線形マップ

数学、特に線形代数において、線形写像（または線形マッピング）は、ベクトル空間間の特定の種類の関数であり、ベクトルの加算とスカラー乗算の基本演算を尊重します。線形写像の標準的な例は、${\displaystyle m\times n}$行列は、ベクトルを受け取ります。${\displaystyle n}$-次元をベクトルに変換${\displaystyle m}$ベクトルの加算やスカラーによるベクトルの乗算と互換性のある方法で次元を扱います。

線形写像はベクトル空間の準同型写像である。 ^{[注1 ]}したがって、線形写像は${\displaystyle T:V\to W}$満たす​${\displaystyle T(ax+by)=aTx+bTy}$⁠、そこで${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$はスカラーであり、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$ベクトル（ベクトル空間の要素）${\displaystyle V}$)線形マッピングは常に原点を${\displaystyle V}$起源へ${\displaystyle W}$⁠、および線形部分空間${\displaystyle V}$線形部分空間へ${\displaystyle W}$（おそらく低次元）；^{[ 1 ]}例えば、原点を通る平面をマッピングする${\displaystyle V}$原点を通る平面へ${\displaystyle W}$原点を通る線​${\displaystyle W}$⁠、または単に起源は⁠${\displaystyle W}$線形マップは行列として表現できることが多く、簡単な例としては回転や反射の線形変換が挙げられます。

させて${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$同じ体上のベクトル空間である${\displaystyle K}$実数や複素数など。関数​${\displaystyle f:V\to W}$任意の 2 つのベクトルに対して、が線形写像であると言われる。${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$および任意のスカラー${\displaystyle c\in K}$以下の2つの条件が満たされている。

• 加法性／加算演算^{[注2 ]}$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• 1次同次性／スカラー乗算演算$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

したがって、線形写像は演算を保存すると言われます。言い換えれば、線形写像が加算とスカラー乗算の演算の前（上記の例の右側）に適用されても、後（上記の例の左側）に適用されても、結果は変わりません。

+ で表される加算演算の結合法則により、任意のベクトルに対して${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$およびスカラー${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K}$⁠、次の等式が成り立つ： ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$ したがって、線形写像とは、線形結合を保存する写像のことである。

ベクトル空間のゼロ要素を表す${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$による$\textstyle \mathbf {0} _{V}}$そして$\textstyle \mathbf {0} _{W}}$それぞれ、次のことが導かれる。${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}}$⁠。${\displaystyle c=0}$そして${\textstyle \mathbf {v} \in V}$1次同次方程式において： $${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

線形マップ${\displaystyle V\to K}$と${\displaystyle K}$それ自体上の一次元ベクトル空間として見なされるものを線形汎関数と呼ぶ。^{[ 4 ]}

これらの記述は、任意の左モジュールに一般化される。${\textstyle {}_{R}M}$リングの上で${\displaystyle R}$変更を加えることなく、またスカラー乗算を反転させた後の任意の右加群に対しても同様である。

• 形状のユニークなマップ${\displaystyle T:\{{\vec {0}}\}\to \{{\vec {0}}\}}$線形である。
• 線形マップにその名を与える典型的な例は関数である。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$⁠、そのグラフは原点を通る直線である。 ^{[ 5 ]}

  

• より一般的には、どんな相似でも${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$ベクトル空間の原点を中心とする線形写像（ここでcはスカラー）が存在する。
• ゼロマップ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$2つのベクトル空間（同じ体上）間の関係は線形である。
• 任意のモジュール上の恒等写像は線形演算子である。
• 実際の数値については、地図${\textstyle x\mapsto x^{2}}$線形ではない。
• 実際の数値については、地図${\textstyle x\mapsto x+1}$線形ではない（ただし、アフィン変換である）。
• もし${\displaystyle A}$は${\displaystyle m\times n}$実数行列の場合、${\displaystyle A}$線形マップを定義します$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に$\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$列ベクトルを送信することによって$\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$列ベクトルへ$\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$逆に、有限次元ベクトル空間間の任意の線形写像もこの方法で表現できます。詳しくは、下記の「 行列」の項を参照してください。
• もし${\textstyle f:V\to W}$は、実ノルム空間間の等長写像であり、${\textstyle f(0)=0}$それから${\displaystyle f}$これは線形写像である。この結果は、複素ノルム空間では必ずしも真ではない。^{[ 6 ]}
• 微分は、すべての微分可能な関数の空間からすべての関数の空間への線形写像を定義します。また、すべての滑らかな関数の空間上の線形作用素も定義します（線形作用素は 線形自己準同型写像、つまり定義域と値域が同じ線形写像です）。実際、$$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• ある区間I上の定積分は、 I上のすべての実数値積分可能関数の空間から への線形写像である。${\displaystyle \mathbb {R} }$確かに、$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• 固定された積分開始点を持つ不定積分（または原始関数）は、上のすべての実数値積分可能関数の空間から線形写像を定義します。${\displaystyle \mathbb {R} }$上のすべての実数値微分可能関数の空間へ${\displaystyle \mathbb {R} }$固定された開始点がない場合、原始関数は、微分可能な関数の商空間と定数関数の線形空間の商空間に写像されます。
• もし${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$は体F上の有限次元ベクトル空間であり、それぞれの次元はmとnである。このとき、線形写像を写す関数は${\textstyle f:V\to W}$§行列(下記)で説明されている方法でn × m行列に変換することは線形写像であり、線形同型写像でもあります。 
• 確率変数の期待値は、確率変数の線形関数です。確率変数については、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$我々は持っています${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$そして​${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$条件付き期待値も同様です。しかし、確率変数の分散は線形ではありません。例えば、${\displaystyle {\text{Var}}(aX)=a^{2}{\text{Var}}(X)}$⁠ .

