無限小

数学において、無限小数とは、ゼロでない実数よりも0に近い、ゼロでない量のことです。無限小という語は、17 世紀の近代ラテン語の造語infinitesimusに由来しており、これはもともと数列内の「無限- eth」項目を指していました。

無限小は標準的な実数体系には存在しませんが、超実数体系や超実数体系などの他の数体系には存在します。これらは、無限小と無限の量の両方で拡張された実数と考えることができます。拡張は互いの 逆数です。

無限小数は微積分の発展の過程で導入され、微分は2つの無限小量の比として初めて考えられました。この定義は厳密に定式化されていませんでした。微積分がさらに発展するにつれて、無限小数は標準的な実数を使用して計算できる 極限に置き換えられました。

紀元前3世紀、アルキメデスは著書『力学的定理の方法』の中で、領域の面積と立体の体積を求めるために、後に不可分法として知られるようになった方法を使用しました。 ^[1]正式に出版された論文では、アルキメデスは枯渇法を使用して同じ問題を解きました。

無限小数は、20世紀にアブラハム・ロビンソンによる非標準解析と超実数の開発により再び人気を博しました。これらは、何世紀にもわたる論争の末、無限小計算の形式的な取り扱いが可能であることを示しました。これに続いて、数学者は超実数を開発しました。これは、超実数基数と順序数の両方を含む無限数と無限小数の関連した形式化であり、最大の順序体です。

ウラジミール・アーノルドは1990年にこう書いています。

最近では、解析学を教える際に、微小量について話すことはあまり一般的ではありません。その結果、現代の学生はこの言語を完全に使いこなせていません。それでも、この言語を使いこなすことは必要です。^[2]

無限小を数学的実体として実現可能にする決定的な洞察^{[誰の洞察? ]は、たとえこれらの実体が無限に小さかったとしても、}角度や傾斜などの特定の特性を保持できるということであった。^[3]

無限小は、連続の法則や超越同次法則など、ライプニッツによって開発された微積分学の基本的な要素です。日常会話では、無限小オブジェクトとは、実行可能な測定値よりも小さいが、サイズがゼロではないオブジェクト、または、利用可能な手段ではゼロと区別できないほど小さいオブジェクトです。したがって、数学で形容詞として使用される場合、無限小は、無限に小さい、つまり標準的な実数よりも小さいことを意味します。無限小は、関数の導関数を調べる場合など、同様のサイズの他の無限小と比較されることがよくあります。無限個の無限小を合計して積分を計算します。

現代の無限小の概念は、ニコラウス・メルカトルかゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって1670年頃に導入されました。^[4] 15世紀にはニコラウス・クザーヌスの研究があり、17世紀にはヨハネス・ケプラーによってさらに発展させられ、特に円を無限辺の多角形として表すことで円の面積を計算する方法が生まれました。16世紀のシモン・ステヴィンのすべての数の10進数表現に関する研究は、実連続体の基礎を築きました。ボナヴェントゥラ・カヴァリエリの不可分法は、古典著者らの研究結果を拡張するものでした。不可分法は、余次元1の実体から構成される幾何学図形に関連しています。 ^{[説明が必要]} ジョン・ウォリスの無限小法は、幾何学図形を図形と同じ次元の無限に薄い構成要素に分解し、積分計算の一般的な方法の基礎を準備するという点で、不可分法とは異なります。彼は、面積計算で 1/∞で表される無限小を利用しました。

ライプニッツによる無限小数の使用は、連続性の法則（有限数に当てはまるものは無限数にも当てはまり、その逆も成り立つ）や、割り当て不可能な量を含む式を割り当て可能な量だけを含む式に置き換える手順を規定する超越論的同次性法則などの発見的原理に依存していた。18世紀には、レオンハルト・オイラーやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュなどの数学者によって無限小数が日常的に使用されていた。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、彼の「解析学」で連続性を定義し、ディラックのデルタ関数の初期の形を定義する際に無限小数を利用した。カントールとデデキントがステヴィンの連続体のより抽象的なバージョンを開発していたとき、ポール・デュ・ボア＝レーモンは関数の成長率に基づいて無限小が豊富な連続体に関する一連の論文を書いた。デュボア＝レーモンの研究は、エミール・ボレルとトラルフ・スコーレムの両者に影響を与えた。ボレルはデュボア＝レーモンの研究を、無限小数の成長率に関するコーシーの研究と明確に結び付けた。スコーレムは1934年に最初の非標準算術モデルを開発した。連続性の法則と無限小数の両方の数学的実装は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された。ロビンソンは、1948年のエドウィン・ヒューイットと1955年のイェジー・ウォシによる以前の研究に基づいて非標準解析を開発した。超実数は無限小が豊富な連続体を実装し、転送原理はライプニッツの連続の法則を実装する。標準部分関数はフェルマーの等式を実装する。

