コクセターグループ

数学において、HSM Coxeterにちなんで名付けられたCoxeter 群は、反射(または万華鏡のような鏡)の観点から形式的に記述できる 抽象群です。実際、有限 Coxeter 群はまさに有限ユークリッド反射群です。たとえば、各正多面体の対称群は有限 Coxeter 群です。ただし、すべての Coxeter 群が有限であるとは限らず、すべてが対称性とユークリッド反射の観点から記述できるとは限りません。Coxeter 群は 1934 年に反射群の抽象化として導入され^{[ 1 ]}、有限 Coxeter 群は 1935 年に分類されました^{[ 2 ]。}

コクセター群は、数学の多くの分野で応用されています。有限コクセター群の例としては、 正多面体の対称群や、単純リー代数のワイル群などがあります。無限コクセター群の例としては、ユークリッド平面と双曲平面の正則なテセレーションに対応する三角形群や、無限次元カッツ・ムーディー代数のワイル群などがあります。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

正式には、コクセター群は、表示を持つ群として定義できます。$$\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$$ どこ${\displaystyle m_{ii}=1}$そして${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$整数または${\displaystyle \infty }$のために${\displaystyle i\neq j}$.ここで条件${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ 形式${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$任意の整数に対して${\displaystyle m\geq 2}$課されるべきである。^{[ 6 ]}

その二人${\displaystyle (W,S)}$どこ${\displaystyle W}$生成元を持つコクセター群である${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$これはコクセターシステムと呼ばれます。一般に${\displaystyle S}$は一意に決定されない${\displaystyle W}$例えば、コクセター群は、${\displaystyle B_{3}}$そして$\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$これらは同型ですが、コクセター系は同等ではありません。前者は3つの生成元を持ち、後者は1 + 3 = 4つの生成元を持つためです（この表記の説明については下記を参照）。

上記の定義から、いくつかの結論を直ちに導き出すことができる。

• 関係${\displaystyle m_{ii}=1}$つまり${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$すべての人々のために${\displaystyle i}$ そのため、生成元は対合である。
• もし${\displaystyle m_{ij}=2}$そして発電機$\displaystyle r_{i}}$そして$\displaystyle r_j}}$通勤。これは、次のことを観察することによって導かれる。

${\displaystyle xx=yy=1}$、

と共に

${\displaystyle xyxy=1}$

意味するところは

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$。

あるいは、生成元は対合であるため、$\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$、 それで${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$つまり、​$\displaystyle r_{i}}$そして$\displaystyle r_j}}$は 1 に等しい、または同等に、$\displaystyle r_{i}}$そして$\displaystyle r_j}}$通勤。

理由は ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$のために${\displaystyle i\neq j}$定義に規定されているのは、

${\displaystyle yy=1}$、

と共に

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

すでに示唆している

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$。

この含意の別の証明は、次の観察である。${\displaystyle (xy)^{k}}$そして${\displaystyle (yx)^{k}}$共役です:確かに${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$。

グラフ${\displaystyle A_{n}}$どの頂点${\displaystyle 1}$を通して${\displaystyle n}$各頂点がラベルのない辺で隣接する頂点と繋がった状態で一列に並べられたものが、対称群のコクセター図である。${\displaystyle S_{n+1}}$;生成子は転置に対応する${\displaystyle (1~~2),(2~~3),\dots ,(n~~n+1)}$連続しない2つの転置は可換であり、連続する2つの転置を掛け合わせると3サイクルが得られる 。${\displaystyle (k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)=(k~~k+2~~k+1)}$。 したがって${\displaystyle S_{n+1}}$コクセター図を持つコクセター群の商である。${\displaystyle A_{n}}$さらに議論を進めると、この商写像は同型写像であることがわかる。

コクセター群は反射群の抽象化です。コクセター群は、表示によって与えられるという意味で抽象的な群です。一方、反射群は、各要素が何らかのユークリッド空間における線形超平面に関する有限個の幾何学的反射の合成であるという意味で具体的です。厳密には、反射群は、行列式が -1 の直交行列によって生成される線形群(またはさまざまな一般化) の部分群です。コクセター群の各生成元は位数が 2 であり、これは反射を 2 回行うと恒等になるという幾何学的事実を抽象化しています。${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$これは、2 つの超平面が角度で交わるという幾何学的事実に対応しています。${\displaystyle \pi /k}$これらの超平面に関する 2 つの反射の合成は、回転である。${\displaystyle 2\pi /k}$これは次数がkである。

このように、すべての反射群はコクセター群として表現できます。^{[ 1 ]}逆は部分的に真です。すべての有限コクセター群は、あるユークリッド空間の有限反射群として忠実に表現できます。 ^{[ 2 ]} しかし、すべての無限コクセター群が反射群として表現できるわけではありません。

有限コクセター群は分類されている。^{[ 2 ]}

アフィン・コクセター群は、コクセター群のもう一つの重要な系列を形成します。これらはそれ自体は有限ではありませんが、それぞれが正規アーベル部分群を含み、対応する商群は有限です。いずれの場合も、商群自体がコクセター群であり、アフィン・コクセター群のコクセターグラフは、商群のコクセターグラフに別の頂点と1つまたは2つの追加の辺を加えることによって得られます。たとえば、n  ≥ 2 の場合、円内のn  + 1 個の頂点からなるグラフは、このようにしてA _nから得られ、対応するコクセター群はA _nのアフィン・ワイル群（アフィン対称群​​）です。n = 2 の場合、これは、平面を正三角形で標準的にタイル張りする対称群の部分群として考えることができます。  

