量子状態

量子物理学では、量子状態は量子システムに関する知識を具体化する数学的実体です。量子力学は量子状態の構築、進化、測定を規定します。その結果は、状態によって表されるシステムの予測です。量子状態に関する知識と、システムの時間的進化のルールは、量子システムについて知ることができるすべてのものです。

量子状態は、システムや問題の種類によって異なる定義がされる。2つの大きなカテゴリーがある。

• 位置または運動量変数を用いて量子系を記述する波動関数と
• より抽象的なベクトル量子状態。

歴史的、教育的、応用重視の問題では、通常、波動関数が取り上げられます。現代の専門的な物理学では、抽象的なベクトル状態が使用されます。どちらのカテゴリでも、量子状態は純粋状態と混合状態、またはコヒーレント状態とインコヒーレント状態に分けられます。特殊な特性を持つカテゴリには、時間に依存しない定常状態や、量子場理論における量子真空状態などがあります。

物理学のツールとして、量子状態は古典力学の状態から生まれました。古典的な動的状態は、各瞬間に明確に定義された実数値を持つ一連の動的変数で構成されます。 ^{[1] : 3}たとえば、大砲の弾丸の状態は、その位置と速度で構成されます。状態の値は運動方程式に従って変化するため、厳密に決定されたままです。大砲の位置と発射体の射出速度がわかれば、重力を含む方程式を使用して大砲の弾丸の軌道を正確に予測できます。

同様に、量子状態は運動方程式に従って発展する一連の動的変数から構成されます。しかし、量子状態から導出される値は複素数であり、量子化され、不確定性関係によって制限され、^{[1] : 159} 、システムの結果の確率分布のみを提供します。これらの制約は量子動的変数の性質を変えます。たとえば、二重スリット実験における電子の量子状態は、検出領域全体の複素値から構成され、2乗すると、検出器全体の電子数の確率分布のみを予測します。

量子システムを量子力学で記述するプロセスは、システムの量子状態を定義する変数のセットを特定することから始まります。^{[1] ：204} セットには互換性のある変数と互換性のない変数が含まれます。互換性のある変数の完全なセットを同時に測定すると、システムが一意の状態に準備されます。その後、状態は運動方程式に従って決定論的に進化します。その後の状態測定により、測定に対応する量子力学演算子によって予測される確率分布からサンプルが生成されます。

量子測定の根本的に統計的または確率的な性質は、古典力学における古典状態と比較して、量子力学における量子状態の役割を変えます。古典力学では、1つまたは複数の物体の初期状態が測定され、その状態は運動方程式に従って発展し、最終状態の測定値が予測と比較されます。量子力学では、同じように準備された量子状態の集団が運動方程式に従って発展し、多数の反復測定が予測された確率分布と比較されます。^{[1] : 204}

測定は量子状態に対するマクロな操作であり、状態をフィルタリングします。^{[1] : 196}入力された量子状態が何であれ、同一の測定を繰り返し行うと一貫した値が得られます。このため、測定は実験のために量子状態を「準備」し、システムを部分的に定義された状態にします。後続の測定はシステムをさらに準備する場合 (これらは互換性のある測定です)、または状態を変更して再定義する場合があります (これらは互換性のない測定または相補的な測定と呼ばれます)。たとえば、軸に沿った状態の運動量を何度測定しても同じ結果が得られますが、運動量を一度測定した後に位置を測定すると、後続の運動量の測定値は変更されます。量子状態は互換性のない測定によって不可避的に変更されたように見えます。これは不確定性原理として知られています。 ${\displaystyle x}$

測定後の量子状態は、その測定と測定された値に対応する固有状態にある。 ^{[1] : 202}状態のその他の側面は不明である可能性がある。測定を繰り返しても状態は変化しない。場合によっては、互換性のある測定によって状態がさらに洗練され、これらすべての測定に対応する固有状態になることがある。^[2]互換性のある測定の完全なセットは純粋状態を生成する。純粋でない状態は混合状態と呼ばれ、以下でより詳しく説明する。^{[1] : 204  [3] : 73}

シュレーディンガー方程式の固有状態解は純粋状態に形成できる。実験で純粋状態が生成されることは稀である。したがって、統計的混合解は実験と比較する必要がある。^{[1] : 204}

