モチベーション 共変微分は、 ベクトル解析 の方向微分 の一般化です。方向微分と同様に、共変微分は規則です。∇ u v {\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }} P で定義されたベクトルu P の近傍 で定義されたベクトル場 v [ 7 ] ∇ u v （ P ） {\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)} P でも同様です。通常の方向微分との主な違いは、∇ u v {\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }} 座標系 でどのように表現されるかとは無関係で なければならない。
ベクトルは基底 に関する数値のリストとして記述 できますが、幾何学的オブジェクトとしてのベクトルは、どのように記述されてもその同一性を保持します。ある基底に関して成分で記述された幾何学的ベクトルの場合、基底が変更されると、成分は基底変換 式に従って変換され、座標は共変変換 を受けます。共変微分は、座標の変更の下で、基底と同様に共変変換によって変換される必要があります（そのため、この名前が付けられています）。
ユークリッド空間 の場合、ベクトル場の方向微分は通常、近接する2点における2つのベクトルの差として定義されます。このようなシステムでは、一方のベクトルをもう一方のベクトルの原点に平行移動させ、同じベクトル空間内でそれらの差を求めます。直交座標系（固定された直交座標系）では、「 平行 に保つ」とは、成分を一定に保つことを意味します。ユークリッド空間におけるこの通常の方向微分は、共変微分の最初の例です。
次に、座標系の変化を考慮する必要があります。例えば、ユークリッド平面を極座標で表す場合、「平行を保つ」ことは、座標グリッド自体が「回転」するため、平行移動の下で極座標成分を一定に保つことにはなりません。したがって、 極座標 で表された同じ共変微分には、座標グリッド自体がどのように回転するか、あるいはより一般的な座標系でグリッドがどのように拡大、縮小、ねじれ、絡み合うかなどを記述する追加の項が含まれます。
ユークリッド平面上の曲線γ ( t )γ は 動径座標と角度座標を用いてγ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t ))と表すことができます。特定の時刻t [ 8 ] （ e r 、 e θ ） {\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })} e r {\displaystyle \mathbf {e} _{r}} e θ {\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }} 接線成分 に分解するための基底として機能します。少し後になると、極座標における新しい基底は、最初の基底に対してわずかに回転した状態で現れます。基底ベクトルの共変微分（クリストッフェル記号 ）は、この変化を表すために用いられます。
地球の表面（球面とみなされる）のような曲がった空間では、異なる点間の接線ベクトルの平行移動は明確に定義されておらず、その類似物である 平行移動 は、ベクトルが移動する経路に依存します。地球儀上の赤道上の点Q にあるベクトルは北を向いています。このベクトルを（平行に保ったまま）まず赤道に沿って点Pまで移動させ、次に子午線に沿って 北極 まで移動させ、最後に別の子午線に沿ってQ まで移動させるとします。すると、閉じた経路に沿って平行移動されたベクトルは、元のベクトルと同じ向きではなく、別の向きになっていることがわかります。これはユークリッド空間では起こらない現象であり、地球儀の表面の曲率 によって引き起こされます。ベクトルを無限小の閉曲面に沿って2つの方向に移動させてから戻すと、同様の効果が得られます。このベクトルの微小な変化は曲率 の尺度であり、共変微分を用いて定義できます。
共変微分の定義では、空間における計量は使用されません。しかし、各計量に対して、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる一意の ねじれ のない共変微分が存在し、その計量の共変微分はゼロになります。 導関数の性質は、∇ v u {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} } は、例えば、与えられた点p における曲線に沿ったスカラー関数fの導関数が、 pの近傍における f の値に依存するのと同様に、点p の近傍におけるu の値に依存します。 共変微分における点p の近傍の情報は、ベクトルの平行移動を定義するために使用できる。また、 曲率 、ねじれ 、測地線は、共変微分、または 線形接続 の概念に基づくその他の関連する変形のみによって定義される場合もある。 共変微分を含むいくつかの方程式は、線形ホモトピー演算子に基づくアプローチ[10]を使用して、Chen の 反復積分 [ 9 ]
d 次元リーマン多様体 M の開部分集合U がユークリッド空間に埋め込まれていると仮定する。（ R n 、 ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ ） {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 2回連続微分可能な （C 2 ）写像を介してΨ → : R d ⊃ U → R n \displaystyle {\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}} Ψ → （ p ） {\displaystyle {\vec {\Psi }}(p)} { ∂ Ψ → ∂ x 私 | p : 私 ∈ { 1 、 … 、 d } } {\displaystyle \left\{\left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \{1,\dots ,d\}\right\}} ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle } R n \displaystyle \mathbb {R} ^{n}} M のメトリックと互換性があります: g 私 j = ⟨ ∂ Ψ → ∂ x 私 、 ∂ Ψ → ∂ x j ⟩ 。 {\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right\rangle .}
（多様体計量は常に正則であると仮定されるため、
