対数

• log ₂ 16 = 4、なぜなら2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16だからです。
• 対数は負の値をとることもあります。${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$以来${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log ₁₀ 150は約 2.176 であり、これは 2 と 3 の間にあります。ちょうど 150 が10 ² = 100と10 ³ = 1000の間にあるのと同じです。
• 任意の底bに対して、log _b b = 1およびlog _b 1 = 0 となる。これは、それぞれb ¹ = bおよびb ⁰ = 1であるためである。 

積の対数は、掛け合わせる数の対数の和です。2つの数の比の対数は、それらの対数の差です。ある数のp乗の対数は、その数自身の対数のp倍です。p乗根 の対数は、その数をpで割った対数です。次の表に、これらの恒等式と例を示します。それぞれの恒等式は、対数の定義を代入することで導き出すことができます。${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}}$または$y=b^{\,\log _{b}y}}$左側。以下の式では、${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle y}$は正の実数であり、${\displaystyle p}$は1より大きい整数です。

対数log _b x は、任意の底kに関するxとbの対数から、次の式を使用して計算できます。^{[ nb 2 ]} 

$${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.}$$

一般的な科学計算機は、底が 10 とeの対数を計算します。^{[ 5 ]}任意の底bに関する対数は、前述の式を使用して、これら 2 つの対数のいずれかを使用して求めることができます。 

$${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.}$$

ある数xとその未知の底bに対する対数y = log _b xが与えられたとき、底は次のように表されます。 

$${\displaystyle b=x^{\frac {1}{y}},}$$

これは定義式を取ることでわかる。${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}}$パワー${\displaystyle {\tfrac {1}{y}}.}$

対数の実用的な利用を可能にした重要なツールは、対数表でした。^{[ 30 ]}最初のそのような表は、ネイピアの発明直後の1617年にヘンリー・ブリッグスによって作成されましたが、底を10にするという革新がありました。ブリッグスの最初の表には、1から1000までの範囲のすべての整数の常用対数が 14桁の精度で含まれていました。その後、範囲が広がる表が作成されました。これらの表には、特定の範囲の 任意の数xのlog ₁₀ xの値が、特定の精度でリストされています。底10の対数は計算に普遍的に使用されていたため、常用対数と呼ばれています。これは、10の倍数だけ異なる数の対数が整数だけ異なるためです。xの常用対数は、特性と仮数として知られる整数部分と小数部分に分離できます。対数表には仮数部のみを記載すればよく、小数点から桁数を数えることで簡単に特性を求めることができる。^{[ 31 ]} 10・xの特性はxの特性の 1 プラスであり、それらの仮数部は同じである。したがって、3 桁の対数表を使用すると、3542 の対数は次のように近似される。 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}}$$

補間法を用いることで、より高い精度が得られる。

$${\displaystyle \log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)}$$

対数は単調関数であるため、同じ表で逆引き検索することで10 ^xの値を求めることができます。

2つの正の数cとdの積と商は、通常、それぞれの対数の和と差として計算されます。積cdまたは商c / dは、同じ表を使って和または差の逆対数を調べることで得られます。  

$${\displaystyle cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}}$$

そして

$${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}.}$$

ある程度の精度が求められる手動計算では、2 つの対数を調べ、それらの和または差を計算し、逆対数を調べる方が、三角関数の恒等式に依存するプロスタフェレシスなどの従来の方法で乗算を行うよりもはるかに高速です。

べき乗と平方根の計算は、乗算または除算と参照に簡略化されます。

$${\displaystyle c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}}$$

そして

$${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.}$$

三角関数の計算は、三角関数の常用対数を含む表によって容易になった。

もう一つの重要な応用例は、計算に使用される対数目盛りの付いた一対の尺である計算尺です。スライドしない対数目盛りであるガンターの尺は、ネイピアの発明の直後に発明されました。ウィリアム・オウトレッドはこれを改良し、互いに移動可能な一対の対数目盛りである計算尺を作成しました。数値は、対数の差に比例した距離でスライドする目盛り上に配置されます。上側の目盛りを適切にスライドさせることは、機械的に対数を加算することに相当します。図を参照してください。

