ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ

グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは、1805年2月13日にライン川左岸の町デューレンで生まれた。当時デューレンは第一帝政フランス領であったが、 1815年のウィーン会議後にプロイセン領となった。彼の父ヨハン・アーノルド・ルジューヌ・ディリクレは郵便局長、商人、市議会議員であった。彼の父方の祖父は、ベルギーのリエージュの北東5km （3マイル）にある小さな町リシュレット（あるいはリシェル）からデューレンに移住しており、彼の姓「ルジューヌ・ディリクレ」（フランス語で「リシュレットの若者」を意味する「 le jeune de Richelette」）はこの町に由来する。^{[ 3 ]} 

家族は裕福ではなく、7人兄弟の末っ子だったが、両親は彼の教育を支援した。両親は彼を小学校に入学させ、その後私立学校に入学させ、将来商人になることを願った。12歳になる前から数学に強い関心を示していた若いディリクレは、両親を説得して学業を続けさせた。1817年、両親は彼をボン・ギムナジウムに送り、家族の知り合いの生徒であるペーター・ヨーゼフ・エルヴェニッヒの指導を受けさせた。1820年、ディリクレはケルンのイエズス会ギムナジウムに移り、そこでゲオルク・オームの授業を受けて数学の知識を広げた。流暢なラテン語を話せなかったためアビトゥーアを取得できず、1年後に卒業証書のみでギムナジウムを去った。^{[ 3 ]}

ディリクレは、両親が法律家としてのキャリアを望んでいたにもかかわらず、数学の研究のためにさらなる経済的支援を両親に求めるよう再び説得した。当時、ドイツでは高等数学を学ぶ機会がほとんどなく、ゲッティンゲン大学には名目上は天文学の教授で、そもそも教えることを好まなかったガウスしかいなかったため、ディリクレは1822年5月にパリに行くことを決めた。そこで彼はコレージュ・ド・フランスとパリ大学で授業を受け、アシェットなどから数学を学びながら、ガウスの『算術研究』を独学で研究し、この本を生涯手放さなかった。1823年、彼はマクシミリアン・フォイ将軍に推薦され、将軍は彼を家庭教師として雇い、子供たちにドイツ語を教えさせた。この給料のおかげで、ディリクレはついに両親の経済的支援から独立することができた。^{[ 4 ]}

フェルマーの最終定理のn = 5の場合の証明の一部を含む彼の最初の独創的な研究は、フェルマー自身のn = 4の場合の証明とオイラーのn = 3の場合の証明以来、この定理における最初の進歩であったため、彼にすぐに名声をもたらした。審査員の 1 人であるアドリアン＝マリー・ルジャンドルはすぐにこの場合の証明を完成させ、ディリクレはルジャンドルの少し後に自身の証明を完成させ、数年後にはn = 14の場合の完全な証明を発表した。^{[ 5 ]} 1825 年 6 月、彼は学位を持たない 20 歳の学生としては異例の偉業である、n = 5の場合の部分的な証明についてフランス科学アカデミーで講演することが認められた。 ^{[ 3 ]}アカデミーでの講演により、ディリクレはフーリエとポアソンと親しくなり、彼らは彼の理論物理学、特にフーリエの熱の解析理論への関心を高めた。

フォイ将軍が1825年11月に亡くなり、フランスで給料の出る職を見つけることができなかったため、ディリクレはプロイセンに戻らざるを得なかった。フーリエとポアソンは、フリードリヒ・ヴィルヘルム3世の宮廷に召集されていたアレクサンダー・フォン・フンボルトに彼を紹介した。ベルリンを科学と研究の中心地にしようと計画していたフンボルトは、すぐにディリクレに協力を申し出、プロイセン政府とプロイセン科学アカデミーに彼のために推薦状を送った。フンボルトはまた、フェルマーの定理に関する彼の論文を読んだガウスから推薦状を取り付けた。ガウスは「ディリクレは優れた才能を示した」と異例の称賛を記した。^{[ 6 ]}フンボルトとガウスの支援を受けて、ディリクレはブレスラウ大学で教職を与えられた。しかし、博士論文に合格していなかったため、フェルマーの定理に関する論文をボン大学に論文として提出した。また、ラテン語の流暢さに欠けていたため、彼は論文の公開討論を行うことができませんでした。多くの議論の後、大学は1827年2月に彼に名誉博士号を授与することでこの問題を回避することにしました。また、教育大臣は、教授資格取得に必要なラテン語討論の免除を彼に与えました。ディリクレは教授資格を取得し、1827年から1828年にかけてブレスラウで私講師として講義を行いました。^{[ 3 ]}

