ファインマン図

理論物理学において、ファインマン図は素粒子の挙動と相互作用を説明する数式を図で表したものである。この図は、1948年にこの図を発表したアメリカの物理学者リチャード・ファインマンにちなんで名付けられた。素粒子の相互作用は複雑で理解しにくい場合があるが、ファインマン図は難解で抽象的な数式をシンプルな視覚化で表現する。デイビッド・カイザーによると、「20世紀中ごろから、理論物理学者は重要な計算を行うためにこのツールをますます利用するようになった。ファインマン図は理論物理学のほぼすべての側面に革命をもたらした」という。^{[1]この図は主に}量子場理論に適用されているが、固体理論など物理学の他の分野でも使用できる。フランク・ウィルチェクは、2004年のノーベル物理学賞の受賞につながった計算は「ファインマン図がなければ文字通り考えられなかっただろうし、ヒッグス粒子の生成と観測への道筋を確立したウィルチェクの計算も同様だ」と書いている。^[2]

ファインマンは、陽電子がまるで時間を逆方向に移動する電子であるかのようなエルンスト・シュテュッケルベルクの解釈を採用した。 ^[3]したがって、反粒子はファインマン図では時間軸に沿って逆方向に移動するものとして表される。

理論素粒子物理学における確率振幅の計算には、多数の変数に対するかなり大規模で複雑な積分を使用する必要があります。ファインマン図は、これらの積分をグラフィカルに表現できます。

ファインマン図は、量子力学または統計的場の理論の遷移振幅または相関関数への摂動寄与のグラフィカルな表現です。量子場の理論の標準的な定式化では、ファインマン図は摂動S行列のウィック展開の項を表します。あるいは、量子場の理論の経路積分定式化では、遷移振幅は、粒子または場のいずれかに関して、システムの初期状態から最終状態までの可能なすべての履歴の加重和として表されます。遷移振幅は、量子システムの初期状態と最終状態の間のS行列の行列要素として与えられます。

素粒子物理学における散乱断面積を計算する場合、入射粒子と出射粒子を記述する自由場から始めて、粒子が互いにどのように偏向するかを記述する相互作用ハミルトニアンを含めることで、粒子間の相互作用を記述できます。散乱の振幅は、すべての可能な中間粒子状態における各可能な相互作用履歴の合計です。相互作用ハミルトニアンの作用回数は摂動展開の順序であり、場の時間依存摂動論はダイソン級数として知られています。中間時間における中間状態がエネルギー固有状態（一定の運動量を持つ粒子の集まり）である場合、その級数は旧式の摂動論（または時間依存/時間順序摂動論）と呼ばれます。

ダイソン級数は、各頂点でエネルギーと運動量の両方が保存されるファインマン図の合計として書き直すこともできますが、エネルギー運動量の 4 次元ベクトルの長さは必ずしも質量に等しくありません。つまり、中間粒子はいわゆるオフシェルです。ファインマン図は、「旧式の」用語よりもはるかに簡単に追跡できます。これは、旧式の方法では粒子と反粒子の寄与を別々に扱うためです。各ファインマン図は、指数関数的に多くの旧式の用語の合計です。これは、各内部線が粒子または反粒子のいずれかを個別に表すことができるためです。非相対論的理論では、反粒子はなく、倍増もないため、各ファインマン図には 1 つの用語のみが含まれます。

ファインマンは、場の理論のラグランジアンから任意の図の振幅を計算するための処方箋（下記のファインマン規則）を与えました。各内部線は仮想粒子の伝播関数の因子に対応します。線が交わる各頂点はラグランジアン内の相互作用項から導かれる因子を与え、入ってくる線と出て行く線はエネルギー、運動量、スピンを伝えます。

数学的なツールとしての価値に加えて、ファインマン ダイアグラムは粒子の相互作用の性質に関する深い物理的な洞察を提供します。粒子はあらゆる方法で相互作用します。実際、中間の仮想粒子は光よりも速く伝播できます。各最終状態の確率は、そのような可能性をすべて合計することで得られます。これは、ファインマンによって発明された量子力学の機能積分定式化と密接に関連しています。 経路積分定式化を参照してください。

このような計算を単純に適用すると、振幅が無限大となるダイアグラムが生成されることが多い。これは、短距離の粒子相互作用には、粒子の自己相互作用を含めるための注意深い制限手順が必要であるためである。エルンスト・シュテッケルベルクとハンス・ベーテによって提案され、ダイソン、ファインマン、シュウィンガー、朝永によって実装されたくりこみの手法は、この効果を補正し、厄介な無限大を排除する。くりこみの後、ファインマン ダイアグラムを使用した計算は、非常に高い精度で実験結果と一致する。

ファインマン図と経路積分法は統計力学でも使われており、古典力学にも応用できる。^[4]

マレー・ゲルマンは、ファインマン図を、何年も前に同様の表記法を考案したスイスの物理学者エルンスト・シュテッケルベルクにちなんで、常にシュテッケルベルク図と呼んでいた。シュテッケルベルクは、量子場の理論のための明白な共変形式の必要性に動機づけられ、対称因子とループを処理する自動化された方法を提供しなかったが、時間的に前方と後方の粒子経路に関する正しい物理的解釈を経路積分なしで初めて発見した。^[5]

歴史的には、共変摂動論の記録装置として、グラフはファインマン・ダイソン図またはダイソングラフと呼ばれていました。^[6]経路積分が導入された当時は馴染みがなく、統計力学の摂動展開から借用した旧式の摂動論からのフリーマン・ダイソンの導出は、以前の方法で訓練された物理学者にとって理解しやすかったためです。 ^[a]ファインマンは図のために懸命にロビー活動をしなければなりませんでしたが、それは方程式とグラフで訓練された体制側の物理学者を混乱させました。^[7]

ジェラルド・トホーフトとマルティヌス・フェルトマンは、素粒子物理学の観点から書かれた基本的な相互作用の発表^{[8] [9]}の中で、元の非正規化ファインマン図が基本粒子の量子散乱の物理学に関する現在の知識を最も簡潔に表現したものであるという説得力のある議論を展開した。彼らの動機は、ジェームズ・ダニエル・ビョルケンとシドニー・ドレルの信念と一致している。^[10]

ファインマンのグラフと計算規則は、理解したい実験数値と密接に関連する形で量子場理論を要約しています。グラフによる理論の記述は摂動論を暗示するかもしれませんが、多体問題におけるグラフィカル手法の使用は、この形式が非摂動的な特性を持つ現象を扱えるほど柔軟であることを示しています...ファインマンの計算規則の何らかの修正は、局所正準量子場理論の精巧な数学的構造よりも長く存続するかもしれません...

量子場理論では、ファインマン図はラグランジアンからファインマン規則によって得られます。

次元正則化は、ファインマン図の評価において積分を正則化する 手法であり、次元と呼ばれる補助複素パラメータdの有理型関数である値を積分に割り当てます。次元正則化では、ファインマン積分を時空次元dと時空点 に依存する積分として記述します。

ファインマン図は、量子場理論のプロセスを粒子の相互作用の観点から表現したものです。粒子は図の線で表されます。線は粒子の種類に応じて、曲がりくねっていたり直線だったり、矢印があったりなかったりします。線が他の線と接続する点は頂点で、ここで粒子は出会って相互作用します。新しい粒子を放出または吸収したり、互いに偏向したり、種類を変えたりします。

線には 3 種類あります。内部線は2 つの頂点を結び、入線は「過去」から頂点まで伸びて初期状態を表します。出線は頂点から「未来」まで伸びて最終状態を表します (最後の 2 つは外部線とも呼ばれます)。伝統的に、図の下部は過去で上部は未来です。また、過去は左側、未来は右側になることもあります。散乱振幅の代わりに相関関数を計算する場合、過去と未来はなく、すべての線は内部です。粒子は小さな x で始まり、小さな x で終わります。これは、相関が計算されている演算子の位置を表します。