例えば、下側の目盛りの1から2までの距離と上側の目盛りの1から3までの距離を足すと、積は6となり、下側で読み取られます。計算尺は、精度は犠牲になりますが、表に基づく手法よりもはるかに高速な計算を可能にするため、1970年代までエンジニアや科学者にとって不可欠な計算ツールでした。^{[ 32 ]}

bを、${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle f(x)=b^{x}}$。

実解析では、任意の連続な厳密に単調な関数は定義域と値域の間で全単射であるというのが標準的な結果である。この事実は中間値の定理から導かれる。^{[ 34 ]}さて、${\displaystyle f}$は厳密に増加しています（${\displaystyle b>1}$）、または厳密に減少（${\displaystyle 0<b<1}$）、^{[ 35 ]}は連続であり、定義域は${\displaystyle \mathbb {R} }$範囲も広く${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$。 したがって、${\displaystyle f}$は全単射である${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$言い換えれば、各正の実数に対して${\displaystyle y}$実数はちょうど1つだけ存在する${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle b^{x}=y}$。

私たちは${\displaystyle \log _{b}\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$の逆を表す${\displaystyle f}$つまり、${\displaystyle \log _{b}y}$は唯一の実数です${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle b^{x}=y}$この関数は基本関数と呼ばれます。${\displaystyle b}$対数関数または対数関数（または単に対数）。

関数log _b x は、積の公式によって本質的に特徴付けられることもあります。

$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$$

より正確には、任意の底b > 1の対数は、f ( b ) = 1を満たす正の実数から実数への唯一の増加関数fであり、^{[ 36 ]}

$${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$$

前述のように、関数log _bは指数関数の逆関数です。${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$したがって、右図に示すように、x座標とy座標を交換すると (または対角線x = yで反射すると)、それらのグラフは互いに対応します。 fのグラフ上の点( t , u = b ^t )は、対数のグラフ上の点( u , t = log _b u )を生成し、その逆も同様です。結果として、b が1 より大きい場合、 xが無限大に増加すると、log _b ( x )は無限大に発散します(任意の与えられた数よりも大きくなります) 。この場合、log _b ( x )は増加関数 です。b < 1の場合、log _b ( x )は代わりに負の無限大に近づきます。xがゼロに近づくと、b > 1の場合はlog _b x は負の無限大に( b < 1の場合は正の無限大に) なります。

関数の解析的性質は逆関数にも引き継がれます。^{[ 34 ]}したがって、f ( x ) = bx^は連続かつ微分可能な関数であるため、log _b yも同様です。大まかに言うと、連続関数は、そのグラフに鋭い「角」がない場合に微分可能です。さらに、指数関数の性質によりf ( x )の導関数はln( b ) bxと評価されるため、連鎖律によりlog _b xの導関数は次のように与えられます^{。[ 35 ] [ 37 ]}

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$$

つまり、底がbの対数のグラフ上の点( x , log _b ( x ))に接する接線の傾きは1/( x ln( b ))に等しい。

ln( x )の導関数は1/ xです。これは、ln( x )がx = 1のときに 0 となる1/ xの唯一の原始関数であることを意味します。この非常に単純な公式が、自然対数を「自然」と分類する動機となりました。これはまた、定数eが重要な理由の 1 つです。 

一般化された関数引数f ( x )を持つ導関数は

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$$

右辺の商はfの対数微分と呼ばれます。ln ( f ( x ))の導関数を用いてf' ( x )を計算することは、対数微分として知られています。^{[ 38 ]}自然対数ln( x )の原始関数は次のとおりです。 ^{[ 39 ]}

$${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$$

底の変換を用いることで、この方程式から他の底への対数の原始関数などの関連する公式を導き出すことができる。 ^{[ 40 ]}

tの自然対数は、定積分として定義できる。

$${\displaystyle \ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$

この定義の利点は、指数関数や三角関数に依存しないことです。定義は単純な逆数の積分で表されます。積分として、ln( t )はx軸と関数1/ xのグラフの間の面積に等しく、x =1からx = tまでの範囲です。これは微積分学の基本定理と、 ln( x )の導関数が1/ xであるという事実の結果です。この定義から、積対数とべき乗対数の公式を導き出すことができます。^{[ 41 ]}例えば、積公式ln( tu ) = ln( t ) + ln( u )は次のように導き出されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}}$$