無限に小さい量の概念はエレア派によって議論された。ギリシャの数学者アルキメデス（紀元前287年頃-紀元前212年頃）は『力学的定理の方法』の中で、論理的に厳密な無限小の定義を初めて提案した。^[5]彼のアルキメデスの性質は、数xが| x | > 1、 | x | > 1 + 1、 | x | > 1 + 1 + 1、 ...の条件を満たす場合無限数と定義し、 x ≠ 0で、同様の条件がxと正の整数の逆数にも当てはまる場合、無限小と定義する。無限要素も無限小要素も含まれない数体系はアルキメデス的であると言われる。

イギリスの数学者ジョン・ウォリスは、1655年の著書『円錐曲線論』で 1/∞ という表現を導入した。 ∞の逆数、つまり逆数を表す記号は 、無限小という数学的概念の記号表現である。ウォリスは『円錐曲線論』の中で、彼が導入した無限小 1/∞ の記号表現と、記号 ∞ を導入した無限の概念との関係についても論じている。この概念は、無限小幅の平行四辺形を無限個追加して有限の領域を形成するという思考実験を示唆している。この概念は、積分学で使用される現代の積分法の前身である。無限小 1/∞ の概念の起源は、ギリシャの哲学者エレアのゼノンにまで遡ることができます。ゼノンの二分法のパラドックスは、有限の区間と無限小サイズの区間に近づく区間との関係を考慮した最初の数学的概念でした。

17世紀ヨーロッパでは、無限小は政治的、宗教的な論争の対象となり、1632年にローマの聖職者によって無限小の禁止令が出されました。^[6]

微積分が発明される前、数学者はピエール・ド・フェルマーの等式法とルネ・デカルトの法線法を使って接線を計算することができた。この方法が本質的に無限小法か代数法かは学者の間で議論がある。ニュートンとライプニッツが微積分を発明したとき、彼らは無限小、ニュートンの流数、ライプニッツの微分を利用した。無限小の使用は、バークレー司教の著書『アナリスト』で誤りであると批判された。^[7]数学者、科学者、エンジニアは正しい結果を出すために無限小法を使い続けた。 19世紀後半には、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ベルナール・ボルツァーノ、カール・ワイエルシュトラス、カントール、デデキントらによって、極限の(ε,δ)定義と集合論を用いて微積分学が再定式化された。カントール、デデキント、ワイエルシュトラスの追随者たちは解析学から微小なものを排除しようとし、彼らの哲学的同盟者であるバートランド・ラッセルやルドルフ・カルナップは微小なものは疑似概念であると宣言したが、ヘルマン・コーエンと彼の新カント主義のマールブルク学派は微小なものの実用的な論理を展開しようとした。^[8]無限小数を含むシステムの数学的研究は、フィリップ・エーリッヒ（2006）の記録にあるように、レヴィ＝チヴィタ、ジュゼッペ・ヴェロネーゼ、ポール・デュ・ボア＝レーモンドらの研究を通じて、19世紀後半から20世紀にかけて継続されました。20世紀には、無限小数が微積分と解析の基礎として使えることが分かりました（超実数を参照）。

実数を拡張して無限および無限小の量を含める場合、通常は、その基本的な特性を一切変更しないことで、できるだけ保守的であることが望まれます。これにより、できるだけ多くのよく知られた結果が引き続き利用可能になることが保証されます。通常、基本的とは、集合に対する量化はなく、要素に対する量化のみがあることを意味します。この制限により、「任意の数 x に対して...」という形式のステートメントが可能になります。たとえば、「任意の数 x に対して 、 x +  0 =  x」という公理は引き続き適用されます。複数の数に対する量化についても同じことが言えます。たとえば、「任意の数 xおよびyに対して、xy  =  yx 」などです。ただし、「任意の数の集合Sに対して...」という形式のステートメントは継承されない場合があります。量化に関してこの制限があるロジックは、一階述語論理 と呼ばれます。  