• 
  機能${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$と${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$は線形マップです。この関数は、${\textstyle x}$ベクトルの成分を係数で割った値${\displaystyle 2}$⁠ .
• 
  機能${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$加算性：ベクトルを最初に加算してからマッピングするか、マッピングしてから最後に加算するかは関係ありません。${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  機能${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$均質である: ベクトルが最初にスケーリングされてからマッピングされるか、最初にマッピングされてからスケーリングされるかは関係ない:${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

もし${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$は有限次元ベクトル空間であり、各ベクトル空間に対して基底が定義されると、からのすべての線形写像は${\displaystyle V}$に${\displaystyle W}$は行列で表現できます。^{[ 10 ]}これは具体的な計算を可能にするため便利です。行列は線形マップの例を提供します。${\displaystyle A}$本当の${\displaystyle m\times n}$行列、次に${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$線形マップを記述する${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$（ユークリッド空間を参照）。

させて${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$の基礎となる${\displaystyle V}$⁠。そしてすべてのベクトル${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$係数によって一意に決定される${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$現場で${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ : $${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

もし${\textstyle f:V\to W}$線形マップです。 $${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

これは、関数fがベクトルによって完全に決定されることを意味する。${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$⁠。それでは${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$の基礎となる${\displaystyle W}$⁠。そうすれば、各ベクトルを表現できます。${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$として $${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

したがって、関数${\displaystyle f}$は、 の値によって完全に決定されます。${\displaystyle a_{ij}}$これらの値を${\displaystyle m\times n}$マトリックス​${\displaystyle M}$⁠、そうすれば、ベクトル出力を計算するのに便利に利用できます。${\displaystyle f}$任意のベクトルに対して⁠${\displaystyle V}$⁠ . 取得するには⁠${\displaystyle M}$⁠、各列${\displaystyle j}$の${\displaystyle M}$ベクトルです $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$ に対応する${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$上記で定義したとおり。より明確に定義するために、ある列について${\displaystyle j}$これはマッピングに対応します${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$⁠、 $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$ どこ${\displaystyle M}$はの行列です${\displaystyle f}$つまり、すべての列${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$対応するベクトルを持つ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$その座標${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$列の要素です${\displaystyle j}$単一の線形写像は、複数の行列で表現されることがあります。これは、行列の要素の値が選択された基底に依存するためです。

線形変換の行列は、視覚的に次のように表現できます。

1. 行列${\textstyle T}$に対して​${\displaystyle B}$⁠ :${\textstyle A}$
2. 行列${\textstyle T}$に対して​${\displaystyle B'}$⁠ :${\textstyle A'}$
3. 遷移行列${\textstyle B'}$へ​${\displaystyle B}$⁠ :${\textstyle P}$
4. 遷移行列${\textstyle B}$へ​${\displaystyle B'}$⁠ :${\textstyle P^{-1}}$

左下隅から始まる${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$そして右下隅を探す${\displaystyle \textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$⁠、左から乗算する、つまり、${\displaystyle \textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$⁠。同等の方法は、同じ地点から時計回りに進む「より長い」方法であり、${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$左から乗算される⁠${\displaystyle P^{-1}AP}$⁠、または⁠${\displaystyle \textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$⁠ .