同じ物理的量子状態は、表現と呼ばれるさまざまな方法で数学的に表現できます。^[1]位置波動関数は、量子力学の入門書で最初によく見られる表現の 1 つです。同等の運動量波動関数は、波動関数に基づく別の表現です。表現は、座標系^{[1] : 244}や、パラメトリック方程式などの同様の数学的デバイスに類似しています。表現を選択すると、問題のいくつかの側面が容易になりますが、他の側面が困難になるという代償が伴います。

形式的量子力学（下記参照）では、理論は抽象的な「ベクトル空間」の観点から展開され、特定の表現は避けられる。これにより、量子力学の多くの洗練された概念を表現し、古典的な類似物が存在しない場合でも適用することができる。^{[1] ：244}

波動関数は量子状態を表すもので、特に位置や運動量の関数である場合によく使われる。歴史的には、量子状態の定義には、より形式的な方法が開発される前は波動関数が使われていた。^{[4] : 268}波動関数は、可換または互換性のある自由度の完全なセットの複素数値関数である。たとえば、1 つのセットは電子の空間座標である。互換性のある観測可能な完全なセットを測定することでシステムを準備すると、純粋な量子状態が生成される。より一般的な、不完全な準備では、混合量子状態が生成される。測定に対応する演算子に対するシュレーディンガーの運動方程式の波動関数解は、純粋状態として簡単に表現できる。予想される確率分布を計算するには、実験準備に一致する統計的重みと組み合わせる必要がある。^{[1] : 205}${\displaystyle x,y,z}$

量子力学における数値解または解析解は、純粋状態として表現できます。これらの解の状態は固有状態と呼ばれ、量子化された値、通常は量子数でラベル付けされます。たとえば、水素原子内の電子のエネルギー スペクトルを扱う場合、関連する純粋状態は、主量子数n、角運動量量子数ℓ、磁気量子数m、およびスピンz成分s _zによって識別されます。別の例として、電子のスピン を任意の方向で測定した場合 (たとえばシュテルン・ゲルラッハ実験 ) 、上または下の 2 つの結果が考えられます。ここで純粋状態は、長さが 1 の 2 次元複素ベクトルで表されます。つまり、 となり 、と はおよびの絶対値です。 ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,}$$${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle |\beta |}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

量子力学の公理によれば、与えられた時間tにおける純粋状態は可分な複素ヒルベルト空間のベクトルに対応し、測定可能な各物理量 (粒子のエネルギーや運動量など) は観測可能量 と呼ばれる数学演算子に関連付けられます。演算子は、システムの状態に作用する線形関数として機能します。演算子の固有値は、観測可能量の可能な値に対応します。たとえば、運動量演算子の固有値の 1 つが 1 kg⋅m/s である場合に限り、運動量 1 kg⋅m/s を持つ粒子を観測できます。固有値 1 kg⋅m/s を持つ対応する固有ベクトル(物理学者はこれを固有状態と呼びます) は、量子不確定性のない、明確に定義された運動量値 1 kg⋅m/s を持つ量子状態になります。その運動量を測定した場合、結果は 1 kg⋅m/s になることが保証されます。

一方、複数の異なる固有状態が重ね合わされたシステムでは、与えられた観測量に対して量子不確定性が一般的に存在します。ブラケット記法を使用すると、この固有状態の線形結合は次のように表すことができます。 線形結合内の特定の状態に対応する係数は複素数であるため、状態間の干渉効果が生じます。係数は時間に依存します。量子状態が時間とともにどのように変化するかは、時間発展演算子によって決まります。 $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$$

混合量子状態は、純粋状態の確率的混合に対応します。ただし、純粋状態の異なる分布は、同等の（つまり、物理的に区別できない）混合状態を生成する可能性があります。量子状態の混合もまた量子状態です。

密度行列の定式化における電子スピンの混合状態は、エルミートかつ半正定値でトレース1 を持つ行列の構造を持ちます。 ^{[5]より複雑なケースは (}括弧表記)シングレット状態によって与えられ、これは量子エンタングルメント: スピン1 ⁄ 2を持つ 2 つの粒子の結合スピン状態の重ね合わせ を伴います。シングレット状態は、粒子のスピンが同じ方向に沿って測定された場合、最初の粒子のスピンが上向きに観測され、2 番目の粒子のスピンが下向きに観測されるか、最初の粒子が下向きに観測され、2 番目の粒子が上向きに観測されるという特性を満たし、両方の可能性が等しい確率で発生します。 ${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigr )},}$$

