複素平面上の経路に沿った特定の積分を評価する方法
複素解析 の数学の分野において 、 等高線積分は 複素平面 上の経路に沿った特定の 積分 を評価する方法である 。 [1] [2] [3]
輪郭積分は複素解析 法の一つで ある 留数計算 [4] と密接な関係がある 。
等高線積分の用途の1つは、実変数法だけでは容易に見つけられない実数直線に沿った積分を評価することである。 [5]
輪郭積分法には以下のものがあります:
これらの積分または合計を求めるために、1 つの方法を使用することも、これらの方法の組み合わせを使用することも、さまざまな制限プロセスを使用することもできます。
複素平面上の曲線 複素解析 において 、 等高線は 複素平面 上の曲線の一種です 。等高線積分では、等高線は 積分を適切に定義できる 曲線の正確な定義を提供します。複素平面上の 曲線は、 実数直線 の 閉区間 から 複素平面への 連続関数 として定義されます 。
z
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }
この曲線の定義は、曲線の直感的な概念と一致しているが、閉区間からの連続関数によるパラメータ化が含まれている。このより正確な定義により、積分に有用な曲線にはどのような特性がなければならないかを検討することができる。次のサブセクションでは、積分できる曲線のセットを、方向を与えることができる有限数の連続曲線から構築できるものだけに限定する。さらに、「ピース」が互いに交差しないように制限し、各ピースが有限の（ゼロではない）連続導関数を持つことを要求する。これらの要件は、ペンでなぞることができる曲線だけを考慮することと一致する。ペンを持ち上げることなく、一連の均一で安定したストロークで、曲線の新しい部分を開始するときだけ停止する。 [6]
方向付けされた滑らかな曲線 輪郭は、多くの場合、方向付けられた滑らかな曲線によって定義されます。 [6] これらは、輪郭を構成する滑らかな曲線の「部分」の正確な定義を提供します。
滑らかな曲線 とは、各点が一度だけ通過する（ z は1対1） ような、ゼロでない連続的な微分を持つ 曲線である 。ただし、端点が一致する曲線（ ）は例外となる可能性がある。端点が一致する場合、その曲線は閉じているとされ、関数は他のすべての点で1対1であることが要求され、微分は特定の点で連続している必要がある（ ）。閉じていない滑らかな曲線は、滑らかな円弧と呼ばれることが多い。 [6]
z
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }
z
(
a
)
=
z
(
b
)
{\displaystyle z(a)=z(b)}
z
′
(
a
)
=
z
′
(
b
)
{\displaystyle z'(a)=z'(b)}
曲線のパラメータ 化 により、曲線上の点の自然な順序付けが提供されます。 は の 前に来ます。これは、 有向滑らかな曲線 という概念につながります 。特定のパラメータ化とは関係なく曲線を考えるのが最も有用です。これは、 同じ方向を持つ滑らかな曲線の 同値類を考えることによって行うことができます。 有向滑らかな曲線は 、複素平面上の点の順序付けられた集合として定義できます。これは、パラメータ化に従って自然な順序で並べられた滑らかな曲線の像です。点のすべての順序付けが滑らかな曲線の自然な順序付けであるとは限らないことに注意してください。実際、与えられた滑らかな曲線には、そのような順序付けが 2 つしかありません。また、1 つの閉曲線は任意の点を端点として持つことができますが、滑らかな円弧の端点の選択肢は 2 つだけです。
z
(
x
)
{\displaystyle z(x)}
z
(
y
)
{\displaystyle z(y)}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
輪郭 等高線は、等高線積分を定義する曲線のクラスです。等高線 は 、端点が一致して単一の方向を与える有向滑らかな曲線の有限シーケンスで構成される有向曲線です。これは、となる すべての に対して、 の終点が の 開始点と一致する ような曲線シーケンスである必要があります 。これには、すべての有向滑らかな曲線が含まれます。また、複素平面上の単一の点も等高線と見なされます。 記号は、曲線をつなぎ合わせて新しい曲線を形成することを示すためによく使用されます。 したがって、 曲線
で構成される 等高線は次のように記述できます。
γ
1
,
…
,
γ
n
{\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}
γ
i
{\displaystyle \gamma _{i}}
γ
i
+
1
{\displaystyle \gamma _{i+1}}
i
{\displaystyle i}
1
≤
i
<
n
{\displaystyle 1\leq i<n}
+
{\displaystyle +}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
n
{\displaystyle n}
Γ
=
γ
1
+
γ
2
+
⋯
+
γ
n
.
{\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.}
等高線積分 複素関数 の 線 積分は 、実数値関数の積分を一般化したものである。 複素平面 上の 連続関数 の場合、線積分と同様に線積分を定義するに は 、まず有向滑らかな曲線に沿った積分を実数値パラメータの積分で定義する。より一般的な定義は、区間の分割 や リーマン 積分 と同様に、線積分の分割で与えることができる。どちらの場合も、線積分は、線を構成する有向滑らかな曲線の積分の合計として定義される。
f
:
C
→
C
{\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
連続関数の場合 このように輪郭積分を定義するには、まず実変数上の複素数値関数の積分を考える必要があります。 を 実変数の複素数値関数とします 。 の実部と虚部はそれぞれ と と 表記されることが多く 、 となります。
すると、複素数値関数の 区間上の積分は 次のように表されます。
f
:
R
→
C
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
t
{\displaystyle t}
f
{\displaystyle f}
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
f
(
t
)
=
u
(
t
)
+
i
v
(
t
)
.