ファインマン図は、いくつかの異なる方法で発生する可能性のあるプロセスの全振幅への寄与を図で表したものです。入射する一群の粒子が互いに散乱する場合、そのプロセスは、粒子が時間的に逆行する経路も含め、考えられるすべての経路を移動するプロセスと考えることができます。

ファインマン図は、時空図や泡箱図と混同されることがよくあります。なぜなら、これらはすべて粒子の散乱を説明するものだからです。ファインマン図は、散乱プロセス中の粒子の物理的位置ではなく、粒子の相互作用を表すグラフです。泡箱図とは異なり、すべてのファインマン図の合計のみが、任意の粒子の相互作用を表します。粒子は相互作用するたびに特定の図を選択するわけではありません。合計の法則は重ね合わせの原理と一致しており、すべての図がプロセスの合計振幅に寄与します。

ファインマン図は、ある初期の量子状態からある最終的な量子状態への量子遷移の振幅に対する摂動的な寄与を表します。

たとえば、電子と陽電子の消滅のプロセスでは、初期状態は電子 1 個と陽電子 1 個、最終状態は光子 2 個になります。

多くの場合、初期状態は図の左側にあり、最終状態は右側にあると想定されます (ただし、他の規則もよく使用されます)。

ファインマン図は、頂点と呼ばれる点と、頂点に接続された線で構成されます。

初期状態の粒子は、初期状態の方向 (たとえば、左) に突き出た線で表され、最終状態の粒子は、最終状態の方向 (たとえば、右) に突き出た線で表されます。

QEDには、電子や陽電子などの物質粒子 (フェルミオンと呼ばれる) と交換粒子 (ゲージボソンと呼ばれる) の 2 種類の粒子があります。これらは、ファインマン図で次のように表されます。

1. 初期状態の電子は実線で表され、矢印は粒子のスピンを示し、例えば頂点に向かって指しています (→•)。
2. 最終状態の電子は線で表され、矢印は粒子のスピンを示し、たとえば頂点から離れる方向を指します: (•→)。
3. 初期状態の陽電子は実線で表され、矢印は粒子のスピン（例えば頂点から離れる方向）を示します：（←•）。
4. 最終状態の陽電子は線で表され、矢印は粒子のスピン（例えば頂点を指す）を示します：（•←）。
5. 初期状態と最終状態の仮想光子は波線（~•と•~）で表されます。

QED では、頂点には常に 3 本の線が接続されています。1 本はボソン線、1 本は頂点に向かう矢印を持つフェルミオン線、1 本は頂点から離れる矢印を持つフェルミオン線です。

頂点はボゾン伝播関数またはフェルミオン伝播関数によって接続されます。ボゾン伝播関数は、2 つの頂点を接続する波線 (•~•) で表されます。フェルミオン伝播関数は、2 つの頂点を接続する実線 (いずれかの方向の矢印付き) (•←•) で表されます。

頂点の数は、遷移振幅の摂動級数展開における項の順序を示します。

電子-陽電子消滅相互作用:

e ⁺ + e ⁻ → 2γ

隣に示されている2次ファインマン図からの寄与があります。

初期状態（下側、早い時間）には電子（e ⁻）が 1 つと陽電子（e ⁺）が 1 つあり、最終状態（上側、遅い時間）には光子（γ）が 2 つあります。

量子系（漸近的に自由な状態間）の初期状態|i⟩から最終状態|f⟩への遷移の確率振幅は、行列要素によって与えられる。

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \mathrm {f} |S|\mathrm {i} \rangle \;,}$

ここでS はS行列である。時間発展演算子 Uに関しては、単純に

${\displaystyle S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\;.}$

相互作用図では、これは次のように展開されます。

${\displaystyle S={\mathcal {T}}e^{-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau )}.}$

ここで、H _Vは相互作用ハミルトニアン、T は演算子の時間順積を表す。ダイソンの公式は、時間順行列指数を相互作用ハミルトニアン密度のべき乗の摂動級数に展開する。

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.}$

同様に、相互作用ラグランジアンL _Vでは、

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.}$

ファインマン図は、 S行列のダイソン級数のn次の項S ^{( n )}における時間順序積のウィック展開における単一の加数のグラフ表現である。

${\displaystyle {\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{\text{A}}(\pm ){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,}$

ここで、N は演算子の正規順序積を表し、(±) はフェルミオン演算子を交換させて縮約 (プロパゲータ)にまとめるときに起こり得る符号の変化を処理し、 A はすべての可能な縮約を表します。

図は相互作用ラグランジアンに依存するファインマン規則に従って描かれている。QED相互作用ラグランジアン の場合

${\displaystyle L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

フェルミオン場ψとボソンゲージ場A _μの相互作用を記述するファインマン則は、座標空間で次のように定式化できる。

1. 各積分座標x _jは点（頂点と呼ばれることもある）で表されます。
2. ボゾン伝播関数は 2 つの点を結ぶ波線で表されます。
3. フェルミオン伝播関数は 2 つの点を結ぶ実線で表されます。
4. ボゾン場は点x _iに付随する波線で表されます。${\displaystyle A_{\mu }(x_{i})}$
5. フェルミオン場ψ ( x _i )は、点x _iに接続された実線と点に向かう矢印で表されます。
6. 反フェルミオン場ψ ( x _i )は、点x _iに接続された実線と、その点から離れる矢印で表されます。

S行列の2次摂動項は

${\displaystyle S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;}$

被積分関数のウィック展開により、（他の項とともに）次の項が得られる。

${\displaystyle N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,}$

どこ

${\displaystyle {\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}}$

は、ファインマン ゲージにおける電磁収縮 (プロパゲーター) です。この項は、右のファインマン図で表されます。この図は、次のプロセスへの寄与を示します。

1. e ⁻ e ⁻散乱（図の右側が初期状態、左側が最終状態）
2. e ⁺ e ⁺散乱（図の左側が初期状態、右側が最終状態）
3. e ⁻ e ⁺散乱（初期状態は図の下部/上部、最終状態は上部/下部）。

この拡張におけるもう一つの興味深い用語は

${\displaystyle N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,}$

どこ

${\displaystyle {\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}}$

フェルミオン収縮（プロパゲーター）です。

経路積分では、すべての可能な場の履歴にわたって積分された場のラグランジアンによって、ある場の構成から別の場の構成に移行する確率振幅が定義されます。意味を成すためには、場の理論は明確に定義された基底状態を持つ必要があり、積分は虚数時間に少し回転して、つまりウィック回転して実行する必要があります。経路積分形式は、上記の標準演算子形式と完全に同等です。

簡単な例としては、 d次元の自由相対論的スカラー場が挙げられます。その作用積分は次のようになります。

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.}$

プロセスの確率振幅は次のとおりです。

${\displaystyle \int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,}$

ここで、AとBは境界条件を定義する空間のような超曲面です。開始超曲面上のすべてのφ ( A )の集合は、点粒子の開始位置と同様に、フィールドの初期値を与え、最終超曲面の各点におけるフィールド値φ ( B )は、最終フィールド値を定義します。この値は変化することが許され、異なる振幅を与えて最終的に異なる値になります。これがフィールドからフィールドへの遷移振幅です。

経路積分は、初期状態と最終状態の間の演算子の期待値を与えます。

${\displaystyle \int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,}$

そして、A と B が無限の過去と無限の未来に後退する限界では、唯一重要な寄与は基底状態からのものになります (これは、経路積分が虚数時間にわずかに回転して定義されている場合にのみ厳密に当てはまります)。経路積分は確率分布に類似していると考えることができ、定数を掛けても何も変わらないように定義すると便利です。

