真理値

論理学と数学において、真理値（論理値とも呼ばれる）は、命題と真理との関係を示す値であり、古典論理では2つの値（真または偽）しか取り得ない。^{[1] [2]}

一部のプログラミング言語では、ブールデータ型を期待するコンテキストで任意の式を評価できます。通常 (プログラミング言語によって異なりますが)、数値ゼロ、空の文字列、空のリスト、nullなどの式はfalse として扱われ、コンテンツを含む文字列 ("abc" など)、その他の数値、オブジェクトは true と評価されます。これらのクラスの式は、falsyおよびtruthyと呼ばれることがあります。たとえば、Lispでは、空のリストであるnilは false として扱われ、他のすべての値は true として扱われます。Cでは、数値 0 または 0.0 は false として扱われ、他のすべての値は true として扱われます。

JavaScriptでは、空文字列( "")、、、、null+ 0、-0、^[3]は、厳密に型チェックされたブール値と強制型変換されたブール値を区別するために、偽(その補数はundefined真理値)と呼ばれることがあります( JavaScript構文#型変換も参照)。^[4] Pythonとは対照的に、空のコンテナ(配列、マップ、セット)は真理値と見なされます。PHPなどの言語でもこのアプローチが使用されています。 NaNfalse

古典論理では、その意図された意味論では、真理値は真（1または真⊤ で示される）と偽または偽（ 0または偽⊥で示される）である。つまり、古典論理は2 値論理である。この 2 つの値の集合は、ブール領域とも呼ばれる。論理接続詞の対応する意味論は真理関数であり、その値は真理値表の形式で表現される。論理的な二項関係は等式二項関係になり、否定は真と偽を入れ替える一対一の関係になる。連言と選言は否定に関して双対であり、これはド・モルガンの法則によって表現される。

¬( p ∧ q ) ≠ ¬ p  ∨ ¬ q

¬( p ∨ q ) ≠ ¬ p  ∧ ¬ q

命題変数はブール領域では変数になります。命題変数に値を割り当てることを評価と呼びます。

古典論理では真理値はブール代数を形成しますが、直観論理、およびより一般的には構成的数学では、真理値はヘイティング代数を形成します。このような真理値は、局所性、時間性、計算内容など、妥当性のさまざまな側面を表現することができます。

たとえば、位相空間の開集合を 直観主義的な真理値として使用することがあります。この場合、式の真理値は、式が成り立つかどうかではなく、式がどこで成り立つかを表します。

実現可能性において、真理値はプログラムの集合であり、式の妥当性の計算上の証拠として理解できます。たとえば、「すべての数には、それより大きい素数が存在する」というステートメントの真理値は、数値 を入力として受け取り、 より大きい素数 を出力するすべてのプログラムの集合です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

圏論では、真理値はサブオブジェクト分類子の要素として現れます。特に、トポスでは、高階論理のすべての式にサブオブジェクト分類子の真理値を割り当てることができます。

ヘイティング代数は多くの要素を持つことがあるが、これは真でも偽でもない真理値が存在すると理解されるべきではない。なぜなら直観主義論理は「真でも偽でもないということはあり得ない」と証明しているからである。^[5]${\displaystyle \neg (p\neq \top \land p\neq \bot )}$${\displaystyle p}$

直観主義型理論では、カリー・ハワード対応は命題と型の同値性を示し、それによれば妥当性は型の占有と同等である。

直観主義的真理値のその他の概念については、Brouwer-Heyting-Kolmogorov 解釈と直観主義論理 § 意味論を参照してください。

多値論理（ファジー論理や関連性論理など）では、2つ以上の真理値が許容され、何らかの内部構造が含まれる場合もあります。たとえば、単位区間 [0,1]では、そのような構造は全順序です。これは、さまざまな真理度の存在として表現できます。

すべての論理システムが、論理接続詞が真理関数として解釈されるという意味で真理値評価的であるわけではありません。たとえば、直観主義論理には真理値の完全なセットがありません。これは、その意味論である Brouwer-Heyting-Kolmogorov 解釈が、式の必然的な真理性という観点で直接指定されているのではなく、証明可能性条件という観点で指定されているためです。

しかし、非真理値論理でも、代数的意味論で行われるように、値を論理式に関連付けることができます。直観主義論理の代数的意味論は、古典的な命題計算のブール代数意味論と比較して、ハイティング代数によって与えられます。

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• Shramko, Yaroslav; Wansing, Heinrich. 「真理値」。Zalta , Edward N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。