減算

減算（マイナス記号 −で表される）は、加算、乗算、除算とともに四則演算の1つです。減算は、集合からオブジェクトを削除する演算です。^[1]たとえば、隣の図には5 − 2 個の桃があります。これは、5 個の桃から 2 個が引かれ、合計 3 個の桃になっていることを意味します。したがって、 5 と 2 の差は 3 です。つまり、5 − 2 = 3です。減算は主に算術における自然数に関連付けられますが、負の数、分数、無理数、ベクトル、小数、関数、行列など、さまざまな種類のオブジェクトを使用して、物理的および抽象的な量を削除または削減することも表すことができます。 [ ^2]

ある意味では、減算は加算の逆です。つまり、c + b = aの場合に限り、c = a − b となります。言葉で言えば、2 つの数の差は、最初の数に 2 番目の数を加算したときに得られる数です。

引き算は、いくつかの重要なパターンに従います。引き算は反可換であり、順序を変えると答えの符号が変わります。また、引き算は結合的ではありません。つまり、3 つ以上の数を減算する場合、引き算を実行する順序が重要になります。0 は加法単位元であるため、 0を減算しても数は変わりません。引き算は、加算や乗算などの関連演算に関する予測可能な規則にも従います。これらの規則はすべて証明でき、整数の引き算から始めて実数やそれ以降に一般化することができます。これらのパターンに従う一般的な2 項演算は、抽象代数で研究されます。

計算可能性理論では、減算は自然数に対して明確に定義されていないことを考慮して、数値間の演算は実際には「切り捨て減算」またはモナスを使用して定義されます。^[3]

減算は通常、項の間にマイナス記号「−」を使用して、つまり中置記法で記述されます。結果は等号で表されます。たとえば、

${\displaystyle 2-1=1}$（「2 引く 1 は 1」と発音します）

${\displaystyle 4-2=2}$（「4 引く 2 は 2」と発音します）

${\displaystyle 6-3=3}$（「6 引く 3 は 3」と発音します）

${\displaystyle 4-6=-2}$（「4 から 6 を引くと -2 になる」と発音します）

記号が表示されていなくても減算が「理解」される状況もあります。^{[引用が必要]}

• 2 つの数字の列で、下の数字が赤で表示されている場合は、通常、その列の下の数字を減算し、その差を線の下に記入することを示します。これは会計で最もよく使用されます。

正式には、減算される数は減数[ ^{4] [5]}と呼ばれ、減算される数は被減数[ ^{4] [5} ]と呼ばれます。結果は差です。 [ ^{4] [5] [2] [6]}つまり、

${\displaystyle {\rm {minuend}}-{\rm {subtrahend}}={\rm {difference}}}$。

これらの用語はすべてラテン語に由来しています。英語の「減算」はラテン語の動詞 subtrahereから派生した単語で、これは「下から」を意味するsubと「引っ張る」を意味するtrahereの合成語です。したがって、subtract は下から引き出す、または取り除くことを意味します。^[7]動名詞接尾辞-nd を使用すると、「減算されるもの」を意味する subtrahend になります。^{[a]同様に、「減らす」または「減少させる」を意味する}minuereから、「減らされるもの」を意味する minuend が得られます。

左端がa、右端がcという長さbの線分を想像してください。aから始めて、 c に到達するには右にbステップかかります。この右への動きは、数学的には加算によってモデル化されます。

a + b = cです。

cからaに戻るには、左にbステップ移動します。この左への動きは減算によってモデル化されます。

c − b = aです。

ここで、 1、2、3の番号が付けられた線分があります。位置 3 から左に 3 に留まるには 0 ステップなので、3 − 0 = 3です。位置 1 に到達するには左に 2 ステップ必要なので、3 − 2 = 1です。この図は、位置 3 から左に 3 ステップ進んだ後に何が起こるかを説明するには不十分です。このような操作を表すには、線を延長する必要があります。

