リッチ計算

数学において、リッチ計算は、計量テンソルや接続の有無に関わらず、微分可能多様体上のテンソルとテンソル場 に対する指数表記法と操作規則を構成する。^{[a] [1] [2] [3]これはまた、かつて}絶対微分計算（テンソル計算の基礎）、テンソル計算、またはテンソル解析と呼ばれていたものの現代名であり、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロが1887年から1896年にかけて開発し、その後1900年に弟子のトゥリオ・レヴィ＝チヴィタと共著した論文で普及した。 ^[4]ヤン・アルノルドゥス・スハウテンは、この数学的枠組みの現代的な表記法と形式論を開発し、20世紀初頭の一般相対性理論と微分幾何学への応用において理論に貢献した。^[5]現代のテンソル解析の基礎は、ベルンハルト・リーマンが1861年に発表した論文で発展しました^。[6]

テンソルの成分は、テンソル空間の基底要素の係数として使用される実数です。テンソルは、その成分と対応する基底要素の積の合計です。テンソルとテンソル場は、その成分で表現でき、テンソルとテンソル場の演算は、その成分の演算で表現できます。テンソル場と演算をその成分で記述することが、リッチ計算の焦点です。この表記法を使用すると、このようなテンソル場と演算を効率的に表現できます。表記法の多くはどのテンソルにも適用できますが、微分構造に関連する演算は、テンソル場にのみ適用できます。必要に応じて、この表記法は、特に多次元配列などの非テンソルの成分にまで拡張されます。

テンソルは、ベクトルと共ベクトルの基底要素のテンソル積の線形和として表現できます。結果として得られるテンソル成分は、基底のインデックスによってラベル付けされます。各インデックスには、基底ベクトル空間の次元ごとに 1 つの値があります。インデックスの数は、テンソルの次数 (または順序) に等しくなります。

簡潔さと利便性のため、リッチ計算にはアインシュタイン記法が組み込まれており、これは項内で繰り返されるインデックスの総和と自由インデックスの全称量化を意味します。リッチ計算の記法による表現は、一般に、多様体上の関数、より具体的には多様体上の座標の関数として、成分を関連付ける一連の同時方程式として解釈できます。これにより、限られた一連の規則のみを知っていれば、表現を直感的に操作できます。

テンソル計算は、弾性、連続体力学、電磁気学（電磁場の数学的記述を参照）、一般相対性理論（一般相対性理論の数学を参照）、場の量子論、機械学習など、物理学、工学、コンピューターサイエンスの分野で多くの応用があります。

外積分学 の主唱者であるエリー・カルタンと共同で、影響力のある幾何学者シイン・シェン・チャーンはテンソル計算の役割を次のように要約している。^[7]

多様体について語る微分幾何学という科目で難しいのは、幾何学は座標で記述されるものの、座標には意味がないことです。座標は変換することができます。このような状況に対処するために重要なツールは、いわゆるテンソル解析、またはリッチ計算です。これは数学者にとっては新しいものでした。数学では関数があり、関数を書き、計算したり、足したり、掛けたり、微分したりできます。非常に具体的なものがあります。幾何学では、幾何学的な状況は数値で記述されますが、数値は任意に変えることができます。そのため、これに対処するにはリッチ計算が必要です。

古典物理学の4次元時空における空間的基底要素と時間的要素を区別する場合、通常は次のようなインデックスを使って区別する。^[8]

• 小文字のラテンアルファベット a、b、c、...は、 3 次元ユークリッド空間への制限を示すために使用され、空間要素として 1、2、3 の値を取ります。また、 0 で示される時間のような要素は別途表示されます。
• 小文字のギリシャ文字 α、β、γ、...は 4 次元時空に使用され、通常、時間成分には 0 の値、空間成分には 1、2、3 の値をとります。

一部の情報源では、時間に対応するインデックス値として 0 ではなく 4 を使用していますが、この記事では 0 を使用しています。それ以外の一般的な数学のコンテキストでは、インデックスには任意の記号を使用でき、通常はベクトル空間のすべての次元にわたって使用されます。

