量子電気力学

粒子物理学において、量子電磁力学( QED ) は電磁力学の相対論的 量子場理論である。^{[1] [2] [3]}本質的には、光と物質がどのように相互作用するかを記述し、量子力学と特殊相対性理論が完全に一致する最初の理論である。^{[2] QED は、}光子の交換によって相互作用する電荷を帯びた粒子を含むすべての現象を数学的に記述し、物質と光の相互作用を完全に説明する古典電磁気学の量子版である。 ^{[2] [3]}

専門用語で言えば、QED は、光子のような質量のない粒子の位置と動きの確率、およびそれらの粒子の位置 (場) に依存する量を計算する非常に正確な方法であると説明でき、1905 年にアルバート アインシュタインが提唱した波動粒子二重性を超えて光と物質を記述します。リチャード ファインマンは、電子の異常磁気モーメントや水素のエネルギー レベルのラム シフトなどの量を非常に正確に予測するため、これを「物理学の宝石」と呼びました。^{[2] : Ch1}これは、物理学で最も正確で厳密にテストされた理論です。^{[4] [5]}

放射線と物質の相互作用を記述する量子理論の最初の定式化は、英国の科学者ポール・ディラックによるものとされており、彼は（1920年代に）原子の自然放出係数を計算することができました。^[6]彼はまた、「量子電気力学」という用語を作り出した人物としても知られています。^[7]

ディラックは、粒子の生成消滅演算子の概念を導入し、電磁場の量子化を調和振動子の集合として説明した。その後の数年間、ヴォルフガング・パウリ、オイゲン・ウィグナー、パスクアル・ジョルダン、ヴェルナー・ハイゼンベルクの貢献と、エンリコ・フェルミによる量子電磁力学の見事な定式化により、^[8]物理学者は、原理的には光子と荷電粒子を含むあらゆる物理過程のあらゆる計算が可能であると信じるようになった。しかし、 1937年と1939年にフェリックス・ブロッホがアーノルド・ノルドシェック、^[9]およびヴィクター・ヴァイスコフ^[10]と共同で行ったさらなる研究により、そのような計算は摂動論 の第一の順序でしか信頼できないことが明らかになった。この問題は、ロバート・オッペンハイマーがすでに指摘していた。^[11]級数の高次のオーダーでは無限大が現れ、そのような計算は無意味になり、理論自体の内部一貫性に重大な疑問を投げかけました。当時この問題の解決策は知られておらず、特殊相対論と量子力学の間には根本的な非互換性が存在するように見えました。

1940年代の終わりにかけて、理論の難しさは増していった。マイクロ波技術の進歩により、水素原子の準位のシフトをより正確に測定することが可能となり、^{[12]現在では}ラムシフトや電子の磁気モーメントとして知られている。 ^[13]これらの実験により、理論では説明できない矛盾が明らかになった。

解決策の可能性を示唆する最初の兆候は、1947年にハンス・ベーテによって示されました。^[14]シェルター島会議に出席した後です。 ^[15] 会議からスケネクタディまで列車で移動中に、ベーテはラムとレザーフォードによって測定された水素原子の線のシフトについて、初めて非相対論的な計算を行いました。^[14]計算の制限にもかかわらず、一致は良好でした。アイデアは、実験によって実際には有限の値に固定された質量と電荷の補正に無限大を付けるというものでした。このようにして、無限大はそれらの定数に吸収され、実験とよく一致する有限の結果をもたらします。この手順は、再正規化と名付けられました。

ベーテの直観と朝永振一郎^[16] 、ジュリアン・シュウィンガー^[17]、^[18]、 リチャード・ファインマン^{[1] 、 [19] [20]}、フリーマン・ダイソン^{[21] [22]}によるこのテーマに関する基礎論文に基づいて、量子電磁力学の摂動級数において任意の次数で有限である完全に共変な定式化を最終的に得ることが可能になった。朝永振一郎、ジュリアン・シュウィンガー、リチャード・ファインマンは、この分野での研究により1965年のノーベル物理学賞を共同受賞した。 ^{[23]彼らと}フリーマン・ダイソンの貢献は、摂動論の任意の次数で観測可能な計算を可能にする量子電磁力学の共変かつゲージ不変な定式化に関するものであった。ファインマンの図に基づく数学的手法は、当初はシュウィンガーや朝永の場の理論的な演算子ベースのアプローチとは大きく異なっているように思われたが、フリーマン・ダイソンは後にこの2つのアプローチは同等であることを示した。^[21]積分を通して理論に現れる特定の発散に物理的な意味を付与する必要性である繰り込みは、その後量子場の理論の基本的な側面の1つとなり、理論の一般的な受容性の基準と見なされるようになった。繰り込みは実際には非常にうまく機能するが、ファインマンは繰り込みの数学的妥当性に完全に満足することはなく、繰り込みを「シェルゲーム」や「まやかし」とさえ呼んでいた。^{[2] : 128}