純粋量子状態は、複素数上の射影ヒルベルト空間内の光線によって表すことができますが、混合状態は密度行列によって表され、密度行列はヒルベルト空間に作用する半正定値演算子です。 ^{[6] [3]} シュレーディンガー–HJW定理は、与えられた混合状態を純粋状態の凸結合として表すさまざまな方法を分類します。^[7]量子システムで 特定の測定を実行する前に、理論は結果の確率分布のみを与え、この分布が取る形は、量子状態と測定を記述する線形演算子によって完全に決定されます。異なる測定の確率分布は、不確定性原理によって例示されるトレードオフを示します。つまり、1つの実験の可能な結果の広がりが狭いことを意味する状態は、必然的に別の実験の可能な結果の広がりが広いことを意味します。

統計的混合状態は、異なるタイプの線形結合です。統計的混合状態は、独立したシステムの統計的集合です。統計的混合は知識の程度を表しますが、量子力学内の不確実性は基本的です。数学的には、統計的混合は複素係数を使用した組み合わせではなく、異なる状態の実数値の正の確率を使用した組み合わせです。数値は、ランダムに選択されたシステムが状態にある確率を表します。線形結合の場合とは異なり、各システムは明確な固有状態にあります。^{[8] [9]}${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \Phi _{n}}$

観測量Aの期待値は、観測量の測定値の統計的平均です。この平均と確率の分布が物理理論によって予測されます。 ${\displaystyle {\langle A\rangle }_{\sigma }}$

すべての観測量に対して同時に固有状態である状態は存在しません。たとえば、位置測定値Q ( t )と運動量測定値P ( t ) (同じ時刻t ) の両方が正確にわかっているような状態を準備することはできません。少なくともそのうちの 1 つは、可能な値の範囲を持ちます。^[a]これがハイゼンベルクの不確定性関係の内容です。

さらに、古典力学とは対照的に、システムを測定すると一般にその状態が変化することは避けられません。^{[10] [11] [b]より正確には、観測可能な}A を測定後、システムはAの固有状態になります。したがって、システムがすでにその固有状態にない限り、状態は変化しています。これは、ある種の論理的一貫性を表しています。つまり、実験の同じ実行でA を2 回測定すると、測定が時間的に直接連続し、 ^[c]同じ結果が得られます。ただし、次のように奇妙な結果が生じます。

2 つの両立しない観測量AとBを考えます。ここで、AはBよりも早い時点の測定に対応します。 ^[d]実験の開始時に システムがBの固有状態にあると仮定します。 Bのみを測定すると、実験のすべての実行で同じ結果が得られます。実験の同じ実行で最初にA を測定し、次にB を測定すると、システムは最初の測定後にAの固有状態に移行し、通常、 Bの結果が統計的であることがわかります。したがって、量子力学的な測定は互いに影響を及ぼし合うため、測定を実行する順序が重要です。

量子状態の別の特徴は、複数のサブシステムで構成される物理システム、たとえば 1 つの粒子ではなく 2 つの粒子を使った実験を考慮する場合に重要になります。量子物理学では、古典理論では説明できない 2 つの粒子の測定値間の特定の統計的相関関係を示す、エンタングルメント状態と呼ばれる特定の状態が認められます。詳細については、エンタングルメントを参照してください。これらのエンタングルメント状態は、量子理論と代替の古典的 (非量子) モデルを区別できる実験的に検証可能な特性 (ベルの定理) につながります。

観測可能なものが時間に依存する一方で、状態σ は実験の開始時に一度固定されているとみなすことができます。このアプローチはハイゼンベルク描像と呼ばれます。（このアプローチは、上記の議論の後半で、時間とともに変化する観測可能なものP ( t )、Q ( t )に対して採用されました。）同様に、観測可能なものが固定されている一方で、システムの状態は時間に依存すると扱うこともできます。これはシュレーディンガー描像として知られています。（このアプローチは、上記の議論の前半で、時間とともに変化する状態に対して採用されました。）概念的には（そして数学的には）、2 つのアプローチは同等であり、どちらかを選択することは慣例の問題です。 ${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$

量子論では両方の観点が用いられている。非相対論的量子力学は通常シュレーディンガー描像で定式化されるが、相対論的文脈、すなわち量子場理論ではハイゼンベルク描像が好まれることが多い。ディラック描像と比較されたい。^{[13] : 65}

量子物理学は、次のように線型代数で表現されるのが最も一般的です。任意のシステムは、有限次元または無限次元のヒルベルト空間と同一視されます。純粋状態は、ノルム1 のベクトルに対応します。したがって、すべての純粋状態の集合はヒルベルト空間の単位球面に対応します。単位球面は、ノルム 1 のすべてのベクトルの集合として定義されるからです。