等式 (1)は積分を2つの部分に分割し、等式 (2)は変数変換( w = x / t )です。下の図では、分割は領域を黄色と青色の部分に分けることに対応します。左側の青色の領域を垂直方向に係数tで拡大し、水平方向に同じ係数で縮小しても、その大きさは変わりません。適切に移動させると、領域は再び関数f ( x ) = 1/ xのグラフに収まります。したがって、 tからtuまでのf ( x )の積分である左側の青色の領域は、 1からuまでの積分と同じです。これにより、等式(2)がより幾何学的な証明で正当化されます。  

べき乗の公式ln( t ^r ) = r ln( t )も同様の方法で導出できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}}$$

2番目の等式は変数変換（置換積分）を使用しており、w = x ^{1/ r}です。

自然数の逆数の和、

$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$$

これは調和級数と呼ばれます。これは自然対数と密接に関係しています。n が無限大に近づくと、差は、

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$$

オイラー・マスケローニ定数γ = 0.5772...と呼ばれる数値に収束する（つまり、任意に近づく） 。この関係は、クイックソートなどのアルゴリズムのパフォーマンスを分析するのに役立つ。^{[ 42 ]}

代数的ではない実数は超越数と呼ばれます。^{[ 43 ]}例えば、πとeはそのような数ですが、${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$そうではありません。ほとんどすべての実数は超越数です。対数は超越関数の例です。ゲルフォンド・シュナイダーの定理は、対数は通常、超越数、つまり「難しい」値を取ると主張しています。^{[ 44 ]}

算術平均と幾何平均は、自然対数の高精度近似値を与える。佐々木と金田は 1982 年に、400 桁から 1000 桁の精度では特に高速であることを示したが、精度が低い場合はテイラー級数法の方が一般的に高速である。彼らの研究では、ln( x )は、次の式 (カール・フリードリヒ・ガウスによる) により、2 ^{− p} (またはpビットの精度)の精度で近似される。 ^{[ 51 ] [ 52 ]} 

$${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).}$$

ここで、M( x , y )はxとyの算術幾何平均を表します。これは、平均( x + y)/2(算術平均)と平均(x + y)/2(算術平均)を繰り返し計算することによって得られます。${\textstyle {\sqrt {xy}}}$xとyの幾何平均を求め、その2つの数を次のxとyとします。2つの数はすぐに共通の極限値、つまりM( x , y )の値に収束します。mは次のように選択されます。

$${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$$

必要な精度を確保するため。mが大きいほど、 M( x , y )の計算に必要なステップ数が増えます (初期のxとy の差が大きくなるため、収束するまでに多くのステップが必要になります) が、精度は向上します。定数πとln(2)は、収束の速い級数で計算できます。

ロスアラモス国立研究所でマンハッタン計画に従事していたリチャード・ファインマンは、長除法に似た対数を計算するためのビット処理アルゴリズムを開発し、後にコネクションマシンで使用されました。このアルゴリズムは、 1 < x < 2を満たすすべての実数x が、1 + 2 ^{− k}の形の異なる因数の積として表せるという事実に基づいています。アルゴリズムは、 P = 1、k = 1から始めて、その積Pを順次構築します。P · (1 + 2 ^{− k} ) < xの場合、 PをP · (1 + 2 ^{− k} )に変更します。次に、 ${\displaystyle k}$いずれにせよ 1 ずつ増えます。アルゴリズムは、k が所望の精度を与えるのに十分な大きさになったときに停止します。log ( x )は、積Pに因子 1 + 2 ^{− k}が含まれるkに対応するlog(1 + 2 − ^{k )}の形の項の合計であるため、すべてのkに対してlog(1 + 2 ^{− k} )の表を使用して、log( x )は単純な加算によって計算できます。対数表には任意の底を使用できます。^{[ 53 ]} 

