数字システム

記数法は、数字を表現するための表記法です。つまり、数字やその他の記号を一貫した方法で 使用して、特定のセットの数を表す数学的表記法です。

同じ記号の並びでも、異なる記数法では異なる数字を表す場合があります。たとえば、「11」は、10 進法または 10 進数記数法 (現在、世界中で最も一般的な記数法)では11を表し、 2 進法または 2進数記数法 (現代のコンピューターで使用)では3を表し、 1 進法(スコアの集計に使用)では2 を表します。

数字が表す数はその数値と呼ばれます。すべての記数法が同じ数の集合を表せるわけではありません。たとえば、ローマ数字は数字の 0 を表すことはできません。

理想的な数値システムは次のようになります。

• 有用な数値の集合を表す（すべての整数、または有理数など）
• 表現されるすべての数値に一意の表現（または少なくとも標準的な表現）を与える
• 数字の代数的および算術的構造を反映します。

たとえば、通常の10 進数表現では、すべての非ゼロの自然数は、非ゼロの数字で始まる有限の数字の シーケンスとして一意に表現されます。

数体系は数体系と呼ばれることもありますが、この名称は曖昧で、実数体系、複素数体系、さまざまな超複素数体系、 p進数体系など、さまざまな数体系を指すこともあります。ただし、このような体系はこの記事の主題ではありません。

最初の真の位置表記法は、ヒンドゥー・アラビア数字であると考えられています。このシステムは7世紀までにインドで確立されましたが、^[1]数字のゼロの使用がまだ広く受け入れられていなかったため、まだ現代の形になっていませんでした。ゼロの代わりに、数字に意味を示すドットを付けたり、スペースをプレースホルダーとして使用したりすることがありました。ゼロが初めて広く認められて使用されたのは876年でした。^{[2]元の数字は、数字を表すために使用される}グリフに至るまで、現代のものと非常によく似ていました。^[1]

13世紀までに、西洋のアラビア数字はヨーロッパの数学界で受け入れられました（フィボナッチは算盤の書でアラビア数字を使用しました）。アラビア数字は15世紀に一般的に使用され始めました。^[3] 20世紀末までに、世界中のコンピュータ化されていない計算のほとんどすべてがアラビア数字で行われ、ほとんどの文化で土着の数字システムに取って代わりました。

マヤ数字の正確な年代は不明ですが、ヒンドゥー・アラビア数字よりも古い可能性があります。この数字は20 進法(基数 20) であるため、20 桁あります。マヤ人は 0 を表すために貝殻の記号を使用しました。数字は縦書きで、1 の位が一番下に置かれました。マヤ人には現代の小数点に相当するものがなかったため、分数を表すことができませんでした。^[要出典]

タイの数字体系は、数字を表す記号を除いて、ヒンドゥー・アラビア数字体系と同一である。これらの数字の使用はタイでは以前ほど一般的ではないが、アラビア数字と並んで今でも使用されている。^[4]

棒数字は、かつて中国や日本の数学者が使用した数え棒の書き方で、小数点の計算に使用された十進法の位置づけシステムである。棒は数え板の上に置かれ、小数点の位置を変えるために前後にスライドした。紀元後3世紀から5世紀の間に書かれた数学論文『孫子算経』には、このシステムが詳しく記載されており、少なくとも紀元前4世紀から使用されていたと考えられている。^[5]ゼロは当初、数字として扱われず、空の位置として扱われていた。^[6]後の資料では、ゼロと負の数の表現に関する慣例が導入された。ゼロに丸い記号〇が使用されたことは、西暦1247年の『九部数学論』^{で初めて証明されている。 [7]}この記号の起源は不明であるが、四角い記号を修正して作成された可能性がある。^{[8]棒数字の後継である}蘇州数字は、今日でも一部の商業目的で使用されている。^[要出典]

