ミンコフスキー時空

1890年代、ヘンドリック・ローレンツは、物質から切り離された遍在する光を伝えるエーテルに基づいた電気力学の理論を開発し始めた。1892年から1904年にかけての一連の論文で、彼はこれらの理論を分析するための数学的補助として、後に彼の名が冠されることになる変換を使用した。^{[ 2 ]}他の多くの物理学者も、これらの変換の開発と理解に関わっていた。ミンコフスキーは特にアンリ・ポアンカレの研究に精通しており、特に1905年の彼の2番目の相対性理論の論文に詳しかった。 ^{[ 3 ]： 94}その論文でポアンカレは^{[ 4 ]}、時間を光速cと虚数単位iの虚数第4時空座標ictとすることで、ローレンツ変換を4次元球の通常の回転として視覚化できることを示した。^{[ 5 ]： vi}ここで、回転軸は2人の観測者間の相対運動の方向に対応し、回転角はそれらの相対速度に関係している。

ポアンカレは分析の一環として、回転に対する不変量、例えば次のような量を記述した。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$ どこで${\displaystyle x,y,z,t}$は、4 次元空間内の点間の距離の差です。 (最初の 3 つの差の合計は、3 次元空間でのユークリッド距離の 2 乗になります。このような距離は、3 次元空間での回転に対して不変です)。 回転と距離としての不変量の概念は、ミンコフスキー^{[ 3 ]}が 1908 年にドイツ語で発表した「運動する物体における電磁過程の基本方程式」という論文で詳しく説明しました。 ^{[ 6 ]} この論文では、物理学の数学的表現にテンソルが導入され、マクスウェル方程式が、電磁量に対する再定義されたベクトル変数と組み合わせた4 つの変数( x、y、z、ict )の対称的な方程式のセットとして再定式化されました。彼は、それらがローレンツ変換に対して不変であることを示すことができました。^{[ 3 ]}この再定式化から、彼は時間と空間を等しく扱うべきであると結論付け、統一された 4 次元時空連続体 で起こる事象の概念が生まれました。

1908年、ミンコフスキーはドイツのケルンで、物理学者と数学者を含む国際的な聴衆を前に講演を行い、自身の考えを発表した。 ^{[ 7 ]}この講演は1908年の「空間と時間」講演として知られるようになり、後にいくつかの形で出版された。^{[ 8 ]} ミンコフスキーは、後に彼の最も有名な発言となる言葉で講演を始めた。^{[ 3 ] : 97}

私が皆さんに提示したい空間と時間に関する見解は、実験物理学という土壌から生まれたものであり、そこにこそその強みがある。それらは根本的に革新的である。今後、空間単独でも時間単独でも、単なる影へと消え去る運命にあり、両者のある種の融合だけが独立した現実を維持するだろう。

ミンコフスキーは実験物理学から出発したにもかかわらず、講義の残りの部分は数学に重点を置いていた。彼は座標と速度の4ベクトル表現の利点を強調した。 ^{[ 3 ]： 105} 彼はミンコフスキー図を導入し、それを用いて概念を定義し、ローレンツ変換の性質（例えば、固有時間と長さの収縮）を実証するとともに、ニュートン力学の相対論的力学への一般化に幾何学的解釈を与えた。その結果、数学は単なる便利な道具ではなく、物理的現実の重要な概念を明らかにするものとして位置づけられた。^{[ 3 ]}

2つの時間的ベクトルu ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ )とu ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ )のスカラー積は $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}$$

スカラー積の正値性：重要な性質として、同じ方向を向いた2つの時間的ベクトルのスカラー積は常に正になります。これは、以下の逆コーシー・シュワルツの不等式からわかります。したがって、2つのベクトルのスカラー積がゼロであれば、少なくともそのうちの1つは空間的ベクトルでなければなりません。直交する空間成分と、符号が異なるか同じかのいずれかの時間を持つ2つの空間的ベクトルの積を考えると、2つの空間的ベクトルのスカラー積は正にも負にもなり得ます。