{\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t).}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
(
u
(
t
)
+
i
v
(
t
)
)
d
t
=
∫
a
b
u
(
t
)
d
t
+
i
∫
a
b
v
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big (}u(t)+iv(t){\big )}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}
さて、輪郭積分を定義するために、を 有向滑らかな曲線 上の 連続関数 とします 。をその順序（方向）と一致する任意 のパラメータ化とします 。すると、に沿った積分 は と表され
、次のように与えられます [6]
f
:
C
→
C
{\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
γ
{\displaystyle \gamma }
z
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
{\displaystyle \gamma }
∫
γ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}
∫
γ
f
(
z
)
d
z
:=
∫
a
b
f
(
z
(
t
)
)
z
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f{\big (}z(t){\big )}z'(t)\,dt.}
この定義は明確に定義されています。つまり、結果は選択されたパラメータ化に依存しません。 [6] 右辺の実積分が存在しない場合は、その積分は 存在しないと言われます。
γ
{\displaystyle \gamma }
リーマン積分の一般化として リーマン積分 の複素変数関数へ の一般化は、実数からの関数に対する定義と完全に類似して行われます。有向滑らかな曲線の分割は 、上の点の有限の順序付き集合として定義されます 。曲線上の積分は、分割上の点で取られた関数値の有限和の極限であり、分割上の任意の2つの連続する点（2次元複素平面内）間の最大距離（メッシュとも呼ばれます）がゼロになる極限です。
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
{\displaystyle \gamma }
直接的な方法 直接法では、多変量解析における線積分の計算と同様の方法で積分を計算します。つまり、次の方法を使用します。
輪郭のパラメータ化
輪郭は、実変数の微分可能な複素数値関数によってパラメータ化されるか、または輪郭が複数の部分に分割されて個別にパラメータ化されます。 パラメータ化を被積分関数に代入する
パラメータ化を積分関数に代入すると、積分は 1 つの実変数の積分に変換されます。 直接評価
積分は実変数積分に似た方法で評価されます。
例 複素解析における基本的な結果は、 1 / ず は 2π i であり 、ここで等高線の経路は反時計回りに横断する単位円（または 0 の周りの正の方向の ジョルダン曲線 ）とされる。単位円の場合、積分を直接評価する方法がある。
∮
C
1
z
d
z
.
{\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz.}
この積分を評価するには、単位円 | z | = 1 を、 z ( t ) = e it （ t ∈ [0, 2π] ） で パラメータ化された等高線として使用し 、次のようにします 。 ダズ / dt = すなわち それと
∮
C
1
z
d
z
=
∫
0
2
π
1
e
i
t
i
e
i
t
d
t
=
i
∫
0
2
π
1
d
t
=
i
t
|
0
2
π
=
(
2
π
−
0
)
i
=
2
π
i
{\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt=i\,t{\Big |}_{0}^{2\pi }=\left(2\pi -0\right)i=2\pi i}
これは積分の値です。この結果は、z が -1 乗される場合にのみ適用されます。乗数が -1 でない場合、結果は常にゼロになります。
積分定理の応用 積分定理の応用は、輪郭に沿った輪郭積分を評価するためにもよく使用されます。つまり、輪郭積分の計算と同時に実数値積分も計算されます。
コーシーの積分公式 や 留数定理 などの積分定理は 、一般的に次のような方法で使用されます。
特定の輪郭が選択されます。
積分曲線は、実数値積分を記述する複素平面の部分に沿っており、また、積分関数の特異点を囲んでいるため、 コーシーの積分公式 や 留数定理 を適用できるような曲線が選ばれる。 コーシーの積分定理 の応用 積分は、各極の周りの小さな円の周りの積分のみに簡約されます。 コーシーの積分公式 または 留数定理 の応用 これらの積分公式を適用すると、輪郭全体の周りの積分値が得られます。 等高線を実部と虚部に沿った等高線に分割する
積分路の全体は、前に選択した実数値積分を記述する複素平面の部分に沿う積分路 (これを R と呼ぶ) と、複素平面を横切る積分路 (これを I と呼ぶ) に分けることができます。積分路の全体にわたる積分は、これらの各積分路にわたる積分の合計です。 複素平面を横切る積分は和に何ら影響を及ぼさないことの証明
積分 I が ゼロであることが証明できる場合、または求められている実数値積分が不適切である場合、 上記の積分 I が0 に近づくことを証明すると、 Rに沿った積分は、輪郭 R + I の周りの積分に近づくことになります 。 結論
上記の手順を示すことができれば、 実数値積分 Rを直接計算できます。
例1 積分を考える
∫
−
∞
∞
1
(
x
2
+
1
)
2
d
x
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,}
この積分を評価するために、複素数値関数を見る。
f
(
z
)
=
1
(
z
2
+
1
)
2
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}}
これはi と − i に 特異点 を持ちます 。実数値積分を囲む輪郭線を選択します。ここでは、境界直径が実数直線上（例えば − a からa へ ）にある半円が便利です。この輪郭線を C と 呼びます。
処理方法には、コーシーの積分公式 を使用する方法と留数法を使用する方法
の 2 つがあります。
注意してください:
したがって
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
−
a
a
f
(
z
)
d
z
+
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}
∫
−
a
a
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
f
(
z
)
d
z
−
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}
さらに、
f
(
z
)
=
1
(
z
2
+
1
)
2
=
1
(
z
+
i
)
2
(
z
−
i
)
2
.
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}={\frac {1}{(z+i)^{2}(z-i)^{2}}}.}
輪郭の唯一の特異点は i にあるので、次のように書くことができる。
f
(
z
)
=
1
(
z
+
i
)
2
(
z
−
i
)
2
,
{\displaystyle f(z)={\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}},}
これにより、関数は公式を直接適用できる形になります。次に、コーシーの積分公式を使用して、
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
1
(
z
+
i
)
2
(
z
−
i
)
2
d
z
=
2
π
i
d
d
z
1
(
z
+
i
)
2
|
z
=
i
=
2
π
i
[
−
2
(
z
+
i
)
3
]
z
=
i
=
π
2
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\right|_{z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2}}}
上記の手順で 1 次導関数を取るのは、極が 2 次極であるためです。つまり、 ( z − i ) は 2 乗されるため、 f ( z ) の 1 次導関数を使用します。 ( z − i ) を 3 乗する場合は、 2 次導関数を使用して 2!で割ります。 ( z − i ) を 1 乗する場合は、 0 次導関数、つまり f ( z ) 自体に相当します。
推定補題 を用いて、 半円弧上の積分が a → ∞のときにゼロに近づくことを示す必要がある。
|
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
|
≤
M
L
{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}
ここで Mは 弧に沿った | f ( z ) | の上限であり、 Lは 弧の長さです
。
|
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
|
≤
a
π
(
a
2
−
1
)
2
→
0
as
a
→
∞
.
