インデックス表記

数学とコンピュータプログラミングでは、インデックス表記法は数値の配列の要素を指定するために使用されます。インデックスの使用方法の形式は、対象によって異なります。特に、リスト、ベクトル、または行列の要素を参照する方法は、出版用の正式な数学論文を書いている場合と、コンピュータプログラムを書いている場合とで異なります。

数学では、添字を使用して配列の要素を参照すると便利なことがよくあります。添字は整数または変数です。配列は一般にテンソルの形をとります。これは、多次元配列として扱うことができるためです。特殊な（そしてより一般的な）ケースは、ベクトル（1 次元配列）と行列（2 次元配列） です。

以下は概念の紹介に過ぎません。インデックス表記は数学（特にテンソル演算の表現と操作）でより詳細に使用されます。詳細についてはメインの記事を参照してください。

行ベクトルまたは列ベクトルとして記述することで数値の配列として扱われるベクトル（どちらが使用されるかは利便性やコンテキストによって異なります）。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$

インデックス表記法では、配列の要素を単にa _iと書くだけで示すことができます。ここで、インデックスi はn 次元なので1 からnまでの範囲になります。 ^[1] たとえば、次のベクトルがあるとします。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}10&8&9&6&3&5\\\end{pmatrix}}}$

いくつかのエントリは

${\displaystyle a_{1}=10,\,a_{2}=8,\,\cdots ,\,a_{6}=5}$。

この表記法は数学や物理学のベクトルに適用できます。次のベクトル方程式

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {c} }$

ベクトルの要素（つまり成分）を使って書くこともできる。

${\displaystyle a_{i}+b_{i}=c_{i}}$

ここで、インデックスは与えられた範囲の値を取ります。この式は、各インデックスごとに1つの方程式のセットを表します。ベクトルがそれぞれn個の要素を持つ場合、つまりi = 1,2,… nの場合、方程式は明示的に

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+b_{1}&=c_{1}\\a_{2}+b_{2}&=c_{2}\\&\ \ \vdots \\a_{n}+b_{n}&=c_{n}\end{aligned}}}$

したがって、インデックス表記は、

1. 一般的な構造を方程式に表すと、
2. 個々のコンポーネントにも適用できます。

行列の要素など、2 次元以上の数値の配列を記述するには、複数のインデックスが使用されます (右の図も参照)。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

行列Aの要素は、 iとjという 2 つのインデックスを使用して記述されます。インデックスを区切るコンマの有無は、a _ijまたはa _{i,j の}ように指定します。最初の添え字は行番号、2 番目は列番号です。並置は乗算の表記法としても使用されますが、混乱の原因となる場合があります。たとえば、

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix}}}$

いくつかのエントリは

${\displaystyle a_{11}=9,\,a_{12}=8,\,a_{21}=1,\,\cdots ,\,a_{23}=7,\,\cdots }$。

9 より大きいインデックスの場合は、コンマベースの表記が適している場合があります (例: 312_ではなく3,12 )。

行列方程式はベクトル方程式と同様に記述され、例えば

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {C} }$

行列の要素（つまり成分）の観点から

${\displaystyle A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}}$

iとjのすべての値に対して成り立ちます。この式も、各インデックスごとに 1 つずつ、一連​​の方程式を表します。各行列がm行n列 (つまりi = 1, 2, …, m、j = 1, 2, …, n ) の場合、方程式はmn個あります。

この表記法は、多次元配列の要素、つまりテンソルへの明確な一般化を可能にします。例えば、

${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\cdots}+B_{i_{1}i_{2}\cdots}=C_{i_{1}i_{2}\cdots}}$

多くの方程式の集合を表します。

テンソル解析では、共変エンティティと反変エンティティを区別するために、下付き文字の代わりに上付き文字が使用されます。 ベクトルの共変と反変、およびインデックスの上げ下げを参照してください。