純粋状態にスカラーを掛けることは物理的には重要ではありません (状態がそれ自体で考えられている限り)。複素ヒルベルト空間のベクトルが、別のベクトルから非ゼロの複素数を掛けることによって得られる場合、 の 2 つのベクトルは、 の 射影ヒルベルト空間内の同じ光線に対応すると言われます。光線という言葉が使用されていますが、正確に言えば、射影ヒルベルト空間は、半直線、つまり幾何学的な意味での光線ではなく、ヒルベルト空間の原点を通過する直線に対応することに注意してください。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle H}$

量子力学の計算では、線型演算子、スカラー積、双対空間、エルミート共役が頻繁に使用されます。このような計算をスムーズに行うため、また、（状況によっては）基礎となる線型代数を完全に理解する必要がないようにするために、ポール・ディラックは量子状態を記述するブラケット記法と呼ばれる記法を発明しました。詳細についてはこの記事の範囲を超えていますが、その帰結として次のことが挙げられます。

• 状態ベクトル (純粋な量子状態に対応) を表すために使用される表現は、次の形式になります(ここで、「 」は、他の任意の記号、文字、数字、または単語に置き換えることができます)。これは、ベクトルが通常小文字のラテン文字である通常の数学表記法とは対照的であり、文脈からベクトルであることが明白です。${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \psi }$
• ディラックは互いに双対な2種類のベクトル、ブラベクトルとケットベクトルを定義した。 ^[e]
• 各ケットは、 と表記されるいわゆるブラと一意に関連付けられ、同じ物理的量子状態に対応します。技術的には、ブラはケットの随伴です。これは双対空間の要素であり、リース表現定理によってケットに関連付けられます。選択された正規直交基底を持つ有限次元空間では、列ベクトルとして記述すると、は行ベクトルです。これを取得するには、の転置とエントリごとの複素共役を取るだけです。${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$
• スカラー積^{[f] [g]} (括弧とも呼ばれる) は、ブラとケットが並んでいるように見えるように記述されます: 。 (「ブラケット」という語句は、「括弧」に似ていると考えられています。)${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$

角運動量はプランク定数と同じ次元 ( M · L ² · T ⁻¹ ) を持ち、量子スケールでは量子システムの離散的な自由度として振る舞います。ほとんどの粒子は、古典力学ではまったく現れず、ディラックの理論の相対論的一般化から生じる一種の固有角運動量を持っています。数学的には、スピノルで記述されます。非相対論的量子力学では、リー群SU(2)の群表現を使用してこの追加の自由を記述します。特定の粒子について、表現の選択 (およびスピン観測量の可能な値の範囲) は、縮小プランク定数ħの単位で、整数(0、1、2 ...) または半整数(1/2、3/2、5/2 ...)のいずれかである非負数Sによって指定されます。スピンSを持つ質量を持つ粒子の場合、そのスピン量子数mは常に2 S + 1の可能な値のいずれかをとる。 $${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots ,S-1,S\}}$$

その結果、スピンを持つ粒子の量子状態は、C ^{2 S +1}の値を持つベクトル値の波動関数によって記述されます。同様に、これは 4 つの変数の複素数値関数によって表されます。つまり、1 つの離散量子数変数 (スピン用) が、通常の 3 つの連続変数 (空間の位置用) に追加されます。

それぞれが潜在的にスピンを持つN個の粒子のシステムの量子状態は、3つの空間座標とスピンに対応する粒子あたり4つの変数を持つ複素数値関数によって記述されます。 $${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}$$

ここで、スピン変数m _{ν は、} ν番目の粒子のスピンで あるセットからの値を取ります 。スピンを示さない粒子の場合。 $${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}}$$${\displaystyle S_{\nu }}$${\displaystyle S_{\nu }=0}$

同一粒子の扱いは、ボソン（整数スピンを持つ粒子）とフェルミオン（半整数スピンを持つ粒子）で大きく異なります。上記のN粒子関数は、粒子数に関して対称化（ボソンの場合）または反対称化（フェルミオンの場合）する必要があります。N 個の粒子すべてが同一ではなく、一部が同一である場合、関数は、統計（ボソンまたはフェルミオン）に従って、同一変数の各グループに対応する変数に対して個別に（反対）対称化する必要があります。

電子はS = 1/2のフェルミオンであり、光子（光の量子）はS = 1のボソンです（ただし、真空中では質量がないため、シュレーディンガー力学では記述できません）。