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.}$

下部の正規化係数は、フィールドの 分割関数と呼ばれ、虚数時間に回転させると、ゼロ温度での統計力学的分割関数と一致します。

最初から連続体の極限を考えた場合、初期振幅から最終振幅までの定義は不明確です。なぜなら、場の変動が無制限になる可能性があるからです。したがって、経路積分は、格子間隔aの離散正方格子上にあるものと考えることができます。また、 a → 0の極限は慎重に考慮する必要があります^{[明確化が必要] 。最終結果が格子の形状や}aの値に依存しない場合は、連続体の極限が存在します。

格子上では、(i) 場はフーリエモードで展開できる。

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi )^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.}$

ここで積分領域はk上で辺の長さの立方体に制限される⁠2π/1つの⁠、したがって、 kの大きな値は許可されません。k 測度にはフーリエ変換からの 2 π の因子が含まれていることに注意することが重要です。これは、 QFTにおけるk積分の最良の標準規則です。格子は、大きなkでの変動がすぐには寄与できず、 a → 0の極限でのみ寄与し始めることを意味します。場合によっては、格子の代わりに、フィールドモードがkの高い値でカットオフされるだけです。

時空体積が有限であると考えて、 kモードも格子であると見なすのも時々便利です。k 内の相互作用は局所化されていないため、これは厳密には空間格子限界ほど必要ではありませんが、 k積分の前部の因子と、発生する運動量保存デルタ関数を追跡するのに便利です。

格子上では、(ii) アクションを離散化する必要があります。

${\displaystyle S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big )}^{2}\,,}$

ここで、⟨ x , y ⟩は格子上の最も近い点xとyのペアです。離散化は導関数∂ _μ φ が何を意味するかを定義するものと考えるべきです。

格子フーリエモードの観点から見ると、この作用は次のように記述できます。

${\displaystyle S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big )}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big )}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big )}{\Big )}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.}$

k がゼロに近い 場合、次のようになります。

${\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.}$

これで、元の作用の連続フーリエ変換が得られました。有限体積では、量d ^d k は無限小ではなく、隣接するフーリエモードによって作られた箱の体積、つまり( ⁠2π/五⁠ )^d
 。

体φ は実数値なので、フーリエ変換は次の式に従います。

${\displaystyle \phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.}$

実部と虚部に関して言えば、φ ( k )の実部はkの偶関数ですが、虚部は奇関数です。フーリエ変換は二重カウントを回避するため、次のように記述できます。

${\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)}$

各ペア( k ,−k )に対して正確に1回積分する積分領域上で。

作用を伴う複素スカラー場の場合

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x}$

フーリエ変換は制約なしです。

${\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}}$

そして積分はk全体にわたって行われます。

φ ( x )の異なる値すべてにわたって積分することは、すべてのフーリエモードにわたって積分することと同等です。なぜなら、フーリエ変換は場の座標のユニタリ線形変換だからです。多次元積分の座標を線形変換で変更すると、新しい積分の値は変換行列の行列式によって与えられます。

${\displaystyle y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,}$

それから

${\displaystyle \det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.}$

Aが回転であれ ば、

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A=I}$

したがって、det A = ±1となり、符号は回転に反射が含まれるかどうかによって決まります。

座標をφ ( x )からφ ( k )に変換する行列は、フーリエ変換の定義から読み取ることができます。

${\displaystyle A_{kx}=e^{ikx}\,}$

フーリエ反転定理はその逆を述べています。

${\displaystyle A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,}$

これは 2 πまでの複素共役転置です。有限体積格子上では、行列式はゼロではなく、場の値に依存しません。

${\displaystyle \det A=1\,}$

経路積分はkの各値において別々の因子となります。

${\displaystyle \int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,}$

係数d ^d kは、正方格子ボックス内の k空間の離散セルの微小体積である。

${\displaystyle d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,}$

ここで、L はボックスの辺の長さです。各要素は振動ガウス分布であり、体積が無限大に近づくにつれてガウス分布の幅は発散します。

虚時間では、ユークリッド作用は正定値となり、確率分布として解釈できる。値がφ _kである場の確率は、

${\displaystyle e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.}$

フィールドの期待値は、確率分布に従って選択された場合のフィールドの統計的な期待値です。

${\displaystyle \left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}}$

φ _kの確率は積なので、 kの各値におけるφ _kの値は独立にガウス分布する。ガウス分布の分散は⁠1/k ² d ^d k⁠は形式的には無限ですが、これは単に無限体積内で変動が無制限であることを意味します。任意の有限体積内では、積分は離散和に置き換えられ、積分の分散は⁠五/2 ^...⁠ .

経路積分は、ユークリッドスカラー場構成を生成するための確率的アルゴリズムを定義します。波数kの各フーリエモードの実部と虚部をランダムに選択して、分散を持つガウス確率変数にします⁠1/2 ^...⁠。これにより、構成φ _C ( k )がランダムに生成され、フーリエ変換によりφ _C ( x )が得られます。実スカラー場の場合、アルゴリズムは各ペアφ ( k )、φ (− k )のうちの1つだけを生成し、2番目を最初のものの複素共役にする必要があります。

相関関数を見つけるには、この手順でフィールドを繰り返し生成し、統計平均を見つけます。

${\displaystyle \left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}}$

ここで、| C |は構成の数であり、合計は各構成のフィールド値の積です。ユークリッド相関関数は、統計学または統計力学の相関関数と同じです。量子力学相関関数は、ユークリッド相関関数の解析的接続です。

二次作用を持つ自由場の場合、確率分布は高次元ガウス分布であり、統計平均は明示的な式で与えられます。しかし、モンテカルロ法は、相関関数の閉じた形式が存在しないボソン相互作用場理論にも有効です。

各モードは独立してガウス分布します。フィールドモードの期待値は簡単に計算できます。

${\displaystyle \left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,}$

k ≠ k ′の場合、2つのガウス確率変数は独立しており、平均は両方ともゼロになります。

${\displaystyle \left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}}$

有限体積Vでは、2つのk値が一致するとき、これがガウス分布の分散となる。無限体積極限では、

${\displaystyle \left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}}$

厳密に言えば、これは近似値です。格子伝播関数は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big )}}}}$

しかし、k = 0付近では、格子間隔に比べて磁場の変動が長いため、2 つの形式は一致します。

デルタ関数には 2 πの因子が含まれているため、k積分の測定では2 π の因子が打ち消されます。

${\displaystyle \delta (k)=(2\pi )^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,}$

ここで、δ _D ( k ) は通常の 1 次元ディラック デルタ関数です。デルタ関数のこの規則は普遍的なものではなく、著者によってはデルタ関数 (およびk積分) の 2 πの因子を明示的に保持する人もいます。

伝播関数の形は、場の運動方程式を使うとより簡単に見つけることができます。ラグランジアンから、運動方程式は次のようになります。

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,}$

期待値では、次のようになります。

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0}$

ここで、導関数はxに作用し、恒等式はxとy が一致する場合を除いてどこでも真であり、演算子の順序が重要です。特異点の形は、標準的な交換関係からデルタ関数であると理解できます。(ユークリッド)ファインマン伝播関数 Δ を、時間順序付けされた 2 点関数 (経路積分から得られるもの) のフーリエ変換として定義します。

${\displaystyle \partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,}$

となることによって：

${\displaystyle \Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}}$

運動方程式が線形である場合、プロパゲーターは常に自由ラグランジアンを定義する二次形式行列の逆数になります。これは運動方程式を与えるからです。これは経路積分から直接確認することも簡単です。ユークリッド理論では iの係数は消えます。

各フィールドモードは独立したガウス分布であるため、多くのフィールドモードの積の期待値はウィックの定理に従います。

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle }$

は、フィールドモードがペアで一致しない限りゼロです。つまり、φが奇数の場合はゼロになり、 φが偶数の場合はデルタ関数を使用して各ペアからの寄与に等しくなります。

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}}$

ここで、和はフィールドモードをペアに分割した各部分について、積はペアごとに計算されます。例えば、

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}}$

ウィックの定理の解釈は、各フィールド挿入をぶら下がった線として考えることができ、期待値は、線をペアでリンクし、ペアの各パートナーの運動量が等しくなるようにデルタ関数係数を配置し、プロパゲータで割ることによって計算されるというものです。