線形マップの合成は線形です。${\displaystyle f:V\to W}$そして${\textstyle g:W\to Z}$線形であれば、その構成も線形である。${\displaystyle g\circ f:V\to Z}$⁠ 。このことから、与えられた体K上のすべてのベクトル空間のクラスは、射としての線形写像とともに、圏を形成することがわかります。

線形写像の逆写像は、定義されていれば、再び線形写像となる。

もし${\textstyle f_{1}:V\to W}$そして${\textstyle f_{2}:V\to W}$が線形であれば、それらの点ごとの和も線形になる。${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$⁠ は、 ⁠によって定義されます。${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$⁠ .

もし${\textstyle f:V\to W}$線形であり、${\textstyle \alpha }$地面フィールドの要素です${\displaystyle K}$⁠、それから地図⁠${\displaystyle \alpha f}$⁠、定義される⁠${\displaystyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$⁠、線形です。

したがって、セットは${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$線形マップから${\textstyle V}$に${\textstyle W}$それ自体がベクトル空間を形成する${\displaystyle K}$⁠ , ^{[ 11 ]}時には⁠と表記される${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$[ ^{12 ]}さらに、^​​${\displaystyle V=W}$⁠、このベクトル空間は、 と表記される。${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$は、写像の合成に関して結合代数です。なぜなら、2 つの線形写像の合成は再び線形写像となり、写像の合成は常に結合的だからです。このケースについては、以下でさらに詳しく説明します。

有限次元の場合を再び考えると、基底が選択されている場合、線形写像の合成は行列の乗算に対応し、線形写像の加算は行列の加算に対応し、線形写像とスカラーの乗算は行列とスカラーの乗算に対応します。

もし${\textstyle f:V\to W}$線形である場合、カーネルとイメージまたは範囲を定義します。${\textstyle f}$による $${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$は の部分空間である${\textstyle V}$そして${\textstyle \operatorname {im} (f)}$はの部分空間です${\displaystyle W}$以下の次元公式^はランク・ヌル性定理として知られています。 [ ^{13 ]}$${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

番号${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$は、​${\textstyle f}$そして次のように書かれる${\displaystyle \operatorname {rank} (f)}$⁠、または時々、 ⁠${\displaystyle \rho (f)}$⁠ ; ^{[ 14 ] [ 15 ]}数${\textstyle \dim(\ker(f))}$無効性と呼ばれる${\textstyle f}$そして次のように書かれる${\textstyle \operatorname {null} (f)}$または⁠${\displaystyle \nu (f)}$⁠ . ^{[ 14 ] [ 15 ]}もし${\textstyle V}$そして${\textstyle W}$有限次元であり、基底が選択され、${\textstyle f}$行列で表される${\displaystyle A}$⁠、そしてランクと無効性${\textstyle f}$は行列のランクとヌル点に等しい。${\displaystyle A}$それぞれ。

線形変換のより微妙な不変量${\textstyle f:V\to W}$は共核であり、次のように定義されます。 $${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

これはカーネルの双対概念です。カーネルが領域のサブスペースであるのと同様に、コカーネルはターゲットの商空間です。形式的には、次の正確なシーケンスが得られます。$${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

これらは次のように解釈できます。解くべき線形方程式f ( v ) = wが与えられた場合、

• カーネルは同次方程式f ( v ) = 0の解の空間であり、その次元は、空でない場合、解の空間の自由度の数である。
• 共核とは、解が満たさなければならない制約の空間であり、その次元は独立した制約の最大数である。

共核の次元と像の次元（ランク）を足し合わせると、ターゲット空間の次元になります。有限次元の場合、これは商空間W / f ( V )の次元が、ターゲット空間の次元から像の次元を引いた値になることを意味します。

簡単な例として、 f ( x , y ) = (0, y )で与えられる写像f  : R ² → R ²を考えます。方程式f ( x , y ) = ( a , b )が解を持つためには、a = 0 (1つの制約) でなければならず、その場合、解空間は( x , b )または同等に (0, b ) + ( x ,0) (1つの自由度) となります。カーネルは部分空間( x ,0) < Vとして表現できます。xの値は解における自由度です。一方、コカーネルは写像W → Rを介して表現できます。${\displaystyle (a,b)\mapsto (a)}$⁠ : ベクトル( a , b )が与えられたとき、 aの値は解が存在することを妨げる障害物です

無限次元の場合を示す例として、写像f  : R ^∞ → R ^∞が挙げられます。${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$b ₁ = 0かつb _{n + 1} = a _n ( n > 0の場合)である。その像は最初の要素が0であるすべてのシーケンスから構成され、したがってそのコカーネルは最初の要素が同一のシーケンスのクラスから構成される。したがって、そのカーネルの次元は 0 (ゼロシーケンスのみをゼロシーケンスにマッピングする) であるのに対し、そのコカーネルの次元は 1 である。定義域とターゲット空間が同じであるため、カーネルのランクと次元の合計は、コカーネルのランクと次元の合計と同じになる ( ⁠${\displaystyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$⁠ )、しかし無限次元の場合、自己準同型の核と余核が同じ次元 ( 0 ≠ 1 ) を持つとは推論できない。逆の状況は写像h  : R ^∞ → R ^∞で起こる。${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$c _n = a _{n + 1}である。その像はターゲット空間全体であり、したがってそのコカーネルの次元は 0 であるが、最初の要素のみが非ゼロであるすべてのシーケンスをゼロシーケンスにマッピングするため、そのカーネルの次元は 1 である。

