ジョン・ウォリス

• ケンブリッジ（マサチューセッツ州）、オックスフォード（DD）
• ケント州テンターデンのグラマー スクール、1625 ～ 1631 年。
• エセックス州フェルステッドにあるマーティン・ホルビーチの学校、1631～1632年。
• ケンブリッジ大学エマニュエル・カレッジ、1632年～1640年。学士号（1637年）、修士号（1640年）。
• 1654年にオックスフォード大学で神学博士号を取得。

1645年3月14日、彼はスザンナ・グリンデ（1600年頃- 1687年3月16日）と結婚した。二人の間には3人の子供がいた。

1. アン・ブレンコウ夫人（1656年6月4日 - 1718年4月5日）は、 1675年にジョン・ブレンコウ卿（1642年11月30日 - 1726年5月6日）と結婚し、子供をもうけた^{[ 7 ]。}
2. ジョン・ウォリス（1650年12月26日 - 1717年3月14日）^{[ 8 ]}は、1690年から1695年までウォリングフォード選出の国会議員を務め、1682年2月1日にエリザベス・ハリス（1693年没）と結婚し、1男2女をもうけた。
3. エリザベス・ウォリス（1658年 - 1703年^{[ 9 ]}）は、トウスターのウィリアム・ベンソン（1649年 - 1691年）と結婚したが、子供を残さずに亡くなった。

1647年に始まったオックスフォードへの議会視察により、1648年11月には幾何学と天文学のサヴィリアン教授を含む多くの上級学者が職を解かれた。1649年、ウォリスは幾何学のサヴィリアン教授に任命された。ウォリスは主に政治的な理由で選ばれたようである（おそらく王党派の前任者ピーター・ターナーも同様で、彼は2つの教授職に任命されたにもかかわらず、数学の著作を1つも発表しなかった）。ウォリスはおそらく国内有数の暗号学者であり、後に王立協会となる科学者の非公式グループの一員であったが、数学者としての名声は特になかった。しかし、ウォリスの任命は、彼がサヴィリアン教授として54年間務めた間のその後の業績によって十分に正当化された。^{[ 17 ]}

1655年、ウォリスは円錐曲線に関する論文を発表し、その中で円錐曲線を解析的に定義した。これは、これらの曲線が2次曲線として考察され定義された最初期の書籍であり、ルネ・デカルトの解析幾何学に関する著作の難解さや曖昧さをいくらか解消するのに役立った。

『円錐曲線論』の中で、ウォリスは無限大を表す記号 ∞ を普及させた。彼は次のように書いている。「私は、（カヴァリエリの不可分幾何学に従って）任意の平面は無限個の平行線、あるいは私が好むように、同じ高さの無限個の平行四辺形で構成されていると考える。（これらの各高さは全体の高さの無限に小さな部分1/∞とし、記号 ∞ は無限大を表すものとする）そして、すべての高さが図形の高さを構成する。」^{[ 18 ]}

ウォリスの最も重要な著作である『無限算術』は1656年に出版された。この論文では、デカルトとカヴァリエリの解析法が体系化され拡張されたが、いくつかの考え方は批判の対象となった。彼は円錐曲線に関する短い論文の後、べき乗の標準表記法を開発し、それを正の整数から有理数に拡張することから始めた。

${\displaystyle x^{0}=1}$

${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}{\text{など}}}$

${\displaystyle x^{1/2}={\sqrt {x}}}$

${\displaystyle x^{2/3}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}{\text{など}}}$

${\displaystyle x^{1/n}={\sqrt[{n}]{x}}}$

${\displaystyle x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}}$

この発見の数多くの代数的応用を一旦置いておいて、彼は次に、曲線y = x ^m、x軸、および任意の縦座標x = hで囲まれた面積を積分によって求め、この面積と、同じ底辺と高さを持つ平行四辺形の面積の比が 1/( m + 1 ) であることを証明し、カヴァリエリの求積公式を拡張した。彼は、曲線y = ax ^m ( aは任意の定数、mは任意の正または負の数) についても同じ結果が成り立つと想定していたようだが、 m = 2の放物線とm = −1の双曲線の場合のみを論じた。後者の場合、彼の結果の解釈は誤りである。彼は次に、同様の結果が任意の曲線について記述できることを示した。 

