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ウィリアム・ポール・サーストン（1946年10月30日- 2012年8月21日）は、アメリカの数学者。低次元トポロジーの分野における先駆者であり、 3次元多様体の研究への貢献により1982年にフィールズ賞を受賞した。
サーストンはプリンストン大学、カリフォルニア大学デービス校、コーネル大学で数学の教授を務めた。また、数理科学研究所の所長も務めた。
ウィリアム・サーストンはワシントンD.C.で、裁縫師のマーガレット・サーストン（旧姓 マート）と航空技師のポール・サーストンの間に生まれた。 [ 1 ]ウィリアム・サーストンは幼い頃に先天性斜視を患い、奥行き知覚に問題があった。 [ 1 ]彼の母親は幼児の頃から彼と一緒に、2次元画像から3次元画像を再構築する練習をしていた。[ 1 ]
彼は1967年にニューカレッジの創立クラスの一員として学士号を取得した。 [ 1 ] [ 2 ]学部卒業論文では、位相幾何学の直観主義的基礎を開発した。[ 3 ]ニューカレッジの学生の住居に関する寛容な姿勢を利用して、サーストンは様々な時期に近くの森のテントで生活したり、学内の建物で寝泊まりしたりした。
その後、彼は1972年にカリフォルニア大学バークレー校でモリス・ハーシュの指導の下、「円束である3次元多様体の葉層構造」というタイトルの論文で数学の博士号を取得した。 [ 1 ] [ 4 ]
博士号取得後、サーストンは高等研究所で1年間[ 1 ] [ 5 ] 、その後マサチューセッツ工科大学で助教授としてさらに1年間勤務した[ 1 ] 。
1974年、サーストンはプリンストン大学の正教授に任命された。[ 1 ] [ 6 ]彼は1991年にバークレーに戻り教授（1991年～1996年）となり、1992年から1997年までは数学科学研究所（MSRI）の所長も務めた。 [ 1 ] [ 7 ]彼は1996年から2003年までUCデイビスの教員を務め、その後コーネル大学に移った。[ 1 ]
サーストンは純粋数学研究におけるコンピューティングの初期の採用者であった。[ 1 ]彼はジェフリー・ウィークスにSnapPeaコンピューティングプログラムの開発を促した。[ 1 ]
サーストンがMSRIの所長を務めていた期間、同研究所はいくつかの革新的な教育プログラムを導入し、それらはその後、研究機関の標準となった。[ 1 ]
彼の博士課程の学生には、ダニー・カレガリ、リチャード・カナリー、ベンソン・ファーブ、ウィリアム・フロイド、デビッド・ガバイ、ウィリアム・ゴールドマン、リチャード・ケニヨン、スティーブン・ケルクホフ、ヤイル・ミンスキー、イゴール・リビン、オデッド・シュラム、リチャード・シュワルツ、ジェフリー・ウィークスなどがいる。[ 8 ]
1970年代初頭の彼の初期の研究は、主に葉層理論に関するものでした。彼の主な業績には以下のようなものがあります。
実際、サーストンは葉層理論の未解決問題を非常に短期間で解決したため、その分野から多くの研究者が離れ、指導教官は学生に葉層理論に進まないように助言した[ 9 ]。なぜならサーストンは「この分野を浄化している」からである（「数学における証明と進歩について」、特に第6節を参照[ 10 ]）。
1970年代半ば頃から始まった彼の後期の研究は、双曲幾何学が3次元多様体の一般理論において、これまで考えられていたよりもはるかに重要な役割を果たしていることを明らかにした。サーストン以前には、ザイフェルト・ウェーバー空間など、有限体積の双曲3次元多様体の既知の例はごくわずかしかなかった。1970年代半ばから後半にかけてのロバート・ライリーとトロエルス・ヨルゲンセンによる独立した異なるアプローチは、そのような例がこれまで考えられていたほど特異なものではないことを示した。特に彼らの研究は、8の字結び目の補集合が双曲的であることを示した。これは双曲結び目の最初の例であった。
彼らの研究に触発されたサーストンは、 8の字結び目補空間の双曲構造を示すために、より明確で異なる方法を採用した。彼は、8の字結び目補空間が、双曲構造が正しく一致し、8の字結び目補空間に双曲構造を与える2つの正則理想双曲四面体の和集合として分解できることを示した。ハーケンの法曲面法を利用して、彼は結び目補空間内の非圧縮曲面を分類した。双曲構造の変形の解析と合わせて、彼は8の字結び目に対する10回のデーン手術を除くすべての手術が、既約でハーケンでもザイフェルトファイバーでもない3次元多様体をもたらすと結論付けた。これらはそのような最初の例であり、以前は特定のザイフェルトファイバー空間を除いて、すべての既約3次元多様体はハーケンであると考えられていた。これらの例は実際には双曲的であり、彼の次の定理の動機となった。