科学的な量は、対数スケールを使用して、他の量の対数として表されることがよくあります。たとえば、デシベルは対数スケールの量に関連付けられた測定単位です。これは、比率の常用対数に基づいています。電力比の常用対数の10倍、または電圧比の常用対数の 20 倍です。これは、電気信号の減衰または増幅を定量化したり、^{[ 57 ]}音響学で音のパワー レベルを記述したり、^{[ 58 ]}分光法と光学の分野で光の吸収を記述したりするために使用されます。不要なノイズの量を(意味のある)信号に対して表す信号対雑音比も、デシベルで測定されます。^{[ 59 ]}同様に、ピーク信号対雑音比は、対数を使用して音声および画像圧縮方法の品質を評価するためによく使用されます。 ^{[ 60 ]}  

地震の強さは、地震で放出されたエネルギーの常用対数を取ることで測定されます。これは、モーメントマグニチュードスケールまたはリヒターマグニチュードスケールで使用されます。たとえば、マグニチュード5.0の地震は、マグニチュード4.0の地震の32 倍（^10¹⁵）のエネルギーを放出し、マグニチュード6.0の地震は、マグニチュード4.0の地震の1000 倍（10³ ^）のエネルギーを放出します。^{[ 61 ]}見かけのマグニチュードは、星の明るさを対数的に測定します。^{[ 62 ]}化学では、常用対数の負の値、常用対数対数、は文字 p で示されます。 ^{[ 63 ]}例えば、pHヒドロニウム水中の水素イオンH ⁺の形の活量の十進対数です^{。 [ 64 ]}中性水中のヒドロニウムイオンの活量は 10⁻⁷mol·L ^{−1なので、pH は 7 です。酢の pH は通常約 3 です。4 の差は、活量の 10 4}の比率に相当し、つまり、酢のヒドロニウムイオンの活量は約10 ⁻³ mol·L ⁻¹です。 

セミログ（対数線形）グラフは、視覚化のために対数スケールの概念を使用します。通常は縦軸である一方の軸が対数スケールになります。たとえば、右のグラフは、100 万から1 兆への急激な増加を、1から100万への増加と同じスペース（縦軸上）に圧縮しています 。このようなグラフでは、f ( x ) = a · b ^xの形式の指数関数は、 bの対数に等しい傾きを持つ直線として表示されます。対数対数グラフは両方の軸を対数スケールにするため、 f ( x ) = a · x ^kの形式の関数は、指数kに等しい傾きを持つ直線として表示されます。これは、べき乗則の視覚化と分析に適用されます。^{[ 65 ]} 

対数は人間の知覚を記述するいくつかの法則に現れる。^{[ 66 ] [ 67 ]}ヒックの法則は、個人が選択肢を選ぶのにかかる時間と選択肢の数の間に対数的な関係があると提唱している。^{[ 68 ]}フィッツの法則は、目標領域に素早く移動するのに必要な時間は、目標までの距離と目標の大きさの比の対数関数であると予測している。^{[ 69 ]}精神物理学では、ウェーバー・フェヒナーの法則は、人が運んでいる物の実際の重さと知覚される重さなど、刺激と感覚の間に対数的な関係があると提唱している。 ^{[ 70 ]} (ただし、この「法則」は、スティーブンスのべき乗法則などのより最近のモデルよりも現実的ではない。^{[ 71 ]} )

心理学の研究によると、数学教育がほとんどない人は、量を対数的に推定する傾向があることがわかっています。つまり、目盛りのない線上に数値をその対数に従って配置し、10 を 100 に 100 が 1000 に 10 と同じくらい近い位置に配置します。教育が増えると、状況によっては線形推定 (1000 を 10 倍遠い位置に配置) に変化しますが、プロットする数値を線形にプロットするのが難しい場合は対数が使用されます。^{[ 72 ] [ 73 ]}

対数は確率論に現れる。大数の法則によれば、公平なコインの場合、コイン投げの回数が無限大に近づくにつれて、表が出る割合は半分に近づく。この割合が半分を中心として変動する様子は、反復対数の法則によって記述される。^{[ 74 ]}

対数は対数正規分布にも現れる。確率変数の対数が正規分布に従う場合、その変数は対数正規分布に従うと言われる。^{[ 75 ]}対数正規分布は、乱流の研究など、変数が多数の独立した正の確率変数の積として形成される多くの分野で見られる。^{[ 76 ]}