{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {a\pi }{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}\to 0{\text{ as }}a\to \infty .}
∫
−
∞
∞
1
(
x
2
+
1
)
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
z
)
d
z
=
lim
a
→
+
∞
∫
−
a
a
f
(
z
)
d
z
=
π
2
.
◻
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }
残余法を用いる 我々が考慮する必要がある唯一の特異点である、
i についての f ( z ) の ローラン級数 を考えてみましょう。すると、
f
(
z
)
=
−
1
4
(
z
−
i
)
2
+
−
i
4
(
z
−
i
)
+
3
16
+
i
8
(
z
−
i
)
+
−
5
64
(
z
−
i
)
2
+
⋯
{\displaystyle f(z)={\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}+{\frac {-i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)+{\frac {-5}{64}}(z-i)^{2}+\cdots }
(この級数の導出については、
ローラン級数 からのサンプルのローラン計算を参照してください。)
検査により、残留物が以下のもの であることは明らかである 。 私 / 4 、したがって、 留数定理 により、
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
1
(
z
2
+
1
)
2
d
z
=
2
π
i
Res
z
=
i
f
(
z
)
=
2
π
i
(
−
i
4
)
=
π
2
◻
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i\left(-{\frac {i}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}\quad \square }
したがって、以前と同じ結果が得られます。
輪郭ノート 余談ですが、半円を他の 特異点、つまり − i を 囲むものを含めないかどうかという疑問が生じます 。実軸に沿った積分が正しい方向に動くようにするには、積分曲線は時計回り、つまり負の方向に動き、全体の積分の符号を反転させる必要があります。
これは、系列による残余の方法の使用には影響しません。
例 2 – コーシー分布 積分
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
x
2
+
1
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}
輪郭 （これは 確率論では コーシー分布 の 特性関数 のスカラー倍として現れる）は初等 微積分 の技法 では扱えない。これを、 実数 直線 − a からa に 沿って進み 、その後 0 を中心とする半円に沿って aから − a まで反時計回りに進む曲線 C に沿った輪郭積分の極限として表現することで評価する。a は 1 より大きく、 虚数 単位 i が曲線内に含まれるようにする。輪郭積分は
∫
C
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
.
{\displaystyle \int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}
e itz は 整関数 （複素平面上のどの点にも 特異点 を持たない） なので、この関数は分母 z 2 + 1 がゼロの場合にのみ特異点を持つ。 z 2 + 1 = ( z + i )( z − i )なので、これは z = i または z = − i の場合にのみ起こる 。これらの点のうちの 1 つだけがこの輪郭で囲まれた領域内にある。 f ( z ) の z = i における 留数 は
lim
z
→
i
(
z
−
i
)
f
(
z
)
=
lim
z
→
i
(
z
−
i
)
e
i
t
z
z
2
+
1
=
lim
z
→
i
(
z
−
i
)
e
i
t
z
(
z
−
i
)
(
z
+
i
)
=
lim
z
→
i
e
i
t
z
z
+
i
=
e
−
t
2
i
.
{\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.}
留数定理 によれば 、
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
Res
z
=
i
f
(
z
)
=
2
π
i
e
−
t
2
i
=
π
e
−
t
.
{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}
輪郭 Cは 「直線」部分と曲線の円弧に分割されるので
、
∫
straight
+
∫
arc
=
π
e
−
t
,
{\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},}
∫
−
a
a
=
π
e
−
t
−
∫
arc
.
{\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.}
ジョルダンの補題 によれば 、 t > 0 ならば
∫
arc
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
→
0
as
a
→
∞
.
{\displaystyle \int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .}
したがって、 t > 0 の場合 、
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
x
2
+
1
d
x
=
π
e
−
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.}
i ではなく − i の 周りを回る弧を使った同様の議論では、 t < 0 の 場合
、最終的に次のようになる
ことがわかります。
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
x
2
+
1
d
x
=
π
e
t
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},}
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
x
2
+
1
d
x
=
π
e
−
|
t
|
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.}
（ t = 0 の場合、積分は直ちに実数値計算法に帰着し、その値は π になります。）
例3 – 三角関数の積分 三角関数を 含む積分には特定の置換を行うことができ 、それにより積分は複素変数の有理関数に変換され、その後上記の方法を使用して積分を評価できます。
例として、
∫
−
π
π
1
1
+
3
(
cos
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.}
z = e it の置き換えを試みよう 。ここで
、
cos
t
=
1
2
(
e
i
t
+
e
−
i
t
)
=
1
2
(
z
+
1
z
)
{\displaystyle \cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}
d
z
d
t
=
i
z
,
d
t
=
d
z
i
z
.