時間的ベクトルの正値性を利用すると、正の係数を持つ同方向の時間的ベクトルの線形和もまた同方向の時間的ベクトルであることが容易に確認できる（凸性のため、和は光円錐内に留まる）。

時間的ベクトルu = ( ct , x , y , z )のノルムは次のように定義される。 $${\displaystyle \left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$$

逆コーシー不等式は、光円錐の凸性から生じるもう一つの結果である。^{[ 13 ]} 2つの異なる同様の方向を持つ時間的ベクトルu ₁とu ₂に対して、この不等式は次のようになる。 $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|}$$ または代数的に、 $${\displaystyle c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}}$$

このことから、スカラー積の正の性質がわかる。

同じ方向を向いた2つの時間的ベクトルuとwに対して、不等式は^{[ 14 ]である。}$${\displaystyle \left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,}$$ ここで、等号はベクトルが線形従属である場合に成立する。

証明では、逆コーシー不等式を用いた代数的定義を使用する。^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

両辺の平方根を取ると、結果が導き出される。

実際には、接空間を気にする必要はありません。ミンコフスキー時空のベクトル空間構造により、点（イベント）における接空間のベクトルをミンコフスキー時空自体のベクトル（点、イベント）と正準的に同一視することができます。例えば、Lee (2003 、命題 3.8.)またはLee (2012 、命題 3.13.)を参照してください。これらの同一視は数学では日常的に行われています。これらはデカルト座標で形式的に次のように表現できます^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}}$$ 接空間の基底ベクトルは次のように定義される $$\displaystyle \left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ または }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, など}}.}$$

ここで、pとq は任意の 2 つのイベントであり、2 番目の基底ベクトルの識別は平行移動と呼ばれます。最初の識別は、任意の点における接空間内のベクトルと空間自体内のベクトルとの正準識別です。接空間における基底ベクトルが 1 階微分演算子として現れるのは、この識別によるものです。これは、幾何学的接線ベクトルが滑らかな関数の集合上の方向微分演算子と 1 対 1 で対応できるという観察に基づいています。これは、必ずしもR ⁿに埋め込まれていない多様体における接線ベクトルの定義に拡張されます。この接線ベクトルの定義は、通常のnタプルも使用できるため、唯一の可能な定義ではありません。

目的によっては、点pにおける接線ベクトルを点pにおける変位ベクトルと同一視することが望ましい場合があり、これはもちろん、本質的に同じ正準同一視によって許容されます。^{[ 17 ]}上記の数学的設定におけるベクトルの同一視は、Misner、Thorne & Wheeler (1973)において、より物理的で明示的に幾何学的な設定で同様に見つけることができます。資料のどの部分を読むかによって、さまざまなレベルの洗練度（および厳密さ）が提供されます。

計量符号とは、空間（具体的には空間的、後述する定義）と時間基底ベクトル（時間的）を引数として与えられたときに、ミンコフスキー内積がどのような符号を返すかを示すものです。理論的には重要ではないものの、内部の一貫性と利便性のために実際上必要なこの選択に関する詳細な議論は、以下の非表示ボックスで行います。相対性理論における符号規約を扱ったページも参照してください。

数学的には、双線形形式と関連付けられるのは、時空内の各点における型(0,2)のテンソルであり、ミンコフスキー計量と呼ばれます。^{[注 4 ]}ミンコフスキー計量、双線形形式、ミンコフスキー内積はすべて同じオブジェクトです。これは、2 つの (反変) ベクトルを受け取り、実数を返す双線形関数です。座標では、これは双線形形式を表す4×4行列です。

比較のために、一般相対性理論では、ローレンツ多様体Lも同様に計量テンソルgを備えており、これはLの各点pにおける接空間T _p L上の非退化対称双線形形式です。座標では、時空の位置に応じて4×4行列で表すことができます。したがって、ミンコフスキー時空は、ローレンツ多様体の比較的単純な特殊なケースです。その計量テンソルは、 Mのすべての点で同じ対称行列を持つ座標系にあり、その引数は、上記のように、時空自体のベクトルとして扱うことができます。

