量子場理論

理論物理学において、量子場の理論（QFT）は、古典場の理論、特殊相対論、量子力学を組み合わせた理論的枠組みです。^{[1] ：xi} QFTは、素粒子物理学では素粒子の物理モデルを構築するために、また凝縮物質物理学では準粒子のモデルを構築するために使用されます。現在の素粒子物理学の標準モデルは、量子場の理論に基づいています。

QFT は、粒子を、粒子よりも基本的な基礎となる量子場の励起状態(量子レベルとも呼ばれる)として扱います。粒子の運動方程式は、粒子に関連付けられた場の関数であるラグランジアンに対して計算された作用を最小化することで決定されます。粒子間の相互作用は、対応する量子場を含むラグランジアン内の相互作用項によって記述されます。各相互作用は、量子力学の摂動論に従って、ファインマン図で視覚的に表すことができます。

量子場の理論は、20世紀の大半にわたる理論物理学者の研究から生まれた。その発展は1920年代に光と電子の相互作用の記述から始まり、最初の量子場の理論である量子電磁力学で頂点に達した。その後すぐに、摂動計算におけるさまざまな無限大の出現と持続という大きな理論的障害が発生したが、この問題は1950年代に繰り込み手順が発明されてようやく解決された。2つ目の大きな障壁は、QFTが弱い相互作用と強い相互作用を明らかに記述できないことであり、一部の理論家は場の理論的アプローチの放棄を求めるほどだった。1970年代のゲージ理論の発展と標準モデルの完成は、量子場の理論のルネッサンスをもたらした。

量子場の理論は、古典場の理論、量子力学、特殊相対性理論の組み合わせから生まれた。^{[1] : xi}以下では、これらの理論的先駆者について簡単に概説する。

最も初期の成功した古典的場の理論は、ニュートンの万有引力の法則から生まれたものであるが、1687年の論文『自然哲学の数理原理』には場の概念がまったく登場していない。アイザック・ニュートンが述べた重力は「遠隔作用」であり、遠くの物体への影響は距離に関係なく瞬時である。しかし、リチャード・ベントレーとの書簡のやり取りの中で、ニュートンは「無生物が、物質ではない何か他のものの仲介なしに、相互接触なしに他の物質に作用し影響を及ぼすことは考えられない」と述べた。^{[2] : 4}数理物理学者が、場、つまり空間のあらゆる点に割り当てられた数値量（重力場の場合はベクトル）に基づいて重力を便利に記述できるようになったのは、18世紀になってからだった。場とは、その点におけるあらゆる粒子への重力の作用を示すものである。しかし、これは単なる数学的なトリックだと考えられていた。^{[3] : 18}

19 世紀に電磁気学が発達すると、場は独自の存在を帯びるようになった。マイケル・ファラデーは1845 年に英語の「場」という用語を作った。彼は、場を (物質が存在しない場合でも) 物理的効果を持つ空間の特性として導入した。彼は「遠隔作用」に反対し、物体間の相互作用は空間を満たす「力線」を介して起こると提唱した。この場の説明は今日まで続いている。^{[2] [4] : 301  [5] : 2}

古典電磁気学の理論は、1864年にマクスウェル方程式によって完成しました。これは、電場、磁場、電流、電荷の関係を記述したものです。マクスウェル方程式は、電磁波の存在を暗示していました。電磁波とは、電場と磁場が有限の速度で空間の1点から別の点に伝播する現象で、その速度は光速であることが判明しました。これにより、遠隔作用は決定的に反駁されました。^{[2] : 19}

古典的電磁気学は大きな成功を収めたが、原子スペクトルの離散線や、異なる波長における黒体放射の分布を説明することはできなかった。 ^[6] マックス・プランクの黒体放射の研究は、量子力学の始まりとなった。彼は、電磁放射を吸収および放出する原子を、そのエネルギーが連続値ではなく一連の離散値しかとれないという重要な特性を持つ小さな振動子として扱った。これらは量子調和振動子として知られている。エネルギーを離散値に制限するこのプロセスは量子化と呼ばれる。^{[7] : Ch.2}この考えに基づいて、アルバート・アインシュタインは1905年に光電効果の説明を提案し、光は光子（光の量子）と呼ばれる個々のエネルギーのパケットで構成されているとした。これは、電磁放射が古典的な電磁場の波である一方で、粒子の形でも存在することを意味していた。^[6]

1913年、ニールス・ボーアは原子構造のボーア模型を発表した。この模型では、原子内の電子は連続的なエネルギーではなく、一連の離散的なエネルギーしかとれないとしている。これも量子化のもう一つの例である。ボーア模型は原子スペクトル線の離散的な性質をうまく説明した。1924年、ルイ・ド・ブロイは波動粒子二重性仮説を提唱した。これは、微視的粒子が異なる状況下で波動と粒子の両方の性質を示すというものである。^[6]これらの散在するアイデアを統合して、 1925年から1926年の間に、マックス・プランク、ルイ・ド・ブロイ、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、エルヴィン・シュレーディンガー、ポール・ディラック、ヴォルフガング・パウリの重要な貢献により、一貫した学問分野である量子力学が策定された。^{[3] : 22–23}

光電効果に関する論文と同じ年に、アインシュタインはマクスウェルの電磁気学に基づいた特殊相対性理論を発表しました。観測者の速度の変化に応じてイベントの時間と空間の座標が変化する方法について、ローレンツ変換と呼ばれる新しい規則が与えられ、時間と空間の区別が曖昧になりました。 ^{[3] ：19}すべての物理法則は異なる速度の観測者にとって同じでなければならない、つまり物理法則はローレンツ変換に対して不変であるという提案がありました。

2つの困難が残っていた。観測的には、量子力学の基礎となるシュレーディンガー方程式は、電子が外部電磁場の作用を受けて新しい光子を放出する原子からの放射線の誘導放出を説明できたが、電子が自発的にエネルギーを減少させて外部電磁場の作用がなくても光子を放出する自然放出を説明することができなかった。理論的には、シュレーディンガー方程式は光子を記述できず、特殊相対性理論の原理と矛盾していた。つまり、空間座標を線形演算子に昇格させながら、時間を通常の数として扱っている。^[6]

量子場理論は、1920年代当時は電磁場が唯一知られた古典場であったため、当然ながら電磁相互作用の研究から始まった。^{[8] : 1}

1925年から1926年にかけてのボルン、ハイゼンベルク、パスクアル・ジョルダンの研究を通じて、電磁場を量子調和振動子の集合として扱うことで、正準量子化によって自由電磁場（物質と相互作用しない場）の量子理論が開発された。^{[8] : 1}しかし、相互作用を排除した理論では、現実世界について定量的な予測を行うことがまだできなかった。^{[3] : 22}

ディラックは、1927 年の独創的な論文「放射線の放出と吸収の量子理論」で、量子電気力学(QED) という用語を生み出しました。これは、自由電磁場を記述する項に、電流密度と電磁ベクトル ポテンシャルの間の相互作用項を追加した理論です。彼は、第 1 次摂動論を使用して、自然放出の現象をうまく説明しました。量子力学の不確定性原理によると、量子調和振動子は静止したままではいられないが、ゼロ以外の最小エネルギーを持ち、最低エネルギー状態 (基底状態) でも常に振動している必要があります。したがって、完全な真空中でも、ゼロ点エネルギーを持つ振動電磁場が残ります。真空中の電磁場のこの量子変動が、原子内の電子による自然放出を「刺激」します。ディラックの理論は、原子による放射線の放出と吸収の両方を説明するのに非常に成功しました。 2次摂動論を適用することで、光子の散乱、共鳴蛍光、非相対論的コンプトン散乱を説明することができた。しかし、高次摂動論の適用は計算における問題のある無限大に悩まされた。^{[6] : 71}