{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.}
C を 単位円と
すると、次の式が得られます。
∮
C
1
1
+
3
(
1
2
(
z
+
1
z
)
)
2
d
z
i
z
=
∮
C
1
1
+
3
4
(
z
+
1
z
)
2
1
i
z
d
z
=
∮
C
−
i
z
+
3
4
z
(
z
+
1
z
)
2
d
z
=
−
i
∮
C
d
z
z
+
3
4
z
(
z
2
+
2
+
1
z
2
)
=
−
i
∮
C
d
z
z
+
3
4
(
z
3
+
2
z
+
1
z
)
=
−
i
∮
C
d
z
3
4
z
3
+
5
2
z
+
3
4
z
=
−
i
∮
C
4
3
z
3
+
10
z
+
3
z
d
z
=
−
4
i
∮
C
d
z
3
z
3
+
10
z
+
3
z
=
−
4
i
∮
C
z
3
z
4
+
10
z
2
+
3
d
z
=
−
4
i
∮
C
z
3
(
z
+
3
i
)
(
z
−
3
i
)
(
z
+
i
3
)
(
z
−
i
3
)
d
z
=
−
4
i
3
∮
C
z
(
z
+
3
i
)
(
z
−
3
i
)
(
z
+
i
3
)
(
z
−
i
3
)
d
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{\frac {1}{1+3\left({\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)\right)^{2}}}\,{\frac {dz}{iz}}&=\oint _{C}{\frac {1}{1+{\frac {3}{4}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}{\frac {1}{iz}}\,dz\\&=\oint _{C}{\frac {-i}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z^{2}+2+{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}\left(z^{3}+2z+{\frac {1}{z}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{{\frac {3}{4}}z^{3}+{\frac {5}{2}}z+{\frac {3}{4z}}}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {4}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {dz}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3z^{4}+10z^{2}+3}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz\\&=-{\frac {4i}{3}}\oint _{C}{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz.\end{aligned}}}
考慮すべき特異点は、 C 1 を の周りの小円 、 C 2 を の周りの小円と する と、次のようになります。
±
i
3
.
{\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.}
i
3
,
{\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},}
−
i
3
.
{\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.}
−
4
i
3
[
∮
C
1
z
(
z
+
3
i
)
(
z
−
3
i
)
(
z
+
i
3
)
z
−
i
3
d
z
+
∮
C
2
z
(
z
+
3
i
)
(
z
−
3
i
)
(
z
−
i
3
)
z
+
i
3
d
z
]
=
−
4
i
3
[
2
π
i
[
z
(
z
+
3
i
)
(
z
−
3
i
)
(
z
+
i
3
)
]
z
=
i
3
+
2
π
i
[
z
(
z
+
3
i
)
(
z
−
3
i
)
(
z
−
i
3
)
]
z
=
−
i
3
]
=
8
π
3
[
i
3
(
i
3
+
3
i
)
(
i
3
−
3
i
)
(
i
3
+
i
3
)
+
−
i
3
(
−
i
3
+
3
i
)
(
−
i
3
−
3
i
)
(
−
i
3
−
i
3
)
]
=
8
π
3
[
i
3
(
4
3
i
)
(
−
2
i
3
)
(
2
3
i
)
+
−
i
3
(
2
3
i
)
(
−
4
3
i
)
(
−
2
3
i
)
]
=
8
π
3
[
i
3
i
(
4
3
)
(
2
3
)
(
2
3
)
+
−
i
3
−
i
(
2
3
)
(
4
3
)
(
2
3
)
]
=
8
π
3
[
1
3
(
4
3
)
(
2
3
)
(
2
3
)
+
1
3
(
2
3
)
(
4
3
)
(
2
3
)
]
=
8
π
3
[
1
3
16
3
3
+
1
3
16
3
3
]
=
8
π
3
[
3
16
+
3
16
]
=
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}
例3a – 三角関数の積分、一般的な手順 上記の方法は、以下のタイプのすべての積分に適用できます。
∫
0
2
π
P
(
sin
(
t
)
,
sin
(
2
t
)
,
…
,
cos
(
t
)
,
cos
(
2
t
)
,
…
)
Q
(
sin
(
t
)
,
sin
(
2
t
)
,
…
,
cos
(
t
)
,
cos
(
2
t
)
,
…
)
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt}
ここで、 P と Q は 多項式、つまり三角関数の有理関数が積分されています。積分範囲は、前の例のように π と − π の場合もあれば、2 π 離れた他の端点のペアの場合もあります 。
トリックは、置換 z = e itを 使用することです。ここで dz = ie it dt であり、したがって
1
i
z
d
z
=
d
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}
この置換により、区間 [0, 2π] が単位円にマッピングされます。さらに、
置換
により
z の
有理関数 f ( z )が得られ、積分は次のようになります。これは f ( z )
の剰余を合計することで計算されます 。
sin
(
k
t
)
=
e
i
k
t
−
e
−
i
k
t
2
i
=
z
k
−
z
−
k
2
i
{\displaystyle \sin(kt)={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}
cos
(
k
t
)
=
e
i
k
t
+
e
−
i
k
t
2
=
z
k
+
z
−
k
2
{\displaystyle \cos(kt)={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}
∮
|
z
|
=
1
f
(
z
)
1
i
z
d
z
{\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}
1 / は 単位円の内側。
右の図はこれを図解したもので
、これから計算します。最初のステップは、
I
=
∫
0
π
2
1
1
+
(
sin
t
)
2
d
t
,
{\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,}
I
=
1
4
∫
0
2
π
1
1
+
(
sin
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}
置換により
1
4
∮
|
z
|
=
1
4
i
z
z
4
−
6
z
2
+
1
d
z
=
∮
|
z
|
=
1
i
z
z
4
−
6
z
2
+
1
d
z
.
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}
この関数の極は 1 ± √ 2 と −1 ± √ 2 にあります。このうち、 1 + √ 2 と −1 − √ 2 は 単位円の外側にあります (赤で表示、縮尺は正確ではありません)。一方、 1 − √ 2 と −1 + √ 2 は 単位円の内側にあります (青で表示)。対応する留数はどちらも − に等しいです。 私 は √2 / 16 、積分の値は
I
=
2
π
i
2
(
−
2
16
i
)
=
π
2
4
.
{\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}
例4 – 分岐カット 実積分を考える
∫
0
∞
x
x
2
+
6
x
+
8
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}
まず複素積分を定式化することから始めましょう
∫
C
z
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
I
.