ウィックの定理が証明される前に、微妙な点が残っています。2 つ以上のs が同じ運動量を持つ場合はどうなるでしょうか。奇数の場合、積分はゼロです。負の値は正の値と打ち消されます。ただし、数が偶数の場合、積分は正になります。前のデモンストレーションでは、s はペアでのみ一致すると想定していました。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

しかし、任意の数の が等しい場合でも定理は正しく、これはガウス積分の注目すべき特性です。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}}$

Iで割ると、

${\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}}$

${\displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}}$

ウィックの定理が正しければ、高次のモーメントは2 n 個の異なるxのリストのすべての可能な組み合わせによって与えられることになります。

${\displaystyle \left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle }$

ここでx はすべて同じ変数であり、インデックスはそれらをペアにする方法の数を追跡するためだけのものです。最初のx は2 n − 1個の他のx とペアにすることができ、2 n − 2 個になります。次のペアになっていないx は2 n − 3 個の異なるxとペアにすることができ、 2 n − 4 個になります。以下同様に続きます。つまり、ウィックの定理は、修正されていない場合、 x ^{2 n}の期待値は次のようになること を意味します。

${\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}}$

そして、これは実際に正しい答えです。したがって、内部変数の運動量がいくつ一致しても、ウィックの定理は成り立ちます。

相互作用は、2 次寄与は常にガウス分布であるため、高次の寄与によって表されます。最も単純な相互作用は、アクションを伴う 4 次自己相互作用です。

${\displaystyle S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.}$

組み合わせ係数 4! の理由はすぐに明らかになります。この動作を格子 (または連続体) フーリエモードの観点から記述すると次のようになります。

${\displaystyle S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.}$

ここで、S _{F は}自由作用であり、その相関関数はウィックの定理によって与えられます。経路積分におけるSの指数はλの累乗で展開することができ、自由作用に一連の補正を与えます。

${\displaystyle e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)}$

相互作用作用の経路積分は、自由作用に対する補正のべき級数になります。X で表される項は、φ ( k )の各因子ごとに 1 つずつ、合計 4 つの半直線として考えます。半直線は頂点で交わり、デルタ関数に貢献して運動量の合計がすべて等しくなるようにします。

相互作用理論における相関関数を計算するには、X項の寄与が必要になります。たとえば、4 フィールド相関器の経路積分は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}}$

これは、自由場では運動量k がペアで等しい場合にのみ非ゼロでしたが、今ではkのすべての値に対して非ゼロになります。挿入の運動量φ ( k _i )は、展開内のXの運動量と一致するようになりました。挿入は、この場合は 4 つの半直線として考える必要があり、運動量k を持ちますが、積分されていません。

最も低次の寄与は、作用のテイラー展開における最初の非自明な項e ^{− S _F} Xから来ます。ウィックの定理は、 X半直線の運動量、つまりXのφ ( k )因子が、対になっている外部半直線の運動量と一致することを要求します。新しい寄与は、次の式に等しくなります。

${\displaystyle \lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.}$

X内の 4! はキャンセルされます。これは、 X内の半直線を外部の半直線に一致させる方法がちょうど 4! 通りあるためです。ウィックの定理により、 k _1,2,3,4の値に関係なく、半直線をペアで一致させるこれらの異なる方法のそれぞれがちょうど 1 回寄与します。

Xの累乗による作用の展開は、Xの数が徐々に増えていく一連の項を与えます。ちょうどn 個の Xを持つ項からの寄与はn次と 呼ばれます。

n次の項は次のようになります。

1. 4 n 個の内部半直線。これらはXからのφ ( k )の因数です。これらはすべて頂点で終わり、すべての可能なkにわたって積分されます。
2. 外部半直線は積分におけるφ ( k )挿入から生じます。

ウィックの定理によれば、半直線の各ペアは必ずペアになって直線を形成し、この直線は

${\displaystyle {\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}}$

寄与を乗算します。これは、直線を構成する 2 つの半直線が、等しく反対の運動量を持つように強制されることを意味します。直線自体には、直線と平行に描かれ、直線kの運動量でラベル付けされた矢印を付ける必要があります。矢印の末尾の半直線は運動量k を持ち、先端の半直線は運動量− k を持ちます。2 つの半直線のうちの 1 つが外部である場合、内部k が外部kと等しくなるように強制するため、内部kの積分は無効になります。両方とも内部である場合、 kの積分は残ります。

X内の半直線と挿入を表す外部半直線を結んで形成される図は、この理論のファインマン図です。各線は⁠の係数を持ちます。1/2 ^...⁠、プロパゲータであり、頂点から頂点へ進むか、挿入で終了します。内部の場合は、全体で積分されます。各頂点では、入力kの合計が出力k の合計に等しくなります。

半直線を直線に結合して図を作成する方法の数は、指数のテイラー級数と各頂点の 4! から生じる階乗因子をほぼ完全に打ち消します。

フォレスト ダイアグラムとは、すべての内部ラインの運動量が外部ラインによって完全に決定され、各頂点で入ってくる運動量と出ていく運動量が等しいという条件を満たすダイアグラムです。これらのダイアグラムの寄与は、積分なしのプロパゲーターの積です。ツリー ダイアグラムは、接続されたフォレスト ダイアグラムです。

ツリー ダイアグラムの例としては、4 本の外部ラインのそれぞれがXで終わるものがあります。別の例としては、3 本の外部ラインがXで終わり、残りの半ラインが別のXと結合し、このXの残りの半ラインが外部ラインに伸びるものがあります。これらはすべてフォレスト ダイアグラムでもあります (すべてのツリーはフォレストであるため)。ツリーではないフォレストの例としては、8 本の外部ラインが 2 つのXで終わるものがあります。

これらすべてのケースにおいて、すべての内部線上の運動量は外部運動量と各頂点の運動量保存の条件によって決定されることは簡単に確認できます。

フォレスト図ではない図はループ図と呼ばれ、例としては、Xの 2 本の線が外部の線に結合され、残りの 2 本の線が互いに結合されている図があります。結合された 2 本の線は、どちらも同じ頂点から出入りするため、任意の運動量を持つことができます。より複雑な例としては、2 つのXが、一方の脚をもう一方の脚と一致させることによって結合されている図があります。この図には外部の線がまったくありません。

ループ図がループ図と呼ばれる理由は、運動量保存によって未決定のまま残されるk積分の数が、図内の独立した閉ループの数に等しいためです。ここで、独立したループは、ホモロジー理論と同様にカウントされます。ホモロジーは実数値 (実際にはR ^d値) であり、各線に関連付けられた値が運動量です。境界演算子は、各線を、先頭に正の符号、末尾に負の符号を持つ端点の合計に導きます。運動量が保存される条件は、k値の重み付きグラフの境界がゼロであるという条件とまったく同じです。

有効なk値のセットは、閉ループがある場合はいつでも任意に再定義できます。閉ループとは、同じ頂点を再訪することのない、隣接する頂点の循環パスです。このようなサイクルは、仮想的な 2 セルの境界と考えることができます。kの再定義 (つまり、2 セルの境界まで) まで運動量を保存するグラフのkラベル付け (つまり、境界がゼロ) は、グラフの最初のホモロジーを定義します。決定されていない独立した運動量の数は、独立したホモロジー ループの数に等しくなります。多くのグラフでは、これは最も直感的な方法で数えられたループの数に等しくなります。

半直線を結合して与えられたファインマン図を形成する方法は多数あり、ウィックの定理によれば、半直線を結合する各方法は等しく寄与します。多くの場合、これにより各項の分母の階乗が完全にキャンセルされますが、キャンセルが不完全な場合もあります。

キャンセルされていない分母は、図の 対称係数と呼ばれます。相関関数に対する各図の寄与は、その対称係数で割る必要があります。

たとえば、 2 本の外部直線が 1 つのXに結合され、X内の残りの 2 本の半直線が互いに結合されて形成されるファインマン図を考えます。外部半直線をXに結合する方法は 4 × 3 通りありますが、残りの 2 本の直線を互いに結合する方法は 1 つしかありません。X は4 で割ると 4 × 3 × 2になりますが、 X半直線をリンクして図を作成する方法の数は 4 × 3 しかないため、この図の寄与は 2 で割られます。

別の例として、あるXのすべての半直線を別のXのすべての半直線につなげて形成される図を考えてみましょう。この図は、外部の線とつながっていないため、真空バブルと呼ばれます。この図を形成する方法は 4! 通りありますが、分母には 2! (指数関数の展開から、2 つのXがあります) と 4! の因数が 2 つ含まれています。寄与は⁠で乗算されます。4！/2×4！×4！⁠ =  ⁠1/48⁠ .