1928年、ディラックは相対論的電子を記述する波動方程式、ディラック方程式を書き上げた。この方程式は次のような重要な結果をもたらした。電子のスピンは1/2、電子のg因子は2、水素原子の微細構造に対する正しいゾンマーフェルトの式を導き、相対論的コンプトン散乱に対するクライン・仁科の式を導くのに使用できる。この結果は実り多いものであったが、この理論は負のエネルギー状態の存在も示唆していたようで、原子は常に放射線を放出することでより低いエネルギー状態に崩壊するため、原子は不安定になる。^{[6] : 71–72}

当時の一般的な見解は、世界は 2 つの非常に異なる要素、つまり物質粒子 (電子など) と量子場(光子など) で構成されているというものでした。物質粒子は永遠であると考えられ、その物理的状態は、特定の空間領域または速度範囲で各粒子が見つかる確率によって説明されました。一方、光子は、基礎となる量子化された電磁場の励起状態に過ぎないと考えられ、自由に生成または破壊できます。ジョーダン、ユージン・ウィグナー、ハイゼンベルク、パウリ、エンリコ・フェルミが、物質粒子も量子場の励起状態として見ることができることを発見したのは、1928 年から 1930 年にかけてのことでした。光子が量子化された電磁場の励起状態であるのと同じように、各タイプの粒子には、電子場、陽子場など、対応する量子場があります。十分なエネルギーがあれば、物質粒子を作成できるようになりました。この考えを基に、フェルミは 1932 年にフェルミ相互作用として知られるベータ崩壊の説明を提案しました。原子核自体には電子は含まれていないが、崩壊の過程で周囲の電子場から電子が生成され、これは励起原子の放射崩壊で周囲の電磁場から光子が生成されるのと類似している。^{[3] : 22–23}

ディラックらは1929年に、ディラック方程式が示唆する負のエネルギー状態は、電子と同じ質量で電荷が反対の粒子の存在を仮定することで除去できることに気づいた。これは原子の安定性を保証しただけでなく、反物質の存在を初めて提案したものでもあった。実際、陽電子の証拠は1932年にカール・デイビッド・アンダーソンが宇宙線で発見した。光子を吸収するなど十分なエネルギーがあれば、電子と陽電子の対を生成できる。このプロセスは対生成と呼ばれる。また、逆のプロセスである消滅も光子の放出で起こる可能性がある。これは、相互作用中に粒子の数が固定されている必要がないことを示した。しかし歴史的には、陽電子は最初は新しい種類の粒子ではなく、無限の電子の海にある「穴」であると考えられており、この理論はディラックの穴理論と呼ばれていた。^{[6] : 72  [3] : 23} QFT は反粒子をその形式に自然に取り入れた。^{[3] : 24}

ロバート・オッペンハイマーは1930年に、QEDにおける高次摂動計算では常に電子の自己エネルギーや電子場と光子場の真空零点エネルギーなどの無限量が得られることを示しました^[6]。これは当時の計算方法では極めて高い運動量を持つ光子を含む相互作用を適切に処理できないことを示唆しています^{[3] 。25}そのような無限大を取り除く体系的なアプローチが開発されたのはそれから20年後のことでした。

1934年から1938年にかけて、エルンスト・シュテッケルベルクは、相対論的に不変な場の理論定式化を確立した一連の論文を発表した。1947年には、シュテッケルベルクは独自に完全な繰り込み手順も開発した。このような成果は理論界では理解されず、認められなかった。^[6]

これらの無限大に直面して、ジョン・アーチボルド・ホイーラーとハイゼンベルクはそれぞれ 1937 年と 1943 年に、問題の多い QFT をいわゆるS 行列理論に置き換えることを提案しました。ミクロな相互作用の具体的な詳細は観測では把握できないため、理論は相互作用のミクロな細部に関心を持つのではなく、相互作用における少数の観測可能なもの(たとえば原子のエネルギー ) の関係のみを記述しようと試みるべきです。1945 年、リチャード・ファインマンとホイーラーは大胆にも QFT を完全に放棄することを提案し、粒子相互作用のメカニズムとして遠隔作用を提案しました。 ^{[3] : 26}

1947年、ウィリス・ラムとロバート・レザーフォードは、水素原子の² S _1/2と² P _1/2のエネルギー準位の微小な差を測定しました。これはラムシフトとも呼ばれます。電子の質量を超えるエネルギーを持つ光子の寄与を無視することで、ハンス・ベーテはラムシフトの数値を推定することに成功しました。^{[6] [3] : 28}その後、ノーマン・マイルス・クロル、ラム、ジェームズ・ブルース・フレンチ、ビクター・ワイスコフは、無限大を他の無限大を打ち消して有限量にする手法を用いて、この値を再度確認しました。しかし、この方法は扱いにくく信頼性が低く、他の計算に一般化できませんでした。^[6]

最終的に突破口が開かれたのは1950年頃で、ジュリアン・シュウィンガー、リチャード・ファインマン、フリーマン・ダイソン、朝永振一郎らが、無限大を除去するより堅牢な手法を開発した。その主なアイデアは、質量と電荷の計算値が無限大であっても、有限の測定値に置き換えるというものである。この体系的な計算手順は「繰り込み」として知られ、摂動論の任意の順序に適用できる。^[6] 朝永はノーベル賞受賞講演で次のように述べている。

場の反作用によって修正された質量と電荷の部分は [無限大になる] ため、理論で計算することは不可能です。しかし、実験で観察される質量と電荷は、元の質量と電荷ではなく、場の反作用によって修正された質量と電荷であり、有限です。一方、理論に現れる質量と電荷は…場の反作用によって修正された値です。このため、特に理論では修正された質量と電荷を計算できないため、現象論的に実験値を代入する手順を採用できます…この手順は、質量と電荷の再正規化と呼ばれます…シュウィンガーほど巧妙ではない、長くて骨の折れる計算の後、私たちは結果を得ました…それは [アメリカ人の] 結果と一致しました。^[9]

再正規化手順を適用することで、電子の異常磁気モーメント（電子のg因子の2からの偏差）と真空分極を説明する計算が最終的に行われました。これらの結果は実験測定と驚くほど一致し、「無限大との戦い」の終焉を示しました。^[6]

同時に、ファインマンは量子力学の経路積分定式化とファインマン図を導入した。^{[8] : 2}後者は、摂動展開における項を視覚的かつ直感的に整理し、計算するために使用できる。各図は相互作用における粒子の経路として解釈でき、各頂点と線には対応する数式があり、これらの式の積は、図によって表される相互作用の散乱振幅を与える。 ^{[1] : 5}

再正規化手順とファインマン図の発明により、QFTは最終的に完全な理論的枠組みとして誕生した。^{[8] : 2}

QED の驚異的な成功を受けて、1949 年以降の数年間、多くの理論家は、QFT が光子、電子、陽電子の相互作用だけでなく、すべての微視的現象を理解できるようになると信じていました。この楽観論とは裏腹に、QFT はほぼ 20 年続く不況期に突入しました。^{[3] : 30}