結果として得られる拡張された数体系は、集合上の量化によって表現できるすべての特性について実数と一致することはできない。これは、目標が非アルキメデスの体系を構築することであり、アルキメデスの原理は集合上の量化によって表現できるためである。実数を含むあらゆる理論、集合論を保守的に拡張して、数が 1/2、1/3、1/4 などより小さいことを主張する公理の可算無限リストを追加するだけで、無限小数を含むようにすることができる。同様に、実数は同型性を除いて唯一の完全な順序付き体であるため、完全性特性が継承されるとは期待できない。

非アルキメデス数体系が実数と互換性のある第一階特性を持つことができるレベルは 3 つに分けられます。

1. 順序体は、第一階述語論理で表現できる実数系の通常の公理をすべて遵守します。たとえば、交換公理x  +  y  =  y  +  xが成り立ちます。
2. 実閉体は、基本的な順序体関係 +、×、および ≤ を含むステートメントに対して、通常公理として解釈されるかどうかに関係なく、実数系のすべての 1 次プロパティを持ちます。これは、順序体の公理に従うことよりも強い条件です。より具体的には、すべての奇数次多項式に根が存在するなどの追加の 1 次プロパティが含まれます。たとえば、すべての数は 3乗根を持つ必要があります。
3. このシステムは、任意の関係を含むステートメントに対して、実数システムのすべての 1 次プロパティを持つことができます(それらの関係が +、×、および ≤ を使用して表現できるかどうかに関係なく)。たとえば、無限の入力に対して適切に定義された正弦関数が存在する必要があります。これはすべての実関数に当てはまります。

スペクトルの弱い端にあるカテゴリ 1 のシステムは、比較的簡単に構築できますが、ニュートンやライプニッツの精神で無限小を使用して古典的な分析を完全に処理することはできません。たとえば、超越関数は無限の制限プロセスの観点から定義されるため、通常、一階論理で定義する方法はありません。カテゴリ 2 と 3 に移行してシステムの分析強度を高めると、処理の趣があまり建設的でなくなる傾向があり、無限と無限小の階層構造について具体的なことを言うのが難しくなります。

上記カテゴリ 1 の例は、負のべき乗項が有限個あるローラン級数の体である。たとえば、定数項 1 のみからなるローラン級数は実数 1 と同一視され、線形項 xのみからなる級数は最も単純な無限小数と考えられ、そこから他の無限小数が構成される。辞書順序が使用されるが、これは xのより高いべき乗はより低いべき乗に比べて無視できると見なすことと同等である。David O. Tall ^{[9] は}このシステムを超実数と呼んでいるが、Dales と Woodin の超実数システムと混同しないように注意する必要がある。ローラン級数を引数として評価したテイラー級数はやはりローラン級数であるため、このシステムを使用して、超越関数が解析的である場合にそれらの関数の計算を行うことができる。これらの無限小数は、たとえば基本的な無限小数 xに平方根がないため、実数とは異なる第 1 次特性を持つ。

レヴィ・チヴィタ体はローラン級数に似ていますが、代数的に閉じています。たとえば、基本的な無限小数 x は平方根を持ちます。この体はかなりの量の分析を行えるほど豊富ですが、その要素は実数が浮動小数点で表現できるのと同じ意味でコンピュータ上で表現できます。^[10]

トランスシリーズのフィールドはレヴィ・チヴィタフィールドよりも大きい。^[11]トランスシリーズの例は次の通りである。

${\displaystyle e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},}$

ここで、順序付けの目的上、xは無限大とみなされます。

コンウェイの超実数はカテゴリ 2 に分類されますが、超実数は集合ではなく適切なクラスを形成します。 ^[12]超実数は、さまざまなサイズの数をできるだけ豊富に取り揃えるように設計されたシステムですが、すべての順序付きフィールドが超実数の部分体であるという意味で、分析を行う際の利便性のためであるとは限りません。^[13]指数関数は超実数に自然に拡張されます。^{[14] : ch. 10}