もう 1 つの例は、2 つのXから形成されるファインマン図です。この図では、各X は最大 2 本の外部直線にリンクし、各Xの残りの 2 本の半直線は互いに結合しています。Xを2 本の外部直線にリンクする方法の数は4 × 3 で、どちらのX もどちらのペアにもリンクできるため、追加の係数 2 が得られます。2 つのXの残りの 2 本の半直線は、2 つの方法で互いにリンクできるため、図を形成する方法の合計数は4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2で、分母は4! × 4! × 2!です。合計の対称係数は 2 で、この図の寄与は 2 で割られます。

対称性因子定理は、一般的な図の対称性因子を与えます。つまり、各ファインマン図の寄与は、その自己同型群の順序、つまり図が持つ対称性の数で割る必要があります。

ファインマングラフの自己同型は、次の特性を持つ直線の順列Mと頂点の 順列Nです。

1. 直線lが頂点vから頂点v′に向かう場合、M ( l ) はN ( v )からN ( v′ )に向かう。直線が実スカラー場のように無向である場合、M ( l ) はN ( v′ )からN ( v )に向かうこともできる。
2. 直線lが外部直線で終わる場合、M ( l ) も同じ外部直線で終わります。
3. 異なるタイプの行がある場合、M ( l )はそのタイプを保持する必要があります。

この定理は粒子経路の観点から解釈されます。つまり、同一の粒子が存在する場合、すべての中間粒子の積分では、同一の粒子を交換することによってのみ異なる状態を二重にカウントしてはなりません。

証明: この定理を証明するには、図のすべての内部線と外部線に一意の名前を付けます。次に、半線を名前にリンクし、次にもう 1 つの半線にリンクして図を作成します。

次に、名前付き図を形成する方法の数を数えます。X の各順列は、名前を半直線にリンクする異なるパターンを与え、これはn !の因数です。単一のX内の半直線の各順列は、4! の因数を与えます。したがって、名前付き図は、ファインマン展開の分母とまったく同じ数の方法で形成できます。

しかし、名前のない図の数は、グラフの自己同型群の順序によって、名前のある図の数よりも少なくなります。

大まかに言えば、ファインマン図は、すべての頂点と伝播線が図自体の頂点と伝播子の列によってリンクされている場合、連結されていると呼ばれます。無向グラフとして見ると、連結されています。QFTにおけるこのような図の注目すべき関連性は、量子分割関数 Z [ J ]を決定するのに十分であるという事実によるものです。より正確には、連結されたファインマン図は、

${\displaystyle iW[J]\equiv \ln Z[J].}$

これを理解するには、

${\displaystyle Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}}$

D _kは、いくつかの連結成分C _iから成ると考えられる、何らかの（任意の）ファインマン図から構築される。ファインマン図D _k内で成分C _iのn _{i 個}の（同一の）コピーに遭遇した場合、対称因子n _i !を含める必要がある。しかし、最終的には、ファインマン図D _kの分配関数へ の各寄与は、一般的な形式を持つ。

${\displaystyle \prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}$

ここで、i は（無限に）接続されたファインマン図の可能な数にラベルを付けます。

D _kからZ [ J ]への寄与を連続的に作成するスキームは次のように得られる。

${\displaystyle \left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots }$

そしてその結果

${\displaystyle Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.}$

正規化 Z ₀ = exp W [0] = 1を確立するには、接続されたすべての真空ダイアグラム、つまり、ソース Jのないダイアグラム（ファインマンダイアグラムの外部レッグと呼ばれることもあります）を計算するだけです。

リンククラスター定理は、 1955年にキース・ブルークナーによって4次まで初めて証明され、1957年にジェフリー・ゴールドストーンによって無限次まで証明されました^。[11]

リンククラスター定理の直接的な帰結は、相関関数を計算するときに、すべての真空バブル（外部線のない図）がキャンセルされることです。相関関数は、経路積分の比で与えられます。

${\displaystyle \left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.}$

上は、外部線にまったく接続されていない切断された図を含む、すべてのファインマン図の合計です。接続された図では、分子には分母と同じ真空泡の寄与が含まれます。

${\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.}$

Eダイアグラムの合計には、接続されたコンポーネントが少なくとも 1 本の外部線で終了するダイアグラムのみが含まれます。真空バブルは外部線が何であれ同じであり、全体的な乗法係数を与えます。分母はすべての真空バブルの合計であり、除算すると 2 番目の係数が除去されます。

真空泡はZ自体を決定するためにのみ役立ち、経路積分の定義から Z は次の式に等しくなります。

${\displaystyle Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}}$

ここで、ρ は真空中のエネルギー密度です。各真空泡には、各頂点での合計k をゼロにするδ ( k )の係数が含まれており、外部線がない場合、運動量保存則が過度に適用されるため、これにはδ (0)の係数が含まれます。有限体積では、この係数は時空の合計体積として識別できます。体積で割ると、真空泡の残りの積分は、真空のエネルギー密度への寄与であると解釈できます。

相関関数は接続されたファインマン図の合計ですが、形式論では接続された図と接続されていない図を別々に扱います。内部の線は頂点で終わり、外部の線は挿入点に向かいます。ソースを導入すると、1 つの線を終了できる場所に新しい頂点が作成され、形式論が統一されます。

ソースは外部フィールドであり、アクションに寄与するフィールドですが、動的変数ではありません。スカラー フィールド ソースは、(ローレンツ) ラグランジアンに項を寄与する 別のスカラー フィールドhです。

${\displaystyle \int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,}$

ファインマン展開では、これは頂点で終わる 1 つの半直線を持つ H 項に寄与します。ファインマン図の直線は、 X頂点またはH頂点のいずれかで終わることができ、1 つの直線のみがH頂点に入ります。H 頂点のファインマン規則は、運動量kを持つHからの直線はh ( k )の係数を取得するというものです。

ソースが存在する場合の接続図の合計には、ソースが存在しない場合に各接続図の項が含まれますが、図がソースで終了できる点が異なります。従来、ソースは、挿入とまったく同じように、1 本の線が伸びた小さな「×」で表されます。

${\displaystyle \log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,}$

ここで、C ( k ₁ ,..., k _n )は、示されているように運動量を運ぶn 本の外部線を持つ接続図です。合計は、前と同じように、すべての接続図にわたって行われます。

フィールドhは動的ではないため、h上の経路積分は存在しません。hはラグランジアン内の単なるパラメータであり、点ごとに変化します。フィールドの経路積分は次のとおりです。

${\displaystyle Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,}$

そしてそれは各点におけるhの値の関数です。この表現を解釈する一つの方法は、それがフィールド空間におけるフーリエ変換であるということです。R ⁿに確率密度がある場合、確率密度のフーリエ変換は次のようになります。