そのため、ファインマンもディラックも、理論物理学、とりわけ量子力学における観察結果にアプローチするその方法に満足していなかった。^[24]

QED は、その後のすべての量子場理論のモデルおよびテンプレートとしての役割を果たしてきました。そのような後継理論の 1 つが量子色力学で、1960 年代初頭に始まり、1970 年代にH. David Politzer、Sidney Coleman、David Gross、Frank Wilczekによる研究で現在の形になりました。Schwinger 、Gerald Guralnik、Dick Hagen、Tom Kibble、^{[25] [26]} Peter Higgs、Jeffrey Goldstoneらによる先駆的な研究を基に、 Sheldon Glashow、Steven Weinberg、Abdus Salam がそれぞれ独立に、弱い核力と量子電磁力学を 1 つの電弱力に統合する方法を示しました。

リチャード・ファインマンは生涯の終わり近くに、一般大衆向けにQEDに関する一連の講義を行った。これらの講義は書き起こされ、ファインマン（1985）「QED：光と物質の奇妙な理論」^[2]として出版された。これは、以下に述べる観点からQEDを数学的に説明しない古典的なものである。

ファインマンのQEDの説明の重要な要素は3つの基本的な動作である。^{[2] : 85}

光子はある場所と時間から別の場所と時間へと移動します。

電子はある場所と時間から別の場所と時間へ移動します。

電子は特定の場所と時間に光子を放出または吸収します。

これらの動作は、図の 3 つの基本要素によって視覚的に簡潔に表現されます。波線は光子、直線は電子、2 本の直線と波線の交点は電子による光子の放出または吸収を表す頂点です。これらはすべて、隣の図で確認できます。

アクションの視覚的な略記法に加え、ファインマンは確率振幅と呼ばれる数値量の別の種類の略記法も導入しています。確率は、全確率振幅の絶対値 の 2 乗です。光子が 1 つの場所と時間から別の場所と時間 に移動する場合、関連する量はファインマンの略記法で と書かれ、光子の運動量と分極のみに依存します。電子が から に移動する同様の量はと書かれます。これは、電子の運動量と分極に加えて、ファインマンがn と呼ぶ定数に依存します。この定数は、電子の「裸の」質量と呼ばれることもあります。これは、測定された電子質量と関連していますが、同じではありません。最後に、電子が光子を放出または吸収する確率振幅について示す量は、ファインマンがjと呼び、電子の「裸の」電荷と呼ばれることもあります。これは定数であり、測定された電子電荷eと関連していますが、同じではありません。^{[2] : 91}${\displaystyle {\text{probability}}=|f({\text{amplitude}})|^{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(A{\text{ to }}B)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E(C{\text{ to }}D)}$

QED は、多数の電子と光子の複雑な相互作用は、上記の 3 つの構成要素を適切に組み合わせ、確率振幅を使用してそのような複雑な相互作用の確率を計算することによって表現できるという仮定に基づいています。QED の基本的な考え方は、上記の確率振幅の合計 ( P ( AからB )、E ( CからD )、j ) の 2 乗が、日常の確率(ファインマンの本で行われた簡略化) と同じように機能すると仮定することで伝えることができます。後に、これはファインマンに従って、特に量子スタイルの数学を含むように修正されます。

使用される確率振幅の基本ルールは以下のとおりです: ^{[2] : 93}

(a) の区別不能基準は非常に重要である。これは、与えられたシステムには、どの選択肢が選ばれるかを「明らかにする」ような観察可能な特徴がまったく存在しないことを意味する。このような場合、実験のセットアップを何らかの方法で変更しない限り (たとえば、システムに新しい装置を導入するなど)、実際にどの選択肢が起こっているかを観察することはできない。どの選択肢が起こっているかを観察できるときはいつでも、そのイベントの確率は選択肢の確率の合計であることが常にわかる。実際、そうでない場合は、これらのプロセスを説明するために「選択肢」という用語自体が不適切である。(a) が言っているのは、どの選択肢が起こったかを観察するための物理的手段が取り除かれると、確率を加算するという意味では、イベントが「選択肢のちょうど 1 つ」を通じて起こっているとは言えないということである。代わりに振幅を加算しなければならない。^{[2] : 82}