任意の自然数を減算するには、すべての自然数 (0、1、2、3、4、5、6、...) を含む直線から始めます。3 から 0 に到達するには左に 3 ステップかかるため、3 − 3 = 0 となります。しかし、3 − 4は再び直線から外れるため、依然として無効です。自然数は減算に便利なコンテキストではありません。

解決方法は、整数直線 (...、−3、−2、−1、0、1、2、3、...) を考えることです。 この方法では、3 から左に 4 ステップ進んで −1 に到達します。

3 − 4 = −1 です。

自然数の減算は閉じられていません。つまり、減数される数が減数される数以上でない限り、その差は自然数ではありません。たとえば、11 から 26 を減算しても自然数にはなりません。このような場合には、次の 2 つの方法のいずれかを使用します。

1. 26 から 11 を引くことはできないと結論付けます。引き算は部分関数になります。
2. 答えを負の数を表す整数として与えてください。したがって、11 から 26 を引いた結果は -15 になります。

実数体は、加算と乗算という 2 つの二項演算と、加法逆数と乗法逆数を生成する単項演算のみを指定して定義できます。実数 (減数) から別の実数 (被減数) を引くことは、被減数の加算と減数の加法逆数として定義できます。たとえば、3 − π = 3 + (− π )です。あるいは、これらの単項演算を必要とせずに、減算と除算の二項演算を基本とすることもできます。

減算は反可換性があり、つまり差の項を左から右に反転すると、結果は元の結果の負になります。象徴的に言えば、aとbが任意の2つの数である場合、

a − b = −( b − a)です。

減算は非結合的であり、繰り返し減算を定義しようとすると問題となる。一般に、式

「a − b − c」

は ( a − b ) − cまたはa − ( b − c )のいずれかを意味すると定義できますが、これら 2 つの可能性は異なる答えにつながります。この問題を解決するには、異なる順序で異なる結果が得られる演算の順序を確立する必要があります。

整数の文脈では、1の減算も特別な役割を果たします。任意の整数aに対して、整数( a − 1) はaより小さい最大の整数であり、 aの先行数とも呼ばれます。

キログラムやポンドなどの測定単位を持つ 2 つの数値を減算する場合、それらの単位は同じである必要があります。ほとんどの場合、差は元の数値と同じ単位になります。

パーセンテージの変化は、少なくともパーセンテージの変化とパーセンテージポイントの変化の2つの形式で報告できます。パーセンテージの変化は、2つの量の間の相対的な変化をパーセンテージとして表しますが、パーセンテージポイントの変化は、単に2つのパーセンテージを減算して得られる数値です。^{[8] [9] [10]}

たとえば、工場で製造された部品の 30% に欠陥があるとします。6 か月後、部品の 20% に欠陥があります。パーセンテージの変化は⁠20% − 30%/30%⁠ = − ⁠1/3⁠ = ⁠−33+1/3⁠ %、パーセンテージポイントの変化は -10 パーセンテージポイントです。

補数法は、正の数の加算のみを使用して、ある数から別の数を減算するために使用される手法です。この方法は、機械式計算機で一般的に使用されており、現代のコンピューターでも使用されています。

2 進数y (減数) を別の数x (被減数) から減算するには、yの 1 の補数をxに追加し、その合計に 1 を加えます。結果の先頭の数字「1」は破棄されます。

補数の方法は、各ビットを反転する (「0」を「1」に変更する、またはその逆) ことで 1 の補数を簡単に取得できるため、2 進数 (基数 2) で特に便利です。また、1 を加算して 2 の補数を取得するには、最下位ビットへのキャリーをシミュレートします。例:

  01100100 (x、100 進数に相当)
- 00010110 (y、10進数の22に相当)

合計は次のようになります。

  01100100 (バツ)
+ 11101001 (yの1の補数)
+ 1 (2の補数を得るため)
—————————
 101001110

最初の「1」を削除すると、答えは 01001110 になります (10 進数では 78 に相当)