${\displaystyle \int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,}$

フーリエ変換は振動指数の期待値です。ソースh ( x )がある場合の経路積分は次のようになります。

${\displaystyle Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle }$

これは格子上では各場の値に対する振動指数の積である。

${\displaystyle \left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle }$

デルタ関数のフーリエ変換は定数であり、デルタ関数の正式な表現を与えます。

${\displaystyle \delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk}$

これは、フィールドデルタ関数が経路積分でどのように見えるかを示しています。2つのスカラーフィールドφとηの場合、

${\displaystyle \delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,}$

これはフーリエ変換座標をhにわたって積分します。この表現は、通常の多次元積分でデルタ関数を使用して座標を変更するのと同じように、経路積分でフィールド座標を形式的に変更するのに役立ちます。

パーティション関数は体hの関数となり、物理的なパーティション関数はhがゼロ関数の ときの値になります。

相関関数は、ソースに関する経路積分の微分です。

${\displaystyle \left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.}$

ユークリッド空間では、作用に対するソース寄与はiの係数で現れることがあるため、依然としてフーリエ変換が行われます。

場の経路積分はフェルミの場合に拡張できますが、積分の概念が拡張されている場合に限られます。自由フェルミ場のグラスマン積分は高次元の行列式またはパフィアンであり、フェルミ場に適した新しいタイプのガウス積分を定義します。

グラスマン積分の 2 つの基本公式は次のとおりです。

${\displaystyle \int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,}$

ここで、Mは任意の行列であり、ψ、ψは各インデックスiに対する独立したグラスマン変数であり、

${\displaystyle \int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,}$

ここで、Aは反対称行列、ψはグラスマン変数の集合であり、⁠1/2⁠ は二重カウントを防ぐためです（ψ ⁱ ψ ^j = − ψ ^j ψ ⁱなので）。

行列表記では、ψとηはグラスマン値の行ベクトル、ηとψはグラスマン値の列ベクトル、M は実数値行列です。

${\displaystyle Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,}$

ここで最後の等式はグラスマン積分の並進不変性の結果です。グラスマン変数ηはψの外部ソースであり、ηについて微分するとψの因数が下がります。

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}}$

再び、図式的な行列表記で。上の式の意味は、 ηとηの適切な成分に関する導関数がM ⁻¹の行列要素を与えるということです。これは、複素ボゾン場のガウス積分のボゾン経路積分式とまったく同じです。

${\displaystyle \int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}}$

${\displaystyle \left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.}$

したがって、プロパゲータは、ボーズの場合とフェルミの場合の両方において、作用の 2 次部分における行列の逆行列になります。

実グラスマン場、マヨラナフェルミオンの場合、経路積分はパフィアンとソースの二次形式の積分であり、公式は実ボソン場の場合と同様に行列式の平方根を与えます。プロパゲータは依然として二次部分の逆です。

自由ディラックラグランジアン:

${\displaystyle \int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi }$

通常の経路積分におけるクライン・ゴードン・ラグランジアンがスカラー場の運動方程式と交換関係を与えるのと同様に、ディラック場の運動方程式と反交換関係を形式的に与えます。ディラック場の空間フーリエ変換をグラスマン代数の新しい基底として使用することで、ディラック作用の2次部分の逆変換が簡単になります。

${\displaystyle S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.}$

異なるkの値は混ざらない ため、プロパゲータはψ ( k )とψ ( k )を結び付ける行列Mの逆行列です。

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}}$

ウィックの定理の類似は、ψとψをペアで一致させます。

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}}$

ここで、 S は、 ψとψのシーケンスを並べ替えて、デルタ関数を作るためにペアになっているものを互いに隣り合わせにし、 ψ がψの直前に来るようにする順列の符号です。ψ、ψペアはグラスマン代数の可換要素であるため、ペアの順序は重要ではありません。 複数のψ、ψペアが同じk を持つ場合、積分はゼロであり、この場合、ペアの合計がゼロになることは簡単に確認できます (ペアは常に偶数個あります)。 これは、以前にボソンのウィックの定理を完成させた高次のガウスモーメントのグラスマン類似体です。

スピンのルール- ⁠1/2ディラック粒子は以下のとおりです。プロパゲータはディラック演算子の逆であり、線には複素スカラー場と同じように矢印があり、図は各閉じたフェルミループに対して全体の係数が -1 になります。フェルミループが奇数の場合、図の符号が変わります。歴史的に、-1 ルールはファインマンにとって発見するのが非常に困難でした。彼はグラスマン積分の適切な理論を欠いていたため、長い試行錯誤の末にそれを発見しました。

この規則は、頂点におけるフェルミ線の数が常に偶数であるという観察から得られます。ラグランジアン内の各項は常にボソン曲線でなければなりません。フェルミループは、フェルミ線をたどって開始点に戻り、それらの線を図から削除することによってカウントされます。このプロセスを繰り返すと、最終的にすべてのフェルミ線が消去されます。これは、各頂点の次数が偶数である場合に機能する、グラフを 2 色にするオイラーのアルゴリズムです。オイラーのアルゴリズムのステップ数は、ラグランジアン内のすべての項がフェルミ場に関して正確に 2 次であり、各頂点が正確に 2 つのフェルミ線を持つという一般的な特殊なケースにおける独立したフェルミホモロジー サイクルの数にのみ等しくなります。4 つのフェルミ相互作用がある場合 (弱い核相互作用のフェルミ有効理論のように)、フェルミループよりもk積分が多くなります。この場合、カウント規則は、各頂点のフェルミ線をペアにして、ラグランジアン内の項のボゾン因子を形成するペアにすることでオイラーアルゴリズムを適用し、1 本の線で頂点に入るときは、アルゴリズムは常にパートナーの線で終了する必要があります。

この規則を明確にして証明するために、フェルミオン場を持つラグランジアン内の項である頂点から形成されるファインマン図を考えてみましょう。完全な項はボソン項であり、グラスマン代数の可換要素であるため、頂点が現れる順序は重要ではありません。フェルミ線はループにリンクされており、ループを通過するときに、符号コストなしで頂点項を次々に並べ替えることができます。例外は、開始点に戻る場合で、最後の半直線はリンクされていない最初の半直線と結合する必要があります。これには、最後のψ を最初のψの前に移動するための1つの順列が必要であり、これにより符号が得られます。

この規則は、内部線における排他原理の唯一の目に見える効果です。外部線がある場合、同一粒子の 2 つのフェルミ挿入が交換されると、振幅は反対称になります。フェルミ場のソース自体がグラスマン値であるため、ソース形式ではこれが自動的に行われます。

A フィールドのラグランジアンは次のようになるため、光子の単純な伝播関数は無限大です。

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.}$

プロパゲーターを定義する二次形式は逆ではありません。その理由は、場のゲージ不変性です。Aに勾配を追加しても、物理的性質は変わりません。

この問題を解決するには、ゲージを固定する必要があります。最も便利な方法は、Aの発散が、点ごとに値がランダムな関数fであると要求することです。 fの値について積分しても問題はありません。これは、ゲージの選択を決定するだけだからです。この手順では、 Aの経路積分に次の係数を挿入します。

${\displaystyle \int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.}$

最初の因子であるデルタ関数はゲージを固定します。2番目の因子は、ゲージを固定する異なるfの値の合計です。これは単純に

${\displaystyle e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.}$

ゲージ固定による追加の寄与により、自由ラグランジアン後半が打ち消され、ファインマン ラグランジアンは次のようになります。

${\displaystyle S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }}$

これはちょうど、 Aの各成分に 1 つずつ、4 つの独立した自由スカラー場があるようなものです。ファインマン伝播関数は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.}$

唯一の違いは、ローレンツの場合、1 つのプロパゲーターの符号が間違っていることです。時間的要素には反対の符号のプロパゲーターがあります。これは、これらの粒子状態が負のノルムを持つことを意味します。つまり、これらは物理的な状態ではありません。光子の場合、これらの状態が物理的ではないことはダイアグラム法によって簡単に示せます。これらの寄与は縦方向光子と相殺され、kの任意の値に対して 2 つの物理的な光子偏光寄与のみが残ります。

fの平均化が⁠とは異なる係数で行われる場合、1/2⁠、2つの項は完全には打ち消されません。これにより、係数 を持つ共変ラグランジアンが生成されますが、これは何にも影響しません。 ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)}$