同様に、(b) の独立性基準は非常に重要です。これは、「絡み合っていない」プロセスにのみ適用されます。

ある場所と時間に電子が 1 個 (この場所と時間に任意のラベルAが付けられる)、別の場所と時間に光子が 1 個 (ラベルBが付けられる) 存在すると仮定します。物理的な観点からの典型的な質問は、「電子がC (別の場所と後の時間) に、光子がD (さらに別の場所と時間) に見つかる確率はどれくらいか?」です。この目的を達成するための最も単純なプロセスは、電子がAからC (基本動作)に移動し、光子がBからD (別の基本動作)に移動するものです。これらのサブプロセス ( E ( AからC ) とP ( BからD) ) のそれぞれの確率振幅がわかっているので、上記の規則 b) を使用して、それらを掛け合わせることで、両方が同時に発生する確率振幅を計算できると予想されます。これにより、全体の確率振幅が簡単に推定され、これを 2 乗すると推定確率が得られます。^{[引用が必要]}

しかし、結果が生じる方法は他にもあります。電子は場所と時間Eに移動し、そこで光子を吸収し、次に移動してFで別の光子を放出し、次にCに移動して検出され、新しい光子はDに移動すると考えられます。この複雑なプロセスの確率は、個々のアクションの確率振幅（3 つの電子アクション、2 つの光子アクション、および 2 つの頂点（1 つの放出と 1 つの吸収））を知ることで再び計算できます。EとFの任意の位置について、各アクションの確率振幅を乗算することで、全体の確率振幅がわかると予想されます。次に、上記の規則 a) を使用して、 EとFのすべての選択肢について、これらすべての確率振幅を合計する必要があります。 （これは実際には初歩的なことではなく、積分を伴います。）しかし、別の可能性もあります。それは、電子が最初にGに移動し、そこで光子を放出してDに進み、電子がHに移動し、そこで最初の光子を吸収してからCに移動するということです。ここでも、これらの可能性の確率振幅を計算できます（すべての点GとHについて）。次に、これらの 2 つの可能性の確率振幅を元の単純な推定値に追加することで、全体の確率振幅をより適切に推定できます。ちなみに、このように光子が電子と相互作用するこのプロセスはコンプトン散乱と呼ばれます。^[要出典]

より多くの光子が吸収され、放出される中間の「仮想」プロセスは、他にも無数にあります。これらのプロセスごとに、それを説明するファインマン図を描くことができます。これは、結果として生じる確率振幅の複雑な計算を意味しますが、図が複雑になるほど結果に寄与する度合いが少なくなると仮定すると、元の質問に対する正確な答えを見つけるのは時間と労力の問題にすぎません。これが QED の基本的なアプローチです。電子と光子の間の相互作用プロセスの確率を計算するには、まず、ファインマン図を使用して、3 つの基本要素からプロセスを構築できるすべての可能な方法に注目する必要があります。各図には、関連する確率振幅を見つけるための明確なルールを含む計算が含まれます。

量子記述に移行しても、その基本的な足場はそのまま残りますが、いくつかの概念的変更が必要です。1つは、日常生活では粒子が移動できる点に何らかの制約があると考えられますが、完全な量子電気力学ではそうではありません。Aにある電子、またはBにある光子が、宇宙の任意の場所と時間に基本動作として移動する確率振幅はゼロではありません。これには、光よりも速い速度でしか到達できない場所や、より早い時間も含まれます。（時間を逆方向に移動する電子は、時間を前進する陽電子と見なすことができます。） ^{[2] ：89、98–99}

量子力学は、確率の計算方法に重要な変化をもたらしました。確率は、日常の世界で確率を表すために使用する通常の実数で表されますが、確率は複素数である確率振幅の二乗係数として計算されます。

ファインマンは、複素数の数学を読者に理解させないように、紙や画面上の矢印という単純だが正確な表現を用いている。（これらは、3次元の空間と1次元の時間における点の関係を2次元で簡略化した表現であるファインマン図の矢印と混同してはならない。）振幅矢印は、量子論によって与えられる世界を説明する上で基本的なものである。振幅矢印は、事象の確率は対応する振幅矢印の長さの2乗であるという単純な規則によって、我々の日常的な確率の考え方と関連している。したがって、与えられたプロセスにおいて、2つの確率振幅vとwが関係している場合、プロセスの確率は、