対数は、パラメトリック統計モデルの最尤推定に使用されます。このようなモデルでは、尤度関数は推定する必要のある少なくとも 1 つのパラメータに依存します。対数は増加関数であるため、尤度関数の最大値は、尤度の対数 (「対数尤度」) の最大値と同じパラメータ値で発生します。対数尤度は、特に独立確率変数の乗算尤度の場合、最大化が容易です。^{[ 77 ]} 

ベンフォードの法則は、建物の高さなど、多くのデータセットにおける数字の出現を記述するものです。ベンフォードの法則によれば、データサンプル内の項目の最初の小数点がd (1 から 9) である確率は、測定単位に関係なく log 10 ( d + 1) − log 10 ( d ) に等しくなります。[ 78 ]_{したがって}、データの_約30 %は^最初の桁が 1 であり、18% は 2 で始まると予想されます。監査人は、不正会計を検出するためにベンフォードの法則からの逸脱を調べます。^{[ 79 ]}

対数変換は、経験分布を仮定分布に近づけるために用いられるデータ変換の一種である。

アルゴリズム解析は、アルゴリズム（特定の問題を解決するコンピュータプログラム）の性能を研究するコンピュータ科学の一分野です。 ^{[ 80 ]}対数は、問題をより小さな問題に分割し、部分問題の解を結合するアルゴリズムを記述するのに役立ちます。^{[ 81 ]}

例えば、ソートされたリストで数値を検索する場合、二分探索アルゴリズムは中央のエントリをチェックし、それでも数値が見つからない場合は中央のエントリの前または後の半分に進みます。このアルゴリズムは、平均してlog ₂ ( N )回の比較を必要とします。ここで、Nはリストの長さです。^{[ 82 ]}同様に、マージソートアルゴリズムは、リストを半分に分割し、結果をマージする前に最初にこれらをソートすることによって、ソートされていないリストをソートします。マージソートアルゴリズムは通常、N · log( N )にほぼ比例する 時間を必要とします。^{[ 83 ]}対数の底はここでは指定されていません。別の底を使用した場合、結果は定数倍だけ変化するためです。定数倍は通常、標準的な均一コストモデルの下でのアルゴリズムの分析では無視されます。^{[ 84 ]}

関数f ( x )は、 f ( x )がxの対数に (正確にまたは近似的に) 比例する場合、対数的に増加すると言われます。 (ただし、生物の成長に関する生物学的記述では、この用語は指数関数に使用されます。^{[ 85 ]} ) 例えば、任意の自然数N は、バイナリ形式でlog ₂ N + 1ビット以下で表現できます。言い換えれば、Nを格納するために必要なメモリの量は、 Nとともに対数的に増加します。   

エントロピーは、広く言えば、あるシステムの無秩序さの尺度である。統計熱力学では、ある物理システムのエントロピーSは次のように定義される。 

$${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$$

この和は、容器内の気体粒子の位置など、問題となっているシステムのすべての可能な状態iについて取られます。さらに、 p _iは状態iが達成される確率であり、 kはボルツマン定数です。同様に、情報理論におけるエントロピーは情報の量を測定します。メッセージの受信者がN個の可能なメッセージのいずれかを等しい確率で期待できる場合、そのようなメッセージの 1 つによって伝達される情報量はlog ₂ Nビットとして定量化されます。^{[ 86 ]}  

リャプノフ指数は、対数を用いて動的システムの混沌度を測ります。例えば、楕円形のビリヤード台上を移動する粒子の場合、初期条件のわずかな変化でも粒子の軌跡は大きく異なります。このようなシステムは、初期状態の測定誤差が予測通りに大きく異なる最終状態につながるため、決定論的に混沌としています。 ^{[ 87 ]}決定論的に混沌としたシステムのリャプノフ指数は少なくとも1つは正です。