{\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}
コーシーの積分公式または留数定理を再び使用して、関連する留数を得ることができます。ただし、注目すべき重要な点は、 z 1/2 = e (Log z )/2 であるため、 z 1/2 には分岐切断 があることです 。これは、輪郭 C の選択に影響します。通常、対数分岐切断は負の実軸として定義されますが、これにより積分の計算が少し複雑になるため、正の実軸として定義します。
次に、いわゆる キーホール輪郭を使用します。これは、例えば、半径 ε の原点の周りの小さな円で構成され 、正の実軸に平行で近いが接触しない線分まで延び、ほぼ完全な円まで延び、負の意味で正の実軸に平行で近い下の線分に戻り、中央の小さな円に戻ります。
z = −2 と z = −4 が大きな円の内側にあることに注意してください。これらは残りの 2 つの極であり、積分関数の分母を因数分解することで導出できます。z = 0 の分岐点は、 原点 を迂回することで回避されました。
γ を半径 ε の小円 、 Γ を半径 R の 大きい円と する と、
∫
C
=
∫
ε
R
+
∫
Γ
+
∫
R
ε
+
∫
γ
.
{\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}
Γ と γ の積分は、 ε → 0 および R → ∞ のときに両方ともゼロに近づくことが 、上記の推定議論によって 示され、2つの項が残ります。ここで、 z 1/2 = e (Log z )/2 なので、分岐切断の外側の輪郭では、 γ に沿って2 π の 引数を得ています 。( オイラーの恒等式 により、 e i π は 単位ベクトルを表し、したがってその対数は π です。この π が z の引数で意味されるものです。 の係数 1 / 2 2π を 使うことを強制します 。) だから
∫
R
ε
z
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
∫
R
ε
e
1
2
Log
z
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
∫
R
ε
e
1
2
(
log
|
z
|
+
i
arg
z
)
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
∫
R
ε
e
1
2
log
|
z
|
e
1
2
(
2
π
i
)
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
∫
R
ε
e
1
2
log
|
z
|
e
π
i
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
∫
R
ε
−
z
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
∫
ε
R
z
z
2
+
6
z
+
8
d
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}
したがって：
∫
C
z
z
2
+
6
z
+
8
d
z
=
2
∫
0
∞
x
x
2
+
6
x
+
8
d
x
.
{\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}
留数定理またはコーシーの積分公式（最初に部分分数法を用いて2つの単純な積分積分の和を導出する）を使用すると、次の式が得られます。
π
i
(
i
2
−
i
)
=
∫
0
∞
x
x
2
+
6
x
+
8
d
x
=
π
(
1
−
1
2
)
.
◻
{\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).\quad \square }
例5 – 対数の2乗
このセクションでは、 を例とする
積分のタイプを扱います
。
∫
0
∞
log
x
(
1
+
x
2
)
2
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}
この積分を計算するには、関数
と、 −π < arg z ≤ π
に対応する対数の枝を使用します 。
f
(
z
)
=
(
log
z
1
+
z
2
)
2
{\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}}
右に示したキーホール輪郭に沿ってf ( z ) の積分を計算します 。この積分は計算したい最初の積分の倍数であり、コーシー留数定理により次の式が得られます。
(
∫
R
+
∫
M
+
∫
N
+
∫
r
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
Res
z
=
i
f
(
z
)
+
Res
z
=
−
i
f
(
z
)
)
=
2
π
i
(
−
π
4
+
1
16
i
π
2
−
π
4
−
1
16
i
π
2
)
=
−
i
π
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz=&\ 2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\=&\ 2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\=&\ -i\pi ^{2}.\end{aligned}}}
大きい円の半径をR 、小さい円の半径を r とします 。上の線を M 、下の線を Nで表します。前と同様に、 R → ∞ かつ r → 0 の ときの極限をとります。2 つの円からの寄与はゼロになります。たとえば、 ML 補題 では次の上限が得られます 。
|
∫
R
f
(
z
)
d
z
|
≤
2
π
R
(
log
R
)
2
+
π
2
(
R
2
−
1
)
2
→
0.
{\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}
M と N の寄与を計算するために、 M では z = − x + iε 、 N では z = − x − iε （0 < x < ∞） と 設定します 。
−
i
π
2
=
(
∫
R
+
∫
M
+
∫
N
+
∫
r
)
f
(
z
)
d
z
=
(
∫
M
+
∫
N
)
f
(
z
)
d
z
∫
R
,
∫
r
vanish
=
−
∫
∞
0
(
log
(
−
x
+
i
ε
)
1
+
(
−
x
+
i
ε
)
2
)
2
d
x
−
∫
0
∞
(
log
(
−
x
−
i
ε
)
1
+
(
−
x
−
i
ε
)
2
)
2
d
x
=
∫
0
∞
(
log
(
−
x
+
i
ε
)
1
+
(
−
x
+
i
ε
)
2
)
2
d
x
−
∫
0
∞
(
log
(
−
x
−
i
ε
)
1
+
(
−
x
−
i
ε
)
2
)
2
d
x
=
∫
0
∞
(
log
x
+
i
π
1
+
x
2
)
2
d
x
−
∫
0
∞
(
log
x
−
i
π
1
+
x
2
)
2
d
x
ε
→
0
=
∫
0
∞
(
log
x
+
i
π
)
2
−
(
log
x
−
i
π
)
2
(
1
+
x
2
)
2
d
x
=
∫
0
∞
4
π
i
log
x
(
1
+
x
2
)
2
d
x
=
4
π
i
∫
0
∞
log
x
(
1
+
x
2
)
2
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log x-i\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}
これにより
∫
0
∞
log
x
(
1
+
x
2
)
2
d
x
=
−
π
4
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}
例 6 – 対数と無限大における剰余 私たちは評価しようとしています
I
=
∫
0
3
x
3
4
(
3
−
x
)
1
4
5
−
x
d
x
.
{\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}
これには、
f
(
z
)
=
z
3
4
(
3
−
z
)
1
4
.