最も一般的に使われている記数法は10進法である。整数版であるヒンドゥー・アラビア数字を開発したのがインドの数学者であるとされている。^[9]クスマプラのアルヤバータは5世紀に位取り記数法を考案し、1世紀後にブラフマグプタはゼロの記号を導入した。このシステムはインドとの商業や軍事活動によりアラビアなどの周辺地域にゆっくりと広がった。中東の数学者はこのシステムを拡張して10の負の累乗（分数）を含めた。これはシリアの数学者アブル・ハサン・アル・ウクリディシが952～953年に書いた論文に記録されている。小数点記法はシンド・イブン・アリーによって^{[いつ? ]導入され、}シンド・イブン・アリーはアラビア数字に関する最古の論文も執筆した。ヒンドゥー・アラビア数字体系はその後、商人の貿易によりヨーロッパに広まり、ヨーロッパで使われる数字はアラブ人から学んだため アラビア数字と呼ばれています。

最も単純な記数法は単進記数法で、すべての自然数は対応する数の記号で表されます。たとえば、記号/を選択した場合、数字 7 は///////で表されます。タリーマークは、現在でも一般的に使用されているそのようなシステムの 1 つです。単進記数法は、理論計算機科学では重要な役割を果たしていますが、小さい数にのみ役立ちます。データ圧縮でよく使用されるエリアスガンマ符号化は、単進数を使用して 2 進数の長さを示すことで、任意のサイズの数値を表します。

一進法は、特定の新しい値に異なる記号を導入することで省略できます。非常に一般的には、これらの値は 10 の累乗です。したがって、たとえば、/ が 1、- が 10、+ が 100 を表す場合、数値 304 は+++ ////と簡潔に表すことができ、数値 123 は+ - - ///と表すことができ、ゼロは必要ありません。これは符号値表記法と呼ばれます。古代エジプトの記数法はこのタイプであり、ローマ数字体系はこのアイデアの修正版でした。

さらに便利なのは、記号の繰り返しに特別な省略形を使用するシステムです。たとえば、これらの省略形にアルファベットの最初の 9 文字を使用し、A は「1 回の発生」、B は「2 回の発生」などを表すと、304 という数字は C+ D/ と書くことができます (これらの省略形の数は、システムの基本数と呼ばれることもあります)。このシステムは、中国語の数字や、中国語に基づくその他の東アジアの数字を書くときに使用されます。英語の数字システム (「304」) はこのタイプであり、他の話し言葉の数字システムも、どのような書き方を採用しているかに関係なく、このタイプです。しかし、多くの言語では基数やその他の特徴が混在しており、たとえばフランス語の 79 はsoixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) で、ウェールズ語ではpedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) または (やや古風ですが) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 − 1 ) です。英語では、「four score less one」と言うことができ、有名なゲティスバーグ演説では「87 years ago」を「four score and seven years ago」と表現しています。

もっとエレガントなのは、位取り記数法、別名位取り記数法です。位取り記数は、その基数または基数、つまりシステムで使用される数字と呼ばれる記号の数によって分類されます。基数 10 では、0、...、9 の 10 個の異なる数字が使用され、数字の位置は、その数字に掛ける 10 の累乗を表すために使用されます。たとえば、304 = 3×100 + 0×10 + 4×1または、より正確には3×10 ² + 0×10 ¹ + 4×10 ⁰です。他のシステムでは不要であるゼロは、ここでは累乗を「スキップ」できるようにするために極めて重要です。インドで生まれ、現在世界中で使用されているヒンドゥー教 - アラビア数字システムは、位取り 10 の基数システムです。

位置付けのシステムでは、以前の加法的なシステムよりも算術がはるかに簡単です。さらに、加法的なシステムでは、10の異なる累乗を表すために多数の異なる記号が必要ですが、位置付けのシステムでは、10の異なる記号のみが必要です（基数が10であると仮定）。^[10]

位置十進法は現在、人間の書き言葉では普遍的に使用されています。1000 を基数とする表記法も (普遍的ではありませんが) 使用され、数字をグループ化して 3 つの十進数字のシーケンスを 1 つの数字と見なします。これは、非常に大きな数を表す一般的な表記法 1,000,234,567 の意味です。

