オービフォールド表記法

幾何学において、オービフォールド記法（またはオービフォールド署名）は、数学者ウィリアム・サーストンによって考案され、ジョン・コンウェイによって普及された、定曲率の2次元空間における対称群の種類を表すための体系である。この記法の利点は、これらの群を、その群の多くの性質を示す方法で記述できる点にある。特に、ウィリアム・サーストンの手法に従い、考察対象の群によるユークリッド空間の商空間として得られるオービフォールドを記述する。

この表記法で表現できるグループには、球面上の点群が含まれます（$\displaystyle S^{2}}$）、ユークリッド平面のフリーズ群と壁紙群（${\displaystyle E^{2}}$）、および双曲平面上のそれらの類似物（${\displaystyle H^{2}}$)

オービフォールド表記で記述される群では、以下の種類のユークリッド変換が発生する可能性があります。

• 直線（または平面）による反射
• ベクトルによる翻訳
• 点を中心とした有限次数の回転
• 3次元空間における直線を中心とした無限回転
• すべり反射、つまり反射の後に平行移動を行う。

発生するすべての並進は、記述されている群対称性の離散的な部分群を形成すると仮定される。

各群は、オービフォールド表記法において、以下の記号から構成される有限文字列で表されます。

• 正の整数${\displaystyle 1,2,3,\dots }$
• 無限大の記号、${\displaystyle \infty }$
• アスタリスク、*
• 記号o（古い文書では塗りつぶされた円）は、位相的にトーラス（1ハンドル）閉曲面を表すため、不思議記号またはハンドルとも呼ばれます。パターンは2つの平行移動で繰り返されます。
• シンボル${\displaystyle \times }$（古い文書では開いた円で表されている）これは奇跡と呼ばれ、パターンが鏡線を横切ることなく鏡像として繰り返されるトポロジー的なクロスキャップを表します。

太字で表記された文字列は、ユークリッド3次元空間の対称群を表します。太字で表記されていない文字列は、2つの独立した並進を含むと仮定されるユークリッド平面の対称群を表します。

それぞれの記号は、異なる変換に対応しています。

• アスタリスクの左側にある整数nは、回転軸を中心としたn次の回転を表します。
• アスタリスク（ *）は反射を表します
• アスタリスクの右側にある整数n は、万華鏡のような点を中心に回転し、直線（または平面）に関して反射する2 n次数の変換を示します。
• 1${\displaystyle \times }$すべり反射を示す
• シンボル${\displaystyle \infty }$これは、直線を中心とした無限回転対称性を示し、太字で示された群でのみ発生します。やや強引な言い方になりますが、このような群は、独立した並進が1つだけ存在するユークリッド平面の対称性の部分群であると言えるでしょう。フリーズ群はこのようにして発生します。
• 例外的な記号「o」は、線形的に独立な並進が正確に2つ存在することを示しています。

対象がカイラルであるとは、その対称群に鏡映が含まれていない場合をいい、そうでない場合はアキラルである。対応するオービフォールドは、カイラルな場合には向き付け可能であり、そうでない場合は向き付け不可能である。

オービフォールドのオイラー標数は、コンウェイ記号から以下のように読み取ることができます。各特徴には次の値があります。

• アスタリスクなしまたはアスタリスク前のnは${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$
• アスタリスクの後のn は${\displaystyle {\frac {n-1}{2n}}}$
• アスタリスクと${\displaystyle \times }$1としてカウントする
• oは2としてカウントされます。

これらの値の合計を2から引くと、オイラー標数が得られます。

特徴値の合計が2の場合、次数は無限大となり、つまり、この表記は壁紙群またはフリーズ群を表します。実際、コンウェイの「魔法の定理」によれば、17の壁紙群は、特徴値の合計が2に等しいものと正確に一致します。それ以外の場合、次数は2をオイラー標数で割った値になります。

以下の群は同型である。

• 1*と*11
• 22と221
• * 22と*221
• 2*と2*1。

これは、1回回転が「空回転」であるためです。

完璧な雪の結晶は*6•対称性を持ち、

五角形は対称性 *5• を持ち、矢印付きの画像全体は 5• です。

香港の旗は5回回転対称性、5°を持っています。

並進対称性を持たない2 次元オブジェクトの対称性は、対称性を損なうことなくオブジェクトに 3 次元目を追加することで、3 次元対称性タイプで記述できます。たとえば、2 次元画像の場合、その画像が片面に表示された段ボール片を考えます。段ボール片の形状は対称性を損なわないようにするか、無限に続くものとして考えることができます。したがって、n • と * n • が存在します。一次元および二次元群に付された箇条書き記号(•) は、固定点の存在を意味します。（三次元では、これらの群は n 重の対角オービフォールドに存在し、 nnと * nnで表されます。）

同様に、1次元画像を段ボール紙に水平方向に描画することもできます。その際、画像の下に水平線を引くなどして、画像の線に対する追加の対称性を回避することができます。したがって、1次元における離散的な対称群は、*•、*1•、 ∞ •、および* ∞ •となります。

対称性を記述するために、1Dまたは2Dオブジェクトから3Dオブジェクトを構築する別の方法は、それぞれオブジェクトと非対称な2Dまたは1Dオブジェクトのデカルト積を取ることです。

• オービフォールドの突然変異
• フィブリフォールド表記法- 3次元空間群のためのオービフォールド表記法の拡張

• John H. Conway、Olaf Delgado Friedrichs、Daniel H. Huson、William P. Thurston。「3次元空間群について」。Contributions to Algebra and Geometry、42(2):475-507、2001年。
• JH Conway、DH Huson。「二次元群のためのオービフォールド表記法」。構造化学、13（3-4）：247-257、2002年8月。
• JH Conway (1992). 「曲面群のオービフォールド記法」。MW Liebeck および J. Saxl 編『群、組合せ論、幾何学』、LMS ダラムシンポジウム議事録、1990 年 7 月 5 日～15 日、ダラム、英国；ロンドン数学会講義ノートシリーズ165。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ。pp.  438–447
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・ブルギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス、『物の対称性』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5
• Hughes, Sam (2022)、「フックス群と非ユークリッド結晶群のコホモロジー」、Manuscripta Mathematica、170 ( 3–4 ): 659–676、arXiv : 1910.00519、Bibcode : 2019arXiv191000519H、doi : 10.1007/s00229-022-01369-z、S2CID 203610179 

• オービフォールドのフィールドガイド（ 1991年6月17日～28日にミネアポリスで開催された「幾何学と想像力」の授業ノート。講師はジョン・コンウェイ、ピーター・ドイル、ジェーン・ギルマン、ビル・サーストン。2006年のPDFも参照）。
• Tegulaは、平面、球面、双曲平面の2次元タイリングを視覚化し、それらの対称群をオービフォールド表記で編集するためのソフトウェアです。