{\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}
f ( z ) を 、図の赤で示すように
[0, 3] に分岐を持つように 構築します。これを行うには、対数の2つの枝を選択し、設定し
て
z
3
4
=
exp
(
3
4
log
z
)
where
−
π
≤
arg
z
<
π
{\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{where }}-\pi \leq \arg z<\pi }
(
3
−
z
)
1
4
=
exp
(
1
4
log
(
3
−
z
)
)
where
0
≤
arg
(
3
−
z
)
<
2
π
.
{\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}
したがって、 z 3 ⁄ 4 のカットは (−∞, 0]であり、 (3 − z ) 1/4 のカットは (−∞, 3] です。 2つの積、つまり f ( z ) のカットが [0, 3] であることは簡単にわかります 。なぜなら、 f ( z )は実際には (−∞, 0) にわたって連続しているからです 。 これは、 z = − r < 0 で上からカットに近づくと、 f ( z ) が 次の値を持つ
ためです。
r
3
4
e
3
4
π
i
(
3
+
r
)
1
4
e
2
4
π
i
=
r
3
4
(
3
+
r
)
1
4
e
5
4
π
i
.
{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}
下から近づくと、 f ( z ) の値は
r
3
4
e
−
3
4
π
i
(
3
+
r
)
1
4
e
0
4
π
i
=
r
3
4
(
3
+
r
)
1
4
e
−
3
4
π
i
.
{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}
しかし
e
−
3
4
π
i
=
e
5
4
π
i
,
{\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}
こうすることで、切断面全体で連続性が保たれます。これは図に示されており、2 つの黒い円には、 z 3 ⁄ 4 と (3 − z ) 1/4 で使用される対数の引数の対応する値がラベル付けされています 。
図の緑色で示された輪郭を使用します。これを行うには、 カットのすぐ上とすぐ下の線分に沿って
f ( z )の値を計算する必要があります。
z = r とします （極限では、つまり2つの緑の円が半径0に縮小するとき）、 0 ≤ r ≤ 3 です。上のセグメントに沿って、 f ( z ) は 値を持ち
、下のセグメントに沿って、
r
3
4
e
0
4
π
i
(
3
−
r
)
1
4
e
2
4
π
i
=
i
r
3
4
(
3
−
r
)
1
4
{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}
r
3
4
e
0
4
π
i
(
3
−
r
)
1
4
e
0
4
π
i
=
r
3
4
(
3
−
r
)
1
4
.
{\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}
したがって、 の積分は f ( じ ) / 5 − z の 上側のセグメントに沿った 極限では− iI であり、下側のセグメントに沿った極限では I です 。
2つの緑の円に沿った積分が極限でゼロになることを示すことができれば、 コーシー留数定理 により I の値も得られます。緑の円の半径を ρ （ただし ρ < 0.001 かつ ρ → 0 ） とし、 ML 不等式 を適用します。左側の
円 C Lについては、
|
∫
C
L
f
(
z
)
5
−
z
d
z
|
≤
2
π
ρ
ρ
3
4
3.001
1
4
4.999
∈
O
(
ρ
7
4
)
→
0.
{\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}
同様に、右側の
円 C Rについては、
|
∫
C
R
f
(
z
)
5
−
z
d
z
|
≤
2
π
ρ
3.001
3
4
ρ
1
4
1.999
∈
O
(
ρ
5
4
)
→
0.
{\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}
ここで コーシー留数定理 を用いると、留数の周りを時計回りに回っているためマイナスの符号が付くことがわかります
。先ほどの対数の枝を用いると、明らかに
(
−
i
+
1
)
I
=
−
2
π
i
(
Res
z
=
5
f
(
z
)
5
−
z
+
Res
z
=
∞
f
(
z
)
5
−
z
)
.
{\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).}
Res
z
=
5
f
(
z
)
5
−
z
=
−
5
3
4
e
1
4
log
(
−
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}
極は図では青で示されています。値は次のように簡略化されます。
−
5
3
4
e
1
4
(
log
2
+
π
i
)
=
−
e
1
4
π
i
5
3
4
2
1
4
.
{\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}
無限遠における剰余については次の式を使用します。
Res
z
=
∞
h
(
z
)
=
Res
z
=
0
(
−
1
z
2
h
(
1
z
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}
を代入すると、
そして、
対数の2番目の枝に
-1 = e π i
という事実を使ったことがわかります。次に、二項展開を適用して、
1
5
−
1
z
=
−
z
(
1
+
5
z
+
5
2
z
2
+
5
3
z
3
+
⋯
)
{\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}
(
1
z
3
(
3
−
1
z
)
)
1
4
=
1
z
(
3
z
−
1
)
1
4
=
1
z
e
1
4
π
i
(
1
−
3
z
)
1
4
,
{\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},}
1
z
e
1
4
π
i
(
1
−
(
1
/
4
1
)
3
z
+
(
1
/
4
2
)
3
2
z
2
−
(
1
/
4
3
)
3
3
z
3
+
⋯
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{1/4 \choose 1}3z+{1/4 \choose 2}3^{2}z^{2}-{1/4 \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}
結論としては
Res
z
=
∞
f
(
z
)
5
−
z
=
e
1
4
π
i
(
5
−
3
4
)
=
e
1
4
π
i
17
4
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}
最後に、 I の値 は
、
I
=
2
π
i
e
1
4
π
i
−
1
+
i
(
17
4
−
5
3
4
2
1
4
)
=
2
π
2
−
1
2
(
17
4
−
5
3
4
2
1
4
)
{\displaystyle I=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)}
I
=
π
2
2
(
17
−
5
3
4
2
9
4
)
=
π
2
2
(
17
−
40
3
4
)
.