無限小数を扱うための最も普及している技術は、 1960年代にアブラハム・ロビンソンによって開発された超実数です。超実数は、すべての古典的な解析が実数から持ち越せるように設計されたため、上記のカテゴリ3に分類されます。すべての関係を自然に持ち越せるというこの特性は、転送原理として知られており、 1955年にイェジ・ウォシによって証明されました。たとえば、超越関数 sin には、超実数入力を受け取り、超実数出力を返す自然に対応する *sin があり、同様に自然数の集合には、有限整数と無限整数の両方を含む自然に対応する があります。 などの命題は、として超実数に持ち越されます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0}$${\displaystyle \forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0}$

Dales と Woodin の超実数体系は超実数の一般化です。これはDavid Tallによって定義された超実数体系とは異なります。

線型代数では、双対数は、 1つの無限小、つまり ε ² = 0という性質を持つ新しい元 ε を付加することによって実数を拡張します（つまり、 ε は冪零です）。すべての双対数は、 z = a + b εという形式を持ち、 aとb は一意に決まる実数です。

双対数の応用例の 1 つは自動微分です。この応用例は、 n 次元ベクトル空間の 外積代数を使用して、n 変数の多項式に一般化できます。

総合微分幾何学、すなわち滑らかな無限小解析は、圏論にそのルーツを持っています。このアプローチは、排中律の一般的な適用性を否定することで、従来の数学で使用されている古典的論理から逸脱しています。つまり、( a ≠ b )でないことは、必ずしもa = bを意味するわけではありません。すると、零平方または冪零無限小を定義できます。これは、x ² = 0 が真であるが、同時にx = 0 が真である必要はない数x です。背景論理は直観主義論理であるため、このシステムをクラス 1、2、および 3 に関してどのように分類するかはすぐにはわかりません。これらのクラスの直観主義類似物をまず開発する必要があります。

コーシーは、1827 年に多数の論文で、無限小を使用して単位インパルス、つまり無限に高く狭いディラック型デルタ関数を記述しました (Laugwitz (1989) を参照)。コーシーは、1821 年に (Cours d'Analyse)、ゼロに向かうシーケンスの観点から無限小を定義しました。つまり、そのようなヌル シーケンスは、コーシーとラザール カルノーの用語では無限小になります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \delta _{\alpha }}$${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

現代の集合論的アプローチでは、超冪構成を介して無限小を定義することができます。超冪構成では、ヌルシーケンスは、適切な超フィルタによって定義された関係を法とする同値類の意味で無限小になります。山下 (2007) の論文には、超実数によって提供される無限小が豊富な連続体のコンテキストにおける現代のディラックデルタ関数に関する参考文献が含まれています。

非標準解析で使用される種類の無限小を構築する方法は、モデルと、使用される公理の集合によって異なります。ここでは、無限小が存在することが示されるシステムを検討します。

1936 年にマルツェフはコンパクト性定理を証明しました。この定理は無限小の存在にとって基本的なもので、無限小を形式化できることが証明されています。この定理の帰結は、任意の正の整数nに対して 0 < x  < 1/ nとなる 正の数xが存在するという数体系がある場合、任意の正の整数nに対して0 <  x  < 1/ nとなる正の数xが存在するという数体系の拡張が存在するということです。「任意の」と「存在する」を入れ替えられるかどうかが重要です。最初のステートメントは、 ZFC集合論で与えられる実数では真です 。つまり、任意の正の整数nに対して 1/ nと 0の間にある実数を見つけることは可能ですが、この実数はnに依存します。ここでは、まずn を選択し、次に対応するx を見つけます。 2 番目の式では、最初に選択されたx (少なくとも 1 つ) があり、任意のnに対して 0 と 1/ nの間であると述べています。この場合、x は無限小です。これは、ZFC によって与えられた実数 ( R ) では当てはまりません。それでも、この定理は、これが当てはまるモデル (数値システム) が存在することを証明しています。問題は、このモデルとは何か、その特性は何か、そのようなモデルは 1 つだけか、ということです。

実際には、このような1 次元の 線形順序の数値セットを構築する方法は多数ありますが、基本的には 2 つの異なるアプローチがあります。

1. 実数よりも多くの数値が含まれるように数値体系を拡張します。
2. 公理を拡張（または言語を拡張）して、実数自体で無限小と非無限小を区別できるようにします。

1960 年、エイブラハム ロビンソンは最初のアプローチに従って答えを出しました。拡張された集合は超実数と呼ばれ、正の実数よりも絶対値​​が小さい数が含まれます。この方法は比較的複雑であると考えられますが、ZFC 集合論の世界に無限小が存在することを証明しています。実数は標準数と呼ばれ、新しい非実数超実数は非標準と呼ばれます。