著者は通常、下付き文字が索引として意図されているのか、ラベルとして意図されているのかを明確にします。

たとえば、 3 次元ユークリッド空間で直交座標を使用すると、座標ベクトル A = ( A ₁、A ₂、A ₃ ) = ( A _x、A _y、A _z )は、下付き文字 1、2、 3 とラベルx 、 y、zが直接対応していることを示します。式A _iでは、i は値 1、2、 3 の範囲のインデックスとして解釈されますが、下付き文字x、y、zはラベルのみであり、変数ではありません。時空のコンテキストでは、インデックス値 0 は慣例的にラベルtに対応します。

インデックス自体は、ハット(ˆ)、バー(¯)、チルダ(˜)、プライム (′) など の分音記号のような記号を使用してラベル付けされることがあります。

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

そのインデックスの異なる基底を示すために使用します。例としては、 1 つの参照フレームから別の参照フレームへのローレンツ変換があります。この場合、1 つのフレームはプライムなしで、もう 1 つはプライム付きです。

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

これを、スピノルのキラリティーを反映するためにインデックスにハットとオーバードットを使用する スピノルのファンデルワールデン表記法と混同しないでください。

リッチ計算、およびより一般的には指数表記では、下付き添字と上付き添字を区別します。後者は、数学の他の部分にのみ精通している読者には指数のように見えるかもしれませんが、指数では ありません。

計量テンソルがどこでも単位行列に等しいという特殊なケースでは、上付き添字と下付き添字の区別を省略することが可能であり、その場合、すべての添字を下位の位置に記述することができます。行列の積などの線形代数の座標式は、この例である可能性があります。しかし、一般的には、上付き添字と下付き添字の区別は維持する必要があります。 ${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$

より低いインデックス（下付き文字）は、そのインデックスに関するコンポーネントの共分散を示します。

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots}}$

上付きインデックス（上付き文字）は、そのインデックスに対するコンポーネントの反変性を示します。

${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots}}$

テンソルには上限インデックスと下限インデックスの両方がある場合があります。

${\displaystyle A_{\alpha}{}^{\beta}{}_{\gamma}{}^{\delta\cdots}.}$

インデックスの順序は、分散が異なる場合でも重要です。ただし、基本記号を維持しながらインデックスを上げたり下げたりしないことがわかっている場合は、表記上の便宜上、共変インデックスを反変インデックスの下に置くことがあります (例:一般化クロネッカーのデルタ)。

テンソルのそれぞれの上限インデックスと下限インデックスの数によってテンソルの型が決まります。つまり、上限インデックスがp個、下限インデックスがq個のテンソルは( p , q )型、または( p , q )型テンソルと呼ばれます。

テンソルのインデックスの数は、分散に関係なく、テンソルの次数と呼ばれます（または、その価数、順序、ランクと呼ばれますが、ランクはあいまいです）。したがって、型( p、q )のテンソルの次数はp + qです。

用語内に同じ記号が 2 回 (1 つは上付き、もう 1 つは下付き) 出現する場合は、次のインデックスのペアの合計を示します。

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{または}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

このような合計によって暗示される演算はテンソル収縮と呼ばれます。

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,. }$

この合計は、インデックスのペアごとに異なるシンボルを持つ項内で複数回発生することがあります。次に例を示します。

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_ {\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

用語内の繰り返しインデックスの他の組み合わせは、不正な形式であるとみなされます。たとえば、

このような式を除外する理由は、これらの量は数値の配列として計算できるものの、一般に基底の変更によってテンソルとして変換されないためです。

テンソルがすべての上限または下限のインデックスのリストを持っている場合、リストに大文字を使用するという省略形があります。^[9]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J},}$

ここで、I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n、J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _mです。

上付き添字または下付き添字（両方ではない）の組の周囲に縦棒| ⋅ |のペアを付ける。これは、式が2組の添字のそれぞれで完全に反対称である場合に、別の添字の組との縮約に関連付けられる。^[10]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

は、インデックス値の合計を制限したもので、各インデックスは次のインデックスより必ず小さくなるという制約があります。この方法で複数のグループを合計できます。例:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