{\displaystyle I={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right).}
留数定理による評価 留数定理 を使用すると 、閉じた輪郭積分を評価することができます。以下は、留数定理を使用して輪郭積分を評価する例です。
留数定理を使ってこの輪郭積分を評価してみましょう。
∮
C
e
z
z
3
d
z
{\displaystyle \oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}\,dz}
留数定理は次のように述べている。
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
⋅
∑
Res
(
f
,
a
k
)
{\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=2\pi i\cdot \sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}
ここで、 は の留数であり 、 は 輪郭の内側にある の特異点です （ の上に直接あるものはありません ）。
Res
{\displaystyle \operatorname {Res} }
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
は1つの極しか持たない。 このことから、 の 留 数は
0
{\displaystyle 0}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
e
z
z
3
d
z
=
2
π
i
⋅
Res
z
=
0
f
(
z
)
=
2
π
i
Res
z
=
0
e
z
z
3
=
2
π
i
⋅
1
2
=
π
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}f(z)dz&=\oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}dz\\&=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=0}f(z)\\&=2\pi i\operatorname {Res} _{z=0}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}\\&=2\pi i\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\pi i\end{aligned}}}
したがって、 留数定理を 使用すると、次のことが分かります。
∮
C
e
z
z
3
d
z
=
π
i
.
{\displaystyle \oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}dz=\pi i.}
多変数等高線積分 多変数の等高線積分（つまり、 面積分 、複素 体積積分 、高次 積分 ）を解くには、 発散定理を 使用する必要があります。ここでは、 を と交換可能にします。これらは両方とも 、 として示される ベクトル場 の発散として機能します 。この定理は、次のことを述べています。
∇
⋅
{\displaystyle \nabla \cdot }
div
{\displaystyle \operatorname {div} }
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
∫
⋯
∫
U
⏟
n
div
(
F
)
d
V
=
∮
⋯
∮
∂
U
⏟
n
−
1
F
⋅
n
d
S
{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\operatorname {div} (\mathbf {F} )\,dV=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}
さらに、 が の別の表記で ある を評価する必要もあります 。任意の次元の 発散は 次のように記述できます。
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
div
(
F
)
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )}
div
(
F
)
=
∇
⋅
F
=
(
∂
∂
u
,
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
,
…
)
⋅
(
F
u
,
F
x
,
F
y
,
F
z
,
…
)
=
(
∂
F
u
∂
u
+
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
+
⋯
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\mathbf {F} )&=\nabla \cdot \mathbf {F} \\&=\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}},\dots \right)\cdot (F_{u},F_{x},F_{y},F_{z},\dots )\\&=\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}+\cdots \right)\end{aligned}}}
例1 ベクトル場 とを次の式で囲むと
する。
F
=
sin
(
2
x
)
e
x
+
sin
(
2
y
)
e
y
+
sin
(
2
z
)
e
z
{\displaystyle \mathbf {F} =\sin(2x)\mathbf {e} _{x}+\sin(2y)\mathbf {e} _{y}+\sin(2z)\mathbf {e} _{z}}
0
≤
x
≤
1
0
≤
y
≤
3
−
1
≤
z
≤
4
{\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {0\leq y\leq 3}\quad {-1\leq z\leq 4}}
対応する二重等高線積分は次のように設定されます。
{\displaystyle }
S
{\displaystyle {\scriptstyle S}}
F
⋅
n
d
S
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}
ここで を評価します 。一方で、対応する三重積分を設定します。
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
=
∭
V
(
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
)
d
V
=
∭
V
(
∂
sin
(
2
x
)
∂
x
+
∂
sin
(
2
y
)
∂
y
+
∂
sin
(
2
z
)
∂
z
)
d
V
=
∭
V
2
(
cos
(
2
x
)
+
cos
(
2
y
)
+
cos
(
2
z
)
)
d
V
=
∫
0
1
∫
0
3
∫
−
1
4
2
(
cos
(
2
x
)
+
cos
(
2
y
)
+
cos
(
2
z
)
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
0
1
∫
0
3
(
10
cos
(
2
y
)
+
sin
(
8
)
+
sin
(
2
)
+
10
cos
(
z
)
)
d
y
d
z
=
∫
0
1
(
30
cos
(
2
z
)
+
3
sin
(
2
)
+
3
sin
(
8
)
+
5
sin
(
6
)
)
d
z
=
18
sin
(
2
)
+
3
sin
(
8
)
+
5
sin
(
6
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}
例2 ベクトル場 とし 、この場合パラメータは 4 つあることに注意してください。この ベクトル場 が次のように制限されるとします。
F
=
u
4
e
u
+
x
5
e
x
+
y
6
e
y
+
z
−
3
e
z
{\displaystyle \mathbf {F} =u^{4}\mathbf {e} _{u}+x^{5}\mathbf {e} _{x}+y^{6}\mathbf {e} _{y}+z^{-3}\mathbf {e} _{z}}
0
≤
x
≤
1
−
10
≤
y
≤
2
π
4
≤
z
≤
5
−
1
≤
u
≤
3
{\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {-10\leq y\leq 2\pi }\quad {4\leq z\leq 5}\quad {-1\leq u\leq 3}}
これを評価するには、前述のように発散定理 を利用し 、を評価する必要があります 。
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
d
V
=
d
x
d
y
d
z
d
u
{\displaystyle dV=dx\,dy\,dz\,du}
S
{\displaystyle {\scriptstyle S}}
F
⋅
n
d
S
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}
=
⨌
V
(
∂
F
u
∂
u
+
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
)
d
V
=
⨌
V
(
∂
u
4
∂
u
+
∂
x
5
∂
x
+
∂
y
6
∂
y
+
∂
z
−
3
∂
z
)
d
V
=
⨌
V
4
u
3
z
4
+
5
x
4
z
4
+
5
y
4
z
4
−
3
z
4
d
V
=
⨌
V
4
u
3
z
4
+
5
x
4
z
4
+
5
y
4
z
4
−
3
z
4
d
V
=
∫
0
1
∫
−
10
2
π
∫
4
5
∫
−
1
3
4
u
3
z
4
+
5
x
4
z
4
+
5
y
4
z
4
−
3
z
4
d
V
=
∫
0
1
∫
−
10
2
π
∫
4
5
(
4
(
3
u
4
z
3
+
3
y
6
+
91
z
3
+
3
)
3
z
3
)
d
y
d
z
d
u
=
∫
0
1
∫
−
10
2
π
(
4
u
4
+
743440
21
+
4
z
3
)
d
z
d
u
=
∫
0
1
(
−
1
2
π
2
+
1486880
π
21
+
8
π
u
4
+
40
u
4
+
371720021
1050