$\displaystyle y=\sum _{m}^{}ax^{m}}$

したがって、曲線の縦座標y をxのべき乗で展開できる場合、その面積を決定できます。つまり、曲線の方程式がy = x ⁰ + x ¹ + x ^{2 + ... の場合、その面積は}x + x ² /2 + x ³ /3 + ...になります。彼は次に、x = 0 とx = ¹の間の曲線y = ( x − x 2 ) ⁰、y = ( x − x ² ) ¹、y = ( x − x ² ) ²などの求積にこれを適用した。彼は、それぞれの面積が 1、1/6、1/30、1/140 などであることを示した。次に、y = x ^{1/ m}の形の曲線を考察し、この曲線と直線x = 0およびx = 1で囲まれた面積は、同じ底辺と高さがm : m + 1 の長方形の面積に等しいという定理を確立した。これは、          

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{1/m}\,dx.}$

彼はこれを放物線で説明し、この場合m = 2となる。彼はy = x ^{p / q}の形の曲線についても同様の結果を述べたが、証明はしなかった。

ウォリスは曲線の式を上記の形に還元する点でかなりの創意工夫を示したが、二項定理を知らなかったため、円の求積を行うことはできなかった。円の方程式は次のとおりである。${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$彼はこれをxのべき乗で展開することができなかったため、補間の原理を確立した。したがって、円の縦座標として${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$は曲線の縦座標の幾何平均である。$y=(1-x^{2})^{0}}$そして$y=(1-x^{2})^{1}}$近似として、半円の面積は${\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}$それは${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$は、以下の値の幾何平均とみなされる可能性がある。

$\int_{0}^{1}(1-x^{2})^{0}\,dx\ {\text{ および }}\int_{0}^{1}(1-x^{2})^{1}\,dx,}$

つまり、${\displaystyle 1}$そして$\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$これは、${\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$または 3.26... を π の値として。しかし、ウォリスは、実際には数列があると主張した。${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{30}},{\tfrac {1}{140}},}$...したがって、補間された項は${\displaystyle 1}$そして$\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$この級数の法則に従うように選択する必要がある。これは、ここでは詳細には説明しない複雑な方法によって、補間項の値として、を取ることと同等の値が得られる。

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots }$

（これは現在ウォリス積として知られている）。

この研究では、連分数の形成と性質についても議論されており、このテーマはブロンカーがこれらの分数を使用したことで注目を集めるようになった。

数年後の1659年、ウォリスはブレーズ・パスカルが提唱したサイクロイドに関する問題の解法をまとめた論文を発表した。その中で彼は、自身の著書『無限算術』に示された原理を代数曲線の修正にどのように応用できるかを偶然にも説明し、1657年に弟子のウィリアム・ニールが発見した半立方放物線x³ = ay²^{を修正する（すなわち長さを求める）}問題の解法を示した。楕円と双曲線の修正の試みはすべて（必然的に）失敗に終わっていたため、曲線は修正できないと考えられており、実際デカルトもそのように断言していた。対数螺旋はエヴァンジェリスタ・トリチェリによって修正され、長さが決定された最初の曲線（円を除く）となったが、ニールとウォリスによる代数曲線への拡張は斬新なものであった。次に修正された曲線はサイクロイドであり、これは1658年にクリストファー・レンによって行われた。

1658 年初頭、ニールの発見とは無関係に、ファン・ヘウラエが同様の発見をし、これは1659 年にファン・スクーテンがデカルトの『幾何学』の版で発表した。ファン・ヘウラエの方法は次のとおりである。彼は曲線が直交座標系に関係していると仮定する。もしそうであれば、( x , y ) がその曲線上の任意の点の座標であり、nが法線の長さであり、座標が ( x , η )である別の点がη : h = n : yとなるように取られる場合（ただしhは定数）、ds が必要な曲線の長さの要素であれば、相似三角形によりds : dx = n : yとなる。したがって、h ds = η dxとなる。したがって、点 ( x , η ) の軌跡の面積が分かれば、最初の曲線を修正することができる。このようにして、ファン・ヘウラエは曲線y ³ = ax ²の修正を実現したが、放物線y ² = axの修正は双曲線の求積が必要となるため不可能であると付け加えた。ニールとウォリスによる解はファン・ヘウラエによるものといくらか似ているが、一般的な規則は示されておらず、解析はぎこちない。1660年にフェルマーによって 3 番目の方法が提案されたが、それは洗練されておらず、手間がかかる。    

物体の衝突理論は、 1668年に王立協会によって数学者の検討のために提唱されました。ウォリス、クリストファー・レン、クリスティアーン・ホイヘンスは、いずれも現在運動量保存の法則と呼ばれるものに基づいた、正確で類似した解を提出しました。しかし、レンとホイヘンスは理論を完全弾性体（弾性衝突）に限定したのに対し、ウォリスは不完全弾性体（非弾性衝突）も考慮しました。これに続いて、1669年には静力学（重心）に関する著作が、1670年には動力学に関する著作が発表されました。これらは、当時この分野で知られていたことを簡潔にまとめたものです。

