サブセット

数学において、集合Aが集合Bの部分集合であるのは、 Aのすべての要素がBの要素でもある場合のみであり、その場合、BはAの上位集合である。AとB が等しい場合もある。等しくない場合、AはBの真部分集合である。ある集合が別の集合の部分集合であるという関係は、包含（または包含関係）と呼ばれる。AがBの部分集合であることは、 BがAを含む（または包含する）またはAがBに含まれる（または包含される）と表現することもできる。k部分集合とは、 k個の要素を持つ部分集合のことである。

定量化すると、${\displaystyle A\subseteq B}$は次のように表されます。${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$^{[ 1 ]}

この主張は証明できる${\displaystyle A\subseteq B}$要素引数と呼ばれる証明手法を適用することによって^{[ 2 ]}：

集合AとBが与えられているとします。${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. aは A の特定の、しかし任意に選ばれた要素であると仮定する。
2. aがBの要素であることを示せ。

この手法の妥当性は、普遍的な一般化の結果と見なすことができる。この手法は、${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$任意に選択された要素cに対して、普遍的な一般化は、${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$これは以下と同等です${\displaystyle A\subseteq B,}$上記のとおりです。

AとBが集合であり、Aのすべての要素がBの要素でもある場合、次のことが成り立つ。

• AはBの部分集合であり、次のように表される。${\displaystyle A\subseteq B}$または同等に、
• BはAのスーパーセットであり、次のように表される。${\displaystyle B\supseteq A.}$

AがBの部分集合であるが、AはBと等しくない（つまり、 Bの要素のうちAの要素ではないものが少なくとも1つ存在する） 場合、次のようになる。

• AはBの真部分集合（または厳密部分集合）であり、次のように表される。${\displaystyle A\subsetneq B}$または同等に、
• BはAの真の（または厳密な）上位集合であり、次のように表される。${\displaystyle B\supsetneq A.}$

空集合、${\displaystyle \{\}}$または${\displaystyle \varnothing ,}$要素を持たないため、任意の集合Xの部分集合として空虚に存在します。

• 反射律：任意の集合が与えられた場合${\displaystyle A}$、${\displaystyle A\subseteq A}$^{[ 3 ]}
• 推移性: もし${\displaystyle A\subseteq B}$そして${\displaystyle B\subseteq C}$、 それから${\displaystyle A\subseteq C}$
• 反対称性: もし${\displaystyle A\subseteq B}$そして${\displaystyle B\subseteq A}$、 それから${\displaystyle A=B}$。

著者の中には、${\displaystyle \subset }$そして${\displaystyle \supset }$それぞれ部分集合と上位集合を示す。つまり、記号の代わりに、と同じ意味を持つ。${\displaystyle \subseteq }$そして${\displaystyle \supseteq }$^{[ 4 ]}例えば、これらの著者にとって、すべての集合Aについて次のことが成り立つ。${\displaystyle A\subset A.}$（反射関係）

他の著者は記号の使用を好む${\displaystyle \subset }$そして${\displaystyle \supset }$それぞれ真部分集合（厳密部分集合とも呼ばれる）と真上位集合を示す。つまり、 と同じ意味で、 記号の代わりに を使用する。${\displaystyle \subsetneq }$そして${\displaystyle \supsetneq .}$^{[ 5 ]}この用法は${\displaystyle \subseteq }$そして${\displaystyle \subset }$不等号に類似${\displaystyle \leq }$そして${\displaystyle <.}$例えば、${\displaystyle x\leq y,}$その場合、xはyと等しい場合もあれば等しくない場合もあるが、もし${\displaystyle x<y,}$すると、x は y と等しくなく、y より小さい(非反射関係) 。同様に、次の慣例を用いると、${\displaystyle \subset }$真部分集合である場合、${\displaystyle A\subseteq B,}$AはBと等しい場合もあれば等しくない場合もあるが、もし${\displaystyle A\subset B,}$その場合、AはBと等しくない。