マルチインデックス表記を使用する場合、インデックスブロックの下に下矢印が配置されます。^[11]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

どこ

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

インデックスを非特異計量テンソルで縮約することにより、テンソルの型を変更して、下位インデックスを上位インデックスに、またはその逆に変換できます。

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

多くの場合、基本シンボルは保持され (例:ここでB が出現する場所にAを使用する)、あいまいさがない場合、インデックスの再配置はこの操作を意味するものと解釈できます。

この表は、共変インデックスと反変インデックスの操作が、受動的な基底変換の下での不変性とどのように適合するかをまとめたものであり、各基底の成分は他の基底の成分に基づいて最初の列に反映されています。棒グラフのインデックスは、変換後の最終的な座標系を示しています。^[12]

クロネッカーのデルタが使用されます。以下も参照してください。

テンソルは、対応するすべての成分が等しい場合にのみ等しい。例えば、テンソルAがテンソルBに等しいのは、

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

すべてのα、β、γについて。したがって、方程式が意味をなすかどうかを確認するのに役立つ表記法の側面があります（次元解析に類似した手順）。

縮約に関係しないインデックスはフリーインデックスと呼ばれます。縮約に使用されるインデックスはダミーインデックスまたは合計インデックスと呼ばれます。

テンソルの成分 ( A ^α、B _β ^γなど) は単なる実数です。インデックスはテンソルの特定の成分を選択するためにさまざまな整数値を取るため、単一のテンソル方程式は多くの通常の方程式を表します。テンソル等式にn 個の自由インデックスがあり、基になるベクトル空間の次元がmの場合、等式はm ⁿ個の方程式を表します。各インデックスは特定の値セットのすべての値を取ります。

例えば、

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

が4 次元(つまり、各インデックスが 0 から 3 または 1 から 4 まで)の場合、3 つの自由インデックス ( α、β、δ ^{) があるため、 4 3} = 64 個の方程式が存在します。そのうちの 3 つは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

これは、インデックス表記法を使用することの簡潔さと効率性を示しています。つまり、同様の構造を共有する多くの方程式を 1 つの単純なテンソル方程式にまとめることができます。

全体のインデックス記号を別の記号に置き換えても、テンソル方程式は変更されません (既に使用されている他の記号と競合しない限り)。これは、インデックス表記を使用してベクトル計算の恒等式やクロネッカーのデルタとレヴィ・チヴィタ記号の恒等式を検証するなど、インデックスを操作するときに役立ちます (以下も参照)。正しい変更の例は次のとおりです。

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

一方、誤った変更は次のようになります。

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

最初の置き換えでは、どこでもλ がα を置き換え、μ がγ を 置き換えたため、式の意味は同じです。2 番目では、λ はα を完全に置き換えず、μ はγ を完全に置き換えませんでした(ちなみに、 γインデックスの縮約はテンソル積になりました)。これは、次に示す理由により完全に矛盾しています。

テンソル式の自由インデックスは、すべての項を通じて常に同じ (上または下) の位置に表示され、テンソル方程式では自由インデックスは各辺で同じです。ダミー インデックス (そのインデックスの合計を意味する) は同じである必要はありません。例:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

誤った表現については:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

言い換えれば、重複しないインデックスは、方程式のすべての項で同じタイプである必要があります。上記の恒等式では、α、β、δ が一貫して並んでおり、γ は短縮により 1 つの項に 2 回出現しており (1 回は上位インデックスとして、もう 1 回は下位インデックスとして)、したがって有効な式です。無効な式では、β は揃っていますが、αとδ は並んでおらず、γ は1 つの項に 2 回 (短縮) 、別の項に 1 回出現しており、矛盾しています。

複数のインデックスにルールを適用する場合 (次に示す微分化、対称化など)、ルールを示す括弧または句読点記号は、適用されるインデックスの 1 つのグループにのみ表示されます。