1685年、ウォリスは『代数学』を出版した。その前に、代数学の発展に関する歴史的記述が添えられており、そこには多くの貴重な情報が含まれている。1693年に出版された第2版は、彼の著作集の第2巻を構成しており、大幅に増補されている。この『代数学』は、公式を体系的に用いた最初の例として注目に値する。ここでは、ある量が、同じ種類の量の単位に対する数値比で表される。したがって、ウォリスが2つの長さを比較したい場合、それぞれが何単位の長さを含んでいるとみなす。これは、一定速度で運動する粒子が任意の時間内に描く空間の関係をウォリスが次の式で表していることに注目すれば、より明確になるだろう。

s = vt、

ここでsは記述された空間と長さの単位との比率を表す数値である。一方、以前の著者は、命題と同等のことを述べることによって同じ関係を表していたであろう。

s ₁  : s ₂ = v ₁ t ₁  : v ₂ t ₂。

ウォリスは「負の量」^{[ 19 ]}および「操作目的」^{[ 20 ]}のための数直線の考案者として評価されている。これは、彼が負の量の正当性を説明するために数直線を導入した1685年の代数学に関する論文の一節に基づいている。^{[ 21 ]}

しかし、その（負の量の）仮定は、正しく理解すれば、無益でも不合理でもない。そして、単純な代数的表記法においては、それはゼロより小さい量を意味するが、物理的な応用においては、符号が負であるかのように、実数を表す。${\displaystyle +}$だが、反対の意味で解釈されるべきである…。${\displaystyle +3}$、は${\displaystyle 3}$前方ヤード数、および${\displaystyle -3}$、は${\displaystyle 3}$ヤード後方。

ウォリスは以前の著作で、正の数と負の数の比は無限大より大きいという結論に達したことが指摘されている。この議論は商に関係している。${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$そして、何が起こるかを考慮すると${\displaystyle x}$近づいてからその地点を横切る${\displaystyle x=0}$肯定的な側面から。^{[ 22 ]}ウォリスだけがこのような考えを持っていたわけではない。レオンハルト・オイラーも等比数列を考察することで同じ結論に達した。${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+\cdots }$評価された${\displaystyle x=2}$ウォリスと同様の推論が続いた（彼は異なる種類の負の数を区別することでパラドックスを解決した）。^{[ 19 ]}

彼は相似三角形を用いてピタゴラスの定理を証明した人物として一般的に知られている。しかし、アラブの数学者であるサービト・イブン・クッラ（西暦901年）は、6世紀も前にすべての三角形に適用できるピタゴラスの定理の一般化を既に発表していた。ウォリスがサービトの業績を知っていたと推測するのは妥当である。^{[ 23 ]}

ウォリスは、イスラムの数学者サドル・アル・トゥースィー（ナスィール・アル・ディン・アル・トゥースィーの息子）の著作、特にアル・トゥースィーが1298年に書いた平行線公準に関する本からも影響を受けた。この本は彼の父の考えに基づいており、平行線公準と同等の非ユークリッド仮説に関する最も初期の議論の1つを提示した。ウォリスはこれを読んだ後、公準に関する自身の考えを発展させ、相似三角形を用いてそれを証明しようと試みながら、自身の考えについて書いた。^{[ 24 ]}

彼は、ユークリッドの第 5 公準が、現在彼にちなんで「ウォリスの公準」と呼ばれているものと同等であることを発見した。この公準は、「与えられた有限の直線上には、与えられた三角形と相似な三角形を常に作図できる」と述べている。この結果は、他の 4 つの公準からユークリッドの第 5 公準を導出しようとする傾向に含まれていたが、今日ではそれは不可能であることがわかっている。他の著者とは異なり、彼は三角形の無限の拡大が最初の 4 つの公準によって保証されるものではないことに気づいた。^{[ 25 ]}

ウォリスの数学的才能のもう一つの側面は、暗算能力でした。彼はよく眠れず、ベッドで目を覚ましている間によく暗算をしていました。ある晩、彼は53桁の数の平方根を頭の中で計算しました。翌朝、彼はその数の27桁の平方根を、完全に記憶に基づいて口述しました。これは驚くべき偉業とみなされ、王立協会の秘書であるヘンリー・オルデンバーグは、ウォリスがどのようにしてそれを成し遂げたのかを調査するために同僚を派遣しました。これは、1685年の王立協会の哲学的トランザクションで議論するに値するほど重要であると考えられました。 ^{[ 26 ] [ 27 ]}

ウォリスはプリンス・ルパートの立方体の解法を示した。これは、単位立方体に開けられた穴を、それを分割せずに通過できる最大の立方体を見つけるというものである。^{[ 28 ]}