コンピュータにおける主な記数法は、2 つの 2進数0 と 1を使用する基数 2 の位置システム ( 2 進記数法) に基づいています。2 進数を 3 つ ( 8 進記数法) または 4つ ( 16 進記数法) にグループ化して得られる位置システムが一般的に使用されます。非常に大きな整数の場合、たとえばGMPのように、基数 2 ³²または 2 ^{64 (2 進数を}マシン ワードの長さである 32 または 64 でグループ化) が使用されます。

特定の生物システムでは、単進コーディングシステムが採用されています。単進数字は、鳥の鳴き声の生成を担う神経回路で使用されています。[ 11 ^]鳴鳥の脳内で鳥の鳴き声の学習と生成の両方に関与する核は、HVC（高声中枢）です。鳥の鳴き声のさまざまな音のコマンド信号は、HVCのさまざまなポイントから発せられます。このコーディングは空間コーディングとして機能し、その固有の単純さと堅牢性により、生物回路にとって効率的な戦略です。

数字や記号で数を表すときに使用する数字は、それぞれ算術数字 (0、1、2、3、4、5、6、7、8、9) と幾何数字 ( 1、10、100、1000、10000 ...) と呼ばれる 2 種類に分けられます。符号値システムでは幾何数字のみを使用し、位置システムでは算術数字のみを使用します。符号値システムでは算術数字は繰り返しで作成されるため (イオニア式システムを除く) 、位置システムでは幾何数字は位置によって作成されるため、幾何数字は必要ありません。ただし、話し言葉では算術数字と幾何数字の両方が使用されます。

コンピュータサイエンスの一部の分野では、修正された基数kの位置体系が使用され、これは全単射記数法と呼ばれ、数字は 1、2、...、k ( k ≥ 1 ) で、ゼロは空の文字列で表されます。これにより、すべてのこのような数字列の集合と非負の整数の集合の間に全単射が確立され、先頭のゼロによって生じる非一意性が回避されます。全単射の基数k記数はk進表記法とも呼ばれ、 p進数と混同しないでください。全単射の基数 1 は単項と同じです。

位置基数b の記数法 ( bは1 より大きい自然数で、システムの基数または基数と呼ばれます) では、ゼロを含む最初のb個の自然数に対応するb 個の基本記号 (または数字)が使用されます。残りの数字を生成するには、図の記号の位置が使用されます。最後の位置にある記号には独自の値があり、左に移動するにつれてその値にbが掛けられます。

たとえば、10進法（基数10）では、数字4327は（4 ×103 ^） +（3 × ^{102 ）} +（2 ×101 ^） +（7 ×100 ^）を意味し、100 = 1であることに注意してください。

一般に、b を基数とすると、基数bの記数法で数を表すには、a _n b ⁿ + a _{n − 1} b ^{n − 1} + a _{n − 2} b ^{n − 2} + ... + a ₀ b ⁰の形式で表し、列挙された数字a _n a _{n − 1} a _{n − 2} ... a ₀を降順で書きます。数字は 0 からb − 1までの自然数です。

テキスト (このテキストなど) で複数の基数が説明されていて、あいまいさがある場合は、基数 (基数自体は 10 で表されます) が下付き文字で数値の右側に追加されます (例: number _base )。文脈で指定されていない限り、下付き文字のない数値は 10 進数と見なされます。

ドットを使用して数字を 2 つのグループに分けると、分数を位取り記数法で書くこともできます。たとえば、2 進数の数字 10.11 は、1×2 ¹ + 0×2 ⁰ + 1×2 ⁻¹ + 1×2 ⁻² = 2.75を表します。

一般に、b を基数とする数値は次の形式になります。

${\displaystyle (a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots )_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

b kとb ^{− k は}対応する数字の重みです。位置kは対応する重みwの対数、つまり です。使用される最高位置は、数値の大きさの桁に近く^なります 。${\displaystyle k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}}$