用語をさらに導入すると（構造は追加しない）、ミンコフスキー時空は、全次元n = 4で符号が(1, 3)または(3, 1)の擬ユークリッド空間である。ミンコフスキー時空の要素はイベントと呼ばれる。ミンコフスキー時空は、選択された符号を強調するためにR ^1,3またはR ^3,1と表記されることが多く、単にMと表記されることもある。これは擬リーマン多様体の一例である。

すると数学的には、計量は抽象的な4次元実ベクトル空間V上の双線形形式である。すなわち、 $${\displaystyle \eta :V\times V\rightarrow \mathbf {R} }$$ ここで、η は符号(+, -, -, -)を持ち、符号はηの座標不変特性です。双線形写像の空間はベクトル空間を形成し、それは以下と同一視できます。$\displaystyle M^{*}\otimes M^{*}}$ηは、この空間の要素と同等とみなすこともできます。正規直交基底を選択することで${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$、${\displaystyle M:=(V,\eta )}$空間と関連付けることができる${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}:=(\mathbf {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })}$この表記は、Mと$\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}}$それらは単なるベクトル空間ではなく、付加的な構造を持っている。${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$。

ミンコフスキー時空（の一部）の非慣性座標の興味深い例として、ボルン座標があります。もう1つの有用な座標系は、光円錐座標です。

ミンコフスキー内積は、零ベクトルでない零ベクトルを持つため、内積ではありません。定値双線形形式ではないため、不定値と呼ばれます。

ミンコフスキー計量ηは、ミンコフスキー時空の計量テンソルです。これは擬ユークリッド計量、より一般的には、デカルト座標における定数擬リーマン計量です。そのため、非退化対称双線形形式、タイプ(0, 2)テンソルです。これは、Mにおけるpでの接空間T _p M内のベクトルu _p、v _pの 2 つの引数を受け取ります。T p M がM自体と正準的に同一視されているため、引数u、vは、 uとvの両方がM内のものである場合に_も受け取ります。

表記上の慣例として、M内のベクトルvは4-ベクトルと呼ばれ、ユークリッド空間でよく見られるような太字のvではなく、イタリック体で表記されます。後者は通常、4-ベクトルの3-ベクトル部分 (後述)に使用されます。

定義^{[ 18 ]}$${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}$$は、 M 上に内積のような構造を生成し、これは以前も以後もミンコフスキー内積と呼ばれ、ユークリッド内積に似ていますが、異なる幾何学を記述します。これは相対論的ドット積とも呼ばれます。2 つの引数が同じ場合、 $${\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},}$$結果として得られる量をミンコフスキーノルムの二乗 と呼ぶ。ミンコフスキー内積は以下の性質を満たす。

最初の引数における線形性

${\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R} }$

対称

${\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}$

非退化

${\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}$

最初の2つの条件は双線形性を意味する。

内積とノルムの二乗の最も重要な特徴は、これらがローレンツ変換の影響を受けない量であるということです。実際、ローレンツ変換は内積（つまり、2 つのベクトル上の対応する双線形形式の値）を保存するという点で、ローレンツ変換の定義特性とみなすことができます。このアプローチは、古典群でこのように定義できるすべての古典群に対してより一般的に採用されています。そこでは、行列Φは、 O(3, 1) (ローレンツ群)の場合、以下に示す行列ηと同一です。

ミンコフスキー時空は、光速が測定される基準系に関係なく一定になるように構築されています。この性質は、時間軸と空間軸の関係から生じます。2つの事象uとvは、それらの双線形形式がゼロである場合に直交します。η ( v , w ) = 0。

uとv が両方とも空間的である場合、それらは垂直ですが、一方が時間的、もう一方が空間的である場合、その関係は双曲直交性になります。この関係は参照系の変換でも保持されるため、光速の計算結果は一定になります。参照系の変換はローレンツブーストと呼ばれ、数学的には双曲回転と呼ばれます。各参照系には双曲角が関連付けられており、ミンコフスキー時空の静止系ではゼロになります。このような双曲角は、その系の速度に関連付けられているため、ラピディティと呼ばれています。