フラクタルの次元の定義には対数が登場します。^{[ 88 ]}フラクタルは、小さな部分が少なくとも大まかに全体の構造を再現するという意味で自己相似な幾何学的オブジェクトです。シェルピンスキー三角形（図参照）は、それぞれ辺の長さが元の長さの半分である3つのコピーで覆うことができます。これにより、この構造のハウスドルフ次元はln(3)/ln(2) ≈ 1.58 になります。別の対数に基づく次元の概念は、問題のフラクタルを覆うのに必要なボックスの数を数えることによって得られます。

4つの異なるオクターブを線形スケールで表示し、次に（耳で聞こえる音程に合わせて）対数スケールで表示します。

対数は音と音程に関係しています。平均律では、周波数比は2つの音の間の音程のみに依存し、個々の音の特定の周波数、つまり音高には依存しません。現代西洋音楽で一般的な12平均律では、各オクターブ（周波数の2倍）は、半音と呼ばれる12の等間隔の音程に分割されます。たとえば、音A の周波数が440Hzの場合、音B♭の周波数は466Hzです。AとB ♭の間の音程は半音であり、 B♭とBの間の音程（周波数493Hz ）も半音です。したがって、周波数比は一致します。   

$${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$$

任意の音高間の間隔は、周波数比の底2の対数を取ることでオクターブ単位で測定でき、底2の^1/12の対数（底2の対数の12倍）を取ることで平均律半音単位で測定でき、底2の^1/1200の対数（底2の対数の1200倍）を取ることでセント（半音の100分の1）単位で測定できます。後者は、より細かい測定や非平均律に必要なため、より細かい符号化に使用されます。^{[ 89 ]}

自然対数は、数論における重要なトピックである素数（2、3、5、7、11、…）の数え上げと密接に関連しています。任意の整数xに対して、 x以下の素数の個数をπ ( x )と表します。素数定理は、 π ( x )が近似的に次式で表されると主張しています。 

$${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$$

π ( x )とこの分数の比は、 xが無限大に近づくにつれて1に近づくという意味で。^{[ 90 ]}その結果、1からxまでの間のランダムに選択された数が素数である確率は、xの小数部の桁数に反比例する。π ( x )のより良い推定値は、次のように定義されるオフセット対数積分関数Li( x )によって与えられる。

$${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$$

最も古い未解決の数学的予想の1つであるリーマン予想は、 π ( x )とLi( x )を比較することによって述べることができる。^{[ 91 ]}異なる素因数の数を記述するエルデシュ・カッツの定理も自然対数に関係している。

n の階乗の対数、n ! = 1 · 2 · ... · nは次のように与えられる。

$${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).}$$

これは、大きなnに対するn !の近似値であるスターリングの公式を得るために使用できます。^{[ 92 ]}

方程式を満たすすべての複素数a

$${\displaystyle e^{a}=z}$$

zが複素数である場合、それらはzの複素対数と呼ばれます。複素数は一般的にz = x + iyと表され、ここでxとyは実数、iは虚数単位であり、その 2 乗は −1 です。このような数は、右図のように複素平面上の点で視覚化できます。極形式では、ゼロでない複素数zをその絶対値、つまり原点までの(正の実数) 距離rと、実数 ( x ) 軸Reと原点とz の両方を通る直線との間の角度によって符号化します。この角度はzの偏角と呼ばれます。   

zの絶対値rは次のように与えられる。

$${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

正弦と余弦の幾何学的解釈と2πにおけるそれらの周期性を用いると、任意の複素数zは次のように表すことができる。 

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}}$$

任意の整数kに対して。明らかに、 zの引数は一意に指定されていません。φとφ ' = φ + 2 k π の両方が、すべての整数kに対してzの有効な引数です。これは、φに2 k πラジアンまたはk ⋅360° ^{[ nb 6 ]}を加えることが、原点の周りを反時計回りにk回転することに対応するためです。結果として得られる複素数は常にzであり、右図はk = 1の場合を示しています。z の可能な引数のうち、いわゆる主引数Arg( z ) (大文字のAで表記) としてちょうど 1 つを選択することができます。これは、 φ が都合よく選択された 1 つの回転に属することを要求することによって行われます。たとえば、− π < φ ≤ π ^{[ 93 ]}または0 ≤ φ < 2 π ^{[ 94 ]}です。zの引数が一意に決定されるこれらの領域は、引数関数の枝と呼ばれます。     