接線ベクトル場の場合、V → = v j ∂ Ψ → ∂ x j {\displaystyle {\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}} ∂ V → ∂ x 私 = ∂ ∂ x 私 （ v j ∂ Ψ → ∂ x j ） = ∂ v j ∂ x 私 ∂ Ψ → ∂ x j + v j ∂ 2 Ψ → ∂ x 私 ∂ x j 。 {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right)={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}.}
最後の項はMに接線的ではないが、 クリストッフェル記号 を線形因子として用いた接空間基底ベクトルの線形結合と、接空間に直交するベクトル の和として表すことができる。v j ∂ 2 Ψ → ∂ x 私 ∂ x j = v j Γ k 私 j ∂ Ψ → ∂ x k + n → 。 {\displaystyle v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}}.}
レヴィ＝チヴィタ接続 の場合、共変微分は∇ e 私 V → {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}} ∇ 私 V → {\displaystyle \nabla _{i}{\vec {V}}} ∇ e 私 V → := ∂ V → ∂ x 私 − n → = （ ∂ v k ∂ x 私 + v j Γ k 私 j ） ∂ Ψ → ∂ x k 。 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}-{\vec {n}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.}
ここから、レヴィ・チヴィタ接続のクリストッフェル記号と計量との間の関係式を得ることが計算上都合が良いかもしれない。これを行うには、まず、ベクトルがn → {\displaystyle {\vec {n}}} ⟨ ∂ 2 Ψ → ∂ x 私 ∂ x j 、 ∂ Ψ → ∂ x l ⟩ = ⟨ Γ k 私 j ∂ Ψ → ∂ x k + n → 、 ∂ Ψ → ∂ x l ⟩ = ⟨ ∂ Ψ → ∂ x k 、 ∂ Ψ → ∂ x l ⟩ Γ k 私 j = g k l Γ k 私 j 。 {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle {\Gamma ^{k}}_{ij}=g_{kl}\,{\Gamma ^{k}}_{ij}.}
すると、成分の偏微分はg 1 b {\displaystyle g_{ab}} x c {\displaystyle x^{c}} ∂ g 1 b ∂ x c = ∂ ∂ x c ⟨ ∂ Ψ → ∂ x 1 、 ∂ Ψ → ∂ x b ⟩ = ⟨ ∂ 2 Ψ → ∂ x c ∂ x 1 、 ∂ Ψ → ∂ x b ⟩ + ⟨ ∂ Ψ → ∂ x 1 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x c ∂ x b ⟩ 、 {\displaystyle {\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}={\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle ,} i j k { ∂ g j k ∂ x 私 = ⟨ ∂ Ψ → ∂ x j 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x k ∂ x 私 ⟩ + ⟨ ∂ Ψ → ∂ x k 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x 私 ∂ x j ⟩ ∂ g k 私 ∂ x j = ⟨ ∂ Ψ → ∂ x 私 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x j ∂ x k ⟩ + ⟨ ∂ Ψ → ∂ x k 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x 私 ∂ x j ⟩ ∂ g 私 j ∂ x k = ⟨ ∂ Ψ → ∂ x 私 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x j ∂ x k ⟩ + ⟨ ∂ Ψ → ∂ x j 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x k ∂ x 私 ⟩ 。 {\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=&&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &&+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &&.\end{alignedat}}\right.}
最初の2つの式を足し合わせ、3番目の式を引くと、次の式が得られます。 ∂ g j k ∂ x 私 + ∂ g k 私 ∂ x j − ∂ g 私 j ∂ x k = 2 ⟨ ∂ Ψ → ∂ x k 、 ∂ 2 Ψ → ∂ x 私 ∂ x j ⟩ 。 {\displaystyle {\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle .}
したがって、レヴィ＝チヴィタ接続のクリストッフェル記号は、計量と次のように関連付けられる。 g k l Γ k 私 j = 1 2 （ ∂ g j l ∂ x 私 + ∂ g l 私 ∂ x j − ∂ g 私 j ∂ x l ） 。 {\displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}
g が非退化である場合Γ k 私 j {\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}} Γ k 私 j = 1 2 g k l （ ∂ g j l ∂ x 私 + ∂ g l 私 ∂ x j − ∂ g 私 j ∂ x l ） 。 {\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}