ディリクレはブレスラウ滞在中、数論の研究を続け、当時ガウスの研究の中心であった双二次相互法則に関する重要な貢献を発表した。アレクサンダー・フォン・フンボルトは、フリードリヒ・ベッセルからも熱烈な称賛を受けたこれらの新たな成果を利用し、ディリクレのベルリンへの転勤を実現させた。当時ディリクレは23歳と若かったため、フンボルトはベルリンのプロイセン陸軍士官学校で試用期間の職を得ることしかできず、名目上はブレスラウ大学に在籍することになった。試用期間は3年間延長され、1831年に正式な職となった。

ディリクレがベルリンに移住した後、フンボルトは彼を銀行家アブラハム・メンデルスゾーン・バルトルディとその家族が主催する盛大なサロンに紹介した。彼らの家はベルリンの芸術家や科学者たちの毎週の集いの場となっており、アブラハムの子供であるフェリックスとファニー・メンデルスゾーン（二人とも傑出した音楽家）や、画家ヴィルヘルム・ヘンゼル（ファニーの夫）もそこに集まっていた。ディリクレはアブラハムのもう一人の娘レベッカに強い関心を示し、1832年に彼女と結婚した。

レベッカ・ヘンリエッテ・ルジューヌ・ディリクレ（旧姓レベッカ・メンデルスゾーン、1811年4月11日- 1858年12月1日）は、モーゼス・メンデルスゾーン の孫娘で、フェリックス・メンデルスゾーンとファニー・メンデルスゾーンの末妹である。^{[ 7 ] [ 8 ]}レベッカはハンブルクで生まれた。^{[ 9 ]} 1816年、両親は彼女の洗礼の手配をし、その際にレベッカ・ヘンリエッテ・メンデルスゾーン・バルトルディという名前を授かった。^{[ 10 ]}彼女は、両親のアブラハム・メンデルスゾーンとその妻レアの有名なサロンの一員となり、ドイツの知的生命の非常に創造的な時代に、重要な音楽家、芸術家、科学者と社交的な交流を持った。 1829年、彼女はメンデルスゾーンの家で行われたフェリックスの歌曲「自由な歌」の初演で端役を歌った。彼女は後に次のように書いています。

兄と姉が私の芸術家としての名声を奪ってしまった。他の家族だったら、私は音楽家として高く評価され、もしかしたらグループのリーダーになっていたかもしれない。フェリックスとファニーの隣では、私は何の評価も得られなかった。^{[ 11 ]}

1832年、彼女はアレクサンダー・フォン・フンボルトの紹介でメンデルスゾーン家に紹介されたディリクレと結婚した。^{[ 12 ]} 1833年、長男のヴァルターが生まれた。彼女は1858年にゲッティンゲンで亡くなった。

ディリクレはベルリンに到着するとすぐにベルリン大学での講師職を申請し、教育大臣は異動を承認し、1831年に彼を哲学部に配属した。学部は彼に教授資格の再取得を求め、ディリクレは必要に応じて教授資格論文を書いたものの、義務付けられているラテン語の講義をさらに20年間延期し、1851年まで待った。この正式な要件を満たしていなかったため、彼は給与の制限など完全な権利を持たないまま学部に留まり、陸軍学校での教職を並行して続けざるを得なかった。1832年、ディリクレはプロイセン科学アカデミーの会員となり、わずか27歳で最年少の会員となった。^{[ 3 ]}

ディリクレは説明の明快さで学生から高い評価を得ており、教えることを楽しんでいた。特に、大学での講義は、彼が研究していたより高度なトピック、すなわち数論（彼は数論の講義を行った最初のドイツ人教授だった）、解析学、数理物理学に関するものが多かった。彼はゴットホルト・アイゼンシュタイン、レオポルド・クロネッカー、ルドルフ・リプシッツ、カール・ヴィルヘルム・ボルヒャルトなど、数名の重要なドイツ人数学者の博士論文を指導し、エルヴィン・ブルーノ・クリストッフェル、ヴィルヘルム・ウェーバー、エドゥアルト・ハイネ、ルートヴィヒ・フォン・ザイデル、ユリウス・ヴァインガルテンなど、他の多くの科学者の数学的形成にも影響を与えた。陸軍士官学校では、ディリクレはカリキュラムに微分積分を導入し、そこでの科学教育のレベルを高めた。しかし、陸軍士官学校と大学での二重の教育負担が、研究に使える時間を制限していると徐々に感じ始めた。^{[ 3 ]}

