるテンソルに対する操作です。 成分では、式で互いにバインドされているダミーインデックスのペアに合計規則を適用することによって生成された、テンソルのスカラー成分の積の合計として表現されます。 単一の混合テンソルの縮約は、テンソルのリテラルインデックスのペア（一方が下付き文字、もう一方が上付き文字）が互いに等しく設定され、合計されたときに発生します。アインシュタイン表記法では、この合計は表記法に組み込まれています。 結果は、次数が 2 減少した 別のテンソルです。

テンソル収縮はトレースの一般化として考えることができます。

V を体 k上のベクトル空間とする。縮約演算の核心であり、最も単純なケースは、Vとその双対ベクトル空間 V ^∗との標準的なペアリングである。このペアリングは、これら 2 つの空間のテンソル積から体kへの線型写像である。

${\displaystyle C:V\otimes V^{*}\rightarrow k}$

双線型形式に対応する

${\displaystyle \langle v,f\rangle =f(v)}$

ここでf はV ^∗にあり、v はVにあります。写像C は、 の元である(1, 1)型のテンソルに対する縮約演算を定義します。結果はスカラー( kの元) であることに注意してください。有限次元では、とVからVへの線型写像の空間との間の自然同型性を使用して、^[1]トレースの基底なしの定義を取得します。 ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$${\displaystyle V\otimes V^{*}}$

一般に、( m , n )型テンソル（m≥1かつn≥1 ）はベクトル空間の要素である 。

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

（ここで、 Vにはm 個の因子があり、 V ^∗にはn 個の因子がある）。^{[2] [3]}標準ペアリングをk番目のV因子とl番目のV ^∗因子に適用し、他のすべての因子に恒等式を使用すると、 ( k , l ) 縮約演算が定義されます。これは、 ( m − 1, n − 1)型のテンソルを生成する線型マップです。^[2] (1, 1)の場合と同様に、一般的な縮約演算はトレースと呼ばれることもあります。

テンソル指数表記では、ベクトルと双対ベクトルの基本縮約は次のように表される。

${\displaystyle {\チルダ {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },}$

これは明示的な座標和の略記である^[4]

${\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}$

(ここで、v ^{i は}特定の基底におけるvの成分であり、 f _{i は}対応する双対基底における fの成分です)。

一般的な混合二項テンソルは、の形の分解可能なテンソルの線形結合であるため、二項テンソルの場合の明示的な式は次のようになる。 ${\displaystyle f\otimes v}$

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

混合二項テンソルである。その縮約は

${\displaystyle T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}}$。

一般的な縮約は、1つの共変インデックスと1つの反変インデックスに同じ文字を付けることによって表され、そのインデックスの合計は合計規則によって暗黙的に表されます。結果として得られる縮約されたテンソルは、元のテンソルの残りのインデックスを継承します。たとえば、タイプ(2,2)のテンソルTを2番目と3番目のインデックスで縮約して、タイプ(1,1)の新しいテンソルUを作成すると、次のように記述されます。

${\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}$

対照的に、

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

混合されていない二項テンソルである。このテンソルは縮退しない。その基底ベクトルが点線の場合、^{[説明が必要]}結果は反変計量テンソルである。

${\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}}$、

ランクは2です。

前の例のように、反変または共変であるインデックスのペアの縮約は一般には不可能です。しかし、内積（メトリックとも呼ばれる）gが存在する場合、そのような縮約は可能です。メトリックを使用して、必要に応じてインデックスの1つを上げたり下げたりしてから、通常の縮約操作を使用します。この組み合わせた操作は、メトリック縮約と呼ばれます。^[5]

縮約は空間（例えばユークリッド空間、多様体、スキーム^{[要出典] ）上の}テンソル場によく適用される。縮約は純粋に代数的な演算であるため、テンソル場に対して点ごとに適用することができる。例えば、Tがユークリッド空間上の（1,1）テンソル場である場合、任意の座標において、点xにおけるその縮約（スカラー場）Uは次のように与えられる。

${\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}$

ここではxの役割は複雑ではないため、しばしば省略され、テンソル場の表記法は純粋に代数的なテンソルの表記法と同一になります。

リーマン多様体上では計量（内積の体）が利用可能であり、計量縮約と非計量縮約の両方が理論にとって重要です。たとえば、リッチテンソルはリーマン曲率テンソルの非計量縮約であり、スカラー曲率はリッチテンソルの唯一の計量縮約です。

テンソル体の縮約は、多様体上の適切な関数の環上の加群の文脈で見ることもできる^[5]。あるいは、構造層上の加群の層の文脈で見ることもできる^[6] 。この記事の最後の議論を参照のこと。

テンソル場の縮約の応用として、V をリーマン多様体（例えばユークリッド空間）上のベクトル場とする。 をVの共変微分とする（ある座標の選択において）。ユークリッド空間の直交座標の場合、次のように書くことができる。 ${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }}$

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.}$

次に、インデックスβ をαに変更すると、インデックスのペアが互いに結合され、導関数がそれ自体と収縮して次の合計が得られます。

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n},}$

これは発散div Vである。

${\displaystyle \operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0}$

はVの連続方程式です。

一般に、高階テンソル体に対する様々な発散操作を次のように定義することができます。T が少なくとも1つの反変インデックスを持つテンソル体である場合、共変微分を取り、選択された反変インデックスを微分に対応する新しい共変インデックスで縮約すると、 Tよりも1階低い新しいテンソルが生成されます。^[5]

コア縮約演算（ベクトルと双対ベクトル）を、テンソルTとUのペアを考えることで、少し異なる方法で一般化することができます。テンソル積は新しいテンソルであり、少なくとも 1 つの共変インデックスと 1 つの反変インデックスがあれば縮約できます。 TがベクトルでUが双対ベクトルの場合は、まさにこの記事で最初に紹介したコア演算です。 ${\displaystyle T\otimes U}$

テンソル インデックス表記では、2 つのテンソルを互いに縮約するには、同じ項の因数としてそれらを並べて (並置して) 配置します。これにより、テンソル積が実装され、合成テンソルが生成されます。この合成テンソルの 2 つのインデックスを縮約すると、2 つのテンソルの目的の縮約が実装されます。

たとえば、行列は、最初のインデックスが反変で、2 番目のインデックスが共変である (1,1) 型のテンソルとして表すことができます。 を1 つの行列の要素とし、 を2 番目の行列の要素とします。これらの乗算は、次の縮約によって与えられます。これは、テンソルのペアの縮約の例です。 ${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$${\displaystyle \mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }}$。

また、微分形式を持つベクトルの内積は、 2 つのテンソル同士の収縮の特殊なケースです。

R を可換環とし、M を R 上の有限自由加群とします。すると、縮約はM の完全な（混合）テンソル代数に対して、体上のベクトル空間の場合とまったく同じように作用します。（重要な事実は、この場合も標準ペアリングが完全であるということです。）

より一般的には、O _{X を}位相空間X上の可換環の層とします。例えば、O _{X は}複素多様体、解析空間、またはスキームの構造層である可能性があります。M を有限ランクのO _X上の加群の局所自由層とします。このとき、 Mの双対は依然として適切に動作し^[6]、このコンテキストでは縮約演算は意味をなします。

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• ビショップ、リチャード L. ; ゴールドバーグ、サミュエル I. (1980)。多様体上のテンソル解析。ニューヨーク: ドーバー。ISBN 0-486-64039-6。
• メンゼル、ドナルド H. (1961)。数理物理学。ニューヨーク:ドーバー。ISBN 0-486-60056-4。