特殊相対性理論の第二公準と時空の均質性および空間の等方性から、 1と2と呼ばれる2つの任意の事象間の時空間隔は次のようになる。^{[ 19 ]}$${\displaystyle c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.}$$ この量は文献によって一貫して命名されていません。この区間は、ここで定義された区間の平方根と呼ばれることもあります。^{[ 20 ] [ 21 ]}

慣性系間の座標変換の下での区間の不変性は、 $${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$ 変換が線形である場合。この二次形式は双線形形式を定義するために使用できます。 $${\displaystyle u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}}$$偏光恒等式 を介して。この双線形形式は次のように書くことができる。 $${\displaystyle u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,}$$ ここで[ η ]は${\displaystyle 4\times 4}$ηに関連付けられた行列。紛らわしいかもしれないが、 [ η ]を単にηと表記するのが一般的である。行列は明示的な双線形形式から読み取られる。 $${\displaystyle \eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,}$$ そして双線形形式 $${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,v),}$$ この節の冒頭でその存在を前提としていたものが、今や特定された。

明確化と説明の簡潔化のため、以下では符号(− + + +)を採用します。この選択 (または他の可能な選択) には (既知の) 物理的な意味はありません。一方の符号の選択で双線形形式を保存する対称群は、もう一方の符号の選択を保存する対称群と (ここで示されている写像の下で) 同型です。これは、どちらの選択も相対性理論の 2 つの公準に合致することを意味します。2 つの規約を切り替えるのは簡単です。導出で計量テンソルηが使用されている場合は、それが使用された最も早い時点に戻り、 − ηをηに置き換え、目的の計量符号を持つ目的の式まで遡ります。

ミンコフスキー時空の標準基底または正規直交基底は、互いに直交する4つのベクトル{ e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ }の集合であり、 $${\displaystyle \eta (e_{0},e_{0})=-\eta (e_{1},e_{1})=-\eta (e_{2},e_{2})=-\eta (e_{3},e_{3})=1}$$ そして、$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$$いつ${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

これらの条件は、次の形式で簡潔に記述できます。 $${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$$

標準基底に関して、ベクトルvの成分は( v ⁰ , v ¹ , v ² , v ³ )と表記され、アインシュタイン記法ではv = v ^μ e _μと表記されます。成分v ⁰はvの時間的成分と呼ばれ、他の 3 つの成分は空間的成分と呼ばれます。4次元ベクトルvの空間的成分は、3 次元ベクトルv = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ )と同一視できます。

成分の観点から見ると、2つのベクトルvとwの間のミンコフスキー内積は次のように表される。

$${\displaystyle \eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },}$$ そして $${\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.}$$

ここでは、指標を指標値で下げる方法が用いられた。

条件を満たす標準基準には多くの選択肢がある${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$このような2つの基底は、基底変換行列によって、何らかの意味でローレンツ変換によって関連付けられる。${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$、実数4×4行列で、 $${\displaystyle \Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.}$$ またはΛは、任意のベクトルのペアu、vに対してを満たす抽象ベクトル空間上の線形写像である。 $${\displaystyle \eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).}$$

そして、2つの異なる基底{ e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ }と{ e ′ ₀ , e ′ ₁ , e ′ ₂ , e ′ ₃ }が存在する場合、${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$次のように表すことができます${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$または${\displaystyle e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }}$考えてみたくなるかもしれないが、${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$そしてΛは、数学的には同一のものであるが、異なる空間の要素であり、標準基底の空間に異なる方向から作用する。

指数の上昇と下降

技術的には、非退化双線形形式はベクトル空間とその双対との間の写像を提供します。この文脈では、写像はMの接空間とMの余接空間との間の写像です。M のある点では、接空間と余接空間は双対ベクトル空間です(したがって、イベントにおける余接空間の次元も4です)。 1 つの引数が固定されたベクトル空間上の真の内積が、リース表現定理により、ベクトル空間上の線形汎関数の作用として表現できるのと同様に、ミンコフスキー時空のミンコフスキー内積についても同じことが言えます。^{[ 23 ]}