ベルリン滞在中、ディリクレは他の数学者たちと連絡を取り合っていた。1829年、旅行中に、当時ケーニヒスベルク大学の数学教授であったカール・ヤコビと出会った。その後も二人は研究について会ったり手紙をやり取りしたりし、やがて親しい友人となった。1839年、パリを訪れた際、ディリクレはジョゼフ・リウヴィルと出会い、二人の数学者は友人となり、連絡を取り合い、数年後には家族ぐるみで互いの家を訪ね合うようになった。1839年、ヤコビは当時教師であったエルンスト・クンマーの論文をディリクレに送った。クンマーの才能を見抜いた二人は、クンマーがベルリン・アカデミーに選出されるよう尽力し、1842年にはブレスラウ大学の正教授の地位を獲得した。1840年、クンマーはレベッカのいとこであるオッティリー・メンデルスゾーンと結婚した。

1843年、ヤコビが病に倒れた時、ディリクレはケーニヒスベルクへ行って彼を助け、フリードリヒ・ヴィルヘルム4世の侍医の助けを彼に求めた。侍医がヤコビにイタリアでしばらく過ごすことを勧めたので、ディリクレは家族とともに彼に同行した。イタリアには通訳としてルートヴィヒ・シュレーフリが同行した。シュレーフリは数学に強い関心を持っていたため、ディリクレとヤコビは旅行中に彼に講義をし、後に彼自身も重要な数学者となった。^{[ 3 ]}ディリクレ一家はイタリアでの滞在を1845年まで延長し、そこで娘のフローラが生まれた。1844年、ヤコビは王室年金受給者としてベルリンに移り住み、二人の友情はさらに深まった。 1846年、ハイデルベルク大学がディリクレを招聘しようとした際、ヤコビはフォン・フンボルトに必要な支援を提供し、ディリクレの給与を大学で倍増させてベルリンに留まらせようとした。しかし、それでもディリクレは教授としての給与を全額受け取ることはできず、陸軍士官学校を離れることもできなかった。^{[ 13 ]}

自由主義的な考えを持っていたディリクレとその家族は1848年の革命を支持し、彼はライフル銃を持ってプロイセン王子の宮殿を警備することさえあった。革命が失敗に終わると、陸軍士官学校は一時的に閉鎖され、彼は大きな収入の損失を被った。学校が再開されると、彼が教えていた将校たちは正統政府に忠誠を誓うことが期待されたため、彼に対する環境はより敵対的になった。革命に味方しなかった一部の報道機関は、彼とヤコビ、その他の自由主義的な教授たちを「参謀本部の赤軍」と名指しした。^{[ 3 ]}

1849年、ディリクレは友人のヤコビとともに、ガウスの博士号取得記念式典に参加した。

ディリクレの専門知識と受けた栄誉にもかかわらず、そして1851年までに正教授になるためのすべての正式な要件をようやく満たしたにもかかわらず、大学での給与引き上げの問題は依然として長引き、彼はまだ陸軍士官学校を辞めることができなかった。1855年、ガウスの死後、ゲッティンゲン大学はディリクレを後継者として招聘することを決定した。ベルリンで直面した困難を考慮して、彼はその申し出を受け入れることに決め、すぐに家族とともにゲッティンゲンに移った。クンマーはベルリンで数学教授の職に就くよう要請された。^{[ 4 ]}

ディリクレはゲッティンゲンでの時間を楽しんだ。授業の負担が軽くなったことで研究に費やす時間が増え、特にリヒャルト・デデキントやベルンハルト・リーマンといった新世代の研究者たちと親しくなったからである。ゲッティンゲンに移った後、リーマンが教員として留まるための少額の年俸を得ることができた。デデキント、リーマン、モーリッツ・カントール、アルフレート・エンネパーは、いずれも既に博士号を取得していたが、ディリクレの講義に出席して彼から学んだ。数学教育に不足を感じていたデデキントは、ディリクレから学ぶ機会を得たことで「新しい人間になった」と考えた。^{[ 3 ]}彼は後にディリクレの講義録や数論に関するその他の成果を編集し、『数論講義』 （Vorlesungen über Zahlentheorie ）というタイトルで出版した。

1858年の夏、モントルーへの旅行中にディリクレは心臓発作を起こした。1859年5月5日、妻レベッカの死から数か月後、彼はゲッティンゲンで亡くなった。^{[ 4 ]}ディリクレの脳は、ガウスの脳とともにゲッティンゲン大学の生理学部に保存されている。ベルリンのアカデミーは、1860年にクンマーによる正式な追悼演説で彼を称え、後にクロネッカーとラザルス・フックスが編集した彼の全集の出版を命じた。