いくつかのプログラミング言語では、インデックス表記法は配列の要素をアドレス指定する方法です。この方法は、最初の要素のアドレスをベースとして使用し、要素サイズの倍数 (インデックス) を使用して配列内をアドレス指定するアセンブリ言語での実装方法に最も近いため使用されます。

たとえば、整数の配列がコンピュータのメモリのアドレス 3000 (ベース アドレス) のメモリ セルから始まる領域に格納され、各整数が 4 つのセル (バイト) を占める場合、この配列の要素はメモリ位置 0x3000、0x3004、0x3008、…、0x3000 + 4( n − 1) にあります (ゼロから始まる番号付けに注意 )。一般に、ベース アドレスがbで要素サイズがsの配列のi番目の要素のアドレスはb +です。

C言語では、上記を*(base + i)（ポインタ形式）またはbase[i]（配列インデックス形式）と書くことができますが、これはC標準では配列インデックス形式をポインタ形式への変換として定義しているため、まったく同じです。偶然にも、ポインタの加算は可換であるため、 などのわかりにくい式が可能になります。これは3[base]と同等ですbase[3]。^[2]

2 次元テーブルなど、複数のインデックスを持つ配列を考えると、状況はさらに面白くなります。次の 3 つの可能性があります。

• 2次元配列を1次元配列にするには、2つの要素から1つのインデックスを計算します。
• 各要素が別の1次元配列である1次元配列、つまり配列の配列を考える。
• 元の配列の各行のアドレスの配列を保持するために追加のストレージを使用し、元の配列の行を個別の1次元配列として保存します。

C では、3 つの方法すべてを使用できます。最初の方法を使用する場合、プログラマは配列の要素をコンピュータのメモリ内でどのように配置するかを決定し、各要素の位置を計算するための式を提供します。2 番目の方法は、各行の要素の数が同じで、プログラムの作成時にわかっている場合に使用されます。プログラマは、たとえば と記述して、配列が 3 列であると宣言しますelementtype tablename[][3];。次に、 と記述して、配列の特定の要素を参照しますtablename[first index][second index]。コンパイラは、各行が占めるメモリ セルの合計数を計算し、最初のインデックスを使用して目的の行のアドレスを検索し、2 番目のインデックスを使用して行内の目的の要素のアドレスを検索します。3 番目の方法を使用する場合、プログラマは、 のように、テーブルをポインターの配列として宣言しますelementtype *tablename[];。プログラマがその後特定の要素 を指定するとtablename[first index][second index]、コンパイラは、最初のインデックスで指定された行のアドレスを検索する命令を生成し、このアドレスをベースとして使用して、2 番目のインデックスで指定された要素のアドレスを計算します。

void mult3x3f ( float result [][ 3 ], const float A [][ 3 ], const float B [][ 3 ]) { int i , j , k ; for ( i = 0 ; i < 3 ; ++ i ) { for ( j = 0 ; j < 3 ; ++ j ) { result [ i ][ j ] = 0 ; for ( k = 0 ; k < 3 ; ++ k ) result [ i ][ j ] += A [ i ][ k ] * B [ k ][ j ]; } } }        

     
          
            
        
             
            
    
  

Pascal などの他のプログラミング言語では、インデックスは 1 から始まることがあるため、メモリ ブロック内のインデックスは、単純な線形変換によって 1 から始まるアドレス指定スキームに適合するように変更できます。このスキームでは、ベース アドレスbと要素サイズsを持つi番目の要素のメモリ位置はb + ( i − 1) sです。

• C++ によるプログラミング、J. Hubbard、Schaum's Outlines、McGraw Hill (米国)、1996 年、ISBN 0-07-114328-9 
• Tensor Calculus、DC Kay、Schaum's Outlines、McGraw Hill (USA)、1988、ISBN 0-07-033484-6 
• 物理学と工学のための数学的手法、KF ライリー、MP ホブソン、SJ ベンス、ケンブリッジ大学出版局、2010 年、ISBN 978-0-521-86153-3