線形写像の分類は、網羅的なものにはなり得ない。以下に、ベクトル空間に関する追加的な構造を必要としない、いくつかの重要な分類を不完全な形で列挙する。

VとWを体F上のベクトル空間とし、T  : V → Wを線形写像とする。

線形写像（行列がAである自己準同型写像）が与えられた場合、空間の基底Bにおいて、ベクトル座標[ u ]を[ v ] = A [ u ]に変換します。ベクトルはBの逆行列によって変化するため(ベクトル座標は反変です)、その逆変換は[ v ] = B [ v ′]です。

これを最初の式に代入すると $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$ したがって $${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

したがって、新しい基底における行列はA ′ = B ⁻¹ ABであり、Bは与えられた基底の行列である。

したがって、線形マップは 1-co- 1-contra-バリアントオブジェクト、またはタイプ (1, 1)テンソルであると言われます。

位相ベクトル空間、例えばノルム空間間の線形変換は連続である可能性がある。定義域と値域が同じであれば、それは連続線形作用素となる。ノルム線形空間上の線形作用素は、例えば定義域が有限次元の場合のように、有界である場合に限り連続である。 ^{[ 17 ]}無限次元領域には不連続線形作用素が存在する可能性がある。

非有界、したがって不連続な線形変換の一例として、上限ノルムを備えた滑らかな関数の空間における微分が挙げられます（値が小さい関数でも導関数は大きな値を持つことがあります。一方、 0の導関数は0です）。具体的な例として、sin( nx )/ nは0に収束しますが、その導関数cos( nx )は収束しないため、微分は0で連続ではありません（この議論の変形により、どこでも連続ではありません）。

線形写像の具体的な応用例としては、コンピュータグラフィックスなどで行われるような幾何学的変換が挙げられます。コンピュータグラフィックスでは、変換行列を用いて2次元または3次元オブジェクトの平行移動、回転、拡大縮小が行われます。線形写像は、変化を記述するメカニズムとしても用いられます。例えば、微積分学では導関数に対応し、相対性理論では基準系の局所的な変換を追跡するための手段として使用されます。

これらの変換のもう一つの応用例は、ネストされたループコードのコンパイラ最適化や、コンパイラの並列化技術である。

• 加法写像– Z加群準同型 
• 反線形マップ– 共役同次加法マップ 
• ベント関数– 特殊なタイプのブール関数 
• 有界作用素– 線形変換の一種 
• コーシーの関数方程式– 関数方程式 
• 連続線形演算子– 位相ベクトル空間間の関数 
• 線形関数– ベクトル空間からスカラー場への線形写像リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 線形等長変換– 距離を保存する数学的変換 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 行列のカテゴリ
• 準線形化

• アクサー、シェルドン・ジェイ（ 2015）。線形代数を正しく学ぶ（第3 版）。シュプリンガー。ISBN 978-3-319-11079-0。
• ブロンシュタイン、IN; セメンジャエフ、KA (2004).数学ハンドブック（第4 版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 3-540-43491-7。
• ハルモス、ポール・リチャード( 1974) [1958]。有限次元ベクトル空間（第2 版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-90093-4。
• ホーン、ロジャー A.、ジョンソン、チャールズ R. (2013).行列解析（第 2 版）.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-83940-2。
• Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
• クブルスリー、カルロス（2001）。演算子理論の基礎。ボストン：ビルクハウザー。ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC 754555941 . 
• ラング、セルジュ（1987）『線形代数（第3 版）』ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-96412-6
• ルディン、ウォルター（1973）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 25巻（ 初版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル・サイエンス／エンジニアリング／数学。ISBN 9780070542259。
• ルーディン、ウォルター（1976）。数学解析の原理。ウォルター・ルーディン高等数学学生シリーズ（第3 版）。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-054235-8。
• ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• スワルツ、チャールズ（1992）。関数解析入門。ニューヨーク：M.デッカー。ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
• Tu, Loring W. (2011).多様体入門（第2 版）. Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9。
• ウィランスキー、アルバート（2013）。位相ベクトル空間における現代的手法。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-49353-4OCLC 849801114。​