一般に、ルートシステムが与えられると、ルートに直交する超平面と、これらの超平面の特定の平行移動からなる関連するスティフェル図を構築できます。アフィンコクセター群（またはアフィンワイル群）は、図内のすべての超平面に関する（アフィン）反射によって生成される群です。 ^{[ 10 ]}スティフェル図は平面をアルコーブと呼ばれる無限個の連結成分に分割し、通常のワイル群がワイルチャンバーに自由かつ推移的に作用するのと同様に、アフィンコクセター群はアルコーブに自由かつ推移的に作用します。右の図は、次のスティフェル図を示しています。${\displaystyle G_{2}}$ルートシステム。

仮定する${\displaystyle R}$ランクの還元不可能な根系である${\displaystyle r>1}$そして${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$単純な根の集合である。また、${\displaystyle \alpha _{r+1}}$は最高根を表す。すると、アフィンコクセター群は、に垂直な超平面に関する通常の（線形）反射によって生成される。${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$超平面に垂直な平行移動に関するアフィン反射とともに${\displaystyle \alpha _{r+1}}$アフィンワイル群のコクセターグラフは、コクセター・ディンキン図である。${\displaystyle R}$1 つの追加ノードとともに、${\displaystyle \alpha _{r+1}}$この場合、基本ワイルチャンバーを取り、それに垂直な超平面の平行移動によって切断することで、スティフェル図の1つのアルコーブが得られます。${\displaystyle \alpha _{r+1}}$[ ^{11 ]​}

アフィン・コクセター群の一覧は以下のとおりです。

それぞれの群は有限群のグラフにノードを追加することによって得られたものであるため、群記号の添え字は各場合においてノード数より1少ない値となる。

双曲空間における反射群を記述する双曲コクセター群は無限に存在し、特に双曲三角形群などが挙げられる。

コクセター群は、そのコクセター・ディンキン図が連結である場合に既約であると言われる。すべてのコクセター群は、そのコクセター・ディンキン図の成分に対応する既約群の直積である。

反射生成子の選択により、コクセター群上の長さ関数ℓが得られます。これは、群要素を表現するために必要な生成子の最小使用回数であり、ケイリーグラフのワードメトリックの長さと正確に一致します。ℓ ( v )個の生成子を用いたvの表現は、縮約語です。例えば、 S3_の置換(13)には、(12)(23)(12)と(23)(12)(23)という2つの縮約語があります。${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$マップを定義します${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$対称群に対する符号写像を一般化する。

縮約語を用いると、コクセター群上に3つの半順序、すなわち（右）弱順序、絶対順序、およびブルハット順序（フランソワ・ブルハットにちなんで命名）を定義できる。ブルハット順序において、要素vが要素uを超えるのは、 vの縮約語（または同等に任意の縮約語）が、 uの縮約語を部分文字列として含み、その部分文字列において（任意の位置の）いくつかの文字が削除される場合である。弱順序では、vの縮約語がuの縮約語を最初のセグメントとして含む場合、 v  ≥ uとなる。実際、語長によってこれは次数付き半順序集合となる。これらの順序に対応するハッセ図は研究対象であり、生成元によって決定されるケイリーグラフと関連している。絶対順序は弱順序と同様に定義されるが、生成元集合／アルファベットはコクセター生成元のすべての共役から構成される。 

例えば、S ₃の順列 (1 2 3) は、(12)(23) という 1 つの簡約語しか持たないため、Bruhat 順序では (12) と (23) をカバーしますが、弱い順序では (12) しかカバーしません。

コクセターグループ以来${\displaystyle W}$は位数2の有限個の要素によって生成され、そのアーベル化は初等アーベル2群であり、すなわち、巡回群の複数のコピーの直和と同型である。${\displaystyle Z_{2}}$これは、第一相同群の観点から言い換えることができる。${\displaystyle W}$。

シュール乗数${\displaystyle M(W)}$、第2相同群に等しい${\displaystyle W}$は、有限反射群については( Ihara & Yokonuma 1965 )で、アフィン反射群については( Yokonuma 1965 )で計算され、より統一的な説明は( Howlett 1988 )で与えられている。いずれの場合も、シューア乗数は初等アーベル2群でもある。各無限族について${\displaystyle \{W_{n}\}}$有限またはアフィンワイル群のランクは${\displaystyle M(W_{n})}$安定する${\displaystyle n}$無限大に及ぶ。

• アルティン-ティッツグループ
• シュヴァレー・シェパード・トッドの定理
• 複雑な反射群
• コクセター要素
• コクセター群の同型性問題
• 岩堀・ヘッケ代数、群代数の量子変形
• カジュダン・ルスティグ多項式
• コクセター群の最長要素
• 反射群の放物線部分群
• 超可解配置

• 「コクセター群」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイスタイン、エリック W.、「Coxeter グループ」、MathWorld
• Jennソフトウェアは、最大4つの生成元を持つ有限コクセター群のケイリーグラフを可視化するためのソフトウェアです。