したがって、v ^{μ が}接空間のベクトルの成分である場合、η _μν v ^μ = v _νは余接空間のベクトル (線形汎関数) の成分です。接空間のベクトルとM自体のベクトルとの同一視により、これはほとんど無視され、添え字の小さいベクトルは共変ベクトルと呼ばれます。この後者の解釈では、共変ベクトルは (ほぼ常に暗黙のうちに) ミンコフスキー時空の双対のベクトル (線形汎関数) と同一視されます。添え字の大きいものは反変ベクトルです。同様に、接空間から余接空間への写像の逆写像 (行列表現のηの逆写像で明示的に与えられる) を使用^して、添え字の上げを定義できます。この逆写像の成分はη ^μνで表されます。η μν = η _μνとなります。ベクトル空間とその双対空間間のこれらの写像は、^{音楽の類推により}η ^♭（イータフラット）とη♯（イータシャープ）と表すことができる。^{[ 24 ]}

反変ベクトルと共変ベクトルは、幾何学的には全く異なる対象です。前者は矢印として考えることができますし、そう考えるべきでもあります。線形関数は、原点を通る超平面である核と、そのノルムという2つの対象によって特徴づけられます。したがって、幾何学的には、共変ベクトルは、ノルムに応じて間隔が変化する（間隔が小さいほど間隔が大きくなる）超平面の集合として考えることができ、そのうちの1つ（核）は原点を通ります。共変ベクトルの数学用語は1-共ベクトルまたは1形式です（ただし、後者は通常、共ベクトル場のために予約されています）。

文献で検討されている量子力学のアナロジーの 1 つは、運動量 4 次元ベクトルに関連付けられたド ブロイ波(プランクの換算定数の係数でスケーリング) であり、反変ベクトルの共変バージョンをどのように想像できるかを示しています。 2 つの反変ベクトルの内積は、一方の共変バージョンが他方の反変バージョンに作用すると考えることもできます。内積は、矢印が平面を何回貫通するかを表します。^{[ 22 ]}数学の参考文献Lee (2003)は、これらのオブジェクトについて同じ幾何学的見解を示しています (ただし、貫通については言及していません)。

電磁場テンソルは微分2形式であり、その幾何学的記述はMTWにも記載されている。

もちろん、幾何学的な観点を完全に無視して（例えば、Weinberg (2002)やLandau & Lifshitz (2002 ) のように）、純粋に形式的な方法で代数的に進めることも可能です。形式主義自体の長年の実績に基づく堅牢性（インデックス操作と呼ばれることもあります）により、ベクトルの移動や、反変ベクトルから共変ベクトルへの変換、あるいはその逆（高階テンソルも含む）が数学的に正当であることが保証されます。誤った表現はすぐに明らかになる傾向があります。

x、y ∈ Mとする。ここで、

1. y − xが未来方向の時間的関係である場合、 xはyより時間的に先行する。この関係は推移律を満たすため、 x < yと書くことができる。
2. y − xが未来方向のヌルまたは未来方向の時間的である場合、 x はyに因果的に先行する。これは時空の半順序付けを与えるため、 x ≤ yと書くことができる。

x ∈ Mが時間的であると仮定します。このとき、xの同時超平面は{ y : η ( x , y ) = 0}となります。この超平面はxの変化に応じて変化するため、ミンコフスキー時空には同時性の相対性があります。 

複素化されたミンコフスキー時空は、 M _c = M ⊕ iMと定義される。^{[ 26 ]}その実部は、空間の向きの選択に依存しない、 4元速度や4元運動量などの4元ベクトルのミンコフスキー時空である。一方、虚部は、向きの変化に伴って方向が変わる角速度や磁気モーメントなどの4つの擬ベクトルで構成される可能性がある。擬スカラーiが導入され、これも向きの変化に伴って符号が変わる。したがって、M _cの要素は向きの選択に依存しない。