最初の障害は、繰り込み手順の適用範囲が限られていることであった。QED の摂動計算では、少数の（有限の）物理量（つまり、電子の質量と電荷）を再定義することで、すべての無限量を排除することができる。ダイソンは 1949 年に、これが「繰り込み可能な理論」と呼ばれる少数の理論でのみ可能であることを証明した。QED はその一例である。しかし、弱い相互作用のフェルミ理論を含むほとんどの理論は「繰り込み不可能」である。これらの理論で 1 次を超える摂動計算を行うと、有限の物理量を再定義しても排除できない無限量が生じる。^{[3] : 30}

2 つ目の大きな問題は、摂動論における級数展開に基づくファインマン ダイアグラム法の有効性が限られていることに起因しています。級数が収束し、低次の計算が良好な近似値となるためには、級数が展開される結合定数が十分に小さい数でなければなりません。QED における結合定数は微細構造定数 α ≈ 1/137であり、これは十分に小さいため、現実的な計算では最も単純で低次のファインマン ダイアグラムのみを考慮する必要があります。対照的に、強い相互作用における結合定数はほぼ 1 のオーダーであるため、複雑で高次のファインマン ダイアグラムも単純なものと同様に重要になります。したがって、摂動的な QFT 法を使用して強い相互作用の信頼性の高い定量的な予測を導く方法は存在しませんでした。^{[3] : 31}

これらの困難が迫る中、多くの理論家が QFT から離れ始めました。対称性原理と保存則に焦点を当てた人もいれば、ウィーラーとハイゼンベルクの古い S 行列理論を採用した人もいました。QFT は、指針として経験的に使用されましたが、定量的な計算の基礎としては使用されませんでした。^{[3] : 31}

しかし、シュウィンガーは別の道を選んだ。10年以上もの間、彼と彼の学生は場の理論のほぼ唯一の支持者であったが^[10]、1951年に^{[11] [12]、}彼はゲージ場に結合された電流として外部ソースを使用する新しい方法で無限大の問題を回避する方法を見つけた。 ^[13]以前の発見に動機づけられたシュウィンガーは、ラグランジュ乗数として知られる配置空間パラメータに外部力を結合する古典的なプロセスを「量子的に」一般化するために、このアプローチを追求し続けた。彼は1966年にソース理論を要約し^[14]、その後、3巻セットの「粒子、ソース、および場」で理論の量子電気力学への応用を拡張した。^{[15] [16] [17]}新しい視点が最もうまく適用されたパイ中間子物理学の発展は、それを使用することで数学的な単純さと概念の明快さがもたらされるという大きな利点を彼に確信させた。^[15]

ソース理論では発散も繰り込みもありません。これは場の理論の計算ツールとみなされるかもしれませんが、より一般的なものです。^[18] ソース理論を使用して、シュウィンガーは1947年に電子の異常磁気モーメントを計算することができましたが、このときは無限量についての「気を散らす発言」はありませんでした。^[19]

シュウィンガーは源理論を彼の重力の場の理論にも応用し、重力赤方偏移、重力による光の偏向と減速、水星の近日点歳差運動というアインシュタインの4つの古典的な結果すべてを再現することができた。^[20] 物理学界が源理論を無視したことはシュウィンガーにとって大きな失望であった。

他の人々がこれらの事実を理解していないのは残念だが、理解できることだ。 -J.シュウィンガー^[15]

J.シュウィンガーとS.ワインバーグの間の「靴事件」を参照。^[21]

1954年、楊振寧とロバート・ミルズはQEDの局所対称性を一般化し、より複雑な局所対称群に基づく非アーベルゲージ理論（ヤン・ミルズ理論とも呼ばれる）を導きました。^{[22] : 5} QEDでは、（電気的に）荷電した粒子は光子の交換を介して相互作用しますが、非アーベルゲージ理論では、新しいタイプの「電荷」を運ぶ粒子は質量のないゲージボソンの交換を介して相互作用します。光子とは異なり、これらのゲージボソン自体が電荷を運びます。^{[3] : 32  [23]}

シェルドン・グラショーは1960年に電磁相互作用と弱い相互作用を統一する非アーベルゲージ理論を開発した。1964年にアブドゥス・サラムとジョン・クライヴ・ワードは別の経路で同じ理論に到達した。しかしこの理論は繰り込み不可能であった。^[24]

ピーター・ヒッグス、ロバート・ブロート、フランソワ・アングレール、ジェラルド・グラルニク、カール・ハーゲン、トム・キブルは、有名なフィジカル・レビュー・レターズ誌の論文の中で、ヤン＝ミルズ理論のゲージ対称性は、自発的対称性の破れと呼ばれるメカニズムによって破れ、それによってもともと質量がなかったゲージ粒子が質量を獲得する可能性があると提唱した。^{[22] : 5–6}

グラショー、サラム、ウォードの以前の理論と自発的対称性の破れの考えを組み合わせることで、スティーブン・ワインバーグは1967年にすべてのレプトン間の電弱相互作用とヒッグス粒子の効果を記述する理論を書き上げた。彼の理論は当初ほとんど無視されていたが^{[24] [22] : 6} 、1971年にジェラルド・トホーフトが非アーベルゲージ理論は繰り込み可能であることを証明したことで再び脚光を浴びた。ワインバーグとサラムの電弱理論は1970年にグラショー、ジョン・イリオポロス、ルチアーノ・マイアーニによってレプトンからクォークに拡張され、完成された。^[24]

ハラルド・フリッチュ、マレー・ゲルマン、ハインリッヒ・ロイトワイラーは1971 年に、強い相互作用を伴う特定の現象が非アーベルゲージ理論でも説明できることを発見しました。量子色力学(QCD) が誕生しました。1973 年、デイビッド・グロス、フランク・ウィルチェク、ヒュー・デイビッド・ポリツァーは、非アーベルゲージ理論が「漸近的に自由」であることを示しました。これは、繰り込みの下で、強い相互作用の結合定数が相互作用エネルギーの増加とともに減少することを意味します。(同様の発見は以前にも何度もなされていましたが、ほとんど無視されていました。) ^{[22] : 11}したがって、少なくとも高エネルギー相互作用では、QCD の結合定数は摂動級数展開を正当化できるほど小さくなり、強い相互作用の定量的な予測が可能になります。^{[3] : 32}

これらの理論上の躍進は、場の理論のルネッサンスをもたらした。電弱理論と色力学を含む完全な理論は、今日では素粒子の標準モデルと呼ばれている。 ^[25]標準モデルは、重力を除くすべての基本的な相互作用をうまく記述し、その多くの予測はその後数十年にわたって注目すべき実験的確認を受けた。 ^{[8] : 3}自発的対称性の破れのメカニズムの中心となるヒッグス粒子は、2012年にCERNでついに検出され、標準モデルのすべての構成要素の存在が完全に検証された。^[26]

1970年代には、非アーベルゲージ理論における非摂動論的手法が発展した。トホーフト・ポリアコフ単極子はトホーフトとアレクサンダー・ポリアコフによって理論的に発見され、磁束管はホルガー・ベック・ニールセンとポール・オルセンによって、インスタントンはポリアコフと共著者によって発見された。これらの対象は摂動論では到達できない。^{[8] : 4}