1977 年、エドワード ネルソンは2 番目のアプローチに従って回答を出しました。拡張された公理は IST で、これは内部集合論、または 3 つの追加公理 (理想化、標準化、転送) の頭文字のいずれかを表します。このシステムでは、言語が拡張されて無限小に関する事実を表現できると考えています。実数は標準または非標準のいずれかです。無限小とは、絶対値が任意の正の標準実数よりも小さい非標準の実数です。

2006 年に Karel Hrbacek は、実数が (無限に) 多くのレベルに階層化されるという Nelson のアプローチの拡張を開発しました。つまり、最も粗いレベルでは、無限小数も無制限数も存在しません。無限小数はより細かいレベルにあり、この新しいレベルに関しても無限小数が存在する、というように続きます。

微積分学の教科書には、シルバヌス・P・トンプソンの古典『微積分学入門』（モットーは「愚か者でもできる」^[15]）や、ドイツ語の教科書『機械工業中級者向け数学』 R・ノイエンドルフ著などがある。^[16]アブラハム・ロビンソンの微積分学に基づいた先駆的な著作には、ストロヤン（1972年）やハワード・ジェローム・ケイスラー（『初等微積分学：無限小アプローチ』）の教科書などがある。学生は、無限小差 1-" 0.999... "という直感的な概念に容易に共感できる。ここで、"0.999..."は実数1としての標準的な意味とは異なり、1より厳密に小さい無限終端拡張小数として再解釈される。^{[17] [18]}

ロビンソンが開発した無限小理論を使用するもう一つの初等微積分学の教科書は、ヘンレとクラインバーグによる「無限小微積分学」で、1979年に初版が出版された。 ^[19]著者らは、一階述語論理の言語を紹介し、超実数の一階モデルの構築を示している。この教科書は、関数の列や級数を含む、一次元における積分と微分の基礎を入門している。付録では、モデルの超超実数への拡張についても扱い、拡張モデルのいくつかの応用を示している。

滑らかな微小解析​​に基づいた初等微積分学のテキストとしては、Bell, John L. (2008) の『A Primer of Infinitesimal Analysis, 2nd Edition』があります。Cambridge University Press。ISBN 9780521887182。

無限小数点を使った最近の微積分学のテキストとしては、Dawson, C. Bryan (2022)、『Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue』、Oxford University Press があります。ISBN 9780192895608。

無限小という元々の定義から発展した、関連はあるがやや異なる意味で、この用語はゼロに向かう関数を指すためにも使われてきた。より正確には、ルーミスとスターンバーグの『Advanced Calculus』では、無限小の関数クラスを、ノルムベクトル空間間の関数のサブセットとして定義している。${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$、

関連する2つのクラス（Big-O記法を参照）${\displaystyle {\mathfrak {O}}、{\mathfrak {o}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$、 そして

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}| |f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$^[20 ]

集合の包含関係は一般に成り立つ。包含関係が適切であることは、実変数、、の実数値関数によって証明される。 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$${\displaystyle g:x\mapsto x}$${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$しかし、そして。${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

これらの定義の応用として、ノルムベクトル空間間の写像は、次のような有界線型写像が存在する場合に、で微分可能であると定義される。${\displaystyle F:V\to W}$${\displaystyle \alpha \in V}$${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V\to W}$

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

の近傍に存在します。このような写像が存在する場合、それは一意です。この写像は微分と呼ばれ、 と表記されます。^{[21]これは、微分を}Fの無限に小さな「部分」として表す古典的な（ただし論理的には誤りである）概念の従来の表記と一致しています。この定義は、ユークリッド空間（の開部分集合）のベクトル値関数の微分可能性の通常の定義を一般化したものです。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle dF_{\alpha}}$

を確率空間とし、とする。ランダム変数の配列は、任意の に対して次が成り立つとき無限小であると呼ばれる。^[22]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$

無限小配列の概念は、いくつかの中心極限定理において不可欠であり、期待値演算子の単調性から、リンデバーグの条件を満たす配列はすべて無限小であることが容易にわかるため、リンデバーグの中心極限定理（中心極限定理の一般化） において重要な役割を果たしている。