重さを表すのに一進法で必要な桁数はwです。位置を表すのに必要な桁数は、k ≥ 0 の場合のみです。たとえば、重さ 1000 を表すには、 なので 4 桁必要です。位置を表すのに必要な桁数は(1、10、100、... の位置は、10 進法の例では簡単のためだけに使用) です。${\displaystyle k+1=\log _{b}w+1}$${\displaystyle \log _{10}1000+1=3+1}$${\displaystyle \log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|rrrrrrr}{\text{Position}}&3&2&1&0&-1&-2&\cdots \\\hline {\text{Weight}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&\cdots \\{\text{Digit}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{Decimal example weight}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{Decimal example digit}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}}}$

数が有理数である場合に限り、その数は終了展開または繰り返し展開を持ちます。これは基数に依存しません。ある基数で終了する数は、別の基数では繰り返すことがあります (したがって、0.3 ₁₀ = 0.0100110011001... ₂ )。無理数は、すべての整数基数で非周期的 (繰り返しのない桁が無限にある) のままです。したがって、たとえば基数 2 では、π = 3.1415926... _{10は、非周期的な 11.001001000011111... 2}と表記できます。

共通の数字の上にオーバースコアnまたはドットṅを置くことは、有理数展開の繰り返しを表すために使用される慣例です。つまり、

14/11 = 1.272727272727... = 1. 27   または 321.3217878787878... = 321.321 78。

b = p が素数である場合、左への拡張が止まらないp進数を定義できます。これらはp進数と呼ばれます。

数字が正または負になる基数bのバリエーションを定義することもできます。これは符号付き数字表現と呼ばれます。

より一般的なのは、 などの ように混合基数表記法 (ここではリトルエンディアン と表記)を使用することです。${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}}$

これはPunycodeで使用され、Punycode の 1 つの側面は、任意のサイズの負でない整数のシーケンスを、区切り文字なしのシーケンスの形式で表現することです。このシーケンスは、36 個のコレクション (a～z と 0～9、それぞれ 0～25 と 26～35 を表します) からの「数字」で構成されます。また、数値のすべての位置に対して固定されている、いわゆるしきい値 ( ) もあります。数値内の特定の位置にある数字が対応するしきい値より小さい場合、その数字が最上位の数字であることを意味します。したがって、文字列ではこれが数字の終わりであり、次の記号 (存在する場合) は次の数字の最下位の数字です。 ${\displaystyle t_{0},t_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

たとえば、最初の桁のしきい値がb (つまり 1)の場合、 a (つまり 0) は数の終わりを示します (桁が 1 つだけ)。そのため、1 桁以上の数では、最初の桁の範囲は b–9 (つまり 1–35) のみとなり、重みb ₁は 36 ではなく 35 になります。より一般的には、t _{n が}n番目の桁のしきい値である場合、 であることが簡単に示されます。2 番目と 3 番目の桁のしきい値がc (つまり 2) であるとすると、2 番目の桁の範囲は a–b (つまり 0–1) で、2 番目の桁が最も重要になりますが、3 番目の桁がある場合は範囲​​は c–9 (つまり 2–35) になります。一般に、任意のnについて、( n + 1) 番目の桁の重みは、前の桁の重みに (36 − n番目 の桁のしきい値) を掛けたものです。したがって、2 番目の記号の重みは です。3 番目の記号の重みは です。 ${\displaystyle b_{n+1}=36-t_{n}}$${\displaystyle 36-t_{0}=35}$${\displaystyle 35(36-t_{1})=35\cdot 34=1190}$

したがって、最大 3 桁の数字のシーケンスは次のようになります。

a (0)、ba (1)、ca (2)、...、9 a (35)、bb (36)、cb (37)、...、9 b (70)、bca (71)、...、99 a (1260)、bcb (1261)、...、99 b (2450)。

通常のnベースの記数法とは異なり、 9 とb がそれぞれ 35 を表す 9 b のような数字があります。ただし、 acとaca は許可されていないため、この表現は独特です。最初のa はこれらの数字のそれぞれを終了させます。

しきい値を柔軟に選択できるため、さまざまなサイズの数字の出現頻度に応じて桁数を最適化できます。

すべてのしきい値が 1 に等しい場合は、全単射の記数法に対応し、ゼロは、ゼロ以外の数字の区切り文字に対応します。

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