オイラーの公式は、三角関数の正弦と余弦を複素指数関数に結びつけるものである。 $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

この式と周期性を用いると、次の恒等式が成り立つ。^{[ 95 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}}$$

ここで、ln( r )は唯一の実自然対数であり、a _kはzの複素対数を表し、kは任意の整数である。したがって、 zの複素対数、すなわちeのa _k乗がzに等しいすべての複素値a _kは、無限に多くの値である。 

$${\displaystyle a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),}$$

任意の整数kに対して。

φ + 2 k π が主引数の定義区間内にあるようなk を取ると、 k_は対数の主値と呼ばれ、 Log( z )と表記され、 Lは大文字で表記されます。任意の正の実数xの主引数は 0 です。したがって、Log( x )は実数であり、実数 (自然) 対数に等しくなります。ただし、上記の積とべき乗の対数の公式は、複素対数の主値には一般化されません。^{[ 96 ]}  

右の図は、 zの引数を区間(−π, π ]に制限したLog( z )を示しています。このようにして、複素対数の対応する枝は、負の実数x軸に沿って不連続になり、その色相のジャンプで確認できます。この不連続は、境界を越えるときに同じ枝のもう一方の境界にジャンプすること、つまり、連続して隣接する枝の対応するk値に変化しないことから生じます。このような軌跡は、枝切断と呼ばれます。引数の範囲制限を解除すると、「zの引数」の関係、そして結果として「zの対数」の関係は、多価関数になります。 

指数関数は数学の多くの分野で用いられ、その逆関数はしばしば対数と呼ばれます。例えば、行列の対数は、行列指数関数の（多価）逆関数です。^{[ 97 ]}別の例として、p進対数があり、これはp進指数関数の逆関数です。どちらも実数の場合と同様にテイラー級数によって定義されます。^{[ 98 ]}微分幾何学の文脈では、指数写像は多様体上の点における接空間をその点の近傍に写像します。その逆関数は対数写像（またはlog写像）とも呼ばれます。^{[ 99 ]}

有限群の文脈では、べき乗は群の要素bを繰り返し自身に掛けることによって与えられます。離散対数は、次の式を満たす整数nです。  

$${\displaystyle b^{n}=x,}$$

ここで、xは群の要素です。指数計算は効率的に実行できますが、離散対数は一部の群では非常に計算が難しいと考えられています。この非対称性は、公開鍵暗号において重要な応用があり、たとえば、安全でない情報チャネルを介して暗号鍵を安全に交換できるルーチンであるDiffie–Hellman 鍵交換などです。 ^{[ 100 ]} Zech の対数は、有限体の非ゼロ要素の乗法群における離散対数に関連しています。^{[ 101 ]}

さらに、対数に似た逆関数には、二重対数ln(ln( x ))、スーパー対数またはハイパー4対数（コンピュータサイエンスでは反復対数と呼ばれる、そのわずかな変形）、ランベルトW関数、およびロジットがあります。これらはそれぞれ、二重指数関数、テトラション、f ( w ) = we ^{w [ 102 ]}、およびロジスティック関数の逆関数です。^{[ 103 ]} 

群論の観点から、恒等式log( cd ) = log( c ) + log( d )は、乗法に関する正の実数と加法に関する実数の間の群同型を表します。対数関数は、これらの群間の唯一の連続同型です。 ^{[ 104 ]}この同型により、実数上のハール測度(ルベーグ測度) dx は、正の実数上のハール測度dx / xに対応します。 ^{[ 105 ]}非負の実数は乗法だけでなく加法も持ち、確率半環と呼ばれる半環を形成します。これは実際には半体です。対数は乗法を加法 (対数乗法) に、加法を対数加法 ( LogSumExp ) に変換し、確率半環と対数半環の間の半環の同型を与えます。  

対数1形式 df / fは、複素解析や代数幾何学において対数極を持つ微分形式として現れる。^{[ 106 ]}

ポリログは、次のように定義される関数です。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$$

これは自然対数とLi ₁ ( z ) = −ln(1 − z )の関係にある。さらに、Li _s (1)はリーマンゼータ関数ζ( s )に等しい。^{[ 107 ]}