QED の共変伝播関数は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.}$

非アーベルゲージ場に対するファインマン規則を見つけるには、ゲージ固定を実行する手順を、経路積分における変数の変化を考慮して慎重に修正する必要があります。

ゲージ固定係数には、デルタ関数をポップすることによる追加の決定要因があります。

${\displaystyle \delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M}$

行列式の形式を見つけるには、まず角度θではなくrのみに依存する関数fの単純な2次元積分を考えます。 θに積分を挿入すると、次のようになります。

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy}$

導関数因子は、 θのデルタ関数をポップすると積分が除去されることを保証します。積分の順序を交換すると、

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy}$

しかし、デルタ関数はyにポップされることができる。

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.}$

θについての積分は全体の係数として 2 πを与えるだけですが、 θの変化に対するyの変化率はxだけなので、この演習ではラジアル関数の極積分の標準的な公式を再現します。

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx}$

非可換ゲージ場の経路積分では、同様の操作は次のようになります。

${\displaystyle \int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,}$

先頭の係数はゲージ群の体積であり、定数に寄与しますが、これは無視できます。残りの積分はゲージ固定作用に対して行われます。

${\displaystyle \int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,}$

共変ゲージを得るためのゲージ固定条件はアーベルの場合と同じです。

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,}$

無限小ゲージ変換による変化は次のように与えられる。

${\displaystyle \partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,}$

ここで、α は、無限小ゲージ変換を実行するすべての点におけるリー代数の随伴値要素です。これにより、ファデーエフ・ポポフ行列式が作用に追加されます。

${\displaystyle \det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,}$

これはゴーストフィールドを導入することでグラスマン積分として書き直すことができる。

${\displaystyle \int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,}$

行列式はfに依存しないので、 f上の経路積分は、アーベルの場合のようにfの測度を選択することで、ファインマン伝播関数（または共変伝播関数）を与えることができます。完全なゲージ固定作用は、追加のゴースト作用を持つファインマンゲージのヤンミルズ作用です。

${\displaystyle S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,}$

この図は、この作用から導かれます。スピン 1 場のプロパゲーターは通常のファインマン形式です。運動量因子の結合が構造定数である 3 次頂点と、結合が構造定数の積である 4 次頂点があります。さらにゴースト ループがあり、Aループ内の時間的状態と縦方向状態をキャンセルします。

アーベルの場合、共変ゲージの行列式はAに依存しないため、ゴーストは連結図には寄与しません。

ファインマン図はもともと、異なるクラスの粒子軌道からの S 行列への寄与を表す方法として、ファインマンが試行錯誤の末に発見したものです。

ユークリッド スカラー プロパゲーターには示唆に富む表現があります。

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau }$

この恒等式（基本的な積分）の意味は、実空間へのフーリエ変換によってより明確になります。

${\displaystyle \Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}}$

τの任意の値におけるプロパゲータへの寄与は、幅√ τのガウス分布です。0 からxまでの全伝播関数は、正規化されたガウス分布のすべての固有時間τにわたる加重和であり、時間τのランダムウォークの後にxに到達する確率です。

プロパゲータの経路積分表現は次のようになります。

${\displaystyle \Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}}$

これはシュウィンガー表現の経路積分書き換えです。

シュウィンガー表現は、プロパゲーターの粒子の側面を明らかにするのにも、ループ図の分母を対称化するのににも役立ちます。

シュウィンガー表現は、ループ図に直接応用できます。たとえば、2 つの x を 2 つの半直線で結合し、残りの直線を外部にすることによって形成される φ 4 理論の図^の場合、ループ内の内部プロパゲーターの積分は次のようになります。

${\displaystyle \int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.}$

ここで、1 本の線は運動量k を運び、もう 1 本の線は運動量k + p を運びます。すべてをシュウィンガー表現に入れることで、非対称性を修正できます。

${\displaystyle \int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.}$

指数は主にt + t ′に依存します。

${\displaystyle \int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,}$

非対称な部分を除いて。変数u = t + t ′およびv = ⁠ を定義すると、t ′/あなた⁠、変数u は0 から∞まで変化し、変数v は0 から 1 まで変化します。変数uはループの合計固有時間であり、変数v はループの上部と下部の固有時間の割合をパラメーター化します。

この変数変換のヤコビアンは、恒等式から簡単に計算でき ます。

${\displaystyle d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,}$

そして「くさび」は

${\displaystyle u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,}$。

これにより、u積分を明示的に評価できるようになります。

${\displaystyle \int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv}$

v積分だけが残ります。シュウィンガーが発明したこの方法は、通常はファインマンの功績とされ、分母の結合と呼ばれます。抽象的には、これは基本的な恒等式です。

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv}$

しかし、この形式ではv を導入する物理的な動機は得られません。vはループの 1 つの区間における固有時間の比率です。

分母を結合すると、kをk ′ = k + vpにシフトすることですべてが対称化されます。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv}$

この形式は、 p ²がループ内の粒子の質量の 4 倍よりも負の値になる瞬間(これはローレンツ空間の物理領域で発生します) に、積分が切断されることを示しています。これはまさに、外部の運動量が物理的な粒子を作成できるときです。

ループの頂点の数が増えると、結合する分母の数も増えます。

${\displaystyle \int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}}$

一般的な規則は、n + 1分母に対するシュウィンガーの規定に従います。

${\displaystyle {\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.}$

シュウィンガーパラメータu _iの積分は、前と同じように、全固有時間u = u ₀ + u ₁ ... + u _{n の}積分と、ループの最初のセグメントを除くすべての固有時間の部分の積分v _i = ⁠に分割できます。あなた_​/あなた⁠ i ∈ {1,2,..., n }の場合。v _{i は}正で合計が 1 未満となるため、 v積分はn次元単体上で行われます。

座標変換のヤコビアンは前と同じように計算できます。

${\displaystyle du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,}$

${\displaystyle d(uv_{i})=du_{i}\,.}$

これらの式をまとめると次の式が得られる。

${\displaystyle u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.}$

これにより積分が得られます。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,}$

ここで単体とは、条件によって定義される領域である。

${\displaystyle v_{i}>0\quad {\mbox{and}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1}$

同様に

${\displaystyle v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.}$

u積分を実行すると、分母を組み合わせるための一般的な処方箋が得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}}$

積分関数の分子は含まれていないため、各脚がどのようなスピンを運ぶかに関係なく、同じ処方がどのループにも適用されます。パラメータv _iの解釈は、各脚で費やされる合計固有時間の割合であるということです。

量子場理論の相関関数は粒子の散乱を記述します。相対論的場理論における「粒子」の定義は自明ではありません。なぜなら、不確実性がコンプトン波長よりも小さくなるように位置を決定しようとすると、エネルギーの不確実性が大きくなり、真空から同じ種類の粒子と反粒子がさらに生成されるからです。つまり、単一粒子状態の概念は、空間に局在する物体の概念とある程度矛盾しています。

1930 年代に、ウィグナーは単一粒子状態の数学的定義を与えました。単一粒子状態は、ポアンカレ群の既約表現を形成する状態の集合です。単一粒子状態は、有限の質量、明確に定義された運動量、およびスピンを持つオブジェクトを表します。この定義は、陽子と中性子、電子と光子には適していますが、永久に閉じ込められているクォークは除外されるため、現代の観点はより柔軟になっています。粒子とは、その相互作用がファインマン図で説明できるものであり、粒子の軌跡の合計として解釈されます。

場の演算子は真空から 1 粒子状態を生成するように作用します。つまり、場の演算子φ ( x )はウィグナー粒子状態の重ね合わせを生成します。自由場理論では、場は 1 粒子状態のみを生成します。しかし、相互作用がある場合、場の演算子は 3 粒子、5 粒子 (+/- 対称性がない場合には 2、4、6 粒子) 状態も生成できます。単一粒子状態の散乱振幅を計算するには、注意深い制限のみが必要で、場を無限大に送り、空間にわたって積分して高次補正を取り除きます。