上記の説明の本質を捉えた非常に簡単な例として、平らな紙に円を描いてみましょう。一定の速度で円周上を移動します。速度の微分、つまり加速度ベクトルは常に半径方向内向きになります。この紙を円筒形に丸めます。すると、速度の（ユークリッド）微分には、夏至や春分・秋分に近いかどうかによって、円筒の軸に向かって内向きになる成分が現れることがあります。（円周上で軸に平行に移動している点では、内向きの加速度はありません。逆に、速度が円筒の曲がりに沿っている点（円周の1/4後）では、内向きの加速度が最大になります。）これが（ユークリッド）法線成分です。共変微分成分は円筒の表面に平行な成分であり、紙を円筒形に丸める前と同じです。
共変微分は、接束 およびその他のテンソル束 上の（コズル）接続 であり、関数の通常の微分と同様の方法でベクトル場を微分します。この定義は、ベクトル場の双対（すなわち共変 ベクトル場）上の微分、および任意のテンソル場 上の微分にも拡張され、テンソル積およびトレース演算（テンソル縮約）との互換性を保証する一意的な方法で適用されます。
共ベクトル場 共ベクトル （または1形式 ）の場が与えられた場合α {\displaystyle \alpha } p の近傍で定義される、その共変微分（ ∇ v α ） p {\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}} （ ∇ v α ） p {\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}} は、 p の近傍にあるすべてのベクトル場u p における唯一の 1 形式として定義される。（ ∇ v α ） p （ u p ） = ∇ v [ α （ u ） ] p − α p [ （ ∇ v u ） p ] 。 {\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}\right].}
共変ベクトル場の、ベクトル場v
テンソル場 ベクトル場と共変ベクトル場に対して共変微分が定義されると、任意のテンソル場のペアに対して以下の恒等式を課すことで、任意のテンソル 場に対して共変微分を定義できる。φ {\displaystyle \varphi } ψ {\displaystyle \psi } 点p の近傍において： ∇ v （ φ ⊗ ψ ） p = （ ∇ v φ ） p ⊗ ψ （ p ） + φ （ p ） ⊗ （ ∇ v ψ ） p 、 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi \right)_{p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\otimes \left(\nabla _{\mathbf {v} }\psi \right)_{p},} φ {\displaystyle \varphi } ψ {\displaystyle \psi } ∇ v （ φ + ψ ） p = （ ∇ v φ ） p + （ ∇ v ψ ） p 。 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )_{p}=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }\psi )_{p}.} v
具体的には、T を型 ( p , q ) のテンソル場とする。Tを 、余接束 T ∗ M の滑らかな断面α 1 , α 2 , ... , α q と 接束 TM の 断面 , X 2 , ... , X p 可能な多重線形写像 とし、R T ( α 1 , α 2 , ..., X 1 , X 2 , ...) と表記する。Yに沿ったT の共変微分は、次の式で与えられる 。 （ ∇ Y T ） （ α 1 、 α 2 、 … 、 X 1 、 X 2 、 … ） = ∇ Y （ T （ α 1 、 α 2 、 … 、 X 1 、 X 2 、 … ） ） − T （ ∇ Y α 1 、 α 2 、 … 、 X 1 、 X 2 、 … ） − T （ α 1 、 ∇ Y α 2 、 … 、 X 1 、 X 2 、 … ） − ⋯ − T （ α 1 、 α 2 、 … 、 ∇ Y X 1 、 X 2 、 … ） − T （ α 1 、 α 2 、 … 、 X 1 、 ∇ Y X 2 、 … ） − ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)=&{}\nabla _{Y}\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)\right)\\&{}-T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \\&{}-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{aligned}}}
座標の説明 座標関数が与えられた場合x 私 、 私 = 0 、 1 、 2 、 … 、 {\displaystyle x^{i},\ i=0,1,2,\dots ,} の接線ベクトルは 基底におけるその成分によって記述できるe 私 = ∂ ∂ x 私 。 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.}
基底ベクトルに沿った基底ベクトルの共変微分は再びベクトルとなるため、線形結合として表すことができる。Γ k e k {\displaystyle \Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}} e 私 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} ∇ e j e 私 = Γ k 私 j e k 、 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k},}
係数Γ k 私 j {\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}} クリストッフェル記号 と呼ばれます。
次に、定義の規則を用いると、一般的なベクトル場については次のようになる。v = v j e j {\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}} u = u 私 e 私 {\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}} ∇ v u = ∇ v j e j u 私 e 私 = v j ∇ e j u 私 e 私 = v j u 私 ∇ e j e 私 + v j e 私 ∇ e j u 私 = v j u 私 Γ k 私 j e k + v j ∂ u 私 ∂ x j e 私 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}+v^{j}{\partial u^{i} \over \partial x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}} ∇ v u = （ v j u 私 Γ k 私 j + v j ∂ u k ∂ x j ） e k 。 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j}{\partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.}