• 集合 A = {1, 2} は B = {1, 2, 3} の真部分集合であるため、両方の式が成り立つ。${\displaystyle A\subseteq B}$そして${\displaystyle A\subsetneq B}$真実です。
• 集合 D = {1, 2, 3} はE = {1, 2, 3} の部分集合（ただし真部分集合ではない）であるため、${\displaystyle D\subseteq E}$それは真実であり、${\displaystyle D\subsetneq E}$真実ではない（偽）。
• 集合 { x : xは10 より大きい素数} は、{ x : xは 10 より大きい奇数}の真部分集合である。
• 自然数の集合は有理数の集合の真部分集合であり、同様に、線分上の点の集合は直線上の点の集合の真部分集合である。これらは、部分集合と全体集合の両方が無限であり、部分集合の濃度（有限集合の要素数、つまり大きさを表す概念）が全体集合と同じである2つの例である。このようなケースは、最初の直感に反する可能性がある。
• 有理数の集合は、実数の集合の真部分集合です。この例では、どちらの集合も無限集合ですが、後者の集合は前者の集合よりも濃度（またはべき乗）が大きくなっています。

オイラー図の別の例：

• 
  AはBの真部分集合である。
• 
  CはBの部分集合ではあるが、真部分集合ではない。

すべての部分集合の集合${\displaystyle S}$は冪集合と呼ばれ、で表されます。$\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$[ ^{6 ]​}

包含関係${\displaystyle \subseteq }$集合上の部分順序である$\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$定義される${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$部分的に注文することもあります$\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$逆集合包含によって定義する${\displaystyle A\leq B{\text{ は B\subseteq A の場合に限る。}$

電力セットの場合${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$集合Sの包含半順序は、順序同型を除いて、次の直積である。${\displaystyle k=|S|}$（Sの濃度）部分順序のコピー${\displaystyle \{0,1\}}$そのために${\displaystyle 0<1.}$これは列挙することで説明できます${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$、各サブセットと関連付ける${\displaystyle T\subseteq S}$（つまり、各要素$2S$）kタプル${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$i番目の座標が 1 であるのは、$s_i$Tのメンバーです。

すべてのセット${\displaystyle k}$-サブセット${\displaystyle A}$は、${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$二項係数の表記法に類似しており、${\displaystyle k}$- のサブセット${\displaystyle n}$要素集合。集合論では、表記法は${\displaystyle [A]^{k}}$も一般的で、特に次のような場合${\displaystyle k}$は超限基数です。

• 集合AがBの部分集合であるのは、それらの共通部分が A と等しい場合に限る。正式には、次のようになる。

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ は、A\cap B=A の場合に限る。}$

• 集合AがBの部分集合であるのは、それらの和集合が B と等しい場合に限る。正式には、次のようになる。

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ は、A\cup B=B の場合に限る。}$

• 有限集合AがBの部分集合であるのは、それらの共通部分の濃度が A の濃度と等しい場合に限る。正式には、次のようになる。

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• 部分集合関係は、集合上の半順序を定義します。実際、与えられた集合の部分集合は、部分集合関係の下でブール代数を形成し、その結合と交わりは積集合と和集合によって与えられ、部分集合関係自体はブール包含関係です。
• 包含関係は、すべての半順序集合が${\displaystyle (X,\preceq )}$は、包含関係によって順序付けられた集合の集合と同型である。序数は簡単な例である。各序数nが集合と同一視される場合${\displaystyle [n]}$n以下のすべての順序数のうち、${\displaystyle a\leq b}$かつその場合に限り${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

• 凸部分集合– 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 包含順序– あるオブジェクトの集合に対する部分集合包含関係として生じる部分順序 
• 部分論― 部分とそれらが形成する全体の研究 
• 領域– 位相空間の連結した開部分集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 部分和問題– コンピュータサイエンスにおける決定問題 
• 包含関係– 互いに従属関係にある要素のシステム 
• 部分空間– 構造が追加された数学的集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 全部分集合– 関数解析におけるベクトル空間 

• ジェック、トーマス(2002)。集合論。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-44085-2。

• ウィキメディア・コモンズにあるサブセット関連のメディア
• ワイススタイン、エリック W. 「部分集合」 . MathWorld .