小学校で引き算を教える方法は国によって異なり、国内でも時期によって異なる方法が採用されています。米国で伝統的数学として知られる方法では、1 年生の終わり (または 2 年生の間) に、複数桁の整数に使用するための特定のプロセスが生徒に教えられ、4 年生または 5 年生で分数の小数表現が含まれるように拡張されます。

現在、アメリカのほとんどの学校では、借用法や組み換え法（分解アルゴリズム）と、松葉杖と呼ばれるマーキングシステムを使用した減算法を教えています。^{[11] [12]}借用法は以前から知られており、教科書にも掲載されていましたが、ウィリアム・A・ブラウネルが、この方法を使用する生徒には松葉杖が有益であると主張する研究を発表した後、アメリカの学校で松葉杖の使用が広まりました。^[13]このシステムは急速に普及し、当時アメリカで使用されていた他の減算法に取って代わりました。

ヨーロッパの学校では、オーストリア式減算法（加算法とも呼ばれる）を採用しているところもある。この方法では借用は行われない。また、国によって異なる、記憶を助けるためのマーク（記憶を助けるマーク）もある。^{[14] [15]}

どちらの方法でも、減算を 1 桁ずつの減算のプロセスとして桁の値ごとに分割します。最下位桁から始めて、減算する数を減算します。

s _j s _{j −1} ... s ₁

減数から

m _k m _{k −1} ... m ₁、

ここで、 s _iとm _{i は}それぞれ数字であり、s _{i が}m _{i を}超えない限り、m ₁ − s ₁、m ₂ − s ₂などと書き進めます。 それ以外の場合は、m _{i を}10 増やし、この増加を修正するために他の数字を変更します。 アメリカ式では、減数桁m _{i +1}を 1減らすことで修正します(または、借り入れ可能な非ゼロの数字が現れるまで左に借り続けます)。 ヨーロッパ式では、減数桁s _{i +1}を 1 増やすことで修正します。

例: 704 − 512。

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}}$

被減数は 704、減数は 512 です。被減数の桁はm ₃ = 7、m ₂ = 0、m ₁ = 4です。減数の桁はs ₃ = 5、s ₂ = 1、s ₁ = 2です。1 の位から始めると、4 は 2 より小さくないので、差 2 が結果の 1 の位に記入されます。10 の位では、0 は 1 より小さいので、0 に 10 が加算され、1 との差である 9 が 10 の位に記入されます。アメリカ式では、被減数の 100 の位の数字を 1 減らすことで、10 の増加を補正します。つまり、7 が取り消されて 6 に置き換えられます。次に、減算は 100 の位で続行されますが、6 は 5 より小さくないため、差は結果の 100 の位に書き込まれます。これで完了です。結果は 192 です。

オーストリア式では、7 を 6 に減らすのではなく、減算する百の位の数字を 1 つ増やします。この数字の近くまたは下に小さな印を付けます (流派によって異なります)。次に、1 増やして 5 を加えると 7 になる数字を尋ねながら減算を進めます。答えは 1 で、結果の百の位に書き留めます。

アメリカ式では、生徒が常に暗算の減算表を使用するという、もう 1 つの微妙な点があります。オーストリア式では、加算表を逆に暗算するように生徒に勧めることがよくあります。上記の例では、5 に 1 を足して 6 になり、それを 7 から引くのではなく、1 を足して 5 を加えると 7 になる数字を考えるように生徒に求めます。

例: ^{[引用が必要]}

• 
  1 + ... = 3
• 
  違いは線の下に書かれています。
• 
  9 + ... = 5
  必要な合計（5）は小さすぎます。
• 
  したがって、これに 10 を加えて、減数の次の大きい桁に 1 を置きます。
• 
  9 + ... = 15
  これで前と同じように差を求めることができます。
• 
  （4 + 1）+ ... = 7
• 
  違いは線の下に書かれています。
• 
  合計の差額。