サーストンは、尖点を持つ双曲型3次元多様体に対するほとんどのデーン充填が、実際には双曲型3次元多様体を生成することを証明した。これが彼の有名な双曲型デーン手術定理である。
さらに、サーストンはハーケン多様体に関する双曲化定理を証明した。特に重要な系として、多くの結び目や絡み目が実際には双曲的であるということが挙げられた。彼の双曲的デーン手術定理と合わせて、この定理は閉じた双曲的3次元多様体が非常に多く存在することを示していた。
ハーケン多様体の双曲化定理は、証明の長さと難しさから、サーストンのモンスター定理と呼ばれています。 [ 11 ]完全な証明は、それからほぼ20年後まで書かれませんでした。この証明には、一見異質な多くの分野を3次元多様 体と結びつける、数多くの深く独創的な洞察が含まれています。
サーストンは次に、幾何化予想を定式化しました。これは、すべての 3 次元多様体が、現在サーストン モデル幾何と呼ばれる 8 つの幾何を含むある種の幾何分解を許容することを示唆する 3 次元多様体の予想図を与えました。双曲幾何はこの図の中で最も一般的で、最も複雑な幾何です。この予想は、 2002～2003 年にグリゴリー・ペレルマンによって証明されました。[ 12 ] [ 13 ]
サーストンとデニス・サリバンは、 1970年代後半から1980年代前半にかけて、リプマン・バースの密度予想を、単一退化クライン曲面群からすべての有限生成クライン群に一般化した。 [ 14 ] [ 15 ]この予想は、すべての有限生成クライン群は幾何学的に有限なクライン群の代数的極限であると述べており、2011年と2012年にそれぞれ大鹿とナマジ・ソウトによって独立に証明された。[ 14 ] [ 15 ]
双曲デーン手術の研究において、サーストンはオービフォールド構造が自然に生じることに気づいた。このような構造はサーストン以前にも研究されていたが、彼の研究、特に次の定理によって、それらは注目されるようになった。1981年、彼はオービフォールド定理を発表した。これは、彼の幾何化定理を3-オービフォールドの設定に拡張したものである。[ 16 ] 2000年頃、2つの数学者チームが、主に1980年代初頭にプリンストンで行われたサーストンの講義に基づいて、完全な証明を書き上げる努力をようやく終えた。彼の元の証明は、リチャード・S・ハミルトンのリッチフローに関する研究に部分的に依拠していた。
1976年、サーストンとジェームズ・ハリス・サイモンズはオズワルド・ヴェブレン幾何学賞を共同受賞した。[ 1 ]
サーストンは1982年にフィールズ賞を受賞し、「2次元および3次元のトポロジーの研究に革命を起こし、解析学、トポロジー、幾何学の間の相互作用を示した」こと、および「非常に大きなクラスの閉じた3次元多様体が双曲構造を持つという考えに貢献した」ことが評価された。[ 17 ] [ 18 ]
2005年、サーストンは『 3次元幾何学とトポロジー』でアメリカ数学会第1回書籍賞を受賞した。この賞は「研究文献に画期的な貢献をした優れた研究書」を表彰するものである。[ 19 ]彼は2012年にアメリカ数学会から研究への画期的な貢献に対してリロイ・P・スティール賞を授与された。授賞理由には、彼の研究が「3次元多様体理論に革命をもたらした」と記されている。[ 20 ]
サーストンはニューカレッジの創立クラスのメンバーとして最初の妻レイチェル・フィンドレーと出会った。彼らにはディラン、ナサニエル、エミリーの3人の子供がいた。[ 6 ]ディランはMOSP参加者（1988～90年）[ 21 ]であり、ボストンカレッジの数学者である。サーストンは2番目の妻ジュリアン・ミュリエル・サーストンとの間にハンナ・ジェイドとリアムの2人の子供をもうけた。[ 6 ]
サーストンは2012年8月21日、ニューヨーク州ロチェスターで、 2011年に診断された副鼻腔粘膜黒色腫により死去した。 [ 6 ] [ 22 ] [ 7 ]
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