この式の第一項は共変微分に関して座標系を「ねじる」役割を担い、第二項はベクトル場の成分の変化を担う。u {\displaystyle \mathbf {u} } ∇ e j u = ∇ j u = （ ∂ u 私 ∂ x j + u k Γ 私 k j ） e 私 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}}
言い換えると、共変微分とは、座標に沿った通常の微分に、座標がどのように変化するかを示す補正項を加えたものです。
同様に、共ベクトルについても、 ∇ e j θ = （ ∂ θ 私 ∂ x j − θ k Γ k 私 j ） e * 私 、 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j}}}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i},} e * 私 （ e j ） = δ 私 j {\displaystyle {\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}}
型( r , s ) テンソル場の共変微分e c {\displaystyle e_{c}}
（ ∇ e c T ） 1 1 … 1 r b 1 … b s = ∂ ∂ x c T 1 1 … 1 r b 1 … b s + Γ 1 1 d c T d 1 2 … 1 r b 1 … b s + ⋯ + Γ 1 r d c T 1 1 … 1 r − 1 d b 1 … b s − Γ d b 1 c T 1 1 … 1 r d b 2 … b s − ⋯ − Γ d b s c T 1 1 … 1 r b 1 … b s − 1 d 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+\,{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&-\,{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.\end{aligned}}} + Γ 1 私 d c {\displaystyle +{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}} 1 私 {\displaystyle a_{i}} − Γ d b 私 c {\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}} b 私 {\displaystyle b_{i}}
テンソルの代わりに、テンソル密度 − Γ d d c T 1 1 … 1 r b 1 … b s 。 {\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.} それが重みW のテンソル密度である場合は、その項にW を掛けます。たとえば、− g {\textstyle {\sqrt {-g}}} （ − g ） ; c = （ − g ） 、 c − − g Γ d d c {\displaystyle \left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g}}\,{\Gamma ^{d}}_{dc}}
表記法 物理学の教科書では、共変微分は、この式における構成要素を用いて表されることがある。
共変微分はセミコロン で、通常の偏微分は コンマ で表す表記法がよく用いられる。この表記法では、以下のように記述する。 ∇ e j v = d e f v s ; j e s v 私 ; j = v 私 、 j + v k Γ 私 k j {\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}} ∇ e k （ ∇ e j v ） = d e f v s ; j k e s {\displaystyle \nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}}
古い文献（特にAdler、Bazin、Schiffer共著の『一般相対性理論入門 』）では、共変微分は二重パイプ記号で、偏微分は単一パイプ記号で表されている。 ∇ e j v = d e f v 私 | | j = v 私 | j + v k Γ 私 k j {\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^{i}}_{|j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}}
物件 一般に、共変微分は可換ではありません。例として、ベクトル場の共変微分はλ 1 ; b c ≠ λ 1 ; c b {\displaystyle \lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}} テンソル R d 1 b c {\displaystyle {R^{d}}_{abc}} λ 1 ; b c − λ 1 ; c b = R d 1 b c λ d {\displaystyle \lambda _{a;bc}-\lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}\lambda _{d}} λ 1 ; b c − λ 1 ; c b = − R 1 d b c λ d {\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;bc}-{\lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}\lambda ^{d}}
(2,0)テンソル場の共変微分は以下を満たす。 τ 1 b ; c d − τ 1 b ; d c = − R 1 e c d τ e b − R b e c d τ 1 e {\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;cd}-{\tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}\tau ^{eb}-{R^{b}}_{ecd}\tau ^{ae}}
