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量子力学において、運動量演算子は線形運動量に関連付けられた演算子である。運動量演算子は、位置表示においては微分演算子の一例である。1次元空間における1粒子の場合、その定義は次のようになる。 $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$ ここで、ħは換算プランク定数、i は虚数単位、xは空間座標、偏微分 (で表される) は、${\displaystyle \partial /\partial x}$波動関数も時間の関数であるため、全微分( d / dx )の代わりに ) が使用されます。「ハット」は演算子を示します。微分可能な波動関数に対する演算子の「適用」は次のとおりです。 $$\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$

運動量表現で表された運動量固有状態からなるヒルベルト空間の基底では、演算子の作用は単にpによる乗算、つまり乗算演算子であり、位置表現における位置演算子が乗算演算子であるのと同様です。上記の定義は正準運動量であり、ゲージ不変ではなく、電磁場中の荷電粒子に対して測定可能な物理量ではないことに注意してください。この場合、正準運動量は運動量とは等しくありません。

1920年代に量子力学が発展した当時、運動量演算子はニールス・ボーア、アーノルド・ゾンマーフェルト、エルヴィン・シュレーディンガー、ユージン・ウィグナーをはじめとする多くの理論物理学者によって発見された。その存在と形式は、量子力学の基礎となる公理の一つとみなされることもある。

運動量演算子とエネルギー演算子は次のように構築できます。^{[ 1 ]}

電荷もスピンもない単一の粒子の場合、運動量演算子は位置基底で次のように書くことができます。^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$ ここで、∇は勾配演算子、ħは換算プランク定数、iは虚数単位である。

1次元空間では、これは^{[ 4 ]となる。}$${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}$$

これは正準運動量の式である。電磁場中の荷電粒子qの場合、ゲージ変換中に位置空間波動関数は局所的なU(1)群変換を受け、^{[ 5 ]}および${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$それによって値が変化する。したがって、正準運動量はゲージ不変ではなく、測定可能な物理量ではない。

ゲージ不変な物理量である運動量は、正準運動量、スカラーポテンシャルφ、およびベクトルポテンシャルAを用いて表現できる。^{[ 6 ]}  $${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$$

上記の式は最小結合と呼ばれます。電気的に中性の粒子の場合、正準運動量は運動量に等しくなります。

変換演算子はT ( ε )と表記され、ε は変換の長さを表す。この演算子は次の恒等式を満たす。 $${\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$$ それは $${\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}$$

関数を仮定すると${\displaystyle \psi }$解析的（つまり複素平面のある領域で微分可能）であるためには、 xの周りでテイラー級数展開すればよい。 $${\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}$$ したがって、εの微小値の場合： $${\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$$

古典力学で知られているように、運動量は並進の生成子であるため、並進演算子と運動量演算子の関係は次のようになります。^{[ 11 ]}$${\displaystyle T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}}$$ したがって $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.}$$

上記の3次元運動量演算子とエネルギー演算子を4次元運動量（ (+ − − −)の計量符号を持つ1形式として） に挿入すると、次のようになります。$${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)}$$4元運動量演算子 を取得する： $${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }}$$ ここで、∂μ_は4 次元勾配であり、− iħは3 次元運動量演算子の前に+ iħとなります。この演算子は、ディラック方程式やその他の相対論的波動方程式などの相対論的量子場理論に現れます。エネルギーと運動量が上記の 4 次元運動量ベクトルに結合するため、運動量演算子とエネルギー演算子は空間微分と時間微分に対応し、ローレンツ共変性のためには1 階偏微分である必要があります。

4元運動量のディラック演算子とディラックスラッシュは、ガンマ行列との縮約によって与えられる。 $${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}$$

署名が(− + + +)の場合、演算子は $${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }}$$ その代わり。

• 電磁場の数学的記述
• 変換演算子（量子力学）
• 相対論的波動方程式
• パウリ・ルバンスキー擬似ベクトル