例: ^{[引用が必要]}

• 
  7 − 4 = 3
  この結果は鉛筆で記入しただけです。
• 
  減数の次の桁は減数よりも小さいため、鉛筆で書き込んだ数字から 1 を引き、次の数字に頭の中で 10 を足します。
• 
  15 − 9 = 6
• 
  被減数の次の桁が減数より小さくないので、この数値を保持します。
• 
  3 − 1 = 2

この方法では、減数の各桁を、右から左に向かってその上の桁から減算します。上の桁の数が小さすぎて下の桁を減算できない場合は、その桁に 10 を加えます。この 10 は、左上の桁から「借りて」、そこから 1 を引きます。次に、次の桁を減算し、必要に応じて借りて、すべての桁が減算されるまで続けます。例: ^{[引用が必要]}

• 
  3 − 1 = ...
• 
  線の下に差を書きます。
• 
  5 − 9 = ...
  減数 (5) が小さすぎます。
• 
  そこで、これに 10 を加えます。10 は左側の数字から「借りた」もので、1 ずつ減ります。
• 
  15 − 9 = ...
  これで引き算が成功し、その差を線の下に書きます。
• 
  6 − 4 = ...
• 
  線の下に差を書きます。
• 
  合計の差額。

アメリカ式の変形で、全ての借入を全ての減算の前に行う。^[16]

例：

• 
  1 − 3 = 不可能です。1
  に 10 を加えます。10 は近くの 5 から「借りている」ので、5 は 1 減ります。
• 
  4 − 9 = 不可能です。
  したがって、手順 1 と同じように進めます。
• 
  右から左へ計算すると：
  11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

部分差分法は、他の垂直減算法とは異なり、借用や繰り上げは行われません。代わりに、被減数が減数より大きいか小さいかに応じてプラスまたはマイナスの符号を付けます。部分差分の合計が合計差です。^[17]

例：

• 
  小さい数から大きい数を減算します。700
  − 400 = 300
  減算される数が減算される数より大きいため、この差にはプラス記号が付きます。
• 
  小さい数から大きい数を引きます:
  90 − 50 = 40
  減算される数が減算される数よりも小さいため、この差にはマイナス符号が付きます。
• 
  小さい数から大きい数を引きます:
  3 − 1 = 2
  減数される数が減数される数より大きいため、この差にはプラス記号が付きます。
• 
  +300 − 40 + 2 = 262

桁ごとに差を求める代わりに、減数と減数の間の数を数え上げることができます。^[18]

例: 1234 − 567 = は次の手順で求められます。

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

各ステップの値を合計して合計差を算出します: 3 + 30 + 400 + 234 = 667。

暗算に役立つもう一つの方法は、引き算を小さなステップに分割することです。^[19]

例: 1234 − 567 = は次のように解くことができます。

• 1234 − 500 = 734
• 734 − 60 = 674
• 674 − 7 = 667

同じ変更法は、被減数と減数に同じ数を加算または減算しても答えは変わらないという事実を利用しています。減数にゼロを得るために必要な量を単に加算するだけです。^[20]

例：

「1234 − 567 ="は次のように解くことができます。

• 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

• 絶対的な違い
• デクリメント
• 初等算数
• 補語法
• 負の数
• プラスとマイナスの記号
• Monus（切り捨て減算）

• Brownell, WA (1939)。『再編成としての学習：3年生の算数の実験的研究』、デューク大学出版局。
• 米国における減算：歴史的観点、スーザン・ロス、メアリー・プラット・コッター、『数学教育者』第 8 巻第 1 号（初版）および第 10 巻第 1 号（再版）PDF

• 「減算」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 印刷可能なワークシート: 引き算のワークシート、1 桁の引き算、2 桁の引き算、4 桁の引き算、その他の引き算のワークシート
• カット・ザ・ノットでの引き算ゲーム
• そろばんの引き算（『そろばん：珠の謎』より抜粋）