対称化や反対称化が不要な場合は、N粒子状態空間は1 粒子空間の テンソル積によって簡単に得られます。これについては後で説明します。

任意のヒルベルト空間と同様に、システムのヒルベルト空間に基底が選択されると、任意のケットをそれらの基底要素の線形結合として展開できます。 記号的に、基底ケット が与えられれば、任意のケットをと表記できます 。 ここで、 c _iは複素数です。 物理的に言えば、これは、状態の量子重ね合わせとして表現されていると説明できます。基底ケットが正規直交になるように選択されると(多くの場合そうなります)、 となります。 ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$

注目すべき特性の1つは、正規化された状態は次のように特徴付けられ 、正規直交基底の場合、これは次のように変換される。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1,}$$$${\displaystyle \sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$$

この種の展開は、量子力学における測定において重要な役割を果たします。特に、が観測量の固有状態（固有値k _i ）であり、その観測量が正規化状態 で測定される場合、測定結果がk _iである確率は| c _i | ²です。（上記の正規化条件により、確率の合計が 1 に等しくなります。） ${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

特に重要な例は位置基底で、これは測定位置に対応する観測量の固有値を持つ固有状態からなる基底です。 ^[h]これらの固有状態が非退化の場合 (たとえば、システムが単一のスピンのない粒子である場合)、任意の ket は3 次元空間の複素数値関数に関連付けられます 。 ^[j]この関数はに対応する波動関数 と呼ばれます。上記の離散ケースと同様に、位置にある粒子の確率密度は であり、正規化された状態 は です。 位置基底 の連続セットに関して、状態は次のようになります。 ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\equiv \langle \mathbf {r} |\psi \rangle .}$$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,|\psi (\mathbf {r} )|^{2}=1.}$$${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} )|\mathbf {r} \rangle .}$$

純粋状態は密接に関連しているものの、量子不確定性のない観測可能な純粋な点スペクトルに属する束縛状態とは異なります。粒子が空間の境界領域内に常に局在している場合、その粒子は束縛状態にあると言われます。純粋状態が束縛状態と呼ばれるのは、 任意のに対してとなるコンパクト集合が存在する場合のみです。^[15]積分は、任意の時刻 において粒子が境界領域内に見つかる確率を表します。確率が に任意に近いままである場合、粒子は に留まっていると言われます。 ${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle \int _{K}|\phi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon }$$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$

上で述べたように、量子状態は重ね合わせることができます。と が量子状態に対応する 2 つのケットである場合、ケット も同じシステムの量子状態です。 とはどちらも複素数になる可能性があり、それらの相対振幅と相対位相は結果として生じる量子状態に影響を与えます。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$$${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle c_{\beta }}$

重ね合わせた状態を次のように書き 、状態のノルムを定義する と、共通因子を抽出すると次のようになる。 前面の全体的な位相因子には物理的な影響はない。^{[16] : 108}相対位相のみが重ね合わせの物理的性質に影響を与える。 $${\displaystyle c_{\alpha }=A_{\alpha }e^{i\theta _{\alpha }}\ \ c_{\beta }=A_{\beta }e^{i\theta _{\beta }}}$$$${\displaystyle |c_{\alpha }|^{2}+|c_{\beta }|^{2}=A_{\alpha }^{2}+A_{\beta }^{2}=1}$$$${\displaystyle e^{i\theta _{\alpha }}\left(A_{\alpha }|\alpha \rangle +{\sqrt {1-A_{\alpha }^{2}}}e^{i\theta _{\beta }-i\theta _{\alpha }}|\beta \rangle \right)}$$

重ね合わせの一例は、二重スリット実験です。この実験では、重ね合わせによって量子干渉が発生します。二重スリット実験の量子状態は、2 つの単一スリット量子状態の重ね合わせであり、1 つは左のスリットに対応し、もう 1 つは右のスリットに対応します。検出器面では、これら 2 つの単一スリット状態の相対位相は、2 つのスリットからの距離の差によって異なります。その相対位相に応じて、干渉は、ある場所では建設的になり、他の場所では破壊的になり、干渉パターンが作成されます。他の波動現象におけるコヒーレンスと同様に、重ね合わせた状態はコヒーレントな重ね合わせであると言えます。

量子重ね合わせにおける相対位相の重要性を示すもう 1 つの例は、ラビ振動です。ラビ振動では、シュレーディンガー方程式により 2 つの状態の相対位相が時間とともに変化します。結果として生じる重ね合わせは、2 つの異なる状態の間を行ったり来たりして振動することになります。