括弧が共変インデックスを囲んでいる場合、この規則は括弧で囲まれたすべての共変インデックスにのみ適用され、括弧の間にある反変インデックスには適用されません。

同様に、反変インデックスを括弧で囲む場合、この規則は括弧で囲まれたすべての反変インデックスにのみ適用され、中間に配置された共変インデックスには適用されません。

複数のインデックスを囲む括弧 ( )は、テンソルの対称化された部分を表します。σを使用してp個のインデックスを対称化し、 1 からpまでの数の順列にわたって範囲を指定する場合、 i = 1, 2, 3, ..., pについてそれらのインデックスの順列α σ _{( i )の}合計を取り、それを順列の数で割ります。

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

たとえば、対称化するインデックスが 2 つある場合、並べ替えて合計するインデックスが 2 つあることになります。

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

一方、対称化するインデックスが 3 つある場合、合計して並べ替えるインデックスは 3 つあります。

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

対称化は加算に対して分配的です。

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

インデックスは、次の場合には対称化の一部にはなりません。

• たとえば、同じレベルではない;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• 括弧内と縦棒の間（つまり |⋅⋅⋅|）で、前の例を変更します。

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

ここで、αとγ のインデックスは対称化されていますが、β は対称化されていません。

複数のインデックスを囲む角括弧 [ ]は、テンソルの反対称化された部分を表します。 p 個の反対称化インデックスの場合、それらのインデックスの順列α _{σ ( i )}の合計に順列のシグネチャ sgn( σ )を掛け、順列の数で割ります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

ここでδβ 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α pは、以下に定義されるスケーリングを持つ、 2 p次の一般化クロネッカーデルタです。

たとえば、2 つの反対称化インデックスは次のことを意味します。

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

3つの反対称化指標は次のことを意味します。

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

より具体的な例として、Fが電磁テンソルを表す場合、式

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

磁気に関するガウスの法則と電磁誘導に関するファラデーの法則を表します。

以前と同様に、反対称化は加算に対して分配的です。

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

対称化と同様に、インデックスは次の場合には反対称化されません。

• たとえば、同じレベルではない;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• 角括弧内と縦棒の間（つまり |⋅⋅⋅|）で、前の例を変更します。

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

ここで、αとγ のインデックスは反対称化されていますが、β は反対称化されていません。

任意のテンソルは、2 つのインデックス上の対称部分と反対称部分の合計として表すことができます。

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

上記の式をA _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅}とA _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅}に加えるとわかる。これは2つのインデックス以外には当てはまらない。

簡潔にするために、導関数はコンマまたはセミコロンの後にインデックスを追加して示すことができる。^{[13] [14]}

リッチ計算の式のほとんどは任意の基底に対して有効ですが、テンソル成分の座標に関する偏微分を含む式は、座標基底、つまり座標に関する微分によって定義される基底がある場合にのみ適用されます。座標は一般にx ^μで表されますが、一般にベクトルの成分を形成しません。線形座標化を伴う平坦時空では、座標の差の組Δ x ^μは反変ベクトルとして扱うことができます。空間と座標系の選択に関する同じ制約により、座標に関する偏微分は実質的に共変な結果をもたらします。この特殊なケースでの使用は別として、テンソル成分の偏微分は一般に共変変換しませんが、以下の共変微分、外微分、およびリー微分のように、偏微分が明示的に使用される場合は、依然として座標基底があるものの、共変な式を構築するのに便利です。

テンソル場の成分を座標変数x ^γに関して偏微分することを示すには、座標変数の下位インデックスの前に コンマを付けます。

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

これは繰り返すことができます（さらにコンマを追加する必要はありません）。

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

これらの成分は、微分される式がスカラーでない限り、共変的に変換されない。この微分は積の法則と座標の微分 によって特徴付けられる。

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

ここでδ はクロネッカーのデルタです。

共変微分は接続が定義されている場合にのみ定義されます。任意のテンソル体について、共変微分を表すために、付加された下位の（共変）インデックスの前に置かれるセミコロン（ ;）を使用します。セミコロンの代わりにあまり一般的ではないものとしては、スラッシュ（ / ） [ ^15]や、3次元の曲面空間では1本の縦棒（ | ）があります。^[16]