${\displaystyle P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}}$

または

${\displaystyle P=|\mathbf {v} \,\mathbf {w} |^{2}.}$

ただし、加算または乗算に関するルールは上記と同じです。ただし、確率を加算または乗算するはずの箇所では、代わりに複素数である確率振幅を加算または乗算します。

加算と乗算は複素数理論でよく使われる演算で、図に示されています。合計は次のように求められます。2 番目の矢印の始点を最初の矢印の終点とします。合計は、最初の矢印の始点から 2 番目の矢印の終点まで直接進む 3 番目の矢印になります。2 つの矢印の積は、その長さが 2 つの長さの積である矢印です。積の方向は、2 つの矢印がそれぞれ基準方向に対して回転した角度を加算することで求められます。つまり、積が基準方向に対して回転した角度が求められます。

確率から確率振幅へのその変更は、基本的なアプローチを変えることなく数学を複雑にする。しかし、その変更はまだ十分ではない。なぜなら、光子と電子の両方が偏光する可能性があるという事実、つまり空間と時間におけるそれらの向きを考慮する必要があるという事実を考慮に入れていないからである。したがって、P ( AからB ) は16個の複素数、つまり確率振幅矢印で構成される。^{[2] : 120–121}また、量jに関しても若干の変更があり、一部の偏光では 90° の倍数で回転する必要がある場合があるが、これは詳細な記録にのみ関係する。

電子が分極できるという事実に関連して、もう 1 つの小さな必須の詳細があります。これは、電子がフェルミオンであり、フェルミ - ディラック統計に従うという事実と関連しています。基本的なルールは、複数の電子を含む特定の複雑なプロセスの確率振幅がある場合、2 つの電子イベントを交換する相補的なファインマン図を含めると (常に必要ですが)、結果として得られる振幅は最初の振幅の逆、つまり負になります。最も単純なケースは、AとBから始まり、 CとDで終わる2 つの電子です。振幅は「差」、 E ( AからD ) × E ( BからC ) − E ( AからC ) × E ( BからD )として計算されますが、これは、確率に関する日常的な考え方から、合計になると考えられます。^{[2] : 112–113}

最後に、光子と電子の確率振幅にそれぞれ対応するP ( AからB ) とE ( CからD )を計算する必要があります。これらは本質的に、電子の確率振幅の挙動を記述するディラック方程式と、光子の確率振幅の挙動を記述するマクスウェル方程式の解です。これらはファインマン伝播関数と呼ばれます。標準的な文献で一般的に使用される表記法への変換は次のとおりです。

${\displaystyle P(A{\text{ to }}B)\to D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E(C{\text{ to }}D)\to S_{F}(x_{D}-x_{C}),}$

ここで、 のような略記記号は、Aというラベルの付いた点の 3 次元における時間と位置を表す 4 つの実数を表します。 ${\displaystyle x_{A}}$

歴史的に、20 年間進歩を妨げた問題が 1 つ発生しました。3 つの基本的な「単純な」動作を前提として開始しますが、ゲームのルールでは、電子がAからBに到達する確率振幅を計算する場合、すべての可能な方法、つまりそれらのエンドポイントを持つすべての可能なファインマン図を考慮する必要があります。したがって、電子がCに移動し、そこで光子を放出し、次にDで再びそれを吸収してからBに移動する方法があります。または、このようなことを 2 回以上行うこともできます。つまり、フラクタルのような状況があり、線をよく見ると、それが「単純な」線の集合に分解され、各線をよく見ると、さらに「単純な」線で構成され、これが無限に続きます。これは、対処が難しい状況です。その詳細を追加しても状況がわずかに変化するだけであれば、それほど悪くはなかったでしょうが、上記の単純な修正によって確率振幅が無限になることがわかったとき、災難が起こりました。やがてこの問題は、再正規化の技術によって「解決」された。しかし、ファインマン自身は、それを「おかしな過程」と呼んで不満を抱き続けた。^{[2] : 128}また、ディラックもこの手順を「数学では、気に入らない限り無限大を取り除くことはない」と批判した。^[24]

上記の枠組みの中で、物理学者は電子の異常磁気双極子モーメントなどの特性を高い精度で計算することができました。しかし、ファインマンが指摘するように、電子などの粒子がなぜその質量を持つのかは説明できません。「これらの数値を適切に説明する理論はありません。私たちはすべての理論でこれらの数値を使用していますが、それが何であるか、どこから来たのかは理解していません。根本的な観点から、これは非常に興味深く深刻な問題であると私は信じています。」^{[2] : 152}