純粋量子状態は、上で述べたように、単一のケットベクトルで記述できる状態である。混合量子状態は、純粋状態の統計的集合である（量子統計力学を参照）。^{[3] : 73}

量子力学では、混合状態は 2 つの異なる状況で発生します。1 つ目は、システムの準備が完全にはわかっていないため、可能な準備の統計的集合を扱わなければならない場合です。2 つ目は、その状態を純粋な状態では説明できないため、別のシステムとエンタングルメントしている物理システムを記述する場合です。最初のケースでは、理論上、システムの完全な履歴を知っている別の人物が存在する可能性があり、そのため、同じシステムを純粋な状態として記述できます。この場合、密度行列は、量子状態に関する限られた知識を表すために単に使用されます。ただし、2 番目のケースでは、量子エンタングルメントの存在により、理論的にはサブシステムに関する完全な知識が存在することが妨げられ、エンタングルメントされたペアのサブシステムを純粋な状態として記述することは誰にも不可能です。

混合状態は、エンタングルメント状態を持つ複合量子系において、その部分が観測者にアクセスできない場合に、純粋状態から必然的に生じる。^{[3] : 121–122}その部分の状態は、上の部分トレースとして表現される。 ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

混合状態は単一のケットベクトルでは記述できない。 ^{[17] : 691–692}代わりに、関連する密度行列（または密度演算子）によって記述され、通常はρと表記される。密度行列は、混合状態と純粋状態の両方を記述することができ、それらを同じ立場で扱うことができる。さらに、ヒルベルト空間によって記述される特定の量子系上の混合量子状態は、十分に大きなヒルベルト空間に対するより大きな二部系上の純粋量子状態（精製 と呼ばれる）の部分トレースとして常に表すことができる。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H\otimes K}$${\displaystyle K}$

混合状態を記述する密度行列は、 p _{s が}各純粋状態における集団の割合で ある形式の演算子として定義されます。 密度行列は、これらの粒子が存在する可能性のある状態の確率分布 (または集団) を与えることによって、1 粒子形式を使用して多くの類似粒子の挙動を記述する方法と考えることができます。 $${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$

密度行列が純粋状態または混合状態を記述しているかどうかを確認するための簡単な基準は、状態が純粋である場合にρ ²のトレースが1に等しく、状態が混合である場合に1未満であることです。^{[k] [18]もう一つの同等の基準は、}フォンノイマンエントロピーが純粋状態では0であり、混合状態では厳密に正であるという ことです。

量子力学における測定の規則は、密度行列を使って述べると特に簡単です。たとえば、観測量Aに対応する測定の集団平均（期待値）は次のように与えられます 。 ここで、 と はそれぞれ演算子Aの固有ケットと固有値であり、「tr」はトレースを表します。^{[3] : 73} 2 種類の平均化が行われていることに注意することが重要です。1 つ ( 上) は量子が状態 にあるときの観測量の通常の期待値であり 、もう 1 つ ( 上) は量子がそれらの状態にある 確率p _sによる統計的（いわゆるインコヒーレント）平均です。$${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$$${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$${\displaystyle s}$

ユージン・ウィグナーによれば^[19]、混合の概念はレフ・ランダウによって提唱された^{[20] [14] ：38–41}。

状態は、ベクトル空間のベクトルとしてではなく、観測可能量の観点から定式化できます。これらは、C*-代数上の正の正規化された線形関数、または場合によっては観測可能量の他のクラスの代数です。詳細については、 C*-代数上の状態とGelfand–Naimark–Segal 構成を参照してください。

量子状態の概念、特に上記の「量子物理学における形式主義」のセクションの内容は、量子力学の標準的な教科書のほとんどで取り上げられています。

概念的な側面の議論と古典的な状態との比較については、以下を参照してください。

• イシャム、クリス・J (1995)。量子理論に関する講義：数学的および構造的基礎。インペリアル・カレッジ・プレス。ISBN 978-1-86094-001-9。

数学的な側面のより詳細な説明については、以下を参照してください。

• ブラッテリ、オラ、ロビンソン、デレク W (1987)。演算子代数と量子統計力学 1。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-17093-8. 第2版。特に、セクション2.3を参照してください。

混合量子状態の精製に関する議論については、Caltech の Physics 219 の John Preskill の講義ノートの第 2 章を参照してください。

幾何学的側面に関する議論については以下を参照してください。

• Bengtsson I; Życzkowski K (2006).量子状態の幾何学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局.、第2版、改訂版（2017年）