)
d
u
=
371728421
1050
+
14869136
π
3
−
105
210
π
2
≈
576468.77
{\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial u^{4}}{\partial u}}+{\frac {\partial x^{5}}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{6}}{\partial y}}+{\frac {\partial z^{-3}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\int _{-1}^{3}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\left({\frac {4(3u^{4}z^{3}+3y^{6}+91z^{3}+3)}{3z^{3}}}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\left(4u^{4}+{\frac {743440}{21}}+{\frac {4}{z^{3}}}\right)\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left(-{\frac {1}{2\pi ^{2}}}+{\frac {1486880\pi }{21}}+8\pi u^{4}+40u^{4}+{\frac {371720021}{1050}}\right)\,du\\[6pt]&={\frac {371728421}{1050}}+{\frac {14869136\pi ^{3}-105}{210\pi ^{2}}}\\[6pt]&\approx {576468.77}\end{aligned}}}
したがって、 の等高線積分を評価できます 。 同じ方法を使用して、 の任意の ベクトル場 の等高線積分を評価することもできます。
n
=
4
{\displaystyle n=4}
n
>
4
{\displaystyle n>4}
積分表現 関数の積分 表現は 、関数の輪郭積分を含む表現です。多くの 特殊関数に対して、さまざまな積分表現が知られています。積分表現は、 解析接続 や 関数方程式を 与えるなどの理論的な理由で重要になる場合が あり、 数値評価 のために使用されることもあります。
ハンケルの輪郭 例えば、 リーマンゼータ関数 ζ ( s )の元々の定義は ディリクレ級数 によって 、
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
,
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}
はRe( s )>1 の場合にのみ有効である 。しかし
ζ
(
s
)
=
−
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
∫
H
(
−
t
)
s
−
1
e
t
−
1
d
t
,
{\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt,}
ここで、積分は ハンケル曲線 H 上で行われ、1 に等しくないすべての複素数 s に対して有効です。
参照
参考文献
^ストーカー、ジョン（1998）。複素 解析 ：関数の古典理論の基礎。シュプリンガー。p.77。ISBN 0-8176-4038-X 。 ^ Bak, Joseph; Newman, Donald J. (1997). 「第11章と第12章」. 複素解析 . Springer. pp. 130–156. ISBN 0-387-94756-6 。 ^ クランツ、スティーブン・ジョージ (1999)。「第 2 章」。 複素変数ハンドブック 。シュプリンガー 。ISBN 0-8176-4011-8 。 ^ ミトリノビッチ、ドラゴスラフ S.; ケチキッチ、ジョヴァン D. (1984)。「第 2 章」。コーシー留数法: 理論と応用。シュプリンガー 。ISBN 90-277-1623-4 。 ^ ミトリノビッチ、ドラゴスラフ S.; ケチキッチ、ジョヴァン D. (1984)。「第 5 章」。コーシー留数法: 理論と応用。シュプリンガー 。ISBN 90-277-1623-4 。 ^ abcde Saff, Edward B.; Snider, Arthur David (2003). 「第 4 章」. 複素解析の基礎と工学、科学、数学への応用 (第 3 版). Prentice Hall. ISBN 0-1390-7874-6 。
さらに読む ティッチマーシュ、EC （1939）、 関数論 （第2版）、オックスフォード大学出版局、 ISBN 0-19-853349-7 Jean Jacquelin、Marko Riedel、 Branche univalente [ 永久リンク切れ ] 、 Les-Mathematiques.net 、フランス語。 Marko Riedel 他、 Problème d'intégrale、Les-Mathematiques.net 、フランス語。 Marko Riedel 他 「剰余による積分」、math.stackexchange.com 。 WWL チェン『 複素解析入門』 さまざまな著者、 sin límites ni cotas、es.ciencia.matematicas 、スペイン語。
外部リンク
![{\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4cdae12570b1d1b73fe6a9c373d34c590f9d6b)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(zi)^{ 2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\right|_{ z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72188d37bdab77d054bf8c8852ce038b0417d5d2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}} {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148b7b3208377c854862d509f2052e2a1433f63b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{ R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {ログ} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{ 2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\バレプシロン}{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\ frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]& =\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _ {\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d4d0610e00fa1944ba7bf74af772ad3c9417ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ 消える}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-xi\varepsilon )}{1+(-xi\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-xi\varepsilon )}{1+(-xi\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log xi\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log xi\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d78280283f356694193503094a96eef3538b04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45501b475df2826f3e00a5b9e653c443cef66cf3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial u^{4}}{\partial u}}+{\frac {\partial x^{5}}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{6}}{\partial y}}+{\frac {\partial z^{-3}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\int _{-1}^{3}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\left({\frac {4(3u^{4}z^{3}+3y^{6}+91z^{3}+3)}{3z^{3}}}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\left(4u^{4}+{\frac {743440}{21}}+{\frac {4}{z^{3}}}\right)\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left(-{\frac {1}{2\pi ^{2}}}+{\frac {1486880\pi }{21}}+8\pi u^{4}+40u^{4}+{\frac {371720021}{1050}}\right)\,du\\[6pt]&={\frac {371728421}{1050}}+{\frac {14869136\pi ^{3}-105}{210\pi ^{2}}}\\[6pt]&\approx {576468.77}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31867f3ec2a46e4ab5a26d3ac674804a820d6f21)