超対称性も同時期に登場した。4次元における最初の超対称性場理論は、1970年にユーリ・ゴルファンドとエフゲニー・リクトマンによって構築されたが、彼らの結果は鉄のカーテンのせいで広く関心を集めることはできなかった。超対称性は、1973年にジュリアス・ウェスとブルーノ・ズミーノの研究によって理論界でようやく普及した。^{[8] : 7}

4つの基本的な相互作用のうち、重力は唯一、一貫した場の量子論的記述を欠いている。量子重力理論の様々な試みは弦理論の発展につながった^{[8] : 6}それ自体が共形対称性を持つ2次元場の量子論の一種である。^[27] ジョエル・シャークとジョン・シュワルツは1974年に初めて弦理論が重力の量子理論になり得ると提案した。^[28]

量子場理論は素粒子間の相互作用の研究から生まれましたが、他の物理システム、特に凝縮物質物理学の多体系にもうまく応用されてきました。

歴史的に、ヒッグス機構による自発的対称性の破れは、南部陽一郎による超伝導理論の素粒子への応用の結果であり、一方、繰り込みの概念は物質における二次相転移の研究から生まれた。 ^[29]

光子の導入後すぐに、アインシュタインは結晶の振動に量子化手順を実行し、最初の準粒子であるフォノンを生み出しました。レフ・ランダウは、多くの凝縮系における低エネルギー励起は、一連の準粒子間の相互作用によって記述できると主張しました。QFTのファインマン図法は、当然のことながら、凝縮系におけるさまざまな現象の分析に適していました。^[30]

ゲージ理論は、超伝導体における磁束の量子化、量子ホール効果における抵抗、交流ジョセフソン効果における周波数と電圧の関係を記述するために使用されます。^[30]

簡潔にするために、以下のセクションでは自然単位が使用され、換算プランク定数 ħと光速 c は両方とも 1 に設定されています。

古典場は空間と時間の座標の関数である。 ^[31]例としては、ニュートン重力における重力場g ( x , t )や古典電磁気学における電場E ( x , t )と磁場B ( x , t ) などがある。古典場は、時間とともに変化する空間のあらゆる点に割り当てられた数値量と考えることができる。したがって、無限の自由度を持つ。^{[31] [32]}

量子力学的特性を示す多くの現象は、古典的な場だけでは説明できません。光電効果などの現象は、空間的に連続した場ではなく、離散的な粒子 (光子) によって最もよく説明されます。量子場理論の目的は、修正された場の概念を使用してさまざまな量子力学的現象を説明することです。

正準量子化と経路積分はQFTの2つの一般的な定式化である。^{[33] : 61} QFTの基礎を説明するために、古典的な場の理論の概要を説明する。

最も単純な古典場は実スカラー場、つまり時間とともに変化する空間のあらゆる点における実数である。これはϕ ( x , t )と表記され、ここでxは位置ベクトル、t は時間である。場のラグランジアンが次の式である とする。${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],}$

ここで、はラグランジアン密度、は場の時間微分、∇は勾配演算子、mは実パラメータ（場の「質量」）である。オイラー・ラグランジュ方程式をラグランジアンに適用すると、次のようになる。 ^{[1] : 16}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}$

時間と空間における場の変化を記述する場の 運動方程式が得られます。

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.}$

これはクライン・ゴルドン方程式として知られています。^{[1] : 17}

クライン・ゴルドン方程式は波動方程式なので、その解は次のように （フーリエ変換によって得られる）通常モードの和として表すことができます。

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),}$

ここで、aは複素数（慣例により正規化）、*は複素共役、ω _pは通常モードの周波数です。

${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}$

したがって、単一のpに対応する各通常モードは、周波数ωpを持つ古典_的な調和振動子として見ることができる。^{[1] ：21,26}

上記の古典場から量子作用素場への量子化手順は、古典調和振動子から量子調和振動子への昇格に類似しています。

古典的な調和振動子の変位は次のように記述される。

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}$

ここで、aは複素数（慣例により正規化）であり、ω は振動子の周波数です。xは単振動する粒子の平衡位置からの変位であり、量子場の 空間ラベルxと混同しないように注意してください。

量子調和振動子の場合、x ( t )は線形演算子 に昇格されます。 ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$

${\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}$

複素数aとa ^*はそれぞれ消滅演算子 と生成演算子に置き換えられます。ここで†はエルミート共役を表します。両者の 交換関係は${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$

単純な調和振動子のハミルトニアンは次のように書ける。

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$

最もエネルギーの低い状態である真空状態は次のように定義さ れる。 ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$

エネルギーは である ことは簡単に確認できる。これは、 が単純な調和振動子のエネルギーを だけ増加させることを意味する。例えば、状態はエネルギー の固有状態である。単一の調和振動子の任意のエネルギー固有状態は、生成演算子 を連続的に適用することによってから得ることができる。^{[1] : 20}そして、システムの任意の状態は、状態の線形結合として表すことができる。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle \hbar \omega }$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle }$${\displaystyle 3\hbar \omega /2}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle |n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .}$

同様の手順を、実スカラー場ϕに量子場演算子 に昇格させることで適用できます。この場合、消滅演算子、生成演算子、および角周波数 は、特定のpに対して次のようになります。 ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }}$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}$

それらの交換関係は次の通りである: ^{[1] : 21}

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,}$

ここでδはディラックのデルタ関数である。真空状態は次のように定義される。 ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .}$

場の任意の量子状態は、生成演算子を連続的に適用することによって（またはそのような状態の線形結合によって）得ることができる。例えば^{[1] ：22}${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$

${\displaystyle \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .}$

単一の量子調和振動子の状態空間には、振動する粒子の離散エネルギー状態がすべて含まれるが、量子場の状態空間には、任意の数の粒子の離散エネルギーレベルが含まれる。後者の空間はフォック空間として知られており、相対論的量子システムでは粒子数が固定されていないという事実を説明できる。^{[34]単一の粒子ではなく任意の数の粒子を量子化するプロセスは、しばしば}第2量子化とも呼ばれる。^{[1] : 19}

前述の手順は、非相対論的量子力学の直接的な応用であり、（複素）スカラー場、ディラック場、^{[1] : 52} ベクトル場（例えば、電磁場）、さらには弦を量子化するために使用できます。^[35]しかし、生成演算子と消滅演算子は、相互作用を含まない最も単純な理論（いわゆる自由理論）でのみ明確に定義されます。実際のスカラー場の場合、これらの演算子の存在は、古典的な運動方程式の解を通常モードの合計に分解した結果です。現実的な相互作用理論で計算を実行するには、摂動論が必要になります。

自然界の量子場のラグランジアンには自由理論項に加えて相互作用項が含まれる。例えば、実スカラー場のラグランジアンには4次の相互作用項を導入することができる: ^{[1] : 77}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}$

ここで、μは時空インデックス、などです。インデックスμについての総和は、アインシュタインの表記に従って省略されています。パラメータλが十分に小さい場合、上記のラグランジアンによって記述される相互作用理論は、自由理論からの小さな摂動として考えることができます。 ${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$

QFT の経路積分定式化は、演算子と状態空間の確立ではなく、特定の相互作用プロセスの散乱振幅の直接計算に関係しています。システムが t = 0 の時点の初期状態から t = T の時点の最終状態に進化する確率振幅を計算するには、全時間TをN個の小さな区間に分割します。全体の振幅は、各区間内の進化の振幅をすべての中間状態にわたって積分したものです。Hをハミルトニアン(つまり、時間進化の生成元)とすると、 ^{[33] : 10}${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$