スカラー関数の共変微分、反変ベクトル、共変ベクトルは次のとおりです。

${\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}$

ここで_Γαγβは^接続係数です。

任意のテンソルの場合: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

任意のテンソルの共変微分を表す別の表記法として、添え字付きのナブラ記号∇βがある^{。ベクトル場Aα}の_場合: [ 18 ^]

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}$

ベクトルv ^γに沿った任意のテンソル場の方向微分の共変定式化は、共変微分との縮約として表現できます。例:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

テンソル場のこの導関数の成分は共変的に変換され、したがって、部分式 (偏導関数と接続係数) が個別に共変的に変換されないにもかかわらず、別のテンソル場を形成します。

この導関数は積の法則によって特徴付けられます:

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}$

微分可能多様体の接束上のKoszul 接続は、アフィン接続と呼ばれます。

計量テンソルの共変微分がゼロになるとき、 接続は計量接続である。

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.}$

アフィン接続であり、かつ計量接続でもある接続は、リーマン接続と呼ばれます。ねじれのないリーマン接続（つまり、ねじれテンソルがゼロになる接続：T ^α _βγ = 0）は、レヴィ・チヴィタ接続です。

座標基底におけるレヴィ-チヴィタ接続のΓ ^α _{βγ は、}第二種の クリストッフェル記号と呼ばれます。

成分A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s}を持つ全反対称型(0, s )テンソル場の外微分(微分形式とも呼ばれる) は、基底変換に対して共変な微分である。これは計量テンソルにも接続にも依存せず、微分可能多様体の構造のみを必要とする。座標基底では、テンソル成分の偏微分の反対称化として表現できる: ^{[19] : 232–233}

${\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}$

この導関数は、反変インデックスを持つテンソル場、または完全に反対称ではないテンソル場上では定義されません。これは、次数積規則によって特徴付けられます。

リー微分は基底変換に対して共変な別の微分である。外微分と同様に、リー微分は計量テンソルや接続に依存しない。反変ベクトル場Xρ（の流れ）に沿った（r、s）型テンソル場Tのリー微分は^、座標基底を使用して次のように表される^[20]。

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

この微分は積の法則と、反変ベクトル場のそれ自身に沿ったリー微分がゼロであるという事実によって特徴付けられます。

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}$

クロネッカーのデルタは、乗算して縮小すると 単位行列のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}}$

成分δ^αβ
_​はどの基底でも同じであり、 (1, 1)型の不変テンソル、つまり基本多様体の恒等写像上の接バンドルの恒等写像を形成するので、そのトレースは不変である。^[21] そのトレースは空間の次元であり、例えば 4 次元時空では、

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

クロネッカー デルタは、一般化されたクロネッカー デルタのファミリーの 1 つです。2 p次一般化クロネッカー デルタは、クロネッカー デルタを使用して次のように定義できます (一般的な定義では、右側にp !の追加の乗数が含まれます)。

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}$

pインデックス の反対称化子として機能します。

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

アフィン接続にはねじれテンソルT ^α _βγがあります。

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}$

ここで、γ ^α _{βγ は}局所基底のリー括弧の成分によって与えられ、座標基底の場合には消えます。

レヴィ・チヴィタ接続の場合、このテンソルはゼロと定義され、座標基底に対して次の式が与えられる。

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}$

このテンソルが次のように定義されるならば

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

すると、それは共変微分とそれ自身との交換子となる： ^{[22] [23]}

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

接続にはねじれがなく、ねじれテンソルが消えることを意味します。

これを一般化すると、次のように任意のテンソルの 2 つの共変微分の交換子を取得できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

これらはしばしばリッチ恒等式と呼ばれる。^[24]

計量テンソルgαβ_は指数を下げるために使用され、任意の空間的曲線 の長さを与える。

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

ここでγは経路の任意の滑らかな 単調な パラメータ化である。また、任意の時間的曲線 の持続時間も与える。

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

ここで、γ は軌道の任意の滑らかな単調パラメータ化です。線要素も参照してください。

計量テンソルの 逆行列 g αβ^{は、インデックスを上げるために使用されるもう 1 つの重要なテンソルです。}

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

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