散乱と相関関数の関係は LSZ 定理です。散乱イベントでn個の粒子がm個の粒子に移動する散乱振幅は、外部レッグのプロパゲータを除いた、 n + m 個のフィールド挿入の相関関数に含まれるファインマン ダイアグラムの合計によって与えられます。

例えば、前のセクションのλφ ⁴相互作用の場合、 （ローレンツ）相関関数への λ次の寄与は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,}$

外部伝播子を取り除く、つまり、⁠の因子を取り除く。私/2 ^...⁠ は不変散乱振幅Mを与える:

${\displaystyle M=i\lambda \,}$

これは、入射運動量と出射運動量に依存しない定数です。散乱振幅の解釈は、すべての可能な最終状態にわたる| M | ²の合計が散乱イベントの確率であるということです。ただし、 Mが相対論的不変量である ことを保証するために、単一粒子状態の正規化は慎重に選択する必要があります。

非相対論的な単一粒子状態は運動量kでラベル付けされ、 kのすべての値で同じノルムを持つように選択されます。これは、単一粒子状態に対する非相対論的単位演算子が次のようになるためです。

${\displaystyle \int dk\,|k\rangle \langle k|\,.}$

相対論では、質量 m の粒子のk状態にわたる積分は、エネルギーと運動量の関係によって定義される E、k空間の双曲線にわたって積分されます。

${\displaystyle E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.}$

積分が各k点に均等に重み付けする場合、測度はローレンツ不変ではありません。不変測度は、ローレンツ不変デルタ関数を持つ双曲線に制限して、 kとEのすべての値にわたって積分します。

${\displaystyle \int \delta (E^{2}-k^{2}-m^{2})|E,k\rangle \langle E,k|\,dE\,dk=\int {dk \over 2E}|k\rangle \langle k|\,.}$

したがって、正規化されたk状態は相対論的に正規化されたk状態と次の係数 だけ異なる。

${\displaystyle {\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.}$

不変振幅Mは、相対論的に正規化された入力状態が相対論的に正規化された出力状態になる確率振幅です。

kの非相対論的値の場合、相対論的正規化は非相対論的正規化と同じです (定数係数√ mまで)。この制限では、φ ⁴不変散乱振幅は一定のままです。場φによって生成された粒子は、すべての方向に等しい振幅で散乱します。

非相対論的ポテンシャルは、すべての方向に等しい振幅で散乱し (ボルン近似)、フーリエ変換が一定であるもの、つまりデルタ関数ポテンシャルです。理論の最低次の散乱は、この理論の非相対論的解釈を明らかにします。つまり、デルタ関数反発を持つ粒子の集合を記述します。このような 2 つの粒子は、同時に同じ点を占めることを嫌います。

ファインマン図を摂動級数として考えると、トンネル効果のような非摂動効果は現れません。なぜなら、どの多項式よりも速くゼロになる効果もテイラー級数に影響を与えないからです。また、有限の順序では粒子は有限の回数しか交換されないため、束縛状態さえ存在しません。束縛状態を作るには、結合力が永久に続く必要があります。

しかし、この観点は誤解を招く恐れがある。なぜなら、図は散乱を説明するだけでなく、短距離場の理論の相関関係も表現しているからである。それらは、粒子の散乱のような漸近過程をコード化するだけでなく、場の乗法則、演算子積展開も説明する。非摂動的なトンネル過程は、結合定数が小さくなると平均して大きくなる場の構成を伴うが、各構成は、局所的な相互作用がファインマン図によって説明される粒子の首尾一貫した重ね合わせである。結合が小さい場合、これらは多数の粒子を伴う集団過程となるが、各粒子間の相互作用は単純である。^[要出典] (相互作用する量子場の理論の摂動級数は収束半径がゼロであるため、このような場の構成を説明するために必要な図の無限級数の限界 (結合が消失する限界において) が複雑になる。)

これは、非摂動効果が無限クラスの図の再総和において漸近的に現れ、これらの図が局所的に単純になり得ることを意味する。グラフは局所的な運動方程式を決定し、許容される大規模構成は非摂動的な物理学を記述する。しかし、ファインマン伝播関数は時間的に非局所的であるため、場のプロセスをコヒーレントな粒子言語に翻訳することは完全に直感的ではなく、特定の特殊なケースでのみ明示的に解決されてきた。非相対論的束縛状態の場合、ベーテ・サルペーター方程式は、相対論的原子を記述するために含めるべき図のクラスを記述する。量子色力学の場合、シフマン・ヴァインシュタイン・ザハロフ和則は、非摂動励起された長波長場のモードを粒子言語で記述するが、それは現象論的な方法のみである。

摂動論の高次におけるファインマン図の数は非常に多い。これは、与えられた数のノードを持つグラフの数と同じ数の図が存在するためである。非摂動効果は、高次における図の数と再総和の発散の仕方に特徴を残す。非摂動効果が図に隠れた形で現れるからこそ、多くの場合ファインマン記述が唯一の利用可能な記述である弦理論において非摂動効果を分析することが可能になったのである。

• クォークと反クォークの対を生成する仮想粒子の上図の使用は、テレビのシットコム『ビッグバン・セオリー』のエピソード「バットジャー予想」で取り上げられました。
• 2012年1月11日のPhD Comicsには、量子学術的相互作用、つまり博士課程の学生が指導教員とやり取りする際にたどる経路を視覚化して説明するファインマン図が掲載されています。 ^[12]
• スティーブン・バクスターの SF 小説『真空図』には、ファインマン図の特定のタイプである真空図が登場します。
• ファインマンと妻のグウィネス・ハワースは1975年にダッジ・トレードマン・マキシバンを購入し、ファインマン・ダイアグラムをペイントした。^[13]このバンは現在、ビデオゲームデザイナーで物理学者のシェイマス・ブラックリーが所有している。^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]} ナンバープレートのIDはQantumだった。 ^[23]

• ヴェルトマン、マルティヌス JG。 'T ホーフト、ジェラルダス (1973)。ダイアグラム (レポート)。 CERNイエローレポート。土井：10.5170/CERN-1973-009。
• カイザー、デイビッド（2005年）。『理論の分離：戦後物理学におけるファインマン図の分散』シカゴ：シカゴ大学出版局。ISBN 978-0-226-42266-4。
• ヴェルトマン、マルティヌス (1994-06-16)。ダイアグラムマティカ: ファインマン ダイアグラムへの道。ケンブリッジ物理学講義ノート。ISBN 0-521-45692-4。（上記引用の 't Hooft & Veltman、1973 の拡張・更新版）
• Srednicki, Mark Allen (2006). 量子場理論。スクリプト（草稿版）。カリフォルニア州サンタバーバラ：カリフォルニア大学サンタバーバラ校。2011-07-25にオリジナルからアーカイブ。2011-01-28に取得。
• シュウェーバー、シルバン S. (1994)。QEDとそれを作った男たち: ダイソン、ファインマン、シュウィンガー、朝永。プリンストン物理学シリーズ。プリンストン、ニュージャージー:プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-03327-3。

• AMS 記事: 「数学の最新情報: 有限次元ファインマン図」
• Quantumdiaries.com の Flip Tanedo によるファインマン図の描き方の説明
• PostScript 出力を生成する FeynDiagram C++ ライブラリを使用してファインマン ダイアグラムを描画します。
• オンライン ダイアグラム ツール 出版用のダイアグラムを作成するためのグラフィカル アプリケーションです。
• JaxoDraw ファインマン図を描画するための Java プログラム。
• Bowley, Roger; Copeland, Ed (2010)。「ファインマン ダイアグラム」。60個のシンボル。ノッティンガム大学のBrady Haran 氏による。