${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}$

N → ∞の極限をとると、上記の積分はファインマン経路積分となる: ^{[1] : 282  [33] : 12}

${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}$

ここで、Lは、ハミルトニアンHからルジャンドル変換によって得られる、 ϕとその空間および時間座標に関する導関数を含むラグランジアンである。経路積分の初期条件と最終条件はそれぞれ

${\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}$

言い換えれば、全体の振幅は、初期状態と最終状態の間のすべての可能なパスの振幅の合計であり、パスの振幅は積分関数の指数によって与えられます。

計算では、自由理論や相互作用理論でそれぞれのような表現によく遭遇します。ここで、と は位置4 ベクトル、は時間順序付け演算子で、そのオペランドをシャッフルして時間成分と が右から左に増加するようにし、 は相互作用理論の基底状態 (真空状態) であり、自由基底状態 とは異なります。この表現は、場がyからxに伝播する確率振幅を表し、2 点プロパゲーター、2 点相関関数、2 点グリーン関数、または略して 2 点関数 など、さまざまな名前で呼ばれます。 ^{[1] : 82}$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x^{0}}$${\displaystyle y^{0}}$${\displaystyle |\Omega \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$

自由2点関数はファインマン伝播関数とも呼ばれ、実スカラー場に対して正準量子化または経路積分によって次のように求められる。^{[1] : 31,288  [33] : 23}

${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}$

ラグランジアンまたはハミルトニアンに相互作用を記述する項が含まれる相互作用理論では、2 点関数を定義することはより困難です。ただし、正準量子化定式化と経路積分定式化の両方を通じて、自由2 点関数の無限摂動級数を通じてそれを表現することは可能です。 ${\displaystyle L_{I}(t)}$${\displaystyle H_{I}(t)}$

正準量子化では、2点相関関数は次のように表される: ^{[1] : 87}

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}$

ここで、εは無限小数、ϕ _{I は}自由理論における場の演算子です。ここで、指数関数はそのべき級数展開として理解されるべきです。たとえば、理論では、ハミルトニアンの相互作用項は、^{[1] : 84 で}あり、2点相関子の による展開は になります。この摂動展開は、相互作用する2点関数を自由理論で評価される量で表します。 ${\displaystyle \phi ^{4}}$${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.}$$${\displaystyle \langle 0|\cdots |0\rangle }$

経路積分定式化では、2点相関関数は次のように表される^{[1] ：284}

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}$

ここで、 はラグランジアン密度です。前の段落と同様に、指数関数はλの級数として展開することができ、相互作用する 2 点関数を自由理論の量に減らすことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

ウィックの定理は、自由理論における任意のn点相関関数を2点相関関数の積の和にさらに簡略化する。例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}$

相互作用相関​​関数は自由相関関数で表現できるため、（摂動論的）相互作用理論におけるすべての物理量を計算するには、後者のみを評価すればよい。^{[1] ：90}これにより、ファインマン伝播関数は量子場理論において最も重要な量の1つとなる。

相互作用理論における相関関数は摂動級数として表すことができる。級数の各項は自由理論におけるファインマン伝播関数の積であり、ファインマン図で視覚的に表すことができる。例えば、ϕ ⁴理論 における2点相関関数のλ ^1項は

${\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}$

ウィックの定理を適用すると、項の1つは

${\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).}$

この項はファインマン図から得られる。

。

図は

• 外部頂点は1 つの辺に接続され、点 (ここではと と表記) で表されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• 内部頂点は4 つの辺で接続され、ドット (ここでは と表示) で表されます。${\displaystyle z}$
• 頂点を接続し、線で表されたエッジ。

各頂点は時空内の対応する点における単一の場の因子に対応し、辺は時空点間の伝播子に対応します。図に対応する摂動級数の項は、いわゆるファインマン則に従う式を書き出すことで得られます。 ${\displaystyle \phi }$

1. すべての内部頂点について、係数を書き出します。${\displaystyle z_{i}}$${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$
2. 2 つの頂点とを接続するすべての辺について、係数 を書き出します。${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j})}$
3. 図の対称係数で割ります。

対称因子 を用いると、これらの規則に従うと、まさに上記の式が得られます。プロパゲーターをフーリエ変換することで、ファインマン規則を位置空間から運動量空間に再定式化できます。^{[1] : 91–94}${\displaystyle 2}$

n点相関関数をk次まで計算するには、 n 個の外部点とk個以下の頂点を持つ有効なファインマン図をすべてリストし、ファインマン規則を使用して各項の式を取得します。正確には、

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle }$

は、 n 個の外部点を持つ連結図式の合計（に対応する式）に等しい。（連結図式とは、すべての頂点が線で外部点と連結されている図式である。外部線から完全に切り離されたコンポーネントは、「真空バブル」と呼ばれることがある。）上で説明したϕ ⁴相互作用理論では、すべての頂点は 4 本の脚を持つ必要がある。^{[1] : 98}

現実的な応用では、特定の相互作用の散乱振幅や粒子の崩壊率はS行列から計算することができ、S行列自体はファインマン図法を使用して求めることができる。^{[1] ：102–115}

ループのないファインマン図はツリーレベル図と呼ばれ、最も低次の相互作用過程を記述する。n個のループを含むものはnループ図と呼ばれ、相互作用に対する高次の寄与、つまり放射補正を記述する。^{[33] : 44}端点が頂点である線は、仮想粒子の伝播と考えることができる。^{[1] : 31}

ファインマン規則は、ツリーレベルのダイアグラムを直接評価するために使用できます。ただし、上記のようなループ ダイアグラムを単純に計算すると、発散運動量積分が生じ、摂動展開のほぼすべての項が無限大になると考えられます。再正規化手順は、このような無限大を除去するための体系的なプロセスです。

ラグランジアン中に現れる質量mや結合定数λなどのパラメータには物理的な意味はありません。つまり、 m、λ、および場の強度ϕ は実験的に測定可能な量ではなく、ここではそれぞれ裸の質量、裸の結合定数、および裸の場と呼ばれます。物理的な質量と結合定数は、何らかの相互作用過程で測定され、一般に裸の量とは異なります。この相互作用過程から物理量を計算する際に、発散運動量積分の定義域を何らかの運動量カットオフΛ未満に制限し、物理量の式を得てから、極限Λ → ∞を取ることができます。これは、 Λを調節因子として 、QFT での発散を処理する方法のクラスである正則化の例です。

上で説明したアプローチは、計算に質量や結合定数などの裸の量のみを使用するため、裸の摂動論と呼ばれます。別のアプローチは、再正規化摂動論と呼ばれ、最初から物理的に意味のある量を使用します。ϕ 4 理論の場合、^まず場の強度が再定義されます。

${\displaystyle \phi =Z^{1/2}\phi _{r},}$

ここで、ϕは裸のフィールド、ϕ _rは再正規化されたフィールド、Z は決定すべき定数です。ラグランジアン密度は次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},}$