数学的には、QED は、ミンコフスキー空間（平坦な時空）上で定義された対称群U(1)を持つアーベル ゲージ理論です。ゲージ場は、荷電スピン 1/2場間の相互作用を媒介し、電磁場です。自然単位で電磁場と相互作用するスピン 1/2 場のQEDラグランジアンは、作用^{[27]を生じます。78}

どこ

• ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ディラック行列です。
• ${\displaystyle \psi }$スピン1/2粒子 のビスピノル場（例：電子-陽電子場）。
• ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$は「psi-bar」と呼ばれ、ディラック随伴関数と呼ばれることもあります。
• ${\displaystyle D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }}$はゲージ共変微分です。
  • e は結合定数であり、ビスピノル場の電荷に等しい。
  • ${\displaystyle A_{\mu }}$電子自体によって生成される電磁場の共変 4 次元ポテンシャルです。ゲージ場または接続とも呼ばれます。${\displaystyle {\text{U}}(1)}$
  • ${\displaystyle B_{\mu }}$外部ソースによって課される外部フィールドです。
• m は電子または陽電子の質量です。
• ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$は電磁場テンソルです。これはゲージ場の曲率としても知られています。

共変微分を展開すると、ラグランジアンの2番目の有用な形式が明らかになる（簡単のため外部フィールドはゼロに設定されている） ${\displaystyle B_{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }}$

ここで、ネーターの定理から生じる保存電流は次のように表される。 ${\displaystyle j^{\mu }}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

ラグランジアンの共変微分を展開すると、

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle =-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -ej^{\mu }A_{\mu }.}$

簡単にするために、はゼロに設定されています。あるいは、新しいゲージ場に吸収し、新しい場を次のように再ラベルすることもできます。${\displaystyle B_{\mu }}$${\displaystyle B_{\mu }}$${\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+B_{\mu }}$${\displaystyle A_{\mu }.}$

このラグランジアンから、および場の運動方程式を得ることができます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A_{\mu }}$

これらは、オイラー・ラグランジュ方程式を について考えると最も簡単に分かります。ラグランジアンには項がないので、すぐに次の式が得られます。 ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$${\displaystyle \partial _{\mu }{\bar {\psi }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\bar {\psi }}}}=0}$

運動方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =e\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi .}$

• 場のオイラー・ラグランジュ方程式を用いると、${\displaystyle A_{\mu }}$

今回のデリバティブは $${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$$

（ ３） に代入すると、

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi }$

これを電流で表すと、 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle j^{\mu }}$

ここで、ローレンツ ゲージ条件を 課すと、 方程式は 次のように簡約されます。これは4 元ポテンシャルの波動方程式であり、ローレンツ ゲージにおける古典的なマクスウェル方程式の QED バージョンです。(四角形は波動演算子、を表します。) $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$$$${\displaystyle \Box A^{\mu }=ej^{\mu },}$$${\displaystyle \Box =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }}$

この理論は、ボゾンおよびフェルミオンセクター^{[説明が必要]}を自由として扱うことで簡単に量子化できます。これにより、さまざまなプロセスの確率振幅の計算を開始するために使用できる漸近状態のセットを構築できます。これを行うには、与えられた初期状態に対して最終状態が^[27]となるような進化演算子を計算する必要があります^。5${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle \langle f|}$

$${\displaystyle M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .}$$

この手法はS行列としても知られています。進化演算子は相互作用図で得られ、時間発展は相互作用ハミルトニアンで与えられ、これは上記で与えられたラグランジアン密度の第2項の空間積分です: ^{[27] : 123}

$${\displaystyle V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$$

そして、^{[27] : 86}

$${\displaystyle U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,V(t')\right],}$$

ここで、T は時間順序付け演算子です。この発展演算子は級数としてのみ意味を持ち、ここで得られるのは微細構造定数を開発パラメータとする摂動級数です。この級数はダイソン級数と呼ばれます。

QED に対するこのファインマンのアプローチの概念的な明快さにもかかわらず、初期の教科書で彼の説明に従っているものはほとんどありません。計算を行う場合、プロパゲータのフーリエ変換を使用する方がはるかに簡単です。量子電磁力学の実験的テストは、通常、散乱実験です。散乱理論では、粒子の位置ではなく運動量が考慮され、粒子が相互作用するときに生成または消滅すると考えると便利です。ファインマン図は同じに見えますが、線の解釈が異なります。電子線は、特定のエネルギーと運動量を持つ電子を表し、光子線も同様に解釈されます。頂点図は、1 つの電子の消滅と別の電子の生成、および特定のエネルギーと運動量を持つ光子の吸収または生成を表します。