数論はディリクレの主な研究対象であり、^{[ 14 ]}この分野で彼はいくつかの深遠な結果を発見し、それらを証明する際にいくつかの基本的なツールを導入しました。その多くは後に彼の名にちなんで名付けられました。1837年、ディリクレは代数的な問題に取り組むために数学解析の概念を使用して等差数列の定理を証明し、解析的数論の分野を創設しました。定理を証明する際に、彼はディリクレ指標とL関数を導入しました。^{[ 14 ] [ 15 ]}その論文で、彼は級数の絶対収束と条件収束の違いと、それが後にリーマン級数の定理と呼ばれるものに与える影響についても言及しました。1841年、彼は等差数列の定理を整数からガウス整数環に一般化しました。${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$[ ^{3 ]​}

1838年と1839年の2つの論文で、彼は二次形式の第一種数公式を証明した（後に彼の弟子であるクロネッカーによって改良された）。ヤコビが「人間の洞察力の極みに触れる」結果と呼んだこの公式は、より一般的な数体に関する同様の結果への道を開いた。^{[ 3 ]}二次体の単位群の構造の研究に基づいて、彼は代数的整数論における基本的な結果であるディリクレの単位定理を証明した。^{[ 15 ]}

彼は、ディオファントス近似定理の証明において、基本的な計数論法である鳩の巣原理を初めて用いた。この定理は後に彼の名にちなんでディリクレの近似定理と名付けられた。彼は、 n = 5およびn = 14の場合を証明したフェルマーの最終定理と、双二次相互法則に重要な貢献をした。^{[ 3 ]}ディリクレ双曲線法を導入して最初の結果を見つけたディリクレ因子問題^{[ 16 ]}は、他の数学者による後年の貢献にもかかわらず、数論において未解決の問題である。

パリの師の研究に触発されたディリクレは、1829年にフーリエ級数の収束が成り立つ関数を示す条件を記した有名な論文を発表した。^{[ 17 ]}ディリクレの解法以前は、フーリエだけでなく、ポアソンやコーシーも収束の厳密な証明を見つけようと試みたが成功しなかった。この論文はコーシーの誤りを指摘し、級数の収束に関するディリクレの判定法を紹介した。また、積分不可能な関数の例としてディリクレ関数を紹介し（定積分は当時まだ発展途上のトピックであった）、フーリエ級数の定理の証明においてディリクレ核とディリクレ積分を導入した。^{[ 18 ]}

ディリクレはまた、ラプラス方程式の最初の境界値問題を研究し、解の一意性を証明しました。偏微分方程式の理論におけるこの種の問題は、後に彼にちなんでディリクレ問題と名付けられました。ディリクレ境界条件を満たす偏微分方程式を満たす関数は、境界上で固定値をとらなければなりません。^{[ 14 ]}証明において、彼は特に、解はいわゆるディリクレエネルギーを最小化する関数であるという原理を用いました。リーマンは後にこのアプローチをディリクレ原理と名付けましたが、ガウスやケルビン卿もこの原理を用いていたことを知っていました。^{[ 3 ]}

ディリクレは、フーリエ級数の収束が示せる関数の範囲を測ろうとする中で、 「任意のxに対して1 つの有限なyが対応している」という性質によって関数を定義したが、その後、区分的に連続な関数にのみ注意を限定した。このことから、彼は、解析式としての関数という古い漠然とした理解とは対照的に、関数の現代的な概念を導入したとされている。^{[ 3 ]}イムレ・ラカトシュは、この帰属の初期の起源としてヘルマン・ハンケルを挙げているが、その主張に異議を唱え、「彼がこの概念を知らなかったという十分な証拠がある[...]、例えば、区分的に連続な関数について議論する際に、彼は不連続点では関数は 2 つの値を持つと述べている」と述べている。^{[ 19 ]}

ディリクレは数理物理学にも携わり、ポテンシャル理論（前述のディリクレ問題とディリクレ原理を含む）、熱理論、流体力学に関する研究を講義し、発表した。^{[ 14 ]}彼は、平衡の条件はポテンシャルエネルギーが最小であることであることを示し、保存系に関するラグランジュの研究を改良した。 ^{[ 20 ]}

ディリクレは確率論と最小二乗法についても講義を行い、特に極限定理と中心極限定理に関連するラプラスの近似法の改良に関して、いくつかの独創的な方法と結果を紹介した。^{[ 21 ]}ディリクレ分布とディリクレ積分に基づくディリクレ過程は、彼にちなんで名付けられている。