ここで、m _rとλ _{r は}それぞれ実験的に測定可能な、再正規化された質量と結合定数であり、

${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}}$

は決定すべき定数である。最初の 3 つの項は、再正規化された量で記述されたϕ ⁴ラグランジアン密度であり、後半の 3 つの項は「カウンター項」と呼ばれる。ラグランジアンにより多くの項が含まれるようになったため、ファインマン図には、それぞれ独自のファインマン規則を持つ追加の要素が含まれる必要がある。手順の概要は以下のとおりである。まず、正規化スキーム (上で紹介したカットオフ正規化や次元正規化など) を選択する。レギュレーターをΛと呼ぶ。発散項がΛに依存するファインマン図を計算する。次に、δ _Z、δ _m、およびδ _λを定義して、カウンター項のファインマン図が、極限Λ → ∞をとったときに、通常のファインマン図の発散項を正確に打ち消すようにする。このようにして、意味のある有限量が得られる。^{[1] : 323–326}

繰り込み可能な理論では有限の結果を得るためにすべての無限大を消去することしかできないが、繰り込み不可能な理論では少数のパラメータを再定義しても無限大を消去することはできない。素粒子の標準モデルは繰り込み可能なQFTである^{[1] : 719–727}が、量子重力は繰り込み不可能である。^{[1] : 798  [33] : 421}

ケネス・ウィルソンによって開発された繰り込み群は、システムを異なるスケールで見たときの物理的パラメータ（ラグランジアン係数）の変化を研究するために使用される数学的装置である。^{[1] ：393}各パラメータがスケールとともに変化する方法は、そのβ関数によって記述される。^{[1] ：417}定量的な物理的予測の基礎となる相関関数は、 Callan-Symanzik方程式に従ってスケールとともに変化する。^{[1] ：410–411}

一例として、QED における結合定数、すなわち素電荷 e は次のβ関数を持ちます。

${\displaystyle \beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O{\mathord {\left(e^{5}\right)}},}$

ここでΛはeの測定が行われるエネルギースケールである。この微分方程式は、スケールが増加すると観測される素電荷が増加することを意味している。^[36]エネルギースケールに応じて変化する再正規化結合定数は、ランニング結合定数とも呼ばれる。^{[1] : 420}

対称群SU(3)に基づく非アーベルゲージ理論である量子色力学における結合定数gは、次のβ関数を持つ。

${\displaystyle \beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O{\mathord {\left(g^{5}\right)}},}$

ここで、N _{f は}クォークの フレーバーの数です。N _f ≤ 16の場合（標準モデルではN _f = 6）、結合定数g はエネルギースケールが増加するにつれて減少します。したがって、強い相互作用は低エネルギーでは強いですが、高エネルギー相互作用では非常に弱くなります。これは漸近的自由と呼ばれる現象です。^{[1] : 531}

共形場理論（CFT）は、共形対称性を許容する特殊な場の理論である。これらの理論は、結合定数のβ関数が全てゼロになるため、スケールの変化に鈍感である。（ただし、逆は成り立たず、β関数が全てゼロになることは、理論の共形対称性を意味するわけではない。）^[37]例としては、弦理論^[27]やN = 4超対称ヤン＝ミルズ理論^[38]などがある。

ウィルソンの描像によれば、あらゆる QFT は基本的にエネルギーカットオフΛを伴う。つまり、 Λより高いエネルギーでは理論はもはや有効ではなく、スケールΛ を超えるすべての自由度は省略される。たとえば、カットオフは凝縮系における原子間隔の逆数である可能性があり、素粒子物理学では重力の量子ゆらぎによって引き起こされる時空の基本的な「粒状性」に関連付けられる可能性がある。粒子相互作用の理論のカットオフスケールは、現在の実験をはるかに超えている。そのスケールで理論が非常に複雑であったとしても、その結合が十分に弱い限り、低エネルギーでは繰り込み可能な有効場の理論によって記述されなければならない。^{[1] : 402–403}繰り込み可能な理論と繰り込み不可能な理論の違いは、前者は高エネルギーでの詳細に鈍感であるのに対し、後者は詳細に依存するという点である。^{[8] : 2}この見解によれば、非繰り込み可能理論は、より基礎的な理論の低エネルギー有効理論として見なされる。そのような理論の計算からカットオフΛを削除できないことは、 Λを超えるスケールで新しい物理現象が現れ、新しい理論が必要になることを示しているにすぎない。 ^{[33] : 156}

前のセクションで概説した量子化と繰り込みの手順は、実スカラー場の自由理論とϕ ⁴理論に対して実行されます。同様のプロセスは、複素スカラー場、ベクトル場、ディラック場などの他の種類の場、および電磁相互作用や湯川相互作用などの他の種類の相互作用項に対しても実行できます。

たとえば、量子電気力学には、電子場を表すディラック場ψと、電磁場 (光子場)を表すベクトル場A ^{μ が}含まれます。(名前にもかかわらず、量子電磁「場」は、実際には古典的な電場と磁場ではなく、古典的な電磁 4 元ポテンシャルに対応します。) 完全な QED ラグランジアン密度は次のとおりです。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$

ここでγ ^μはディラック行列、、は電磁場の強度である。この理論におけるパラメータは（裸の）電子質量mと（裸の）素電荷eである。ラグランジアン密度の第1項と第2項は、それぞれ自由ディラック場と自由ベクトル場に対応する。最後の項は電子場と光子場の相互作用を記述し、自由理論からの摂動として扱われる。^{[1] ：78}${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

上記は、QED のツリー レベルのファインマン図の例です。これは、電子と陽電子が消滅し、オフシェル光子を生成し、その後、新しい電子と陽電子のペアに崩壊する様子を表しています。時間は左から右に流れます。時間的に前方を指す矢印は電子の伝播を表し、時間的に後方を指す矢印は陽電子の伝播を表します。波線は光子の伝播を表します。QED ファインマン図の各頂点には、光子の伝播だけでなく、入射フェルミオン (陽電子/電子) の脚と出射フェルミオンの脚も必要です。

すべての時空点xで次のフィールド変換が実行されると(ローカル変換)、QED ラグランジアン は変化せず、不変のままになります。

${\displaystyle \psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},}$

ここでα ( x )は時空座標の任意の関数である。理論のラグランジアン（より正確には作用）が特定の局所変換に対して不変である場合、その変換は理論のゲージ対称性と呼ばれる。 ^{[1] : 482–483}ゲージ対称性は、あらゆる時空点でグループを形成します。QED の場合、2 つの異なる局所対称変換 と を連続して適用すると、さらに別の対称変換 になります。任意のα ( x )に対して、はU(1)群の要素であるため、QED はU(1)ゲージ対称性を持つと言われています。^{[1] : 496}光子場A _{μ は}U(1)ゲージボソンと呼ばれることがあります。 ${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$${\displaystyle e^{i\alpha '(x)}}$${\displaystyle e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}}$${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$

U(1)はアーベル群であり、要素を適用する順序に関係なく結果が同じになることを意味します。QFT は非アーベル群上に構築することもでき、非アーベルゲージ理論(ヤン・ミルズ理論としても知られる) を生み出します。^{[1] : 489} 強い相互作用を記述する量子色力学は、 SU(3)ゲージ対称性を持つ非アーベルゲージ理論です。これには、クォーク場を表す 3 つのディラック場ψ ⁱ、i = 1,2,3と、SU(3)ゲージボソンであるグルーオン場を表す8つのベクトル場A ^a,μ、a = 1,...,8 が含まれます。 ^{[1] : 547} QCDラグランジアン密度は: ^{[1] : 490–491}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},}$