ダイソン級数の項に関するウィックの定理を用いると、量子電磁力学のS行列のすべての項はファインマン図の手法によって計算できる。この場合、描画の規則は以下の通りである^{[27] ：801–802}

これらの規則に、運動量 の積分を意味する閉ループの規則をさらに追加する必要があります。これは、これらの内部 (「仮想」) 粒子は、特殊相対論で通常要求される特定のエネルギー運動量にも制約されないためです (詳細については、プロパゲーターを参照してください)。メトリックのシグネチャは です。 ${\textstyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4}}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle {\rm {diag}}(+---)}$

これらから確率振幅の計算が簡単に得られる。例としては、電子と光子が弾性散乱するコンプトン散乱が挙げられる。この場合、ファインマン図は^{[27] : 158–159 である。}

そして、 S行列の摂動級数の1次で対応する振幅を得ることができます。

$${\displaystyle M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}{\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){\frac {p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e}}{(p-k')^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s),}$$

そこからこの散乱の 断面積を計算することができます。

量子電気力学の予測の成功は、主にファインマン図で表される摂動論の使用に依存しています。しかし、量子電気力学は摂動論を超えた予測にもつながります。非常に強い電場が存在すると、電子と陽電子が自発的に生成され、電場の崩壊を引き起こすと予測されます。シュウィンガー効果^[28]と呼ばれるこのプロセスは、有限数のファインマン図の観点からは理解できないため、非摂動的であると説明されます。数学的には、量子電気力学の経路積分の半古典的近似によって導くことができます。

高次の項は進化演算子に対して直接計算できるが、これらの項は次のようなより単純な項を含む図式で示される^{[27] ：ch 10}

• 
  真空偏極関数への1ループ寄与${\displaystyle \Pi }$
• 
  電子の自己エネルギー関数への1ループ寄与${\displaystyle \Sigma }$
• 
  頂点関数への1ループ寄与 ${\displaystyle \Gamma }$

これらは閉ループであるため、数学的な意味を持たない発散積分が存在することを意味します。この困難を克服するために、再正規化と呼ばれる手法が考案され、実験と非常によく一致する有限の結果が生成されます。再正規化後に理論が意味を持つための基準は、発散ダイアグラムの数が有限であることです。この場合、理論は「再正規化可能」であると言われます。その理由は、観測可能量を再正規化するには、理論の予測値を変更しないために有限個の定数が必要になるためです。これは、発散ダイアグラムが 3 つだけ表示される量子電気力学の場合とまったく同じです。この手順により、たとえば電子磁気回転比で見られるように、実験と非常によく一致する観測可能量が得られます。

くりこみ可能性は、量子場理論が実行可能なものとみなされるための必須の基準となっている。重力理論を除く、基本的な相互作用を記述する理論はすべてくりこみ可能な理論である。重力理論の量子的対応は推測に過ぎず、現在非常に活発に研究されている。

フリーマン・ダイソンの議論は、QED における摂動級数の収束半径がゼロであることを示している。 ^[29]基本的な議論は以下のとおりである。結合定数が負であれば、これはクーロン力定数が負であることと同等である。これにより、電磁相互作用が「逆転」し、同種の電荷は引き合い、異種の電荷は反発する。これにより、真空は不安定になり、宇宙の片側では電子のクラスターに、もう片側では陽電子のクラスターに崩壊する。理論は結合定数の負の値に対して「不調」であるため、級数は収束せず、せいぜい漸近級数となる。

現代的な観点からは、QED は任意の高エネルギーに対する量子場理論としてうまく定義されていないと言えます。^[30]結合定数は有限エネルギーで無限大になり、ランダウ極を示します。本質的には、QED は量子自明性の問題を抱えているように見えるという問題があります。これが、QED を大統一理論に組み込む動機の 1 つです。

この理論は、少なくとも古典的な場の理論として、曲がった時空に拡張することができます。これは、平坦な時空の場合と同様に、自由電磁気理論を自由フェルミオン理論に結合し、フェルミオン理論の偏微分をゲージ共変微分に促進する相互作用を含めることから生じます。

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• QED の進化とその中でのファインマンの役割について語るノーベル賞受賞講演
• ニュージーランドのファインマンが非物理学者向けにQEDについて講義
• http://qed.wikina.org/ – QED を説明するアニメーション