後者は、(一般性を失うことなく) とすることで示すことができる。τ 1 b = λ 1 μ b {\displaystyle \tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}}
曲線に沿った導関数 共変微分は∇ X T {\displaystyle \nabla _{X}T} p におけるテンソル場Tの値は、 点 p におけるベクトル場X の値のみに依存する。滑らかな曲線に沿って共変微分を定義することができる。γ （ t ） {\displaystyle \gamma (t)} D t T = ∇ γ ˙ （ t ） T 。 {\displaystyle D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.} T は曲線上でのみ定義すればよいことに注意してください。γ （ t ） {\displaystyle \gamma (t)}
特に、γ ˙ （ t ） {\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)} γ {\displaystyle \gamma } ∇ γ ˙ （ t ） γ ˙ （ t ） {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)} 正定値計 のレヴィ・チヴィタ接続 である場合、その接続の測地線は、弧長 によってパラメータ化された計量の測地線 と正確に一致します。
曲線に沿った微分は、曲線に沿った平行移動を定義するためにも使用される。
曲線に沿った共変微分は、絶対微分 または固有微分 と呼ばれることもある。
リーの導関数との関係 共変微分は、多様体上に新たな幾何学的構造を導入し、隣接する接空間のベクトルを比較することを可能にする。異なる接空間のベクトルを比較する標準的な方法は存在しない。なぜなら、標準的な座標系が存在しないからである。
しかしながら、方向微分には もう一つの標準的な一般化があります。それはリー微分で あり、あるベクトル場の流れに沿った別のベクトル場の変化を評価します。したがって、単一の点だけでなく、近傍の両方のベクトル場を知る必要があります。一方、共変微分は、与えられた方向のベクトルに対して独自の変化を導入し、点近傍のベクトル場ではなく、単一の点におけるベクトルの方向のみに依存します。言い換えれば、共変微分は方向引数に関して（C ∞ M )
反対称化された共変微分∇ u v − ∇ v u とリー微分L u v は接続のねじれ によって異なるため、接続がねじれフリーであれば、その反対称化はリー微分になります。
注記 ↑ アインシュタイン、アルベルト (1922)。「一般相対性理論」。相対性理論の意味 。 ↑ リッチ、G. Levi-Civita、T. (1901)。 「微分絶対値計算とルール適用の方法」 。 数学アンナレン 。 54 ( 1–2 ): 125–201 . 土井 : 10.1007/bf01454201 。 S2CID 120009332 。 ↑ リーマン、GFB (1866)。 「仮説を立てて、幾何学を理解しましょう。」 Gesammelte Mathematische Werke 。 ↑ クリストフェル、EB (1869)。 "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades" 。 数学に関するジャーナル 。 70 ： 46～ 70。 ↑ 参照。カルタン、E (1923) と共著。 「関係性の多様性と一般的な相対性理論」 。 高等師範科学誌 。 40 : 325–412 . 土井 : 10.24033/asens.751 。 ↑ ＪＬコズル（1950年）。 「ホモロジーとコホモロジー・デ・リー代数」 。 フランス数学協会紀要 。 78 : 65–127 . 土井 : 10.24033/bsmf.1410 。 ↑ 共変微分は、 ∂ v u 、 D v u 、またはその他の表記法によっても表されます。 ↑ 多くの応用例では、少なくとも 一般相対性理論の応用においては、 tを 時間に対応するものとして考えない方が良いかもしれません。tは単に、経路に沿って滑らかかつ単調に変化する抽象的なパラメータとして扱われます。 ↑ Chen, Kuo-Tsai (1973). "微分形式の反復積分とループ空間ホモロジー" . Annals of Mathematics . 97 (2): 217– 246. doi : 10.2307/1970846 . ISSN 0003-486X . ↑ Kycia, Radosław Antoni; Šilhan, Josef (2025-05-21). "共変外微分の反転" . Analysis and Mathematical Physics . 15 (4): 82. doi : 10.1007/s13324-025-01085-3 . ISSN 1664-235X . 
![{\displaystyle \phi :[-1,1]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5d89fc45414df51e7c7100dd8a5034886d0f05)
![{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]\right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}+\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} \右)_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b778432f3325c9ea994ac1c4e9ccdd347033fe)
![{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[f\mathbf {u} \right]\right)_{p}=f(p)\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}\mathbf {u} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4936abae65ff637d6b70b22780c065462e76fb7)
![{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99f0886345bebb1123ad6cb5d6810b8795e3a36)