ここでD _μはゲージ共変微分である。

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},}$

ここでgは結合定数、ta^はSU(3)の基本表現（3×3行列） の8つの生成元であり、

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},}$

およびf ^{abc は}SU(3)の構造定数です。繰り返しインデックスi、j、a は、次のアインシュタイン表記に従って暗黙的に合計されます。このラグランジアンは変換に対して不変です。

${\displaystyle \psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),}$

ここでU ( x )はあらゆる時空点xにおけるSU(3)の要素である。

${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.}$

対称性に関するこれまでの議論はラグランジアンのレベルに関するものである。言い換えれば、これらは「古典的な」対称性である。量子化後、一部の理論はもはや古典的な対称性を示さなくなる。これは異常と呼ばれる現象である。たとえば、経路積分定式化では、ラグランジアン密度が特定の局所的な場の変換の下で不変であるにもかかわらず、経路積分の尺度が変化する可能性がある。 ^{[33] : 243}自然を記述する理論が一貫しているためには、そのゲージ対称性にいかなる異常も含まれてはならない。素粒子の標準モデルは、すべての異常が正確に打ち消される群SU(3) × SU(2) × U(1)に基づくゲージ理論である。^{[1] : 705–707}${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]}$ ${\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi }$

一般相対性理論の理論的基礎である同値原理はゲージ対称性の一形態として理解することもでき、一般相対性理論はローレンツ群に基づくゲージ理論となる。^[39]

ノイマンの定理によれば、連続対称性、すなわち対称変換におけるパラメータが離散的ではなく連続的である場合、対応する保存則が導かれる。^{[1] : 17–18  [33] : 73}たとえば、 QED のU(1)対称性は電荷保存則を意味する。^[40]

ゲージ変換は、異なる量子状態を関連付けるものではありません。むしろ、同じ量子状態の 2 つの同等な数学的記述を関連付けます。たとえば、光子場A ^μは4 次元ベクトルであるため、見かけ上の自由度が 4 つありますが、光子の実際の状態は、偏光に対応する 2 つの自由度によって記述されます。残りの 2 つの自由度は「冗長」であると言われています。A μ^の異なる表記法は、ゲージ変換によって互いに関連付けることができ、実際には光子場の同じ状態を記述できます。この意味で、ゲージ不変性は「実際の」対称性ではなく、選択された数学的記述の「冗長性」を反映しています。^{[33] : 168}

経路積分定式化におけるゲージ冗長性を考慮するには、いわゆるファデエフ・ ポポフゲージ固定手順を実行する必要があります。非アーベルゲージ理論では、このような手順により「ゴースト」と呼ばれる新しいフィールドが導入されます。ゴーストフィールドに対応する粒子はゴースト粒子と呼ばれ、外部から検出することはできません。^{[1] : 512–515}ファデエフ・ポポフ手順のより厳密な一般化は、BRST量子化によって与えられます。^{[1] : 517}

自発的対称性の破れは、ラグランジアンによって記述される系によってラグランジアンの対称性が破れるメカニズムである。^{[1] : 347}

このメカニズムを説明するために、ラグランジアン密度で記述される N 個の実スカラー場を含む線形シグマ モデルを考えます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2},}$

ここで、μとλは実パラメータである。理論はO( N )のグローバル対称性を許容する。

${\displaystyle \phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).}$

古典理論の最低エネルギー状態（基底状態または真空状態_）は 、

${\displaystyle \phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

一般性を失うことなく、基底状態をN番目の方向とします。

${\displaystyle \phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).}$

元のNフィールドは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),}$

元のラグランジアン密度は次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\pi ^{k}\right)\left(\partial ^{\mu }\pi ^{k}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\sigma \right)\left(\partial ^{\mu }\sigma \right)-{\frac {1}{2}}\left(2\mu ^{2}\right)\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\pi ^{k}\pi ^{k}\right)^{2},}$

ここでk = 1, ..., N − 1である。元のO( N )グローバル対称性はもはや明示されておらず、サブグループ O( N − 1)のみが残る。自発的な対称性の破れの前のより大きな対称性は「隠れた」または自発的に破れたと言われる。^{[1] ：349–350}

ゴールドストーンの定理は、自発的な対称性の破れのもとで、破れた連続的な大域的対称性はすべて、ゴールドストーン粒子と呼ばれる質量のない場を導くことを述べている。上記の例では、O( N ) はN ( N − 1)/2 個の連続対称性（リー代数の次元）を持ち、O( N − 1)は( N − 1)( N − 2)/2 個を持つ。破れた対称性の数はそれらの差N − 1であり、これはN − 1 個の質量のない場π ^kに対応する。^{[1] : 351}

一方、ゲージ対称性（グローバル対称性ではなく）が自発的に破れると、結果として生じるゴールドストーンボソンは、対応するゲージボソンに「食べられ」、ゲージボソンの自由度が増す。ゴールドストーンボソン等価定理によれば、高エネルギーでは、縦偏極した質量のあるゲージボソンの放出または吸収の振幅は、ゲージボソンに食べられたゴールドストーンボソンの放出または吸収の振幅と等しくなる。^{[1] : 743–744}

強磁性の場の理論では、自発的な対称性の破れによって低温での磁気双極子の配列を説明できる。 ^{[33] : 199}素粒子の標準モデルでは、ゲージ対称性の結果として質量を持たないWボソンとZボソンは、ヒッグス粒子の自発的な対称性の破れによって質量を獲得する。このプロセスはヒッグス機構と呼ばれる。^{[1] : 690}

自然界で実験的に知られている対称性はすべて、ボソン同士、フェルミオン同士を関連付けるものである。理論家たちは、ボソンとフェルミオンを関連付ける超対称性と呼ばれるタイプの対称性が存在すると仮説を立てている。^{[1] : 795  [33] : 443}

標準モデルはポアンカレ対称性に従います。ポアンカレ対称性の生成元は時空変換 P ^μとローレンツ変換 J _μνです。^{[41] : 58–60}これらの生成元に加えて、 (3+1) 次元の超対称性には、スーパーチャージと呼ばれる追加の生成元Q _αが含まれます。スーパーチャージは、ワイルフェルミオンに変換されます。 ^{[1] : 795  [33] : 444}これらすべての生成元によって生成される対称群は、超ポアンカレ群として知られています。一般に、対応するN = 1超対称性、N = 2超対称性などを生成する超対称性生成元のセットが複数存在することがあり、Q _α ^I、I = 1、...、N^{です。 [1] : 795  [33] : 450}超対称性は他の次元でも構築することができ、^{[42]最も顕著なのは}超弦理論への応用における(1+1)次元である。^[43]

超対称理論のラグランジアンは超ポアンカレ群の作用に対して不変でなければならない。^{[33] : 448}このような理論の例には、極小超対称標準モデル（MSSM）、N = 4超対称ヤン・ミルズ理論、^{[33] : 450}および超弦理論が含まれる。超対称理論では、すべてのフェルミオンにはボゾンのスーパーパートナーがあり、その逆もまた同様である。^{[33] : 444}

超対称性が局所対称性にまで昇格すると、結果として得られるゲージ理論は超重力と呼ばれる一般相対性理論の拡張となる。^[44]

超対称性は、物理学における現在の多くの問題に対する潜在的な解決策である。例えば、標準モデルの階層問題（なぜヒッグス粒子の質量が（繰り込みの下で）大統一スケールやプランクスケールのような非常に高いスケールに放射補正されないのか）は、ヒッグス場とその超パートナーであるヒッグシーノを関連付けることで解決できる。ファインマン図におけるヒッグス粒子ループによる放射補正は、対応するヒッグシーノループによって打ち消される。超対称性は、標準モデルにおけるすべてのゲージ結合定数の大統一や暗黒物質の性質に対する答えも提供する。^{[1] : 796–797  [45]}