M _c上の内積のような構造は、任意のu、v ∈ M _cに対してu ⋅ v = η ( u、v )と定義される。電子または任意のハーフスピン粒子の相対論的純粋スピンは、 ρ ∈ M _{cによって}ρ = u + isと記述される。ここで、uは粒子の 4 次元速度であり、u ² = 1を満たし、sは 4 次元スピンベクトルである^{[ 27 ]} 。これはまた、 s ² = −1およびu ⋅ s = 0を満たすパウリ・ルバンスキー擬ベクトルでもある。

ミンコフスキー時空とは、4次元における数学的定式化を指します。しかし、この数学は容易に拡張または簡略化して、任意の次元数における類似の一般化ミンコフスキー時空を作成できます。n ≥ 2の場合、n次元ミンコフスキー時空は、符号( n − 1, 1)または(1, n − 1)の定数ミンコフスキー計量が存在する実次元nのベクトル空間です。これらの一般化は、時空が4次元より多いか少ないかが想定される理論で使用されます。弦理論とM 理論は、 n > 4の 2 つの例です。弦理論では、1 + 1次元の時空を持つ共形場理論が現れます。

ド・ジッター空間は、双曲幾何学のモデル空間と同様に、一般化されたミンコフスキー時空の部分多様体として定式化することができる（下記参照）。

平坦な時空として、ミンコフスキー時空の3つの空間成分は常にピタゴラスの定理に従います。ミンコフスキー時空は特殊相対性理論の適切な基礎であり、重力がほとんどない系における有限距離の物理系をうまく記述します。しかし、重力を考慮に入れるために、物理学者は微分多様体の微分幾何学の数学で定式化された一般相対性理論を使用します。この幾何学が時空のモデルとして使用されるとき、それは曲がった時空として知られています。

曲がった時空においても、ミンコフスキー時空は、任意の点の周囲の微小領域（重力特異点を除く）において依然として適切な記述である。 ^{[注5 ]}より抽象的に言えば、重力が存在する場合、時空は曲がった4次元多様体によって記述され、任意の点の接空間は4次元ミンコフスキー時空であると言える。したがって、ミンコフスキー時空の構造は、一般相対性理論の記述において依然として不可欠である。

上記の定義では${\displaystyle \iota$ :\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\rightarrow \mathbf {M} ^{n+1}} は包含写像であり、上付き文字の星は引き戻しを表します。現在の目的は、実際の実証の準備として、これと類似の操作を説明することです。${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$実際には双曲空間である。

計量を表現するには、適切なパラメーター化によってそれを引き戻す必要があります。多様体 M の部分多様体Sのパラメーター化は、Sの開集合を値域とする写像U ⊂ R ^m → Mです。SがMと同じ次元を持つ場合、パラメーター化は座標写像φ : M → U ⊂ R ^mの逆になります。使用するパラメーター化は、双曲立体投影の逆です。これは、 n = 2の場合について右の図に示されています。球面の立体投影と比較すると参考になります。

立体投影σ : H ⁿ _R → R ⁿおよびその逆σ ⁻¹ : R ⁿ → H ⁿ _Rは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ ここで、簡略化のため、τ ≡ ctとする。( τ , x )はM ^{n +1}上の座標であり、uはR ⁿ上の座標である。

1つは $${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}}$$ そして地図 $${\displaystyle \sigma ^{-1}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

引き戻された計量は、微積分学の単純な方法によって得ることができる。 $${\displaystyle \left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.}$$

微分を計算するための標準的な規則に従って計算する（ただし、実際には厳密に定義された外微分を計算している）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}}$$ そして、その結果を右辺に代入する。これにより、 $${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$$

この最後の式は、球上の計量が、双曲幾何学のもう1つの標準モデルであるポアンカレ球モデルにおけるリーマン計量h ^{2( n )} _{Rと同一であることを示している。}