しかしながら、実験では超対称粒子の存在を裏付ける証拠はまだ得られていない。超対称性が自然の真の対称性であるならば、それは破れた対称性であり、対称性の破れのエネルギーは現在の実験で達成可能なものよりも高いはずである。^{[1] : 797  [33] : 443}

ϕ ⁴理論、QED、QCD、そして標準モデル全体は、量子場が定義される背景として (3+1) 次元ミンコフスキー空間 (3 つの空間次元と 1 つの時間次元) を想定しています。ただし、QFT は、次元の数や時空の幾何学 に先験的に制限を課しません。

凝縮系物理学では、QFTは（2+1）次元の電子ガスを記述するために使用されます。^[46]高エネルギー物理学では、弦理論は（1+1）次元のQFTの一種です。^{[33] : 452  [27]}一方、カルツァ・クライン理論は余剰次元の重力を利用して低次元のゲージ理論を生み出します。^{[33] : 428–429}

ミンコフスキー空間では、平坦な計量 η _μνはラグランジアンにおける時空指数の増減に用いられる。例えば、

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$

ここで、η ^μνはη _μνの逆数であり、η ^μρ η _ρν = δ ^μ _{ν を}満たす。一方、曲がった時空における QFTでは、一般的な計量（ブラックホールを記述するシュワルツシルト計量など）が使用される。

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$

ここでg ^{μν は}g _μνの逆数である。実スカラー場の場合、一般的な時空背景におけるラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),}$

ここでg = det( g _μν )であり、∇ _μは共変微分を表す。^[47] QFTのラグランジアン、したがってその計算結果と物理的予測は、時空背景の幾何学に依存する。

QFT の相関関数と物理的予測は、時空計量g _μνに依存する。位相量子場理論(TQFT)と呼ばれる特別なクラスの QFT では、すべての相関関数は時空計量の連続的な変化とは無関係である。 ^{[48] : 36}曲がった時空における QFT は一般に時空背景の幾何学(局所構造)に応じて変化するが、TQFT は時空微分同相写像の下では不変であるが、時空のトポロジー(大域構造)に対しては敏感である。これは、TQFT のすべての計算結果が基礎となる時空の位相不変量であることを意味する。チャーン・サイモンズ理論はTQFT の一例であり、量子重力のモデルの構築に使用されている。^{[49] TQFT の応用には、}分数量子ホール効果やトポロジカル量子コンピュータがある。^{[50] : 1–5}分裂粒子（エニオンとして知られる）の世界線軌道は時空にリンク構成を形成することができ、^[51]これは物理学におけるエニオンの編組統計を数学におけるリンク不変量に関連付けるものである。トポロジカル量子場理論（TQFT）には、2+1時空次元のチャーン・サイモンズ・ウィッテンゲージ理論、3+1時空次元およびそれ以上のその他の新しいエキゾチックTQFTなど、トポロジカル量子物質の最先端研究に適用できるものが含まれる。^[52]

摂動論を用いると、小さな相互作用項の全効果は、相互作用に参加する仮想粒子の数の級数展開によって、逐次近似することができる。展開の各項は、（物理的な）粒子が仮想粒子を介して互いに相互作用する1つの可能な方法として理解することができ、ファインマン図を用いて視覚的に表現される。QEDにおける2つの電子間の電磁力は、（摂動論では1次まで）仮想光子の伝播によって表される。同様に、W ボソンと Z ボソンは弱い相互作用を運び、グルーオンは強い相互作用を運ぶ。相互作用を、さまざまな仮想粒子の交換を含む中間状態の合計として解釈することは、摂動論の枠組みの中でのみ意味をなす。対照的に、QFT における非摂動的な方法は、級数展開なしで、相互作用するラグランジアン全体を取り扱う。相互作用を運ぶ粒子の代わりに、これらの方法は、トホーフト-ポリアコフ単極子、ドメイン壁、フラックスチューブ、インスタントンなどの概念を生み出した。^[8]非摂動的に完全に解けるQFTの例としては、共形場理論の極小モデル^[53]やThirringモデル^[54]などがある。

素粒子物理学と凝縮物質物理学における圧倒的な成功にもかかわらず、QFT自体は正式な数学的基礎を欠いている。例えば、ハーグの定理によれば、QFTには明確に定義された相互作用図は存在せず、これはファインマン図法全体の基礎となるQFTの摂動理論が根本的に定義が不十分であることを意味している。^[55]

しかし、収束要件なしに量が形式的な冪級数として計算可能であることだけを要求する摂動的な量子場理論には、厳密な数学的処理を施すことができる。特に、ケビン・コステロのモノグラフRenormalization and Effective Field Theory ^[56]は、カダノフ、ウィルソン、ポルチンスキーの有効場理論アプローチと、ゲージ理論を量子化するバタリン-ビルコヴィスキーアプローチの両方を組み合わせた摂動的な再正規化の厳密な定式化を提供している。さらに、摂動的な経路積分法は、通常、有限次元積分理論からヒントを得た形式的な計算方法として理解されているが、^[57]有限次元の類似物から健全な数学的解釈を与えることができる。^[58]

1950 年代以来、^[59]理論物理学者と数学者は、相対論的場の理論の具体的なモデルの存在を数学的に厳密な方法で確立し、その特性を研究するために、すべての場の理論を一連の公理にまとめようと試みてきました。この研究分野は、数理物理学のサブフィールドである構成的量子場の理論と呼ばれています。^{[60] 2}これによって、 CPT 定理、スピン統計定理、ゴールドストーンの定理などの結果がもたらされました。^[59]また、2 次元および 3 次元時空で相互作用する多くの場の理論の数学的に厳密な構成にもつながりました。たとえば、任意の多項式相互作用を持つ 2 次元スカラー場の理論、^[61] 4 次相互作用を持つ 3 次元スカラー場の理論などです。^[62]

通常のQFTと比較して、位相量子場理論と共形場理論は数学的によくサポートされており、どちらもコボルディズムの表現の枠組みに分類できます。^[63]

代数的量子場理論は、QFT の公理化に対するもう一つのアプローチであり、局所演算子とそれらの間の代数的関係が基本的な対象である。このアプローチに従う公理系には、ワイトマン公理とハーグ・カストラー公理が含まれる。^{[60] : 2–3}ワイトマン公理を満たす理論を構築する一つの方法は、オスターワルダー・シュレーダー公理を使用することであり、これは、虚数時間理論から解析接続(ウィック回転)によって実時間理論を得るための必要かつ十分な条件を与える。^{[60] : 10}

ミレニアム懸賞問題の一つであるヤン＝ミルズ理論の存在と質量ギャップは、上記の公理によって規定されたヤン＝ミルズ理論の明確な存在性に関するものである。問題の全文は以下の通りである。^[64]

任意のコンパクト 単純 ゲージ群 Gに対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が存在し、質量ギャップΔ > 0を持つことを証明します。存在には、Streater & Wightman (1964)、Osterwalder & Schrader (1973)、および Osterwalder & Schrader (1975) で引用されているものと少なくとも同じくらい強い公理的性質を確立することが含まれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

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